曹建方-圆白菜炒饼

2017年全国初中数学竞赛试题
考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150
答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答
2、解答书写时不要超过装订线
3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号 为A、B、
C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后
的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、设
x
53
，则代数式x(x1)(x2)(x3)
的值为（ C ）
2
A．0 B．1 C．－1 D．2
2、对于任意实数
a,b,c,d
，定义有 序实数对
(a,b)
与
(c,d)
之间的运算“△”为：
(a,b) (c,d)(acbd,adbc)
。如果对于任意实数
u,v
，都有
(u,v)(x,y)(u,v)
，那么
(x,y)
为（ B ）。
A．
(0,1)
B．
(1,0)
C．
(1,0)
D．
(0,1)

53
3、已知
A,B
是两个锐角，且满足
sin
2
Acos
2
Bt
，
cos
2
Asin
2
Bt
2
，则
44
实数
t
所有可能值的和为（ C ）
8511
A．

B．

C．1 D．
333
4、如图，点
D,E
分别在△ABC的边AB，AC上，BE， CD相交于点F，设
则
S
1
S
3
与
S
2< br>S
4
的大小关系为（ C ）
S
四边形EADF
＝S
1
，
S
BDF
＝S
2
，
S
BCF< br>＝S
3
，
S
CEF
＝S
4
，
A
A．
S
1
S
3
＜
S
2
S
4

B．
S
1
S
3
＝
S
2
S
4

C．
S
1
S
3
＞
S2
S
4

D．不能确定
B
1111
5、设
S＝
3
＋
3
＋
3
＋＋
，则4S的整数部分 等于（ A ）
3
1232011
C
D
F
E
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数
a,b
（其中
b2011
），斜边长是
b1
的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2， 2，3，3，4；另
一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时 掷这

两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。
8、如图，双曲线
y
2
(x0)
与矩形OABC的边
x
y
E B
F
1
9
CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF， 连接EF，则
3
△OEF的面积为＿＿＿＿＿；
2
C
9、⊙O
的三个不同的内接正三角形将⊙
O
分成的
区域的个数为＿＿＿＿＿。2 8
＿＿＿。5
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于< br>x
的一元二次方程
x
2
cxa0
的两个整数根恰好比方 程
x
2
axb0
的两个根都大1，求
abc
的值 。
O
A
x
10、设四位数
abcd
满足
a
3
b
3
c
3
d
3
110cd
，则这样的四位数的个数为
解：设方程
x
2
axb0
的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α
≤
β
则方程
x
2
cxa0
的两个整数根为α＋1、β＋1，
由根与系数关系得：α＋β＝
－a，(
α＋1)(β＋1)＝a
两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即
(
α＋2)(β＋2)＝3
< br>
21


23


1

5
∴

或

解得：

或



23

21

1

3

又∵
a
＝
－(
α＋β)，b＝αβ，c＝
－[(
α＋1)＋(β＋1)]
∴
a
＝0，b＝
－1，c
＝
－2
或
a
＝8，b＝< br>15，c
＝6
故
abc
＝
－3
或
abc
＝29
12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙
O
1
和△BCH的外接圆⊙
O
2
相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。
证明：如图，延长AP交⊙
O
2
于点Q
连结AH，BD，QC，QH
∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝90
0
∴BQ为⊙
O
2
的直径
于是CQ⊥BC，BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC
∴AH
∥
CQ，AC
∥
HQ，四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。


2
A
O
1

H
D
P
C
B
O
2

Q

13、若从1，2 ，3，…，
n
中任取5个两两互素的不同的整数
a
1
，
a< br>2
，
a
3
，
a
4
，
a
5< br>，其中总有一个整数是素数，求
n
的最大值。
解：若n
≥
49，取整数1，2
2
，3
2
，5
2
，7
2
，这五个整数是五个两两互素的不同的整
数，但没有一个整数是素数，∴n
≤
48， 在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两
互素的不同的整数
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
，
若
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
都不是素数，则
a1
，
a
2
，
a
3
，
a
4，
a
5
中至少有四个数是
合数，不妨假设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
为合数，
设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
的最小的素因数分别为p
1
，p
2
，p
3
，p
4

由于
a
1
，
a
2< br>，
a
3
，
a
4
两两互素，∴p
1
， p
2
，p
3
，p
4
两两不同
设p是p
1
，p
2
，p
3
，p
4
中的最大数，则p
≥
7
因为
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
为合数，所以
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
中一定存在一个
a< br>j
≥
p
2
≥
7
2
＝49，与n
≥< br>49矛盾，于是
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
中一定有一个是素数
综上所述，正整数n的最大值为48。



14、如图，△AB C中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝
3
，
PB＝5 ，PC＝2，求△ABC的面积。
解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ
∽
△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2
于是，AQ＝2 AP＝2
3
，BQ＝2CP＝4
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°
由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝90
0
于是，PQ＝
3
AP＝3
∴BP
2
＝25＝BQ
2
＋PQ
2
从而∠BQP＝90
0

作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝120
0
，知
∠AQM＝60
0
，QM＝
3
，AM＝3，于是，
2 2 2 22
M
A
Q
P
B
∴AB＝BM＋AM ＝(4＋
3
)＋3＝28＋8
3

C
故S
△ABC
＝AB•ACsin60
0
＝



1
2
3673
AB
2
＝
82
3

4