飞递-二十四节气的由来

2018
高二数学竞赛试题及答案

一、选择题（本题满分
60
分，每题
5
分）

1< br>．复数
z

1i

2

2i

的虚部为
(

)
A.
2i
B.
2
C.
4i
D.
4

2
．已知集合
A
＝
{(x
，< br>y)|x
＋
a
2
y
＋
6
＝
0}，集合
B
＝
{(x
，
y)|(a
－
2)x＋
3ay
＋
2a
＝
0}
，若
A
∩B
＝
Ø
，则
a
的值是
(

)
A. 3
或
-1 B. 0 C.
－
1 D. 0
或－
1
3．

a2b3c

的展开式中
abc
2
的 系数为（

）

A. 208 B. 216 C. 217 D. 218
4.
某公司在
2013-2017
年的收入与支出情况如下表所示：

收入
x
（亿元）

支出
y
（亿元）


4
2.2
0.2

2.6
1.5
4.0
2.0
5.3
2.5
5.9
3.8



根据表中数据可得回归直线方程为
y0.8xa
，依此估计如果
2018
年该公司收入为
7
亿元时的支出为
(

)
A. 4.5
亿元
B. 4.4
亿元
C. 4.3
亿元
D. 4.2
亿元

5.
在如图所示的正方形中随机投掷
1000 0
个点，则落入阴影部分（曲线
C
的方程为
x
2
y0< br>
）的点的个数的估
计值为
( )

A. 5000 B. 6667 C. 7500
6.
函数
ycos
2
x3sinxcosx
在区间


D. 7854



,

上的值域是（

）


64

A.



1

,1

B.
2


13


,

C.
22


3

0,




2

D.

0,


31



2
7
．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下： 小方：“我得第一名”；小
明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名 ”
.
已知他们四人中只有一人说真话，且只
有一人得第一
.
根据以上 信息可以判断出得第一名的人是（

）

1

A.
小明
B.
小马
C.
小红
D.
小方

8.
一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等 的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为



A.
9

B.
9

C. 4

D.


4< br>9
．我国南宋时期的数学家秦九韶
(
约
1202-1261)
在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图

所示的框图给出了利用秦九 韶算法求多项式的一个实例．若输入的
n5
，则程序框图计算的是（

）
v1
，
x2
，
开始
输入
n,v,x
in1
ii1
vvx1

i0?
否
输出 v
结束
是
A
．
2
5
2
4
2< br>3
2
2
21
B
．2
5
2
4
2
3
2
2
25< br>
D
．
2
4
2
3
2
2
21
C
．
2
6
2
5
2
4
2
3< br>2
2
21

10．
设
O
点在
ABC
内部，且有
OA2OB3OC0
，则
ABC
的面积 与
AOC
的面积的比为
（ ）

A.
2
B.
3
C.
35
D.
23
11
．已知抛物线
C
：

y
2
2px(p0)
和动直线
l
：

ykxb
（
k
，

b
是参变量，且
k0
，

b0
）相交于
A

x
1
,y
1

，

B

x
2
,y
2

两点，

OB
的斜率分别为
k
OA
，

k
OB，直角坐标系原点为
O
，记直线
OA
，若
k
O
k
A

OB
恒成立，则当
k
变化时直线
l
恒经过的定点为（

）

3
2


3p

A.
3p,0
B.
23p,0
C.



3
,0


D.



23



3
p,0




3

1
x,x1

f(x)
12.
已知函数（
lnx
是以
e
为底的自然对数，
e=2.71828...
），若存在实数
m, n(m，满足
2

2


lnx,x1< br>f(m)=f(n)
，则
n-m
的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、填空题

（本题满分
20
分，每题
5
分）

< br>x2y2

13.
已知实数
x,y
满足约束条件

2xy4
，则目标函数
z3xy
的取值范围为
.

4xy1

14.
如图，矩形
ABCD
中，
AB=2AD
，
E
为边
AB
的中点，将
V
ADE
沿直线
DE
翻折成
V
A
1
DE
，若
M
为线段
A
1
C
的
中点，则在
V
ADE
翻折过程中，下列命题正确的是

．（写出所有正确的命题的编号）

①线段
BM
的长是定值；②存在某个位置，使
DE

A
1
C
；③点
M
的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使
MB
P
平面
A
1
DE
．


x
2
y
2
15.
已知双曲线
2

2
1

（
a0

，

b0

）

的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2

，过
F
2

的直线交双曲线右支于
P

，
ab
Q

两点，且
PQPF
1

，若
PQ
5
PF
1

，则双曲线的离心率为
__________ .
12
16
． 九个连续正整数自小到大排成一个数列
a
1
,a
2
,...,a9
，若
a
1
a
3
a
5
a
7
a
9
是一个平方数，
a
2
a
4
 a
6
a
8
是一个立方数，则
a
1
a
2
a
3
...a
9
的最小值是
.
三、解答题（本题满分70分）
17．（本小题满分10分）△
ABC
中，
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
tan C
（1）求
A,C
；
（2）若
S
ABC
33
,求
a,c
.

18
．（本小题满分
12
分）已知数列

an

满足
a
1
1
，
a
n1
2a
n
1(nN)
.
sinAsinB
,
sin(BA)cosC
.
cosAcosB
3

（
1
）求数列< br>
a
n

的通项公式；

a
n
a< br>1
a
2
n
...
.
（
2
）证明：
a
2
a
3
a
n1
2
19
．（本小题满分
12
分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶 贫政策》义务宣传志
愿者，从年龄在
20,45
的
500
名志愿者中 随机抽取
100
名，其年龄频率分布直方图如图所示．



（
1
）求图中
x
的值；

（
2
） 在抽出的
100
名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取
10
名参加中心广 场的宣传活动，再从这
10
名志愿
者中选取
3
名担任主要负责人．记 这
3
名志愿者中“年龄低于
35
岁”的人数为
X
，求
X
的分布列及数学期望．

20.
（本小题满分
12
分 ）如图，在△
ABC
中，∠
C=90
°，∠
ABC
的平分线 交
AC
于点
E
，过点
E
作
BE
的垂线交< br>AB
于点
F
，⊙
O
是△
BEF
的外接圆，⊙
O
交
BC
于点
D
．

（
1
）求证：
AC
是⊙
O
的切线；
（
2
）过点
E
作
EH
⊥
AB
，垂足为
H
，求证：
CD=HF
；

（
3
）在（< br>2
）条件下，若
CD=1
，
EH=3
，求
BF
及
AF
长．


21
．（本小题满分
12
分）已知椭圆
C
：
（
1
）求椭圆
C
的方程；
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的离心率为 ，并且过点
P
（
2
，﹣
1
）

（
2
）设点
Q
在椭圆
C
上，且
PQ
与
x轴平行，过
p
点作两条直线分别交椭圆
C
于两点
A
（< br>x
1
，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），若
直线
PQ
平分∠
APB，求证：直线
AB
的斜率是定值，并求出这个定值．

4