饲养羊-友情短信

2018年初中数学联赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题 和填空题只设7分和0分两档；
第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方 法和本解答不
同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
a
2
1.设二次函数
yx2ax
的图象的顶点为
A
，与
x
轴的交点为
B
,
C
.当△
ABC
为等边三2
2
角形时，其边长为()
< br>2.如图，在矩形
ABCD
中，∠
BAD
的平分线交
BD于点
E
，
AB
=1，∠
CAE
=15°，则
B E=
()
A.
3
2
B.
2

3

3
2
3.设
p,
q
均为大于3的素数，则使
p
2
+5
pq+
4
q
2
为完全平方数的素数对(
p
,
q
)的个数为 ()

1a

4.若实 数
a
,
b
满足
a-b=
2,
b

2
1b


a
2
4
,则
a
5
-b
5
=()
5.对任意的整数
x
,
y
，定义
x
@
y
=
x
+
y
-xy
，则使得(
x
@
y
)@
z
+(
y
@
z
)@
x
+(
z
@
x
)@y
=0的整数组
(
x
,
y
,
z
)的个 数为()

6.设
M
11 1

2

11
，则的整数部分是()
2050M

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.如图，在平行四边形
ABCD< br>中，
BC
=2
AB
，
CE
⊥
AB
于
E
，
F
为
AD
的中点，若∠
AEF=
48 °，则
∠
B=
_______.
2.若实数
x
,
y
满足
x
3
y
3

115
xy，则
x
+
y
的最大值为_______.

42< /p>

3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.
a
5
b
5
c
5
4.已知实数
a
,
b< br>,
c
满足
a
+
b
+
c
=0，
a+b
+
c
=1，则=_______.
abc
222
第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.满足(x
2
+x-1)
x+2
的整数
x
的个数 为()

2.已知
x
1
,
x
2
,
x
3
(
x
1
＜
x
2
＜
x3
)为关于
x
的方程x
3
-3x
2
+(a+2 )x-a=0的三个实数根，则
22
4x
1
x
1
2
x
2
x
3
=()

3.已知点
E
，
F
分别在正方形
ABCD
的边
CD
，
AD
上，
CD=
4
CE
，∠
EFB=
∠
FBC
，则tan∠AB
F
＝
()
A.
3
2
13
B. C. D.
2
2
25
4.方程
39x
3
x
的实数根的个数为()

5.设
a
,
b
,
c
为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的201 7倍都等于2018，则
这样的三元数组(
a
,
b
,
c)的个数为()

6.已知实数
a
,
b
满足a
3
-3a
2
+5a=1，b
3
-3b
2
+5b=5，则
a
+
b
=()

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.已知
p
,
q< br>,
r
为素数，且
pqr
整除
pq
+
qr+
rp
-1，则
p
+
q
+
r
=___ ____.
2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的 数
为_______.
3.已知
D
是△
ABC
内一点，< br>E
是
AC
的中点，
AB
=6，
BC
=10， ∠
BAD=∠BCD
，
∠EDC=∠ABD
，则
DE
=__ _____.
4.已知二次函数y=x
2
+2(m+2n+1)x+(m
2
+4n
2
+50)的图象在
x
轴的上方，则满足条件的正整
数对(
m
,
n
)的个数为_______.
第二试（A）

一、（本题满分20分）设
a
,
b
,
c
,
d
为四个不同的实数，若
a
,
b
为方程x
2
-10cx-11d=0的根，
c
,
d
为方程x
2
-10 ax-b=0的根，求
a
+
b
+
c
+
d
的 值.
二、（本题满分25分）如图，在扇形
OAB
中，∠
AOB=
90°，
OA=
12，点
C
在
OA
上，
AC=4，
点
D
为
OB
的中点，点
E
为弧
A B
上的动点，
OE
与
CD
的交点为
F
.
（1）当四边形
ODEC
的面积
S
最大时，求
EF
；
（2）求
CE
+2
DE
的最小值.
三、（本题满分25分 ）求所有的正整数
m
,
n
，使得
m
3
n
3
m
2
n
2

mn

2
是非 负整数.
第二试（B）
111

9

一、（本题满 分20分）若实数
a
,
b
,
c
满足(a+b+c)


，
ab5cbc5aca5b

5

111

求(a+b+c)



的值. 
abc

二、（本题满分25分）如图，点
E
在四边形
ABCD
的边
AB
上，△
ABC
和△
CDE
都是 等腰直角
三角形，
AB
=
AC
，
DE
=
D C
.
（1）证明：
AD
DP
三、（本题满分25分）设
x
是一个四位数，
x
的各位数字之和为
m
，
x+
1< br>PE
的各位数字之和为
n
，并且
m
与
n
的最 大公约数是一个大于2的素数.求
x
.