常和-歌曲五星红旗

漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题
2015年福建省初中数学竞赛
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B，C，
D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，< br>不填、多填或错填都得0分）
2a
3
6a
2
a
31

（ ） 1．已知
a
，则
8．若
1x3
时，二次函数
y 2x
2
3ax4
的最小值为
23
，则
a
。
q)
的个数是 。 9．已知正整数
p
，
q
满足
p3q2016
，则整数对
(p，


x



2x



x
2

，


10．

x

表示不超过< br>x
的最大整数，则满足条件

的
x
的取值范围
5
x
2
为 。
2
2a
2
1
A．
3
B．
3
C．
32
D．
32

2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内 ，每个盒子放2个球。
则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为（ ）
A．
2
15
B．
123
5
C．
5
D．
5

3．已知圆
O
是边长 为
63
的正三角形
ABC
的内切圆，圆
O
1
圆O
外切，且与
△ABC
的
CA
边、
CB
边相切 ，则圆
O
1
的面积为（ ）
A．

B．
2

C．
3

D．
4


4．如图，
P
为等腰三角形
ABC内一点，过
P
分别作三条边
BC
、
CA
、
AB
的垂线，垂足
分别为
D
、
E
、
F
。已知< br>ABAC10
，
BC12
，且
PD∶PE∶PF1∶∶33< br>。则四边形
PDCE
的面积为（ ）
A．10 B．15 C．
4050
3
D．
3

5．记
S(n )
为非负整数
n
的各个数位上的数字之和，如
S(0)0
，
S(1)1
，
S(1995)199524
。则
S(1)S (2)S(3)LS(2015)
（ ）
A．
28097
B．
28098
C．
28077
D．
28087

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已 知直线
y2x3
与抛物线
y2x
2
3x1
交于< br>A(x
1
，y
1
)
、
B(x
2
，y
2
)
两点，则
1
x1

1
x1

。
1

2

7．如图 ，已知正方形
ABCD
的边长为1，点
E
、
F
分别在边BC
、
CD
上，
且
EAF45
。则
△C EF
的周长为 。


1
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．如图，二次函数
ymx< br>2
nxp
的图像过
A
、
B
、
C
三点，其中
C(1，1)
，点
A
、
B
在
x轴上（
A
在点
O
左侧，
B
在点
O
右侧 ），且
sinBAC
25
5
，
sinABC
55
。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求
△ABC
外接圆的半径。












12．已知关 于
x
的方程
x
2
44xn
2
n200< br>有有理数根，求正整数
n
的值。

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△ABC
是等腰直角三角形，
CACB
，点
N
在线段
AB
上（与< br>A
、
B
不重合），点
在射线
BA
上，且
N CM45
。求证：
MN
2
AM
2
BN
2< br>。






































1 4．在0与21之间插入
n
个正整数
a
1
，
a
2< br>，…，
a
n
，使其满足
0a
1
a
2La
n
21
。若1，
2，3，…，21这21个正整数都可以表示 为0，
a
1
，
a
2
，…，
a
n
， 21这
n2
个数中某两个数
的差。求
n
的最小值。



































2
13．如图，
M

漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题
2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每 道小题均给出了代号为A，B，C，
D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代 号填入题后的括号里，
不填、多填或错填都得0分）
1．已知
a
31< br>2a
3
6a
2
2
，则
a
2a
2
1

（ ）
A．
3
B．
3
C．
32
D．
32

【答案】 A
【解答】 由
a
31< br>2
，知
2a31
，
2a13
，
4a
2
4a13
，
2a
2
12a
。
∴
2a
3
6a
2
a
2a
2
1

2a
3
6a
2
a
2a
a
2< br>3a
1
2

12a
2
3a
1< br>2

2a1(31)13
。
2．将编号为1，2 ，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。
则编号为1，2的小球放入同 一个盒子内的概率为（ ）
A．
2
15
B．
1
5
C．
2
5
D．
3
5

【答案】 B
【解答】 将6个小球分成3堆，每堆 2球，共有下列15种不同的分堆方法（堆与堆之
间不考虑顺序）：
(1，2)
，(3，4)
，
(5，6)
；
(1，2)
，
(3，5)< br>，
(4，6)
；
(1，2)
，
(3，6)
，
(4，5)
；
(1，3)
，
(2，4)
，
(5，6)；
(1，3)
，
(2，5)
，
(4，6)
；
( 1，3)
，
(2，6)
，
(4，5)
；
(1，4)
，
(2，3)
，
(5，6)
；
(1，4)
，
(2 ，5)
，
(3，6)
；
(1，4)
，
(2，6)
，
(3，5)
；
(1，5)
，
(2，3)
，
(4， 6)
；
(1，5)
，
(2，4)
，
(3，6)
；< br>(1，5)
，
(2，6)
，
(3，4)
；
(1，6 )
，
(2，3)
，
(4，5)
；
(1，6)
，(2，4)
，
(3，5)
；
(1，6)
，
(2，5)< br>，
(3，4)
。
其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。
∴ 编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为
31
15

5
。

3．已知圆
O
是边长为
63
的正三角形
ABC< br>的内切圆，圆
O
1
圆
O
外切，且与
△ABC
的
CA
边、
CB
边相切，则圆
O
1
的面积为（ ）
A．

B．
2

C．
3

D．
4


【答案】 A
【解答】 如图，设圆
O
切
CB
边于
D
，圆
O
1
切
CB
边于
E
，且圆
O
的半径为< br>R
，圆
O
1
的
半径为
r
。
由
△ABC
是边长为
63
的正三角形，知
OC
2
3

3
2
636
，
ROD
13
3

2
633
，
∵ 圆
O
1圆
O
外切，且与
△ABC
的
CA
边、
CB边相切，
∴
O
、
O
1
、
C
三点 共线，
OCD30
，
OC
1
2O
1
E2 r
。
∴
OCOO
1
OC
1
Rr2 r33r6
，
r1
。
（第3题答题图）
∴ 圆
O
1
的面积为

1
2


。
4．如图，
P
为等腰三角形
ABC
内一点，过
P
分 别作三条边
BC
、
CA
、
AB
的垂线，垂足
分别为
D
、
E
、
F
。已知
ABAC10
，< br>BC12
，且
PD∶P∶EP1∶∶F3
。则四边形
3
P DCE
的面积为（ ）
A．10 B．15 C．
4050
3
D．
3

【答案】 C
【解答】如图，连结
PA
，
PB
，
PC
。
（第4题 图）
易知
S
1
△ABC

2
12848
。又
S
111
△ABC
S
△PBC< br>S
△PCA
S
△PAB

2
BCPD
2
CAPE
2
ABPF

6PD5PE5PF48
，
PD∶PE∶PF1∶∶33
。
∴
PD
4
3
，
PEPF4
。
由
PEPF
，知点
P
在
BAC
的平分线上，
A
、
P
、
D
三点共线。
（第4题答题图）
∴
PC
2
PD
2
DC
2
，
EC
2
PC
2
PE
2
PD
2
DC
2< br>PE
2
(
4
)
2
196
3
6
2
4
2

9
。
3

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∴
EC
14
3
。
∴
S
1
四边形PD CE
S
△PDC
S
△PEC

2
PDDC
1
2
PEEC
1
2

4
3
 6
1
2
4
14
3

40
3
。
5．记
S(n)
为非负整数
n
的各个数位上的数字之和，如S(0)0
，
S(1)1
，
S(1995)199524
。则
S(1)S(2)S(3)LS(2015)
（ ）
A．
28097
B．
28098
C．
28077
D．
28087

【答案】 B
【解答】设
SS(0)S(1)S(2)LS(1999)
。
则
2S(1999)2000
，
S28000
。 又
S(2000)S(2001)S(2002)LS(2009)210(01 2L9)65
，
S(2010)S(2011)S(2012)S(2013 )S(2014)S(2015)34567833
，
∴
S (1)S(2)S(3)LS(2015)28000653328098
。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．已知直线
y2x3
与抛物线
y2x
2
3x1
交于
A(x
1
， y
1
)
、
B(x
2
，y
2
)
两点 ，则
1
x1

1
x

。
1

2
1
【答案】
9
5

【解答】由


y2x3
2x3x1
，得
< br>y
2
2x
2
5x20
。 …………… ①
依题意，
x
5
1
，
x
2
为方程①的两根，
x
1
x
2

2
，
x
1
x
2
1
。
5
∴
1
(x)x(
22
1
1
1)x
1
(x
1
)2
2
x

1
x

9
。
1
 1
2
1x(
1
1x)(
2
1)xx
1

2
x(x
1

2
)
1
1

5
5
2
1
7．如图，已知正方形
ABCD
的边 长为1，点
E
、
F
分别在边
BC
、
CD
上 ，且
EAF45
。则
△CEF
的周长为 。
【答案】 2
【解答】如图，在
CD
的延长线上取点
G
，使得
DGBE
，连结
GA
。
则由
ABCD
为正方形，易得
△ABE≌△ADG
。
∴
BAEDA
，
GAEAG
。
∵
EAF45
，
（第7题 图）
∴
GAFGADDAFBAEDAF

90EAF45EAF
。
于是，在
△EAF
与< br>△GAF
中，
AEAG
，
EAFGAF
，
A FAF
。
∴
△EAF≌△GAF
，
EFGF
。
△CEF
的周长
lECEFFC1BEGFFC1GDGDDFFC2
。
（第7题答题图）
8．若
1x3
时，二次函数
y2x
2
3ax4
的最小值为
23
，则
a
。
【答案】 5
【解答】∵
y2x
2
3ax42(x 
3
a)
2
9
4

8
a
2
4
，
1x3
，
∴ 若
3
4
a1，即
a
4
3
时，则当
x1
时，
y
取最小值
63a
。
由
63a23
知，
a
29
3

4
3
，不符合要求。
若
1
34399
4
a3
，即
3
a4
时，则当
x
4
a
时，
y
取最小值

8
a
2< br>4
。由

8
a
2
423
知，
a
2
24
，得
a26
，均不符合要求。
若
3
4
a3
，即
a4
时，则当
x3
时，y
取最小值
229a
。由
229a23
知，
a 5
，
符合要求。
∴
a5
。
9．已知正整数p
，
q
满足
p3q2016
，则整数对
(p，q)
的个数是 。
【答案】 3
【解答】由
p3q 2016
，知
p20163q
，
p201662016q9q。
由
p
，
q
为正整数知，
2016q1214p< br>为整数。
∴
p14x
2
（其中
x
为正整数） 。同理，
q14y
2
（
y
为正整数）。
于是，
x3y12
（
x
，
y
为正整数）。
∴


x9
，

x6

x3

y1

，

y2

。

y3
∴ 满足条件的整数对
(p，q)(1481，141)< br>，或
(1436，144)
，或
(149，149)
。
4

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∴ 满足条件的整数对
(p，q)
的个数为3。


x


2x



x
10．

x

表示不超过
x
的最大整数，则满足条件


2


，

的
x


x
5
的取值范围
2
为 。
【答 案】
0x
1
2
或
6x
5
2
【解答】（1）当
x0
时，

x

1
，

2x

1
，


x
2

0
。
∴
x0
时，方程

x



2x




x2


无解。
（2）当
0x
1
2
时，

x



2x

0
，


x
2


0
，等式
x



2x




x< br>2


成立。
（3）当
1
2
2
2
x1
时，

x



2x

1
，


x


0
，等式< br>
x



2x




x


不成立。
（4）当
1x
3
2
时，

x



2x

3。
1x
2

9
4
，


x
2


1
或


x
2


2
。
等式

x


< br>2x




x
2


不 成立。
（5）当
3
2
x2
时，

x



2x

4
。
9
4
x< br>2
4
，


x
2


 2
或


x
2


3
。 等式

x



2x




x
2


不成立。
（6）当
2x
5
2
时，

x



2x

6
，由


x
2


6
知，
6x7
。于是，
6x
5
2
。
综合得，满足条件的
x
的取值范围为
0x
15
2
或< br>6x
2
。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
1 1．如图，二次函数
ymx
2
nxp
的图像过
A
、< br>B
、
C
三点，其中
C(1，1)
，点
A
、
B
在
x
轴上（
A
在点
O
左侧，
B
在点
O
右侧），且
sinBAC
25
5
，< br>sinABC
5
5
。
（1）求二次函数的解析式；
（2）求
△ABC
外接圆的半径。

【解答】（1）作
CEx
轴于
E
，则
CE1
。

由
sinBAC
25
5
，
sinABC
55
5
知，
CA
2
，
CB5
。
∴
EA
1
2
，
EB2
。
∴点< br>A
坐标为
(
3
2
，0)
，点
B
坐 标为
(1，0)
。 ……… 5分
设所求二次函数的解析式为
ym( x
3
2
)(x1)
。
将点
C(1，1)
的坐标代入二次函数解析式，得
1m(1
3
2
)(11)
。
∴
m1
，二次函数得解析式为
y(x
3
2
)(x1)
，即
yx
2

13
2
x
2
。 ……… 10分
（2）由（1）知，
AB
5
，< br>AB
2
CA
2
CB
2
2
。
∴
CACB
。 ………………………………… 15分
∴
△ABC
外接圆的半径
R
1
2
AB2
。 ………………………………… 20分
12．已知关于
x
的方程
x
2
44xn
2
n200
有有理数根，求正整数
n
的值。
【解答】∵ 关于
x
的方程
x
2
44xn
2
n200
有有理数根，且
n
为正整数，
∴ < br>△44
2
4(n
2
n20)4n
2
4 n2016
为完全平方数 …………… 5分
设
4n
2
4n2016k
2
（
k
为正整数），
则
(2n 1)
2
2015k
2
，
k
2
(2n1)< br>2
201551331
。
∴
(k2n1)(k2n1)201551331
。 …………… 10分
∵
k2n1
为正整数，
k2n1
为整数，且
k2n1k2n1
，
∴


k 2n12015

k2n1403

k2n1155
k2n165

k2n11
，或

< br>k2n15
，或


k2n113
，或


k2n131
。
……………………… 15分
解得，


k1008
n503
，或

k204

k84

k48
99
，或

n

，或

n35

。

n8
∴ 正整数
n
的值为503或99或35或8。 ………………… 20分
注：
n503
时，方程化为
x
2
44x2535320
，即
(x482)(x526)0
。
5

漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷——2015年全国竞赛试题
n99
时，方程化为
x
2
44x99200
，即
(x80)(x 124)0
。
n35
时，方程化为
x
2
44x1 2800
，即
(x20)(x64)0
。
∴
MAM D
，
CDMCAM135
，
MDNCDMNDC90 
。
22
DN
∴
MN
2
DM
2
AM
2
BN
。 …………………… 20分
14．在0与21之间插入
n
个正整数
a1
，
a
2
，…，
a
n
，使其满足
0 a
1
a
2
La
n
21
。
n8< br>时，方程化为
x
2
44x920
，即
(x2)(x 46)0
。

13．如图，
△ABC
是等腰直角三角形，
CACB
，点
N
在线段
AB
上（与
A
、
B
不重合），
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，
a
1
，
a
2
，…，
a
n
，21这
n2个数中某
两个数的差。求
n
的最小值。
点
M
在射线< br>BA
上，且
NCM45
。求证：
MN
2
AM
2
BN
2
。

【答案】如图，作点
A
关于直线
MC
的对称点
D
，连结
DA
、
DM
、
DC
，
DN
，则
△MDC≌△MAC
。
∵
△ABC
是等腰直角三角形，
CACB
，且
NCM45，

∴
DCNDCMMCAACNDCM45
，
BCNBC ANCA90(45MCA)45MCA45DCM
。
∴
DCNBC
。
N
……………………………… 5分
又
CDCACB
，
CNCN
。
∴
△DCN≌△BC
。
N
…………………… 10分
∴
NDNB
，
CDNCBN45
。
又由
△MDC≌△MAC
，知
CDMCAM180CAB18045135
。
∴
MDNMDCND1C35459
。
0


…………………… 15分
∴
MDDN
。
又
MDMA
，
∴
MN
2
DM
2
DN
2
A
2
M
。
B
2
N< br> …………………… 20分
另解：如图，
△CBN< br>沿
CN
翻折得
△CDN
，则
△DCN≌△BCN
。
∴
CDCBC
，
ADNBN
，
CDNCB N45
，
DCNBCN
。 …… 5分
∵
NCM45
，
∴
DCMDCNMCNB4C5N90AC4

5N
45ACNACM
。 ………………… 10分
又
CDCA
，
CMCM
。
∴
△DCM≌△AC
。
M
…………………… 15分

6
【解答】 ∵
n2
个数至 多可以表示
(n1)n(n1)L21
(n1)(n2)
2个不同的
且为正数的差。
∴ 依题意有，
(n1)(n2)
2< br>21
，即
(n5)(n8)0
。
∴
n5
。 …………… 5分
下面证明
n5
不符合要求。
若
n5
符合要求，则由
n5
时，
(n1)(n2)
2
21
知，由0，
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，21
这7个数两两之差（大数减去 小数）所得的下列21个数：
a
1
，
a
2
，
a3
，
a
4
，
a
5
，21，
a
2
a
1
，
a
3
a
1
，
a4
a
1
，
a
5
a
1
，
2 1a
1
，
a
3
a
2
，
a
4< br>a
2
，
a
5
a
2
，
21a< br>2
，
a
4
a
3
，
a
5
 a
3
，
21a
3
，
a
5
a
4
，
21a
4
，
21a
5
互不相同。于是它们是 1，2，3，…，21的一个排列。……… 10分
记这21个数的和为
S
，则 < br>S(a
1
5a
1
)(2a
2
4a
2
)(3a
3
3a
3
)(4a
4
2a
4
)(5a
5
a
5
)621

4a
1
2a
2
2a
4
4a
5
621
。可见
S
为偶数。
另一方面，
S123L21
2122
2
231
为奇数，与
S
为偶数矛盾。
∴
n5
不符合要求。 …………………… 15分
n6
符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。（不唯一）
可以验证：用 0，2，5，8，12，19，20，21这8个数中某两个数的差可以表示1，2，3，…，
21中任 意一个数。
（
12120
，
22119
，
38 5
，
4128
，
550
，
682
，
71912
，
82012
，
92112
，10122
，
11198
，
12208
，
13218
，
14195
，
15205
，
16 215
，
17192
，
18202
，
191 90
，
20200
，
21210
。）
可见
n
的最小值为6。 …………………… 20分