世界上最贵的酒-伯爵红茶

2004年湖南省高中数学竞赛试题

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有
且只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶 函数，若
f(x)g(x)x9x12
，
则
f(x)g(x)
( )
A．
x9x12

2.有四个函数：
① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=
sinxcosx
④
y
其中在
(0,
A．①
3.方程
xx1x

2
2
2
B．
x9x12

2
C．
x9x12
D．
x9x12

22
sinx

cosx

2
)
上为单调增函数的是 ( )
B．②
x
2
1
C．①和③ D．②和④
π=3.141…，x为实数)，
(x
2
1)

x< br>的解集为A(其中π为无理数，
则A中所有元素的平方和等于 ( )
A．0 B．1
2
C．2
2
D．4
4.已知点P(x ,y)满足
(x4cos

)(y4sin

)4(

R)
，则点P(x,y)所在区域的面
积为 ( )
A．36π B．32π C．20π D．16π
5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子
里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( )
A．9 B．12 C．15 D．18
6.已知数列{
a
n
}为 等差数列，且S
5
=28，S
10
=36，则S
15
等于 ( )
A．80
7.已知曲线C：
y
B．40 C．24 D．-48
x
2
2x
与直线
l:xym0
有两 个交点，则m的取值范围是
( )
A．
(21,2)
B．
(2,21)
C．
[0,21)
D．
(0,21)

8.过正方体ABCD—A
1
B
1< br>C
1
D
1
的对角线BD
1
的截面面积为S，S
max
和S
min
分别为S的最大值

和最小值，则
S
max
的值为 ( )
S
min
B．A．
3

2
6

2
C．
23

3
D．
26

3< br>9.设
x0.82
0.5
,ysin1,zlog
3
A ．x2
7
，则x、y、z的大小关系为 ( )
C．z2
D． z10．如果一元二次方程
x2(a3)xb90
中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，
则该二次方程有两个正根的概率P= ( )
A．
1

18
B．
1

9
C．
1

6
D．
13

18
二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）
x
2
y
2
1
上异于长轴端点的任意一点，F
1
、F
2分别是其左、右焦点，O为 11．设P是椭圆
169
中心，则
|PF
1
||PF
2
||OP|
___________.
12． 已知△ABC中，
ABa,ACb
，试用
a
、
b
的向量 运算式子表示△ABC的面积，即
S
△ABC
=____________________.
13．从3名 男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为
则n=_________ _.
14．有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人
胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.
三、解答题
15．对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若
f(f(x))x
，则称x为f(x)
的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
2
34
，
35
A{x|f(x)x
}，
B {x|f[f(x)]x}
.
(1). 求证：A

B

(2).若
f(x)ax1(aR,xR)
，且
AB

，求实数a的取值范围.
16．某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上
衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产
多少套？
组
上衣(件)
裤子(条)
A
8
10
B
9
12

17.设数列
{a
n
}
满足条件：
a
1
1,a
2
2
， 且
a
n2
a
n1
a
n
(n1,2,3, 
)
求证：对于任何正整数n，都有
n
a
n1
1
C
7
11
D
6
7
2
1
n
a
n

18.在 周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为
(1). 建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
7
.
25
(2).过点A作直 线与(1)中的曲线交于M、N两点，求
|BM||BN|
的最小值的集合.
19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，
OP与三侧面所成的角分别为α、β、

.
求证：

2< br>





3arcsin
3

3
2004年湖南省高中数学竞赛试题参考答案
一、选择题： ADCBC CCCBA
二、填空题：
11. 25 12.
1
(|a||b|)
2
(ab)
2
13. 4 14. 1
2
三、解答题：
15.证明(1).若A=φ，则A

B 显然成立；
若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A

B.
解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即
ax1x
的实根.
2
a0

1
由 A≠φ，知 a=0 或

即
a

4

14a0

3422
B中元素是方程
a(ax1)1x
即
ax2axxa10
的实根 < br>22
由A

B，知上方程左边含有一个因式
axx1
，即 方程可化为

(axx1)(axaxa1)0

因此，要A=B，即要方程
axaxa10
①
要么没有实根，要么实根是方程
axx10
②的根.
若①没有实根，则

2
a4a(1a)0
，由此解得
a
22
22
222
2
22
2
3

4
若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有
axaxa
，代入①有 2ax+1=0.
1113
,再代入②得
10,
由此解得
a
.
2a4a2a4
13
故 a的取值范围是
[,]

44
8976
16.解：A、B、C、D四个组每天生产 上衣与裤子的数量比分别是：
,,,
，
1012117
6897
且

①
7101211
由此解得
x
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的
套数最多.
由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)
天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.
则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)
依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即
y9
令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(
9
6x
.
7
6x2
)=123+
x

77
因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即
μ
max
=125.
因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样
做的套数最多，为125套.
17.证明：令
a
0
1
,则有
a
k1
a
k
a
k1
，且
1
n
a
k
a


k1
于是
n

k1
a
k1
k1
a
k1< br>n
a
k
a

k1
(k1,2,)

a
k1
a
k1
由算术-几何平均值不等式，可得

1
n
aa
a
a
a
1
a
2
n
+
n
0

1

n1

a
2
a
3
a
n1
a
2
a
3
a
n1
注意到
a
0
a
1
1
，可知
1
1
n
a
n1

1
n
a
n
a
n 1
，即
n
a
n1
1
1
n
a
n

18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设
|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距
2c=|AB|=6.
因为
|CA|
2
|CB|
2< br>6
2
(|CA||CB|)
2
2|CA||CB|362a< br>2
18
cosC1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|
又
|CA||CB| (
18
2a
2
187
)a
2
，所以
cosC1
2
，由题意得
1
2
,a
2
25
.
2
a
25
a
此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).
x
2
y
2
1(y0)
所以C点的轨迹方程为
2516
(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).当直线MN 的倾斜角不为90时，
0
1k
2
2
3
2
9k2
)xkx(1)0
设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得
(
2516816
150k
2
225k
2
400
,x
1
x
2

显然有 △≥0， 所以
x
1
x
2


22
1625k1625k
而由椭圆第二定义可得
339
| BM||BN|(5x
1
)(5x
2
)253(x
1< br>x
2
)x
1
x
2
5525
144

450k81k144531k144531
531
25252 5
222
16
25
1625k1625k1625k
k< br>2

25
222
k
2

14416144< br>
531
的最小值，即考虑
1
25531
取最小值，显然. 只要考虑
1616
k
2
k
2

2525
k
2


当k=0时，
|BM||BN|
取最小值 16.
当直线MN的倾斜角为90时，x
1
=x
2
=-3,得
|BM||BN|(
0
34
2
)16

5< br>x
2
y
2
1(y0)
，故
k0
，这 样的M、N不存在，即
|BM||BN|
的最小 但
2516
值的集合为空集.
19.证明：由 题意可得
sin

sin

sin

1
，且α、β、

(0,
所以
sin
2
222

2
)


1 sin
2

sin
2

(cos2

cos2

)cos(



)cos(



)

2
1
2
因为
cos(



)cos(



)
， 所以
sin
当




当






cos
2
(


)sin
2
[(



)]

2

2
时，






时，



2
.

2
2
(



)
，同样有







2

故







2

另一方面，不妨设





，则
sin


33
,sin



33
令
sin

1

2
33
, sin

1
1()
2
sin
2

，
33
22
则
sin

1
sin
< br>sin

1
1

sin
2

 cos(



)cos(



)c os(

1


1
)cos(

1


1
)

因为

1

< br>1




，所以
cos(

1


1
)cos(



)

所以
cos(



)cos(

1


1
)

所以





1


1

如果运用调整法，只要α、β、

不全相等，总可通过调整，使

1


1


1
增大.
所以，当α=β=

=
arcsin
33
时，α+β+

取最大值 3
arcsin
.
33

综上可知，



2






 3arcsin
3

3