仓英嘉措-古筝名曲欣赏下载

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛

1
．已知
a
为正实数，且
f(x)
11

是奇函数，则
f(x)
的值域为
________.

x
aa1
2018
n1
2
．设数列
a
n
满足
a
1
1

，
a
n1
5a
n
1
(n=1
，
2
，
…
），则



a
n

________.
3
．已知

,



________.


12


4

3


,


，
cos






，
sin





，则
cos





4

1 34

5

4

4
．在八个数字
2< br>，
4
，
6
，
7
，
8
，
11
，
12
，
13
中任取两个组成分数
.
这些分数中有
________
个既约分数
.

z

1
5
．已知虚数
z
满足
z
3
10
，则




________.

z1

z1

uuuvuuuvuuuv
uuuvuuuv
6
．设
AB10
.
若平面上点
P
满足，对于任意
tR
,
有
APtAB3
，则
PAPB
的
最 小值为
________
，此时
PAPB
________.
7
．在
△ABC
中，
AB+AC=7,
且三角形的面积为
4 ,
则
sin∠A
的最小值为
________.
8
．设< br>f(x)x1xx2
，则
f
20182018
uuuvuu uv

f(x)

10
有
________
个 不同的解
.
9
．设
x，yR
满足
x6y4xy 120
，则
x
的取值范围为
________.
10
． 四面体
P-ABC
，
PABC
外接球的半径为
________ .
6
,
PBAC8
，
PCAB10
,
则该四面体
x
2
11
．已知动直线
l
与圆
O
：
xy1
相切，与椭圆
y
2
1
相交于不同的两点
A
，
9
22
B.
求原点到
AB
的中垂线的 最大距离
.
xaxb1
，求
a
的取值范围
. 12
．设
aR
，且对任意实数
b
均有
max
x[0 ,1]
13
．设实数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
满足
x
2
n1
2x
n
x
n2
(n=1
，
2
，
…< br>，
2016)
和

x
n
1
，证明：
n1
2018
x
1009
x
1010
1
.
14
．将
2n(
n2
)
个不同整数分成两组
a< br>1
，
a
2
，
…
，
a
n
；< br>b
1
，
b
2
，
…
，
b
n< br>.
证明：

1in
1jn

a
i< br>b
j

1ijn


a
j
a
i
b
j
b
i
n。


试卷第1页，总2页

15
．如图所示将同心圆环均匀分成
n(
n3
)
格
.
在内环中固定数字
1~n.问能否将数字
1~n
填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字 相同？



试卷第2页，总2页

参考答案
1
．

，


【解析】

由
f

x

为奇函数可知
11


22

111111

x

x
，解得
a= 2
，即
f

x


x
，
aa1aa1221

11

fx
由此得
< br>的值域为

，

.

22

5
2019
8077
2
．


1616
【解析】

11

5
n
1


，

由
a
n1
5a
n
1a
n1
5

a
n


a
n

44
< br>44

1
12
20185
2018
20185
2019
8077
2018
55551
.
所以

a
n

441641616
n1
2018

3
．

56

65
【解析】

【详解】由

,




5
43

3


,


，
cos




，

cos






， 得
sin






，
4< br>
13
55

4







56

cos

cos



cos

sin



sin


.




所以

4

4

4

65
 
故答案为：

4
．
36
【解析】

在
7
，
11
，
13
中任取一个整数与在
2
，
4
，
6
，
8
，
12
中任取一个整数构成既 约分数，共有
11
2C
3
C
5
30

种；

2
在
7
，
11
，
13中任取两个整数也构成既约分数，共有
A
3
6
中
.
56

65
合计有
36
种不同的既约分数
.
5
．
1

答案第1页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】

z
3
10

z1

z
2
z10z
2
z10
，


z
所以


z1

2018


1




z1

2018

z
2018
2
1
2018

z

z< br>


z

z
3
3
672
2
1
z
1345
z
2
1
1
.
z
6
．
16
6
【解析】

uuuvuuuv
由
APtAB3
可知点
P
到直线AB
的距离为
3.
设
AB
的中点为
O.
由极化恒等式得：

uuuv uuuv
1
uuuvuuuv
2
uuuvuuuv
PAPBPA PBPAPB
4
uuuvuuuv
此时
PAPB6
. < br>



1


2PO
< br>4
2
2
10
2


1

36100

16
.
4
7
．
32

49
49
,
4
【解析】

由
ABAC 7ABAC
又
1327
,
ABAC
时取等号
.
ABACsinA4sinA
2492
8
．
3
【解析】


x3，x1

x1，1x0


因为
f

x

x1xx2

3x 1，0x2



x3，x2
由
f
f

x


10
得到
f

x

2
，或
f

x

0
.
1
，共
3
个解
.
3
由
f
x

2
，得一个解
x1
；由
f
x

0
得两个解
x3
，
x
9
．
14213x14213

【解析】

由
x6 y4xy120
令
xy2cos

，

答案第2页，总6页

xy2

2
y3

2
1
.

2

22y3sin

x

2cos




3sin


1452sin






sin



，

13

所以
14213x14213
.
10
．
3

【解析】

将四面体还原到一个长方体 中，设该长方体的长、宽、高分别为
a
，
b
，
c
，


a
2
b
2
10

22222
则

bc8abc12
，所以四面体外接球的半径为
3
.

a
2
c
2
6

4
1 1
．

3
【解析】

依題意可设
l
：ykxm

k0

.
因为直线
l
与圆
O
相切，所以，
O
到直线
l
的距离为
1
， 即
m
1k
2
1

这样的直线必与椭圆交于不同的两点
A

x
1
，y
1

，
B

x
2
，y
2

，联立

得
1 9k

2
ykxm，
2

x9y90

，


2

x
2
18kmx9m2
90
,
得到
x
1
x
2
< br>m

9km
，
22



19k19k


18km
.
19k
2
所以
AB
的中点坐标为


AB
的中垂 线方程为
y
m1

9km

8km
xxky0
，

，化简得

2
19k
2
k

19k
2

19k
O
到直线中 垂线的距离
d
8km
19k
2
.
1k
2< br>将
m
1k
2
=1
代入
d
2
8k m
19k
2
得
d
1k
2
8k
1k
2
，

由均值不等式，
19k6k
，故
d< br>41
，当且仅当
k
时取等号
.
33
答案第3页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
所以，当
k
1
10
，
m
时，

3
3
4
.
3
原点到
AB
的中垂线的最大 距离为
12
．
a3

【解析】

解
1
：
f

x

xaxb
，对于
b1 f

0

1
，

2
所以只要考虑
b1
.
（
1
）当

有

a
0
时，即< br>a0
，此时函数
f

x

的最值在拋物线的左右端 点取得，对任意
b1
2
f

1

1ab f

0

b
，所以
f

1
< br>1ab1
，

解得
a1

（
2
）当
0
得，

2

a

a
1
.
而对
b= 0
有
f

1

1a1
，
f




4

2

a1

时，即
1a0
，此时函数
f

x

的最值 在拋物线的顶点和右端点取
22
（
3
）当
1a
1时，即
2a1
时，此时函数
f

x

的最值在拋物线的顶点和左端
22
2

a

a
 1
.
点取得，而对
b=0
有
f

0
< br>b1
，
f




4

2

（
4
）当

a
1
时，即
a2
，此时函数
f

x

的最值在拋物线的左右端点取 得，对任意
2
b1
有
f

0

b1
，所以
f

1

1ab1
,
解 得
a3
.
综上或
a3
.
xaxb1，则有
mb
，
m1ab2mb1ab1a
解2
：设
max
x[0,1]
依题意，
2
1a
2
1a1
，或
a3
.
13
．【解析】

证明：由条件
x
n
，x
n2
同号
.
反证法，假设
x
1009
x
1010
1
.
答案第4页，总6页

（
1）若
x
1009
，x
1010
同为正数，由
x
n
，x
n2
同号可知
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
同号
.
由
x
n1
x
n
x
n2

2
x
n1< br>x
n2
xxx

1009

1010

1011

x
n
x
n1
x
1008x
1009
x
1010
x
1009
x
101 0
x
1011
x
1008
x
1011
x
1008
1

x
1009
x
1009
x1008
x
1011
x
1012
x
1012
 x
1007
x
1012
1
.
同理
x
1007
x
1008
x
1007
x
1010
x
1011
x
1010
类似可证明：
x
1006
x
1013
1
，
x
1005
x
1014
1
，
…
，
x
1
x
2018
1
.
因此

x
n1
2018
n
1
，矛 盾
.
（
2
）若
x
1009
，x
1010
同为负数，由
x
n
，x
n2
同号可知
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
均为 负数，仍然有

2
x
n1
x
n
x
n 2

x
n1
x
n2

,
类似（
1
）可证得
.
x
n
x
n1
14
．【解析】

证明：令
T
n

1in
1jn

a
ib
j

1ijn


a
j
 a
i
b
j
b
i
，


下面用归纳法证明
T
n
n
.
当
n=2
时，不妨设
a
1
2
，
b
1
2
，
a
2
2
.

T
2< br>b
2
a
1
b
2
a
2
b< br>1
a
1
b
1
a
2
a
2a
1
b
2
b
1
，

当
a
1
b
1
T
2
b
1
a
1< br>+b
1
+b
2
b
1
a
2
2；

a
1
b
1
T
2
b
2
a
2
+a
1
+b
1
2
.
假设对正整数
n
成立，对正整数
n+1
，

不妨设
a
1
a
2
a
n1
，
b
1
b
2
b
n1
，
a
n1
b
n1
.
再设
b
k
a
n1
bk1
，则有
:
T
n1


b
n 1
a
i


b
n1
b
i


a
n1
a
i

i1i1i1nnn


b
n1
b
i
b
n 1
a
n1
T
n

i1
n
答案第5页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
下证
< br>b
i1
n
n1
a
i


b< br>n1
b
i


a
n1
a
i


b
n1
b
i
0
.
i 1i1i1
nnn
由（
1
）
b
k
a
n1
b
k1
(k=1
，
2
，
…
，
n)
，得到
:

b
i1
n
n1a
i


b
n1
b
i


a
n1
a
i


b
n1
b
i
2


b
i
a
n1

0

i1i1i1ik1
nnnn
（
2< br>）若
a
n1
b
1
，则

b
i 1
n
n1
a
i


b
n1
b
i


a
n1
a
i


b
n1
b
i



b
ia
n1

0
.
i1i1i1i1
nnnn
15
．【解析】

设对 应于内环
1
，
2
，
…
，
n
的外环数字为< br>i
1
，
i
2
，
…
，
i
n< br>，它是数字
1
，
2
，
…
，
n
的一个 排
列
.
对
k=1
，
2
，
…
，n
，记外环数字
i
k
在按顺时针方向转动
j
k
格时，和内环数字相同，即

i
k
kj
k
modn,k=1
，
2
，
…
，
n.
根据题意，
j
1
，
j
2
，
…
，
j
n
应是
0
，
1
，
2
，
…
，
n-1
的排列
.
求和



i
k
k< br>


j
k
modn

012

n1


modn
k1k1
nn
1
n

n1

modn
.
2
于是
n
必须是奇数
.
对于奇数
n
，我 们取
i
n
=n
，
i
m
=n-m
，
(m=1
，
2
，
…
，
n-1)
，可以验证
i
k
kj
k
modn

j
n
=0, j
n
-1
=2
，
j
n
-2
=4
，
…
，
j
n
n1
n1
，

2
j
1
=n-2, j
n
-1
=n-4
，
j
3
=n-6
，
…
，
j
n1
 1
，

2
符合题目要求
.
答案第6页，总6页