文章生活照-荷银精选

中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题

题 号
得 分
评卷人
复查人
一
1～5



二
6～10



11



12



三
13



14



总 分



答题时注意：
1．用圆珠笔或钢笔作答；
2．解答书写时不要超过装订线；
3．草稿纸不上交.
一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为
A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代
号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
qfRgF4dw27
1．设
a71
，则代数式
3a
3
12a
2< br>6a12
的值为( >.
4710
4712

2．对于任意实数
a，b，c，d
，定义有序实 数对与之间的运算
（a，b）（c，d）
“△”为：<
a，b
）△<
c，d
）＝<
acbd，adbc
）．如果对于任意实数
u，v，

都有<
u，v
）△<
x，y
）＝<
u，v
）， 那么<
x，y
）为( >.
qfRgF4dw27
x
3．若
x1
，
y0
，且满足< br>xyx
y
，x
3y
，则
xy
的值为( >.
y
911
22
4．点
D ，E
分别在△
ABC
的边
AB，AC
上，
BE，CD
相交于点
F
，设
S
四边形EADF
S
1
，S
BDF
S
2
，S
BCF
S
3
，S
CEF
S
4
，则
S
1
S
3
与
S
2
S
4
的大小关系为
( >.
S
1S
3
S
2
S
4
S
1
S
3
S
2
S
4
S
1
S
3
S
2
S
4
.

5．设
S
111

1
3
2
3
3
3

1
，则
4S
的整数部分等于( >.
99
3
二、填空题<共5小题，每小题7分，共35分）
6．若关于
x
的方程
(x2)(x
2
4xm)0
有三个根，且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长，则
m
的取值范围是 .
7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，
4；另一枚质地均匀的正 方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率
是 .
NW2GT2oy01
8．如图，点
A，B
为直线
yx
上的两点，过
A，B
两点分别作y轴的平行
线交双曲线
y
1<
x＞0
）于
C，D
两点. 若
BD2AC
，则
4OC
2
OD
2
的值
x
为 .
NW2GT2oy01


<第8题）
<第10题）
9．若
y1xx
1
的 最大值为a，最小值为b，则
a
2
b
2
的值为 .
2
10．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于 △
ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .
NW2GT2oy01
三、解答题<共4题，每题20分，共80分）
11．已知关于
x
的一元二 次方程
x
2
cxa0
的两个整数根恰好比方程
x
2< br>axb0
的两个根都大1，求
abc
的值.
12．如图 ，点
H
为△
ABC
的垂心，以
AB
为直径的⊙
O< br>1
和△
BCH
的外接圆
⊙
O
2
相交于点D
，延长
AD
交
CH
于点
P
，求证：点
P
为
CH
的中点.
.

<第12题）
13．如图，点
A
为
y
轴正半轴 上一点，
A，B
两点关于
x
轴对称，过点
A
任
作直 线交抛物线
y
2
2
x
于
P
，
Q
两点.
3
<1）求证：∠
ABP
=∠
ABQ
；
<2）若点
A
的坐标为<0，1），且∠
PBQ
=60º，试求所有满足条件 的直线
PQ
的函数解读式.

14．如图，△ABC中，
BAC60
，
<第13题）
AB 2AC
．点P在△ABC内，且
PA3，PB5，PC2
，求△ABC的面积 ．

中国教育学会中学数学教学专业
委员会
<第14题）
“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答
案

一、选择题
1．A
解：由于
a71
，
a17
，
a
2
62a
， 所以
3a< br>3
12a
2
6a123（a62a）12（62a）6a1 2
6a
2
12a60
（662a）12a6024.< br>
2．B

uxvyu，

u(x1)vy0，
解：依定义的运算法则，有

即

对任何实数
vxuy v，v(x1)uy0

u，v
都成立. 由于实数
u，v
的任意性，得
<
x，y
）=<1，0）．
.

3．C
y1
解：由题设可知
yx
，于是
xyx
3y
x
4y1
，
所以
4y11
，
故
y
9
1
，从而
x 4
．于是
xy
．
2
2
S
1

，则
4．C

解： 如图，连接
DE
，设
S
DEF
S
1

E F
S
4

，从而有
S
1

S
3
S
2
S
4
．由于
S
1
S
1< br>
，所以
S
2
BFS
3
S
1
S3
S
2
S
4
．
<第4题）
5．A
解：当
k2，， 3 ， 99
时，由于
111

11





，
k
3
k

k
2
1

2


k1

kk

k1


所以
1S1
11

2
3
3< br>3

11

11

5
1


.
99
3
2

299100

4
于是有
44S5
，故
4S
的整数部分等于4．
二、填空题
6．3＜m≤4
x
2
，则解：易知
x2
是方程的一个 根，设方程的另外两个根为
x
1
，
x
1
x
24
，
x
1
x
2
m
．显然
x
1
x
2
42
，所以
x
1
x
2
2，

164m
≥0，
即

x
1
x
2

2
4x
1
x
2
2
，
 164m
≥0，所以
164m2
，
164m
≥0，
解之得 3＜m≤4.
.

7．

解： 在36对可能出现的结果中，有4对：<1，4），<2，3），<2， 3），
<4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是
8．6
解：如图，设点
C
的坐标为，点
D
的坐标为,
（a，b）（c，d）
则点
A
的坐标为，点
B
的坐标为
（a，a）（c，c）.< br> 由于点
C，D
在双曲线
y
1
9
41
< br>.
NW2GT2oy01
369
1
上，所以
ab1，cd1
．
x
<第8题）
由于
ACab
，
BDcd，
又由于
BD2AC
，于
是

cd2ab，c
2< br>2cdd
2
（4a
2
2abb
2
），4a
2
b
2
）（c
2
d
2
） 8ab2cd6，
所以
（

即
4OC
2
OD
2

6.

9．
3

2
11
解：由
1x
≥0，且< br>x
≥0，得≤
x
≤
1
．
22
y
2

131131
2x
2
x2(x)
2< br>
．
2222416
由于
133
<<1
，所以当< br>x=
时，
y
2
取到最大值1，故
a=1
．
244
2
11
或1时，
y
2
取到最小值，故
b=< br>．
2
22
当
x=
所以，
a
2
b
2

10．84
3
．
2
解：如图，设BC＝a，AC＝b，则
a
2
b
2
35
2
＝1225． ①
又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以
FEAF

，即
CBAC
1 2b12
，故

ab
.
<第10题）

12(ab)ab
． ②
由①②得
2
，
（ab）a
2
b
2
2ab122524（ab）
解得a＋b＝49<另一个解－25舍去）， 所以
abc493584
．
三、解答题
11．解：设方程< br>x
2
axb0
的两个根为

，

，其 中

，

为整数，且

≤

，则方程x
2
cxa0
的两根为

1，

1
，由题意得



a，


1< br>

1

a
，
两式相加得

2

2

10
，
即
(

2)(

2)3
，


21，


23，
所以

或



23；

21 .



1，


5，
解得

或



1；

3.< br>
（



），b

，c（[< br>
1）（

1）]，
又由于
a
所以
a0，b1，c2
a8，b，1

5
，
c
；或者
故
abc3
，或29.
12．证明：如图，延长
AP
交⊙
O
2
于点
Q，
QC，QH
. 连接
AH，BD，QB，
由于
AB为⊙
O
1
的直径，
所以∠
ADB
∠
BDQ
90°，
故
BQ
为⊙
O
2
的直径.
BHHQ
. 于是
CQBC，
<第12题）
.

又由于点
H
为△
ABC
的垂心，所以
AHBC ，BHAC.

所以
AH
∥
CQ
，
AC∥
HQ
，四边形
ACQH
为平行四边形.
所以点
P
为
CH
的中点.
13．解：<1）如图，分别过点
P，　Q
作
y
轴的垂线，垂足分别为
C，　D
.
设点< br>A
的坐标为<0，
t
），则点
B
的坐标为<0，-
t
）.
设直线
PQ
的函数解读式为
ykxt
,并设P，Q
的坐
（x
Q
，y
Q
）
（x
P< br>，y
P
）
标分别为 ,.由

ykxt，

2
2


yx，

3

得
x
2
kxt0
，
<第13题）
2
3
于是
x
P
x
Q
t
，即
tx
P
x
Q
.
2
2
2
2
22
x
P
t
xxxx
P
(x
P
x
Q
)
PPQ
BC
y
P
t
3
x
333


P
.
于是
2
BDy
Q
t
2
x
2
t
2
x< br>2

2
xx
x
Q
x
Q
(x
Q
x
P
)
QPQ
Q
333
3
3
2
2
3
又由于
x
PC
BCPC

P，所以.

QDx
Q
BDQD
由于∠
BCP 
∠
BDQ90
，所以△
BCP
∽△
BDQ
，
故∠
ABP
=∠
ABQ
.
<2）解法一 设
PCa
，
DQb
，不妨设
a
≥
b
>0 ，由<1）可知
∠
ABP
=∠
ABQ30
，
BC=
3a
，
BD
=
3b
，
所以
AC
=
3a2
，
AD
=
23b
. < br>由于
PC
∥
DQ
，所以△
ACP
∽△
ADQ
.
于是
a3a2
PCAC

，即

，
b
23b
DQAD
.

所以
ab3ab
．
333
3
3
，
由 <1）中
x
P
x
Q
t
，即
ab
，所以
ab，ab

2
2
22
于是可求得
a2b3.

将b
3
3
2
1
代入
yx
2
，得到点
Q
的坐标<，）.
2
2
3
2
3
.

3
再将点Q
的坐标代入
ykx1
，求得
k
所以直线
PQ
的函数解读式为
y
3
x1
.
3
33
x1
，或
yx1
.
33
根 据对称性知，所求直线
PQ
的函数解读式为
y
解法二 设直线
PQ
的函数解读式为
ykxt
,其中
t1
.
由<1）可知，∠
ABP
=∠
ABQ30
，所以
BQ 2DQ
.
2
故
2x
Q
x
Q
( y
Q
1)
2
.
将
y
Q

2< br>2
x
Q
代入上式，平方并整理得
3
4222
4x< br>Q
15x
Q
90
，即
(4x
Q
3) (x
Q
3)0
.
所以
x
Q

3
或
3.

2
3
2
3
2
3
2
又由 (1>得
x
P
x
Q
t
，
x
P
x
Q
k
.
若
x
Q

3
23
，
代入上式得
x
P
3，
从而
k(x
P
x
Q
)
.
33
2
3
23
，
从而
k(x
P
x
Q
)
.
33
2
33
x1
，或
yx1
.
33
同理，若
x
Q
3，
可得
x
P
所以，直线
PQ
的函数解读式为
y
14．解：如图，作 △ABQ，使得
QABPAC，ABQACP，
则△ABQ∽△ACP .
.

由于
AB2AC
，所以相似比为2.
于是
AQ2AP23，BQ2CP4
．
<第14题）
QAPQABBAPPACBAPBAC60
.
由
AQ:AP2:1
知，
APQ90
，于是
PQ3AP 3
．
所以
BP
2
25BQ
2
PQ
2
，从而
BQP90
．
于是
AB
2
 PQ
2
(APBQ)
2
2883
.
故
S
136
ABC

2
ABACsin60
8
AB
2

73
2
．
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用
途。

.