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2018年初中数学联赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题 和填空题只设7分和0分
两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方
法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分
的档次，给予相应 的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
a
2
yx2ax
2
1.设二次函数
2
的图象的顶点为A，与x 轴的交点为B,C.当△ABC为等边三角形时，其边长为(
)
A.6 B.22 C.23 D.32
2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的 平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则
BE=( )

32
A.
3
B.
2
C.
2
-1 D.
3
-1
3.设p,q均为大于3的 素数，则使p
2
+5pq+4q
2
为完全平方数的素数对(p,q)的个数为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4

1a

4.若实数a,b满足a-b=2,
2
b

1b


a
2
4
,则a
5
-b
5
=( )
A.46 B.64 C.82 D.128
5.对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得( x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的
整数组(x,y,z)的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1 5 < /p>

6.设
M
111

2

11< br>2050
，则
M
的整数部分是( )
A.60 B.61 C.62 D.63
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.如图，在平行四边形ABCD中，BC= 2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠A
EF=48°，则∠B=_______.

2.若实数x,y满足
x
3
y
3

1 15

xy


42
，则x+y的最大值为______ _.
3.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.
a
5< br>b
5
c
5
abc
4.已知实数a,b,c满足a+b+c =0，a
2
+b
2
+c
2
=1，则=_______.

第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1.满足(x
2
+x-1)
x+2
的整数x的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知x
1
,x
2
,x
3
(x
1
＜x
2
＜x
3
)为关于x的方程x
3
-3x< br>2
+(a+2)x-a=0的三个实数根，则
22
4x
1
x
1
2
x
2
x
3
=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，∠EFB=∠FB C，
则tan∠ABF＝( )

2 5

13
23
A.
2
B.
5
C.
2
D.
2

3
4.方程
39xx
的实数根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.设a,b,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于201
8，则这样的三元数组(a ,b,c)的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.已知实数a,b满足a
3
-3a
2
+5a=1，b3
-3b
2
+5b=5，则a+b=( )
A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.已知p,q,r为素数，且pqr整除pq+qr+rp-1，则p+q+r=_______.
2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则
较小的数为 _______.
3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD =
∠
BCD，
∠
EDC=
∠
ABD，则DE=______ _.

4.已知二次函数y=x
2
+2(m+2n+1)x+(m
2
+4n
2
+50)的图象在x轴的上方，则满足条件
的正整数对(m,n) 的个数为_______.

第二试（A）
一、（本题满分20分）设a,b,c ,d为四个不同的实数，若a,b为方程x
2
-10cx-11d=0
的根，c,d为 方程x
2
-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.



二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA
3 5

上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.
（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；
（2）求CE+2DE的最小值.




m
3
n
3
m
2
n
2
三、（本题满分25分）求所有的正整数m,n，使得


第二试（B）
一、（本题满分20分）若实数a,b,c满足(a+b+c)
mn

2
是非负整数.
111

9
< br>111






ab5 cbc5aca5b

5
，求(a+b+c)

abc
的值.


二、（本题满分25分）如图，点E在四边形ABCD的 边AB上，△ABC和△CDE都
是等腰直角三角形，AB=AC，DE=DC.
DP
（1）证明：ADBC；（2）设AC与DE交于点P，如果∠ACE=30°，求
PE
.


三、（本题满分25分）设x是一个四位数，x的各位数字之和为m，x+1的各位数
4 5

字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数.求x.

5 5