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浙江省高中数学竞赛试题及答案
一、
选择题（本大题共有10小题，每题只有 一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不
选、错选均不得分，每题5分，共50 分）

1.集合
P{xxR,x11
}，
Q{xxR, xa1},
且
PQ
,则实数
a
取值范围为（....）
A.
a3
B.
a1
. C.
a1
或
a3
D.
1a3

2.若

,

R,
则



90
是
sin

sin

1
的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

3.已知等比数列{
a
n
}：a
1
3,
且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....）
A.
3
9
81
B.
3
7
81
...C.
3
9
.D.
33

4. 已知复数
zxyi(x,yR,i
为虚数单位） ，且
z8i
，则
z
（ ）
A.
z22i
B.
z22i
.
C.
z22i,
或
z22i
D.
z22i,
或
z22i

5. 已知直线
AB< br>与抛物线
y4x
交于
A,B
两点，
M
为
A B
的中点，
C
为抛物线上一个动点，若
C
0
满足
。
C
0
AC
0
Bmin{CACB}
，则下列一定成立 的是（ ）
A.
C
0
MAB
B.
C
0
Ml,
其中
l
是抛物线过
C
0
的切线
1
C.
C
0
AC
0
B
D.
C
0
MAB

2
6. 某程序框图如下，当E

0.96时，则输出的K=（ ）
A. 20 B. 22 ...C.
24
.D. 25
开 始
2
2
K=1，S=0
S=S+1（K(K+1)）
S>=E？
是
否
K=K+1
输出K
,
7. 若三位数
abc
被7整除，且
a,b,c
成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4 B. 6 ...C. 7 .D 8
8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.
33

B.


339393
. ..
C.

.D.

224

9. 设函数
f(x) x(x1)(x2)(x3)
，则函数
yf(x)
的极大值点为（
2
）
1
A.
x0

B.

x1
.
C.

x2


.D.

x3

1
10. 已知
f(x),g(x),h(x)
为一次函数，若对实数
x
满足


3
2
2
234
3
正视图：上下两 个


1,x1

f(x)g(x)h(x)
3x2,1x0
，则
h(x)
的表达式为（ ）。

2x2,x0

11
A.
h(x)x

B.
h(x)x
.
22
11
C.
h(x)x

D.
h(x)x

22
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
1
，则
xy
________________。
3
2
12. 已知
f(x)x(k1)x2
，若当
x0
时
f(x)
恒大于零，则
k
的取值范围为_________ ____ 。
11. 若
tanxtany2,sinxsiny
13. 数列
{
n
n},n1,2,
3
，则数列中最大项的值为_______ _______。
2222
14. 若
x,yR
，满足
2x2 xy2y(xx)x5
，则
x
_______,
y
________。
15. 设直线
l
与曲线
yx x1
有三个不同的交点
A,B,C
,且
ABBC5
,则直线
l
的方程为_________。
11

2
)}
______________________。
2
ab
17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限
x,y
轴上的整点），其运动规律为
(m,n)(m1,n1)
或
(m ,n)(m1,n1)
。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有
16 . 若
a0,b0,
则
min{max(a,b,
__________ ________种不同的运动轨迹。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
2
18. 已知抛物线
y4x
，过
x
轴上一点
K
的直线与抛物线交于点
P,Q,

两点。证明，存在唯一一点
K，使得
1
PK
2

1
KQ
2
为常数， 并确定
K
点的坐标。

2
22
19. 设二次函数
f(x)ax(2b1)xa2(a,bR,a0)
在[3,4]上至少有一个零点， 求
ab
的最小值。

1x

20. 设
x N
满足


x

数列
b
1
,b
2
,
2014
22012
1
的等差数列；首项
a
1
(x1)x

.
数列
a
1
,a2
,,a
2013
是公差为
x
2013
，
20 13
1x
,b
2013
是公比为
,
首项
b
1
(x1)x
2013
的等比数列，求证：
b
1
a
1
b
2
a
2012
b
2013
。
x


555322322322
2013

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21. 设
a,b, cR,abbcca3,
证明
abca(bc)b(ca)c(ab )9
。

22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一 个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆
圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法 为“完美填法”。
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。



A1 A2
10

6


A4

A3


5





A5



A7

7



A6

A8

1 9


（图 1 ）

浙江省高中数学竞赛答案

一、选择题（本大题共有 10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不
选、错选均不得分 ，每题5分，共50分）
1. 答案 C
P{x0x2},Q{xa1x a1},
要使
PQ
，则
a12
或
a10< br>。
解得
a1
或
a3
。
2. 答案 D 若

0,

90sin

sin

1
。当



60sin

sin
31
，但



90
。
3. 答案 B 计算得
q3,a
3

3
7
81
。
4. 答案 D
5. 答案 B
2
7
CACB(CMAM)( CMBM)CMCM(AMBM)AMBM

CMAMmin{CACB}CM
6. 答案 C
S
22
min
2
CMl
。
11
 
1223

11
10.96k24.

k(k1)k1
7. 答案 D 设三位数为
(bd)b(bd)111 b99d(0b9,9d9,d0),
由
7(111b99d)7(b d)b1,d1;b2,d2;b3,d3;
b4,d3,4;

b5,d2;b6,d1;b8,d1
。所以，所有的三位数为
210 ,420,630,147,840,357,567,987

8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。
9. 答案 B 由图象可知
x1
为函 数极大值点，
x3
是极小值点，
x0,2
不是极值点。
10. 答案 C
h(x)
2x2(1)1
x
。
22
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
111

cosxcosycos(xy )
，所以
xy
2k


。
3
362
22
2
12. 解答 由
x(k1)x2 0k1x,x22
等号在
x2
取得，即
k221
。
xx
11. 解答：由
tanxtany2,sinxsiny
13. 解答
f(x)x e
1
x
1
lnx
x
f

(x)
x
(1lnx)xe
为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为
3
3
。
2
x
1
x
14. 解答 把等式看成关于
x
的一元二次方程
2
4(y1)
2
20(2y
2
2y1)0(3y2)
2
0y,x3< br>。
3
15. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为
ykx1,A(x,y)
，

ykx1


3
(k2)(k
2
k2)0 k2
。所求直线方程为
y2x1
。 则

yxx1< br>
22


x(y1)5
11112
16. 解答
max{a,b,
2

2
}mam,bm,
2

2
mm
2

m
3
2
，
ababm

所以
min{max(a,b,
21
17. 解答
C
6
C
6
9
.
11

2
)}
3
2
。
2
ab
三、
解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 解答 设
K
（
a,0
），过
K
点直线方程 为
yk(xa)
，交抛物线于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
联立方程组

y
2
4x
2(ak
2
2)
222222
…5分
kx2(ak2)xak0x
1
x
2
,xxa

12
2
k

yk(xa)
2
………………… …………………7分
PK
2
(x
1
a)
2
y
1
2
,KQ
2
(x
2
a)
2y
2
a
1k
2
11
2
，…………………… ………………………………12分

22
22
a(1k)
P KKQ
令
a2

111
,K(2,0)
。…………… ……………………………17分
22
4
PKKQ
2
19. 解法1 由已知得，设
t
为二次函数在[3,4]上的零点，则有
at(2b1)ta 20
，变形
(2t)
2
[a(t
2
1)2bt ]
2
(a
2
b
2
)((t
2
1)< br>2
t
2
)(a
2
b
2
)(1t2
)
2
，……5分
t2
2
11
22
于是
ab(
，……………………………12分
)
2
5< br>1t
(t24)
2
100
t2
523
22
因为
t2
时取等号，故
ab
的最小值为
,t[3, 4]
是减函数，上述式子在
t3,a,b
t22550
1
。………………………………………………………………17分
100
2
解法2 把等式看成关于
a,b
的直线方程
:(x1)a2xbx20
，利 用直线上一点（
a,b
）到原点的距离大
x2
22
于原点到直线的 距离，即
ab
（以下同上）。
222
(x1)(2x)
2 2012
1(i1)x
2013
， -----------------2分
20.
解：首先，
a
i(x1)x
1x
i1
b
i
(x1)x
20 13
()(x1)
i
x
2014i
。----------- ------4分
x
1x
i
b
i1
b
i< br>x
2013
()
…………………………………………6分
x
2014i
用归纳法证明
a
i
b
i
x
2013
,1i2013
。
2013
由于
a< br>1
b
1
x
2013
x
2012
1 x
2013
，即i=1成立。……………………8分
假设
1i2012
成立，
1x
i
)(a
i
b
i
)
则
a
i1
b
i1
(a
i1
a
i
)(b
i1
b
i
)(a
i
b
i
)x
2013
x
2013
(
x
1x
203
1
x
2013
x
2013
()(a
i
b
i
)x
2013
(a
i
b
i
)

x2013
12013i12014(i1)
。…………………14分 x
2013
x
2013
x
2013
2
所以，
a
i
b
i
,i1,2,,2013
。
归纳证明
b
i1

a
i
,i

1,2 ,

,2012
，首先
b
2
a
1
10
，假设
1i2011
成立，
1x
i1
则
b
i 2
a
i1
(b
i2
b
i1
)(a< br>i1
a
i
)(b
i1
a
i
)x
2013
()x
2013
(b
i1
ai
)0
。……17分
x

故命题成立。
四、
附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21.
解答 原命题等价于
(a
3
b
3
c< br>3
)(a
2
b
2
c
2
)9
， ………………………………10分
a
2
b
2
c
23
),
…………………………………………………20分 又
(abc)9 (
3
222
故只需要证明
abc3
成立。……………………… …………………………25分
利用已知条件，这是显然的。

3332
22. 解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。………………………………10分
对于图2不存在完美填 法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，……，
10， …………… ……………………………………………… 15分
其和
sa
1a
2
a
1
a
3
a
2
a3
a
7
a
8
55
为奇数。……………… 20分
另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式 中出现偶数次。
因此S应为偶数，矛盾。………………………………………25分
所以，不存在完美填法。