化学反应-怎样做草鱼好吃

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”

2018 年全国初中数学竞赛试题

题 号

得 分

一


～

1

5


二

～

6

10



三

12

13


总 分

11


14



评卷人





复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；


2．解答书写时不要超过装订线；


3．草稿纸不上交 .


一、选择题 <共 5 小题，每小题

7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为

A， B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号
填入题后的括号里 ，不填、多填或错填都得 0 分）
qfRgF4dw27


1．设
a




7

1
，则代数式

3a

12a
32

6a

12
的值为

(


10

>.

12




4 7

4

7


2．对于任意实数 a，b， c，d ，定义有序实数对（ a， b）与（c， d）之间的运算

“△”为： < a，b ）△ < c，d ）＝ < ac

u， v，


都有 <
bd，ad bc ）．如果对于任意实数


u， v

）△ < x，y ）＝ <

u， v

），那么 < x，y ）为 (


>.



qfRgF4dw27


3．若 x

1

，
y






0
，且满足
xy


x
9



y
，

x

y

x

3 y

，则

x

y 的值为 (







>.








11
2






2


4 ．点 D，E 分别在△

ABC 的边 AB， AC上， BE， CD相交于点

F ，设

S
四边形 EADF
S
，
S
1 BDF
S
，
S
2 BCF
S
，
S


3 CEF
S
4

，则
S
1
S
3

与
S
2
S
4

的大小关系为


(>.


S
1
S
3

S
2
S
4

S
1
S
3


S
2
S
4

S
1
S
3

S
2
S
4

5．设S
3

1

1

1

3
1

3
1

3
，则 4S的整数部分等于 (


>.



2


3


99




二、填空题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）

6．若关于
x
的方程
( x

2
2)(x

4x m) 0
有三个根，且这三个根恰好可

m
的取值范围是.


以作为一个三角形的三条边的长，则

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是



1，2，2，3，3，

1， 3， 4， 5， 6， 8.

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率

是.

NW2GT2oy01


8．如图，点 A， B 为直线
y

线交双曲线

y


x
上的两点，过

A，B

两点分别作

y 轴的平行

1
x

<
x＞0
）于 C，D 两点 . 若 BD





2AC ，则
4OC
2

OD
的值



2
为.









NW2GT2oy01

<第 8题）




































9 ． 若

<第 10 题）











y



1 x

x 1
的最大值为



















a，最小值为

b，则
a
2






b
2

的值为




.





10．如图，在


Rt△ ABC 中，斜边

AB

的长为

35，正方形

CDEF

内接于△


ABC，且其边长为 12，则△ ABC 的周长为








.




NW2GT2oy01




三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共

80 分）


11．已知关于







x
的一元二次方程








x
2
cx

a

0
的两个整数根恰好比方程


x
2


ax

b

0
的两个根都大

1，求

a

b

c 的值 .














12．如图，点

H 为△

ABC 的垂心，以

AB 为直径的⊙

O
1

和△

BCH

的外接圆




⊙
O
2

相交于点

D

，延长

AD

交

CH

于点

P

，求证：点

为 CH 的中点 .
P

<第 12 题）

13．如图，点

A 为 y 轴正半轴上一点，

A， B 两点关于
x
轴对称，过点 A 任

作直线交抛物线 y



2

x 于 P ，
Q
两点 .

3

2


<1）求证：∠ ABP =∠
ABQ
；



<2）若点 A 的坐标为 <0， 1），且∠
PBQ
=60o，试求所有满足条件的直线
PQ
的函数解读式

.







14．如图，△ABC 中，

P在△ABC

BAC

内

60

，

，

且



<第 13 题）

AB

2AC．点





PA

3， PB 5， PC

2
，求△

ABC

的面积．





中国教育学会中学数学教学专业



<第 14 题）

委员会



“《数学周报》杯”



2018 年全国初中数学竞赛试题参考答





2
案










一、选择题


1．A


解：由于
a

3a








3
7 1
，

a 1

6a 12 3a 6

7
，

a
2a

2

6 2a ， 所以

）


12a








（

2
）

12 6

2a

（

6a 12




2．B

6a

12a

60


（

）

6 6


2a

12a

60




24.

ux

vy

解：依定义的运算法则，有


u

，

u(x

，

即

1)

vy


，


0

对任何实数

u， v
都成立

.

由于实数
u，

v
的任意性，得


vx

uy

v


v(x

1)

uy

0

< x，y ）=<1， 0）．

3．C


解：由题设可知
y


x
y 1

，于是


x

yx

3 y

x
4 y 1
，



所以

故
y




4y 1 1

，

1

2

，从而
x 4
．于是

x y



9


．







2


4． C

解：如图，连接DE ，设
S
DEF
S
1

S
1

S
2

EF

BF

， 则

S
4
，从而有 S
1
S
3

S
2
S
4
．由于 S
1
S
1

，所以








S
3

S
1
S
3



S
2
S
4

．

<第 4题）

5． A


解：当 k 2，3，

，99 时，由于











1

k
3


1

k k

1


1

1


1


2
，






2 k 1 k k k 1

1



所以


1 S 1


1 1


33
2

3


1

3
99

1 1

1

2

2

99

100







5
.

4










于是有 4

4S

5 ，故 4S 的整数部分等于 4．

二、填空题


6．3＜m≤4

解：易知 x




















2 是方程的一个根，设方程的另外两个根为





，

，则

x
1
x
2



x
1
x
2

4
，
x
1
x
2

m
．显然
x
1

x
2


2

4

2
，所以


x
1

x
2


2，

16 4m
≥0，












即


x
1
x
2


4x
1
x
2



2
，


16


16

4m

≥0，所以


4m

2
，





16

4m
≥0，








解之得

3＜ m≤ 4.

7．

1

9


解： 在 36 对可能出现的结果中，有

4 对： <1，4）， <2，3）， <2， 3），




<4，1）的和为 5，所以朝上的面两数字之和为



















5 的概率是


4

36


1

.
NW2GT2oy01

9


8． 6


解：如图，设点 C 的坐标为（a，b），点 D 的坐标为（c，d）,


则点 A 的坐标为（ a，a），点 B 的坐标为（ c， c）. 由于点 C，D

1






在双曲线 y





上，所以 ab

1， cd

1 ．









x



由于 AC



a

b， BD


c

d ， 又由于 BD


2 AC，于



<第8题）

是




c

d


2 a b ， c
（4

a
2

2

2cd

d
2

2

（4a
2

2ab

b），

6，








2

所以

即
4OC






















b）（ c




2
d ） 8ab

2cd












2

2

9．
3
OD

2


6.


















2


解：由1


x ≥0，且 x










1
≥0，得 ≤
x
≤ 1．




1
2

2

x

2


y
2

由于
1


1

2

2
3
x


<

3

< 1 ，所以当 x =


时，
y

取到最大值 1，故 a = 1 ．

2


4


4


3
2

1 1

2 ( x

2

2


2
3
)

2
4

1
．

16


当
x =


1
或 1 时，
y
取到最小值 ，故
b =

2
．












2
1


















2


2











2






所以， a

2


b
2

3
．

2






10． 84

解：如图，设 BC＝a，AC＝b，则



a
2

b
2

35
＝

1225． ①


2
又 Rt △ AFE ∽ Rt △ ACB ， 所 以

1 2






F E














AF
，即

A C


1 2

b

a

b



















C B



<第 10 题）



，故

12( a b) ab
．



②

由①②得


2 2 2
（ a



b） a

b


2ab 1225 24（ a

b）
，

解得 a＋b＝49<另一个解－ 25 舍去），所以





a

b

c


49

35


84 ．










三、解答题


11． 解：设方程
x
≤

，则方程
x

2


ax

b

0
的两个根为

，

1，

，其中

，

为整数，且

2

cx

a

0
的两根为


1
，由题意得



a，

2

(

2

2

1

2


1

a ，


两式相加得

即




1

0
，


2)

3

，

2

2





2)(

，















所以





1







1









5



；

3

或




3

，









1.






，


，










解得




；

或

1


















3.


又由于
a


（

），b



， c

（[

1）（

1）]，





所以







a 0，b

8，

b ，1


3

，或 29.



1， c 2

，


5

c








； 或 者










a



故 a

b c





12． 证明： 如图，延长 AP 交⊙
O
2
于点
Q
，

连接
AH ，BD，QB，QC ，QH
.





由于 AB 为⊙
O
1
的直径，

所以∠ ADB

∠
BDQ

90°，





故
BQ
为⊙
O
2
的直径.


<第 12 题）


于是
CQ BC，BH

HQ
.

又由于点 H 为△ ABC 的垂心，所以
AH



BC，BH

AC .

所以 AH ∥
CQ
， AC ∥
HQ
，四边形
ACQH
为平行四边形 .



所以点 P为CH 的中点.



13． 解： <1）如图，分别过点

P， Q
作

y

轴的垂线，垂足分别为

C， D
.



设点 A 的坐标为 <0，
t
），则点

B 的坐标为 <0， -

t
） .


设直线
PQ
的函数解读式为
y kx

t
,

并设
P， Q
的坐














标分别为
（ x
P
， y
P
）
,
（ x
Q
， y
Q
）
.

由


y kx t，

y






2
x
2
，

3









得





于是




x
P
x
Q


3
2


2
x
2

kx t

3











0
，





t
，即
t




2
<第 13 题）

x
P
x
Q

.


3

于

B
是
y
P

t

y
Q

t


C

2

2


3

x
P

t

2

2


3

x
Q

t

2

2

3

x
P

2

2

3

x
Q

2
2


x x

3
P Q

3

xx
P Q

2
x


( x


3

P


P


2


x


)



Q



3

x( x
Q

x
P

.

x
Q



Q

x
P
)


又由于




PC
BD


QD


PC

x
P

，所以
.
x
Q

BD

QD

BC
由于∠ BCP

∠
BDQ

90
，所以△

BCP

∽△
BDQ
，

故∠ ABP=∠
ABQ
.



<2）解法一

设 PC

a ，
DQ



b
，不妨设
a
≥

b >0，由

<1）可知

∠ ABP =∠
ABQ

30
，

BC =

3a
，

BD =

3b
，



所以



AC =

3a 2
，

AD =
2

由于 PC ∥
DQ
，所以△ ACP ∽△
ADQ
.

3b
.


于是
PC
DQ
AC
，即
a

AD

b
3a

2
，

2

3b

所以
a b



3ab
．

由<1）中
x
P

x
Q



3

t
，即

ab

2


2b

3.


3
2



，所以
ab





3
2

， a

b



3 3
，

2

于是可求得
a

将
b



3
2


代入
y


2
3

x
，得到点

Q

的坐标

<


，）.


2
31



2


2


再将点
Q
的坐标代入
y


kx 1
，求得
k




3
.










3


所以直线
PQ
的函数解读式为

y


3

3


x


1
.






根据对称性知，所求直线

PQ
的函数解读式为

y






3

3

x

1
，或
y
x 1
.

3

3


解法二 设直线
PQ
的函数解读式为
y

由<1）可知，∠ ABP =∠
ABQ

故

将 y
Q



kx


t
,

其中

t 1.

2DQ
.



30
，所以
BQ



2x
Q

2
3

x
Q
2
2

( y
Q

1)
.

2

x
Q
代入上式，平方并整理得













4x
Q
15x
Q
42

9 0 ，即 (4x
Q
2

3)(x
Q
2


3)

0 .

所以
x
Q


3
2

或
3.






















又由 (1> 得
x
P

x
Q


3
t

2


3


，
x
P

x
Q
k
.

2


3

2

P


若
x
Q


3
2

，
代入上式得
x

3，从而
k


2

( x
P
x
Q
)


3
.

3

3
.

3

1
.

3


同理，若 x
Q


3，可得
x
P


3
2


，

从而
k



2
( x
P

x
Q
)


3


所以，直线
PQ
的函数解读式为


y

3

3

x

1
，或
y







3

3

x



14． 解：如图，作△ ABQ，使得

QAB

PAC， ABQ

ACP，
则△

ABQ∽△

ACP .

由于 AB 2 AC ，所以相似比为

2.


于是




AQ

QAB

2AP

2 3，BQ

PAC

2CP 4

．

BAP

3AP

90
．




<第 14 题）


QAP

BAP

BAC

3
．


60
.

由
AQ:AP

所以
BP
于是


2:1
知，
APQ 90

2

，于是
PQ

25

BQ

2

PQ
，从而

BQP


2



AB
2

PQ
2

( AP

BQ)
2

28 8

7 3
．

2

3
.


故
S
ABC
1
2

AB AC sin 60


3
AB
2
6

8







申明：



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途。