金叶子-盐酸氨基葡萄糖胶囊

2018竞赛高一初试试题
一、选择题（每题5分，共60分）
1．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．若
a,b,cR,ab,
则下列不等式成立的是( )
A．
C．
11


ab
ab


22
c1c1
B．
a
2
b
2

D．
acbc

3.下列函数为偶函数，且在
(,0)
上单调递减的函数是( )
A．
f(x)x
B．
f(x)x
3

1
x
C．
f(x)()

2
2
3
D．
f(x)lnx

4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中
正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
B．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
5. 等比数列

a
n

的前项和为
S
n
，且
4a
1
,2a
2
,a
3
依次成 等差数列，且
a
1
1
,
则
S
10
=( )
A．512 B. 511 C．1024 D．1023
2sin
2
－1
π
6．已知f(x)＝2tanx－
xx
，则f(
12
)的值为( )
sin
2
cos
2
83
A.
3
B. 8 C．4 D. 43
2
x

y≥x，
7．设变量x，y满足约束条件

x＋3y≤4，
则z＝x－3y的最大值为(

x≥－2，
A．10 B．
8
C．6 D．4
8．已知
x0,y0
，且
)
21
1
，若
x2ym
2
2m
恒成立，则实数m
的取
xy
试卷第1页，总8页

值范围是（ ）
A．
m4或m2
B.
m2或m4

C．
4m2
D.
2m4

9. 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1 ，BD＝2，BD⊥CD.将四
边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥ 平面BCD，
则下列结论正确的是
( )


A．A′C⊥BD
C．CA′与平面A′BD所成的角为30°
B．∠BA′C＝90°
1
D．四面体A′－BCD的体积为
3

10. 已知定义在R上 的奇函数
f(x)
满足当
x0
时，
f(x)log
2< br>(x2)xb,

则
f(x)3
的解集为（ ）
A．
(,2)
∪
(2,)
B .
(,4)
∪
(4,)

C．
(2,2)

11. 若直线
x
D.
(4,4)

5

9

和
x
是函数
ysin(wx

)(w0)
图象的两条相邻对
44
称轴，则

的一个可能取值为（ ）
A．
3

B. C． D.
4
432

log
1
( x1),x

0,1

,

12. 已知定义在R上的 奇函数
f(x)
满足当
x0
时，
f(x)

2



1x3,x

1,

,
则关于
x
的函数
F(x)f(x)a(0a1)
的所有零点 之和为（ ）
A．
2
a
1

C．
12
a





试卷第2页，总8页
B．
2
a
1

D．
12
a

二、填空题（每题5分,共20分）




13. 已知
a(k,3),b(1,4 ),c(2,1),
且
(2a3b)c,
则实数
k
____ _____。
14. 过点
P(2,1)
且与原点的距离为2的直线方程为_____________。
15. 已知数列

a
n

满足
a
11,a
2
3,
且
2na
n
(n1)a
n1
(n1)a
n1
(n2,nN

),

则
a
n
的最大值为_________。
n
k
x
对所有实数
2017
16. 已知函数
f( x)
的定义域为R,若存在常数
k
，使得
f(x)
，给出下列函数 ：
x
均成立，则称函数
f(x)
为“期望函数”
xx
f( x)
(4)
x
2
x1e
x
1
其中为期望函数的是: ______________(写出所有正确的序号) 。

三、解答题（共六道大题，共70分）
（1）
f(x)x
2
(2)
f(x)xe
x
(3)
f(x)
17．（10 分）在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
。且满足
csinCbsinB(ab)sinA,

(1) 求角
C
的大小； (2) 若
c5
，求
ABC
的面积的最大值。

18. （12分）设直线
l
的方程为
(a1)xy2a0.(aR)
。
（1）若直线
l
在两坐标轴上的截距相等，求直线
l
的方程； O
为坐标原点，（2）若
a1
，直线
l
与
x
轴、
y
轴分别交于
M,N
两点，求
OMN

面积取最小值时，直线
l
对应的方程。

19．（12分）设向量
m(sin2wx,cos2wx),

n(cos

,sin

),
其中





2< br>,w0,

函数
f(x)mn
的图象在
y
轴右 侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为

5

P(,1)
，在原点右侧与
x
轴的第一个交点为
Q(,0)
．
612
(1)求函数
f(x)
的表达式；
3
(2)在ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
.若
f(C)1,CACB,
且
2
ab23,
求边长
c
．

试卷第3页，总8页

20. （12分）正项数列< br>
a
n

的前项和为
S
n
，
an
4S
n
2a
n
1(nN

)

2
(1) 求数列

a
n

的通项公式；
4(1)
n1
a
n1
(2) 若
b
n

，数列

b
n

的前项和为
T
n，求证：
T
2n1
1T
2n
(nN

).

(a
n
1)(a
n1
1)

21.（12分）已知函数
f(x)
=1

（1）求实数
a
的值；
（2）对x∈（0，1]，不等式
sf(x)2
x
1
恒成立，求实数s的取值范围；
（3）令
g(x)
2
，若关于
x
的方程
g(2x)mg(x)0
有唯一实数解，
1f(x)
a
（
a
为常数）为R上的奇函数．
x
21
求实数m的取值范围．

22.（12分）如图 ，⊙O的半径
OB
垂直于直径
AC
，
M
为
AO上一点，
BM
的延
长线交 ⊙O于
N
，过点
N
的切线交
CA
的延长线于
P
．
PMPC

（1）求证：
PAPN
（2）若⊙O的半径为
3
，
OA
=
3
OM
，求
MN
的长．



2018竞赛高一初试试题答案
1.D 2．C 3.A 4.B 5. D 6．B 7. D 8. C 9.B 10. A 11.B 12.D
3
13. 3 14.
x2或3x4y100
15. 16.（3）（4）
2
17．解：（1）由正弦定理得：
cba
b(ab)
2R2R2R
c
2
b
2
a
2
ab
c
abcab
1

cosC ,C
23
222
……………………………..4分
试卷第4页，总8页

(2)c
2
a
2
b
2
2ab cos

3

25a
2
b
2
ab
……………………………..6分
a
2
b
2
25ab2ab

ab25

S
1253
………………………..10分
absinC(
当
ab时取得最大值）
24
18.(1)当直线
l
经过坐标原点时，有
a20.a2.

此时直线
l
的方程为
xy0.
…………………………………………2分
当直线
l
不经过坐标原点时，即
a2
且
a1
时
由直线在两坐标轴上的截距相等可得
2a
2a,
解得
a0
。
a1
此时
l
的方程为
xy20.
…………………………………………5分
所以直线
l
的方程为
xy0.
或
xy20.
…………………………………………6分
（2） 由直线
l
的方程可得
M(
因为
a1,
所以
S< br>OMN
2a
,0),N(0,2a),

a1
212a1


a1

1


 (2a)
2a12a1

1

11

1

2

2(a1)2

2
……… …………………………10分 =



a1


2

a1

2a1


当且仅当
a1
1
,
即
a0
时等号成立。 ………………………………………11分
a1
此时直线
l
的方程为
xy20.
………………………………………12分
19．解: (1) 因为向量
m(sin2wx,cos2wx),

n(cos

,sin

),

所以
f(x)mnsin2wxcos

cos2wxsin

sin (2wx

)

由题意
T5

,T

,w1
， ………………………………………………..2分
4126




将点
P(,1)
代入
ysin(2x

)
，得
sin(2

)1

66



所以

2k

,(kZ)
，又因为

,
，∴


……………………………4分
626

即函数的表达式为
f(x)sin(2x),(xR)
．………………………………………5分
6
试卷第5页，总8页

（2）由
f(C)1,
，即
sin(2C
又∵0＜C＜π，∴
C

6
)1,

2

… ……………………………………………………………7分
3
33
由
CACB,
，知
abcosC

22
所以ab=3 ………………………………………………………………………………9分
由余弦定理知 c=3 ………………………………………………………………………………12分

a4s2a1(nN)

nnn
20. 解：（1）2
n2时，a
n1
4s
n1
2a
n11(nN

)

2

aa2.
n1 ,
a
nn1
两式相减，得又令得
1
4s
1
2 a
1
1(nN)

2
得
a
1
1
，所以
a
n
2n1
… ………………………………………5分
4(1)
n1
a
n1
（2）由
b
n


(a
n
1)(a
n 1
1)
4(1)
n1
(2n1)(1)
n1
( 2n1)11
b
n
(1)
n1
()
………… ……………7
2n(2n2)n(n1)nn1
分
T
2n1
b
1
b
2
b
3
............... ....b
2n1

1111111
(1)()()........()

223342n12n
1
11
… ……………………………………………………………9分
2n
T
2n
b< br>1
b
2
b
3
................... b
2n1
b
2n

111111111
(1)( )()........()()

223342n12n2n2n1
1
11
……………………………………………………………11分
2n1
所以
T
2n1
1T
2n
(nN

).
…………………………………………12分

21.解：（1）由题意知
f(0)0
所以a=2．
22
x
1
,
此时
f(x)1
x
212
x
1
试卷第6页，总8页

2
x
112
x
f(x),
而
f(x)
x
2112
x
所以f（x）为奇函数，故a=2 为所求．………………………………………2分
2
x
1
,
（2 ）由（1）知，
f(x)
x
21
因为x∈（0，1]，所以2
x
﹣1＞0，2
x
+1＞0，
故
sf(x)2
x
1
恒成立等价于s≥2
x
+1恒成立，
因为2
x
+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范围是[3，+∞）． ……………………………………………………………6分
（3） 由题意
g(x)
2
，化简得g（x）=2
x
+1，
1 f(x)
方程g（2x）﹣mg（x）=0，即
2
2x
m2
x< br>1m0
有唯一实数解
令t=2
x
， 则t＞0，
即等价为t
2
﹣mt+1﹣m=0，（t＞0）有一个正根一个负根或两 个相等正根或者一
零根一正根 ……………………………………………………8分

0

设h（t）= t
2
﹣mt+1﹣m，则满足h（0）<0或

m
或
h(0 )0

0


2
由h（0）<0，得1﹣m<0，即m>1

0

由

m
，得
m222
…………………………………………………11分
0


2
当< br>h(0)0
即m=1时，h（t）=t
2
﹣t，此时有一正根，一零根，满足 题意
综上所述，m的取值范围为m≥1或
m222
…………………………………12分

22.（1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，

则∠OBN=∠ONB，
试卷第7页，总8页

∵∠PMN=∠OMB=90°﹣∠OBN，∠PNM=90°﹣∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN．
由条件，根据切割线定理，有
PN
2
PAPC

PMPC

2
所以
PMPAPC
所以
PAPN
；………………………………………6分
（2）解：
OA3OM3

22
∴OM=1，在Rt△BOM中，BM=
OBOM2

延长BO交⊙于点D，连结DN，
可得∠BND=∠BOM，∠OBM=∠NBD，
则△BOM～△BND，
32
BOBM


BNBD则
BN
23
于是
∴BN=3，∴MN=BN﹣BM=1．…………… …………………………………………………………12分
注：第二问方法不唯一。

试卷第8页，总8页