回家过年作文-名词性从句专项练习

高等数学竞赛试题
一、计算题
1．求

x
9
x1
5
dx

1x
5
1x
5
11
55
解 原积分=

dx

dx

55
55
x1x1
=
3
2< br>5
2
5
(x1)
2
x1c

155
1
x
1
2x
2．求
lim
(1x)(12x )
x0
sinx

解 由洛比塔法则，
11

x(1x)ln(1x)12x(12x)ln(12x)

2x
原极限 =
lim

(1x)
x
(12x)

22
x0
x(1x)2x(12x)

而
lim
x0
x(1x)ln(1x)112x(12x)ln(12x)
lim 1

x0
2x
2
(1x)2x
2
(12x)
原极限=
e
2

3．求
p
的值，使

b
a
(xp)
2007
e
(xp)
dx0

2
解：当取
p
满足
ap(bp)
即
p
b a
时
2
2007x
2
积分

b
a
(xp)
2007(xp)
2
edx

b p
ap
xedx

ba
2
ba

2
2
x
2007
e
x
dx0

24．设
x(,)
，
f''(x)0
，且
0f( x)1e
x
，求
f(x)
的表达式
解：由条件
f'(x)
单调增。且
f(0)0

易知
f'(x)0
，若不然，不妨设
x
0

f'(x
0
)0
则当
xx
0
时
f(x)f(x
0
)

f'(x)dx

f'(x< br>0
)dx(xx
0
)f'(x
0
)

x
0
x
0
xx
矛盾
f'(x)0
同理可让
f'(x)0f'(x)0f(x)f(0)0

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5．计算
22
2
xy4
，，其中S 为圆柱面（0

z

1）
(xy)dS

s
解：
Q
S圆柱面关于
y
对称，且
y
是奇函数


原积分=
22
xdsy

ds
ss
1
22
(xy)ds24

8



2
s
二、设
u
n
1
12112112
L

234563n23n13n
111
v
n
L

n1n23n
u
10
（2）
limu
n

n
v
10
n
求（1）
n
1121113
)

()
解：< br>U
n


(
3k13k3k13k3k
k1< br>3k2
k1
3k2
n
1111111
)

LV
n



(3k23k13kkn1n23n
k1k1
n
2n2n
U< br>10
111



（1）
10
1
（2）
U
n


k
V
n
k1
nk
k1
1n
limU
n


1
dxln3

0
1x
x
三、有一张边长为
4

的正方形纸（如图 ），
C
、
D
分
别为
AA'
、
BB'
的中点，
E
为
DB'
的中点，现将纸卷
成圆柱形，使
A< br>与
A'
重合，
B
与
B'
重合，并将圆柱
垂 直放在xoy平面上，且B与原点
O
重合，D落在
Y
轴
2
A
C
A'

正向上，此时，求：
E
（1）通过
C
，
E
两点的直线绕
Z
轴旋转所得的旋转曲
B
B'

D
面方程；
（2）此旋转曲面、xoy平面和过
A
点垂直于
Z
轴的平面所围成的立体体积。
解：圆柱面为
S:(x,y,z)|x(y2)4,0z4


D点坐标为（0，4，0），E点坐标可取为（2，2，0）
（1）C点坐标为（0，4，4

） 过C，E两点的直线方程为


放转曲面方程
xy8
22

22

x2 y2z


224

1
2

2
z
2

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（2）旋转曲面在xoz的投影曲线方程为
x8
2
1
2

2
z
2

< br>V


(8
0
4

1
2

2
z
2
)dz32

3

16

3
x
2
yz
四、求函数
f(x,y,z )
2
在
D(x,y,z)|1x
2
y
2
 z
2
4
的最大
22
xyz

值、最小值。
解：
f(x,y,z)
在D的最大、最小值即为
g(x,y,z)xyz
在

D'(x,y,z)|x
2
y
2< br>z
2
1
的最大、最小值
2

y
2< br>z
2
x
2
1
1
，而
g(1,0,0 )1
，即最大值为1
xyzx
222
22
y2
z
2
3x
2
11
22
,)
1
即最小值为
xyzx
，而
g(0,
2
22
2222
22

1

2
五、 求
lim
n

(n1k)


nC
k1< br>n
1
k
n



解：
C
n

k
n(n1)L(nk1)
k1k1
(n1k )(C
n
)(nC
n1
)

k
<
n
时
k!


< br>(n1k)[nC
k1
n
k1
n
]
n


C
2
k1
n1
1
k< br>n1
1
n1
2
12



n


n
n

n

k1

原极限=0

六、（满分15分）证明：
cos2xx
21x
4
，
x(0,
2

)

4
证明：
cos2xx
2
1x4f(x)cos2x(x
2
1x
p
)1

Qf(0)1

< br>只须证
f'(x)2sin2x(x1x)cos2x(2x
24
2x
3
1x
4
)0

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同理
f'(x)0g(x)2sin2x1x
4
2xc os2x0
Qg(0)0

且
g'(x)2cos2x(1x 1)2sin2x
4
2x
3
1x
4
22xsin2x 0


当
x(0,

2

)
时，
g(x)0
，即
f'(x)0
，
f(x)1
得 证
4
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