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2017年全国初中数学竞赛试题
考试时间：2017年3月20日9：30——11：30 满分：150分
答题时注意：
1、用圆珠笔或钢笔作答；
2、解答书写时不要超过装订线；
3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了
代号为A、B、C、D的四 个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都 得0分）
1、设
x
53
，则代数式
x(x1)(x2)( x3)
的值为（ ）
2
A、0 B、1 C、﹣1 D、2
2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之
间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对
于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）
为（ ）
A、（0, 1） B、（1, 0） C、（﹣1， 0） D、（0, ﹣1）
3、已知A，B是两个锐角，且满足
sin< br>2
Acos
2
Bt
，
cos
2
Asi n
2
Bt
2
，
则实数t所有可能值的和为（ ）
A、

B、

C、1 D、
8
3
5
3
11

3
5
43
4
4、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设
S
四边形EADF
＝S
1
，
S
BDF＝S
2
，
S
BCF
＝S
3
，
SCEF
＝S
4
，则
S
1
S
3
与S
2
S
4
的大小关
系为（ ）

< br>A
A、
S
1
S
3
﹤
S
2
S
4

B、
S
1
S
3
＝
S
2
S
4

C、
S
1
S
3
﹥
S
2
S
4

D、不能确定

5、设
S＝
3
+
1
1

D
F
E
B
第4题图
C
111
+++
，则4S的整数部分等于（ ）
333
232011
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2017），斜边长是b+1的
直角三角形的个数为 .
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1,2,2,3 ,3,4；另一枚质 地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别
是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的 面两个数字和为5
的概率是 .
8、如图，双曲线
y
（
x0
）与矩
形OABC的边BC， BA分别交于点E， F，
且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积
为 .


9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数
为 .
2
x

10、设四位数
abcd
满足
a
3
b
3
c
3
d
3
110c d
，则这样的四位数的个
数为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于x的一元二次方程
x
2
cxa0
的两个整数根恰好比方程
x
2
axb 0
的两个根都大1, 求
abc
的值.


12、 如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙
O
1
和△BCH的外接
圆⊙
O
2
相交于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中点.
A
O
1
H
D
P
B
O
2
C

13、若从1,2,3,„，n中任取5个两两互素的 不同的整数
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
，
a
5
， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值.




14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC.
PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.
A
P
C
B

P在△ABC内,且PA=
3
, 点