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高中数学竞赛试题(模拟)
一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只
有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的 偶函数，若
f(x)g(x)x9x12
，则
2
A．
3
2
0.5
B．
6

2
C．
23

3
D．
26

3< br>9.设
x0.82,ysin1,zlog
3
7
，则x、y、z 的大小关系为 ( )
f(x)g(x)
( )
A．
x
2
9x12
B．
x
2
9x12
C．
x
2
9x12
D．
x
2
9x12

2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=
sinxcosx
④
y
sinx
cosx

其中在
(0,

2
)
上为单调增函数的是 ( )
A．① B．② C．①和③ D．②和④
3.方程
x
2
x1x

x
2
1
(x
2
1)

x
的解集为A(其中π为无理数，π=3.141„，x为实数)，则
A中所有元素 的平方和等于 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4.已 知点P(x,y)满足
(x4cos

)
2
(y4sin
)
2
4(

R)
，则点P(x,y)所在区域的 面积为
A．36π B．32π C．20π D．16π ( )
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里 球
的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.已知数列{
a
n
}为等差数列，且S< br>5
=28，S
10
=36，则S
15
等于 ( )
A．80 B．40 C．24 D．-48
7.已知曲线C：
yx
2
2x
与直线
l:xym0
有两个交点，则m的取值范围是 ( )
A．
(21,2)
B．
(2,21)
C．
[0,21)
D．
(0,21)

8.过正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线BD
1
的截面面积为S，S
max
和S
min
分别为S的最大值和最小
值，则
S
max
S
的值为 ( )
min
A．x10 .如果一元二次方程
x
2
2(a3)xb
2
90
中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二
次方程有两个正根的概率P= ( )
A．
11
18
B．
9
C．
1
6
D．
13
18

二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
设P是椭圆
x
2
16

y
2
11.
9
1
上异于长轴端点 的任意一点，F
1
、F
2
分别是其左、右焦点，O为中心，
则
|PF
2
1
||PF
2
||OP|
___________.
12.已知△ABC中，
ABa,ACb
，试用a
、
b
的向量运算式子表示△ABC的面积，即S
△ABC
=
____________________.
13.从3名男生和n名女生中，任选3人参 加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为
34
35
，则
n=______ ____.
14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1 人胜其余4
人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分 ，共68分）
15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若
f(f(x))x
，则称x为f(x)的“稳
定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定 点”的集合分别记为A和B，即
A{x|f(x)x
}
B{x|f[f(x)]x}
.
(1). 求证：A

B < br>(2).若
f(x)ax
2
1(aR,xR)
，且
A B

，求实数a的取值范围.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在 上衣及裤子
要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？
组 A B C D
上衣(件) 8 9 7 6
裤子(条) 10 12 11 7










17.设数列
{a
n
}
满足条件：
a
1
1,a
2
2
，且
a
n2
a
n1
a
n
(n1,2,3,
)
求证：对于任何正整数n，都有
n
a
1
n1
1

n
a
n














18.在周长为定值的△ ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为
7
25
.
(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
(2).过点A作直线与(1)中的 曲线交于M、N两点，求
|BM||BN|
的最小值的集合.














19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ ABC内的任一点，OP与三
侧面所成的角分别为α、β、

.
求证：
2






3arcsin
3
3

参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA
二、填空题：
11. 25 12.
1
2
(|a||b|)
2
(ab)
2
13. 4 14. 1
三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A

B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A

B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
ax
2
1x
的实根.
由 A≠φ，知 a=0 或


a0
1
4a0
即

1
a
4

B中元素是方程
a(ax
2
1)
2
1x
即
a
3
x
4
2a
2
x
2
xa10
的 实根
由A

B，知上方程左边含有一个因式
ax
2
x 1
，即方程可化为

(ax
2
x1)(a2
x
2
axa1)0

因此，要A=B，即要方程
a
2
x
2
axa10
①
要么没有实根，要么实根是方程
ax
2
x10
② 的根.
若①没有实根，则

2
2
a4a
2
( 1a)0
，由此解得
a
3
4

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
a
2
x
2
axa
，代入①有 2ax+1=0.
由此解得
x
1
2a
,再代入②得
1
4a

1
2a
10,
由此解得
a
3
4
.
故 a的取值范围是
[
13
4
,
4
]

16.解：A、B、 C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：
8976
10
,
12,
11
,
7
，且
6
7

8
10

9
12

7
11
①
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.

由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7- x)天做裤
子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即
y9
6x
7
.
令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9 (
9
6x2
7
)=123+
7
x

因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即
μ
max
=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣， C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最
多，为125套.
17.证明：令
a
0
1
,则有
a
a
k
k1
a
k
a
k1
，且
1

a

a
k1
(k

1,2,

)

k1
a
k1
n
于是
n

a
k
n

k1
a

a
k1< br>
k1
k1
a
k1
由算术-几何平均值不等式，可得
1
n
a
1
a
a
a
a
a

a
2
a

n
+
n
0
1

n1
23
a
n1
aa

23
a
n1
注意到
a
0
a
1
1
，可知
1
1
n
a

1
n1
n
a
，即
n
a
n1
1
1

n
a
n1
n
a
n
18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)
为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
因为
cosC
|CA|
2
|CB|
2
6
2
2|CA||CB|

(|CA||CB|)< br>2
2|CA||CB|36
2|CA||CB|

2a
2
18
|CA||CB|
1

又
|CA||CB| (
2a
2
)
2
a
2
，所以
cosC1
18187
2
a
2
，由题意得
1
a
2

25
,a25
.
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
所以C点的轨迹方程为 < br>x
2
y
2
25

16
1(y0)

(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x
1
,y
1
) ,N(x
2
,y
2
).当直线MN的倾斜角不为90
0
时， 设其方

(
1
25

k
22
程为 y=k(x+3) 代入 椭圆方程化简，得
16
)x
2

3
8
k
2
x(
9k
16
1)0

显然有 △≥0， 所以 < br>x
150k
2
225k
2
400
1
 x
2
1625k
2
,x
1
x
2

1625k
2

而由椭圆第二定义可得
|BM||BN|(5
3
5
x
39
1
)(5
5
x
2< br>)253(x
1
x
2
)
25
x
1< br>x
2
k
2

144
25
450k
2
81k
2
144531k
2
144531

531
1625k
2

1625k
2
25
1625k
2
25
25

k
2

16
25
k
2

14416144
只要考虑
53 1

的最小值，即考虑
1
25531
k
2
1616
取最小值，显然.
25
k
2

25
当k=0时，
|BM||BN|
取最小值16.
当直线MN的倾斜角为90
0
时，x
1
=x
2
=-3,得
|BM||BN|(
34
5
)
2
16

但
x
2
y
2
25

16
1( y0)
，故
k0
，这样的M、N不存在，即
|BM||BN|
的最小值的集
合为空集.
19.证明：由 题意可得
sin
2

sin
2

sin
2

1
，且α 、β、

(0,

2
)

所以
s in
2

1sin
2

sin
2


1
2
(cos2

cos2

)c os(



)cos(



)

因为
cos(



)cos(



)
，所以
sin
2

cos
2
(



)sin
2
[

2< br>(



)]

当





2
时，







2
.
当




时，



22
(



)
，同样有







2

故







2

另一方面，不妨设





，则
s in


3
3
,sin


3
3

令
sin

3
1

3
,si n

3
1
1(
3
)
2
sin
2

，
则
sin
2

22
1sin

sin

1
1

sin
2

cos(



)cos(



)cos(

1


1
)cos(< br>
1


1
)

因为

1


1




，所以
co s(

1


1
)cos(



)

所以
cos(



)co s(

1


1
)

所以





1


1

如果运用调整法，只要α、β、

不全相等，总可通过调整，使

1


1


1
增大.
所以，当α=β=

=
arcsin
33
3
时，α+β+

取最大值 3
arcsin
3
.
综上可知，

3< br>2






3arcsin
3