苏格拉底简介-温柔歌词

历届国际数学竞赛试题


历届国际数学竞赛试题




求证(21n 4)(14n 3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.

√2；(b)A=1；(c)A=2。
3. a



试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两
直角边的几何平
均值。
5.
、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这
两个外接圆又交

于M、N，
(a.)

当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.





找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N11
等于N的各位数
字的平方和。
2.
√(1
2x))2
3.


已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作
三角形ABC。
5.

求XY中点的轨迹；
b.
一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底
面落在圆锥的底
面上。令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。
(a). 求证：V1
不等于 V2 ；
(b). 求V1V2
的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.




设a、b是常数，解方程组
x y z =
a; x2 y2 z2 =
b2; xy=z2
并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条
件？
2.

解方程 cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。
4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC
于E，PC交AB于F，求
证APPD, BPPE, CPPF 中至少有一个不大于2，也至少有
一个不小于2。
5



三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、
B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA',
BB', CC'
的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C' 变化时，
O的轨迹是什
么？

nn
第4届IMO
1.

试找出满足下列不等式的所有实数 x：
√(3-x)- √(x 1) > 12.
3.



解方程cosx
cos2x cos3x = 1。
5.

一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，
求证这两个圆的
圆心的距离是√(R(R-2r))。
7.

222
第5届IMO
1.

给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC
上有一点X满足 角

APX
在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是
a1 >= a2 >= ... >= an，
求证：所有边长都相等。
4.

求证
cos pi7 - cos 2pi7 cos
3pi7 = 12.
6.








求证不存在正整数 n 使得 2n
2.
a2(b c - a)
b2(c a - b) c2(a b - c)
能被 7 整除。 1

3.


十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信
上一共讨论有三个
不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中
至少有三个人他们所
讨论的话题是一样的。
5.

四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作 DD0 的
平行线，这些线分别交
平面BCD、CAD、ABD于点 A0、 B0、 C0，求证：ABCD
的体积是A0B0C0D0的三分之
一；再问如果 D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否
仍然成立？



试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足
2 cos x
如下方程组的系数 aij ，

a11x1 a12 x2 a13 x3 =
0
a21x1 a22x2
a23x3 = 0
a31x1 a32x2
a33x3 = 0
满足：
a. a11、 a22、 a33 是正数，其余是负数；
b.

四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部
分，并且该平面到
AB
四个实数它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于
2，求出这四个
数的所有可能值。
5.


平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，
这些线断长度中的
最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断

至多有n条。

第8届IMO
1.

的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知
在所有恰好答对一
题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对
B？
2.


求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空
间中任意其他点
到各顶点距离之和。
4.
1sin 2x 1sin
4x ... 1sin 2nx = cot x - cot 2nx.
5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）
|ai - a1| x1 |ai - a2|
x2 |ai - a3| x3 |ai - a4| x4 = 1。
6.

、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四
分之一。

第9届IMO
1.


≤ cos A √3 sin A.
2.
3. k, m, n 是自然数 且 m k 1 是一个大于 n 1
数，令cs = s(s 1)，
求证
(cm 1 - ck)(cm 2 - ck) ... (cm n - ck)
可被乘积 c1c2 ... cn整除。
4.

），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。
5. a1, ... , a8 是不全为0的实数，令 cn = a1n a2n
a8n ( n = 1,
2,
3, ... )
。
...
的素

6.





三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的
两倍。
2.
3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, ... , xn 是满足下述方
程组的未知数：
axi2 bxi c = xi
1, 对于 i=1,2,...,n-1；
axn2 bxn c = x1；
若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：
a.
若 M=0，则方程组恰有一解；
c.
求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边
可构成一个三角
形的三边。
5.

对任何自然数 n，试计算下式的值
[(n 1)2] [(n
2)4] [(n 4)8] ... [(n 2k)2k
1] ...
其中[x]表示不超过 x 的最大整数。

第11届IMO
1.
令 f(x) =
cos(a1 x) 12 cos(a2 x) 14
cos(a3 x) ... 12n-1 cos(an x),
其中 ai 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) =
0，求证 x1 - x2 是 π 的整数倍。
3. 对每一个k = 1, 2, 3 4, 5，试找出 a>0 应满足的充要
条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k
个边的长度均为 1。
4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，
D是C向AB作垂线的垂足。K1 是三角形ABC的内切圆，
圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及

半圆相切。求证：圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公
切线。
5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线。求证至少有
(n-3)(n-4)2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。
6. 给定实数x1, x2, y1, y2,
z1, z2, 满足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2
> z22，求证：
8 1 1 ≤
(x1 x2)(y1 y2)
- (z1 z2)2 x2y2 - z22 x1y1 - z12
并给出等号成立的充分必要条件。

第12届IMO
1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分
别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB
外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上
相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的
圆心。求证： r1r2q = rq1q2。
2. 已知0 ≤ xi 0, xn-1 > 0。如果 a>b，xnxn-1...x0
是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则
xn-1xn-2...x0 表示了 A'在a进制下的表示、B'在b进制下的
表示。求证：A'B

3.
∑(1 - ak-1ak)√ak
其中求和是k从1到n。
a.
设c满足0≤c c成立。
4. 试找出所有的正整数 n 使得集合 n, n 1, n 2, n 3, n 4, n
5 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。
5.


平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三
角形中至多70% 是锐角三角形。

第13届IMO
1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ...
(a1 - an) (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an)
... (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证
En >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2
不成立。
2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, ... , A9，若将顶点 A1
平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1, P2, ... ,
P9 之中至少有两个具有一共同内点。

3.
四面体ABCD的所有面都是 锐角三角形，在线段AB上取一
内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点
T 。求证：
a.

如果 ∠DAB ∠BCD ＝ ∠CDA ∠ABC，则有无穷多最短
路径XYZTX，它们
的长度是 2AC sin(k2)，其中 k=∠BAC ∠CAD ∠DAB。
5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满
足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A
的距离为单位长。
6. 设 A = (j),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素 aij 都
是非负整数。若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素
之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和
大于或等于n22。

第14届IMO
1.
设 n>4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆
内接四边形。
3. m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。

(2m)!(2n)!
m!n!(m n)!

4.






，
又已知 f 不恒等于0且 |f(x)|
6.



1. OP1, OP2, ... , OP2n 1 是平面上的单位向量，其中点 P1,
P2, ... , P2n 1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证
|OP1 ... OP2n
1| >= 1.
2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对
M中的任何 两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，

而直线AB、CD是不相同的并且是互 相平行的。
3.


一个士兵需要在一个等边三角形的区域内 探测有没有地雷，
他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个
定点出发，试问如 果要完成任务且使行程最短他应该走什么
样的路径？
5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f(x) = ax b，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；
-1?
对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf)
= xf成立。
求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成
立。
6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0
a. ai
b. q
c. b1 b2
... bn

第16届IMO
1. 三个玩 家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，
并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机 的把
卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的
筹码。当游戏进行时，玩家手上 的筹码自然是越来越多。假
设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩
家有筹码 20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。
又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数 目的
筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹
码？
2.

试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n 1,2k 1)23k，
上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数
r!(s!(r-s)!)。
4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将 其分割成
p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数
目一样，并且每个长方形中 小方格的数量也都不一样多。求
出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可
能的 分法（即求出那些长方形的大小）。

5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a(a b d) b(a b
c) c(b c d) d(a c d)
设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或
-1的不同整根的个数，则有
n

2
第17届IMO
1. 已知x1 >= x2 >=
... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，
求证
若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有
∑(xi-yi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。
2. 令a1 =1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai saj的
形式，其中r，s是正实数且j > i。
3. 任意三角形ABC的边上 ，向外作三角形ABR,BCP，
CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都< br>是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角
并且QR=RP。
4.

判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间
的距离为有理数。
6.
rII. 对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tP(x, y)
成立； 对所有实数x、y、z有
P(y z, x)
P(z x, y) P(x y, z) = 0;
III.

P(1, 0) = 1。
n
第18届IMO
1.
令P1(x) = x2 - 2, Pi 1 =
P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x)
= x 的所有根都是互不相同的实数。
3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体
积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，
则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱 子的可能尺寸（长、
宽、高）。
4.

其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数
解（x1,
x2, ... , xm）使得|xi|
6.
u0= 2, u1 = 52, un 1 = un(un-12 - 2) -
u1，n = 1, 2, ...
求证
[un] = 2(2n - (-1)n)3,
其中[x]表示不大于x的最大整数。

第19届IMO
1. 在正 方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、
DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四 个中点以及线段
AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成
一个正十二 边形的定点。
2.
3. n>2是一给定整数，Vn 是所有1 kn形式的整数构成
的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不
存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。
求证：Vn
中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分

解数的乘积。（乘 积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同
一种分解。）
4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin
x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果
f(x)>=0对所有实数x都成立，求证
a b
5. a,b是正整数，设a2 b2除以a b得到商为q，余数
是r。试求出所有的正整数对（a,b）使得q2 r = 1977。
6. f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证
如果f(n 1) > f(f(n))对所有正整数n都成立，则f(n) = n对
每个n都成立。

2222
第20届IMO

1. m、n都是正整数且n>m。如果1978m 和1978n的十
进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m n达
到最小的m与n。
2. P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体
与P点对角相向的顶点为Q，试 求出Q点的轨迹。
3. 两不交集合f(1), f(2), f(3),

... 和g(1), g(2), g(3), ... 的并集是全部的正整数，其中f(1)
4. 等腰三角形ABC，AB = AC。在三角形AB C的外接圆的
内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相
切于P、Q两点。求 证：线段PQ的中点恰为三角形ABC内
切圆的圆心。
5.


某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号
分别是1,2,...,1978 。求证至少有某一会员的编号，恰为与他
同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。

第21届
IMO

1. m,n
mn = 1 - 12 13 -
14 ... - 11318 11319.
求证：m可被1979整除。
2. 一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、
B1B2B3B4B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边

都被染上红色或蓝色。又已知每个边都 被着色的三角形（其
顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：上、下
底的十条边都被 染上了同一种颜色。
3. 平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。现有两质点
同时从A 出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆
时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同 时回
到了A点。求证：在这个平面上一定存在某个固定的点P使
得在任意时刻P点都与这两动点 的距离相等。
4. 给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，
试找出平面k上的所有的点R使得(QP PR)QR 为最大
值。
5. 试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1, x2, x3, x4, x5
满足下列关系式：
x1 2x2 3x3 4x4 5x5 = a；
x1 2x2
3x3 4x4 5x5 = a
。
6. 令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A
点开始跳动，除了 E点外，从八边形中的其他每一个顶点都
可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。当它跳到E点时就停止运动。设 an 为恰好经过 n步跳动以后到达E点的所有
可能线路的个数，求证：

a2n-1 = 0
a2n = (2 √2)n-1√2 - (2 - √2)n-1√2。

5555333332
第22届IMO

1. P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边
BC、CA、AB所引垂线的垂足。试找出 BCPD
CAPE ABPF 式达到最小值的所有P点。
2.
设m、n是属于1, 2, ... , 1981的整数并且满足(n - mn - m) = 1。
试计算m2 n2的最大值。
4.
为何值时，存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其
中的最大元
是其它 n-1个元素最小公倍数的因子？
b. n
三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三 角形的内部，
并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证：这个三角
形的内心、外心、O点 三点共线。
6. 函数f(x,y)，对于任何非负整数x,y都满足f(0,y) = y 1,
f(x 1,0) =

f(x,1), f(x 1,y 1) = f(x,f(x 1,y))。试计算f(4, 1981)的值。

第23届IMO

1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0,
f(3) > 0, f(9999) = 3333，并对所有m,n有f(m n) - f(m) - f(n)
= 0 或 1。试求出f(1982)。
2. A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1, a2, a3 ，其中ai
是角
Ai的对边， 设 Mi 是边 ai 的中点，Ti是三角形的内切圆
在边 ai上的切点，记Si为点 Ti 关于内角Ai的角平分线的
对称点，求证线M1S1, M2S2 和M3S3共点。
3. 考虑无限正实数序列 xn 满足x0 = 1 及 x0 >= x1
>= x2 >= ... ， a. 求证对每个这样的序列都有存在一
个n >= 1使得
x02x1 x12x2
... xn-12xn >= 3.999.
b.

4. n使正整数，求证如果方程 x3 - 3xy2 y3 = n有关于整
数x, y的一个解，则其至少有三个解；当n=2891时再证明这
个方程无整数解。

5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、
N并且 AMAC = CNCE = r，如果B、M、N共线，试求r
的值。
6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系
列线段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且A0 与 An不重
合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在 一个点与
P之间的距离不大于12。求证：L中存在两点X、Y，X与
Y的距离不大于1，并且 L上位于X和Y之间的部分不少于
198。

第24届IMO

1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f，使其
满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有x, y成立，并且当 x 趋向于无穷
大时 f(x) 趋向于0.
2. 圆C1、C2 的圆心分别是O1 、O2，它们相交于两个不
同的点，设A是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切
C1、 C2 分别于点 P1、P2，另外一条公切线分别切C1、 C2
于点 Q1、Q2，再设M1、M2分别是P1Q1和P2Q2的中点，
求证：角O1AO2
= 角 M1AM2。
3. a , b, c是整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的

公约数。求证 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc
yca zab的最大整数，其中x,
y, z是非负整数。
4. 等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即< br>边AB,BC,CA），任意将E分拆成两个不相交的子集合（它
们的并集是E），试证明这两个 集合中的至少一个包含有三点
构成一直角三角形。
5.
设a,b,c是一个三角形的三边长，求证
a2b(a - b) b2c(b -
c) c2a(c - a) >= 0.
并判断何时等号成立。

第25届IMO

1.
试找出所有的正整数对（a,b）满足 ab(a b)不能被 7 整除, 但
(a b)7 - a7 - b7 可被77整除。
3. 给定平面上的点O、A。平面上的每个点都被染色成有限
种颜色中的一个。设X是平面 上一给定点，以O为圆心的圆
C(X)的半径是
OX (∠ AOX)OX，其中角∠

AOX是用弧度衡量（即范围是[0, 2л)），求证能够找到不在
OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上。
4.
设 d 是平面上一凸 n 边形（n>3）的所有对角线的长度
之和，p 是它的周长。求证:
n - 3
其中[x]表示不超过x的最大整数。
6. 0
a = 1.

第26届IMO

1.
设 k
3. P(x) = a0
a1x ... akx 是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数
为o(P)。对于i = 0, 1, 2, ... ，记 Qi(x) = (1
x)i。求证如果i1, i2, ... , in都是整数并满足0

o(Qi1 Qi2
... Qin) >= o(Qi1).
4.

圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和 C，并与
AB,BC分别交于不同的两点K、N，三角形ABC的外接圆
和三角形KBN的外接 圆相交于两个不同的点B、M，求证角
OMB是直角。
6.






1. d是不为2,5,13的正整数，试证明可以在集合2, 5, 13, d
中找出不同的两数a,b满足ab-1不是一个完全平方数。
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一给定点P0，当
s>=4时定义 As =
As-3 ，现使用以下的方法构造一系列点P1, P2, P3, ...： Pk 1
是 Pk 绕 Ak 1 顺时针旋转120度得到的点（k = 0, 1, 2,...）。
如果 P1986 = P0，求证A1A2A3是等边三角形。
3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使这5个整数之 和
是正的。对于任何三个连续的顶点设它们所赋予的数分别是
x,y,z，如果y
4. O是正n(n >= 5)边形的中心 ，设 A, B 是一对相邻的

< br>顶点。设开始的时候三角形XYZ与三角形OAB重合，现用
如下的方式移动三角形XYZ：保持 Y、Z始终在多边形的边
界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的
边界时X点 所形成的轨迹。
5.
给定平面上的一个有限点集，每个点的坐标都是整数，问有
没有一种将这些点涂成红色或白色的染色方法使得在任何
一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一个 ）的直线 L上
的红点和白点的个数之差不大于1？

第28届IMO

1. 设 pn(k) 是集合1, 2, 3, ... , n 上具有 k 个固定点的排
列的个数，求证 k从 0 到 n 对(k pn(k) )的求和是 n!。
[
锐交三角形ABC 的内角A的角平分线交BC于 L，交ABC
的外接圆于 N，从 L 点向 AB,AC做垂线，垂足分别是 K、
M，求证四边形 AKNM的面积与三角形ABC的面积相等。
3. x1, x2, ... , xn 是实数并且满足x12 x22 ... xn2 =
1，求证对每个正整数k >= 2存在不全为0的整数a1,
a2, ... , an，使得对每个 i有|ai|
|a1x1 a2x2

... anxn|
4.
是大于或等于3的整数，求证存在一个由平面上n个点构成
的集合满足任何两点的距离都是无理 数并且任何三点构成
一个面积为有理数的非退化的三角形。
6. n



考虑平面上同一圆心的两个半径分别为R > r的圆。P点
是小圆上一个固定的点，B使大圆上的动点，BP交大圆于C，
过P点作BP的垂线交小圆于A点（如果 相切则A=P），
a.
试确定BC中点的轨迹。
2. n


每个Ai 都恰有2n个元素； 任何两个不同的
Ai恰有一个公共元素；
B
都恰好包含n个标0的元素。 试问对于什么样的n值有办
法将B中的元素都标上0或1使得每个

3.
。
试确定小于或等于1988并满足 f(n) = n 的正整数 n 的个
数。
4.
1(x - 1) 2(x -
2) 3(x - 3) ... 70(x - 70) >=
54.
三角形△ABC, 角∠A是直角，D是BC边上的高的垂足。
三角形△ABD、三角形△ACD 的内心的连线分别交边AB,
AC于K,L。求证：三角形ABC的面积是三角形AKL的面
积的至少两倍。
6. a,b



试证明集合1,2,...,1989可以分拆成1 17个子集合
A1,A2,...,A117 （即这些子集合互不相交且并集为整个集
合）， 满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和
都相等。
2. 锐角△ABC，内 角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于
A_1，类似定义B1,C1点。设AA1与∠ B,∠C的外交平分

线交于A0点，类似定义B0,C0点。 求证：△A0B0C0的
面积是六边形AC1BA1CB1的 两倍也是△ABC面积的至少
4倍。
3.

凸四边形ABCD的边AB,AD,BC满足AB=AD BC，四边形
内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h AD，BP=h
BC，
求证：1√h
5.
设x1,x2,...,xm 是1,2,...,2n的一个排列，其中n是一个正整
数。如果|xi-xi 1|=n对至少 1,2,...,2n-1中的一个i成立就说这
个排列x1,x2,...,xm具有性质P。 试证明对于任意的n，具有
性质P的排列都比不具有的多。

第31届IMO试题
1.

设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。
现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这
两个黑点之间的弧上（两段弧中的某 一个）包含恰好E中的
n个点，就成这样的染色方法是“好的”。

试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的
最小的k值。
3.
试构造一个从正有理数集到正有理数集的函数f使
f(xf(y))=f(x)y 对任何x,y都成立。
5. a.

设A已选择n2k
1，则B选择n2k 2满足
n2k 1n2k 2=pr
对某个p及r>=1成立。
若A选到了数1990就获胜；若B选到了1就获胜。分别求
除满足下述条件之一的n0：
(1) A
有必胜策略；
(3) A,B
求证存在一个凸1990边形使得所有角都相等并且边长是
12,22,...,1990（顺
序不定）。

第32届IMO试题
1.

·BI·CI
8 ≤ 4 AA'·BB'·CC' 27

2. 设n>6是一个整数，a1,a2,...,ak 都是小于n的正整数并
且与n互素。 如果a2-a1=a3-a2=...
=ak- ak-1>,
求证，n是质数或者是2的幂次方。
3.
设G是一个有 k条边的连通图，试证明可是对这些边编号
1,2,...,k使得对于每个属于两条或两条以上的边的 顶点，
从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。

注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为
边）组成。 每对顶点之间最多有1 条边。如果对图中的任
何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,..., vm=y使得
vi,vi 1(0
5. X
任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列
x0,x1,x2,... 使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。

注：一个无限实数序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一个常
数C使得|xi|

第33届IMO试题
1.
找出所有定义在实数上并且取值也是实数的函数f使得对所
有x,y都有 f(x2 f(y))=y f(x)2。
3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染
上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只
要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段 一定包含一个同
色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。
4. L是圆Γ的一条切线 ，M是L上的一点，试找出所有这样
的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。
5.


注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线
的垂足。]
6.
求证对每个n>=4有S(n)
2? b.
试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n-14。

第34届IMO试题
1.

设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB
90o，AC·BD=AD·BC，
a.
求证△ACD,△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直。
o

3.
整齐的摆放着n个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游
戏的每一步都是在水
平或者竖直方向上跨越一个棋子而
跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。
试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结
束。
4.

问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2,
f(f(n))=f(n) n对所有n，并且
f(n
6. 有n>1盏灯L0,L1，...,Ln-1绕成一圈，为方便Ln k也

表示Lk。 一盏灯只有开或关两个状态，初始时刻它们全是
开着的，依次 执行步骤s0,s1,...,：在步骤si， 如果Li-1点燃，
就关掉Li，否则什么都不做。试证明：
a.
若n=2，则可使M(n)=n-1；
k 12o c.


和n都是正整数，a1,a2,...,am是1,2,...,n中不同的数，只要有
ai aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai aj=ak，
求证(a1 ... am)m≥(n 1)2。
2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是
线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任
意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。
求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。
3.

试求出所有的正整数对(m,n)使得(n 1)(mn-1)是整数。 3
5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数
f满足对所有x,y,f(x f(y) xf(y))=y f(x) yf(x),并且对于-1
6. 试证明存在满足下列性质的正整数集 合A：对任何由素数
构成的无限集S，都有k≥2以及两个正整数m,n，m ∈A, n

不∈A，m和n都是S中k个不同元素的乘积。

第36届IMO试题
1. A,B,C,D是一条直线上顺序排列的四个不同点，分别以AC,BD为直径的两个圆相交于X,Y，直线XY交BC于Z， 设
P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的
圆相交于C,M；
直线BP与以BD为直径的圆相交于B,N。求证：AM,DN,XY
三线共点。
2. a,b,c


试确定所有整数n>3，使得在平面上存在n个点
A1,A2， ...,An（无三点共线）及n个实数r1,r2,...,rn满足 △
AiAjAk的面积是ri rj rk， 其中是对每个三元组1≤i
4. 正实数序列x0,x1,...,x1995满足条件 x0=x1995且对于
i=1,2,...,1995有xi-1 2xi-1=2xi 1xi.
试求出所有满足上述条件的数列中x0的最大值。
5. 设ABCDEF是凸六边形，满足AB=BC=CD, DE=EF=FA，
∠BCD=∠EFA=60o。 设G,H是这六边形内部两点使得∠
AGB=∠DHE=120o，
求证 AG GB GH DH HE≥CF。

6. p


是一个长宽分别 是AB=20,BC=12的长方形板。将此长方形
板分割为20×12个格子状的单位小方格，r为一 给定的正整
数，一个铜币在此板上每移动一次的规则为：铜币可从一个
小方格内移动到另一个小 方格内的充分必要条件是这两个
小方格的中点间的距离为√r。现目标是把一个在含顶点A
的小 方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格
内。
a.
当r=73时，此目标可以达成；
o c.
为△ABC内一点且∠APB-∠ ACB=∠APC-∠ABC，设D,E
分别是∠APB,∠APC的内心，
求证：AP,BD,CE三线共点。
3. S=0,1,2,3,...为所有非负整数所成 的集合，试找出所有由S
对应到S本身的函数f且对m,n∈S 有f(m
f(n))=f(f(m)) f(n)。
4.
是凸六边形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。
令RA,RC,RE分别 表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圆的半

径，并以p表示该六边形的周长。 求证：RA RC RE≥p2。
6. n,p,q


在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的
顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种 颜色（像棋盘一
样）。对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其
顶点具有整数坐标， 两腰长分别为m和n，且其两腰都在这
些正方格的边上。 设S1为这个三角形区域中所有黑色部分
的总面积，S2则为所有白色部分的总面积。
令f(m,n)=|S1-S2|，
a.
求证f(m,n)≤max(m,n)2对所有m,n都成立；
o c.
设∠ A是△ABC中最小的內角。B和C将此三角形的外接圆
分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B ,C的一点。
线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。
直线BV, CW相交于T，
求证：AU＝TB＋TC。
3. x1,x2,...,xn是正实数满足|x1 x2 ...xn|=1 且对所有i有|xi|≤
(n 1)2。 试证明存在x1,x2,...,xn的一个 排列y1,y2,...,yn满

足
|y1 2y2 ... nyn|≤(n
1)2。
4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素
取自集合S=1,2,...,2n-1且对于每一个i=1,2，...,n，它的第i
列与 第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求
证：
a.
有无限多个n，存在n阶银矩阵。 o
5.



凸四边形ABCD，对交线AC,BD互相垂直，对边AB,DC不
平行，AB和DC的垂直平 分线相交于
P

在一次竞赛中有a个参赛者和b个裁判，b≥3是一个奇数。
每个裁判可以给参赛者判“合格”或者
“不合格”，假设任何两个裁判对至多k个参赛者的判决相
同，

对任何正整数n，用d(n)表示n的正因数（包括1,n）的个数。
试求出所有正整数k使存在n满足 d(n2)=kd(n).
4.
设I是三角形 ABC的内心，三角形 ABC的内切圆在边
BC,CA,AB上的切点分别是K,L,M。
通过B点平行于MK的直线交LM,LK分别于R,S。
求证：三角形 RIS是锐交三角形。
6.



试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；
对任何两个S中不同的点A,B，
AB
设n ≥
2是一个给定的整数，是找出最小的常量C使得对于所有非
负实数x1,
... , xn如下不等式成立：
∑i

并判断何时等号成立。
3. 给定一个 n×n的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两

个不同的小方格有一个公共边就说他们是 相邻的，但同一个
方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当
它们被标记之后， 棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的
方格相邻。
4.
圆Γ有两个内切圆Γ1 ,Γ2，切点分别是M,N，Γ1经过Γ2
的圆心。 Γ1,Γ2的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线
MA,MB分别交Γ1分别于E,F。 求证：EF于Γ2相切。
6. 其中R表示实数集。