鸽子的营养价值-烫面饼

2011年数学竞赛练习题C_3解答
1. 设数列
{x
n
}
满足：
nsin
11
，
x
n
(n2)sin
n1n1
则
lim
1
n
x
k

_______。

n
n1
k1

解 Qnsin
11

x
n
(n2)sinx
n
1；
n1n1
1
n
n
limxlim
k
n
n1
n
n1
k1
2
n
x
k1
n
k
n
n
limlim
n
n1
n

x
k1
n
k
n
1

2.设曲线
yf(x)
与
ysinx
在原点相切，
则极限
limnf()
________。
n
已知有：f( 0)0,f

(0)1
2
limnf()lim
nn
n
2

f()0
n
22
2
n
2. 设
(13)
n
a
n
b
n
3
， 其中
a
n
,b
n
为正整数，
lim

(13
n
)
3C
n
2
(3
2
)

2
n
a
n
=__
n
b
n

1
1C
n
(n
3)
)
)
(1C(3)C
n
24
(< br>
3)
4

13
(C
n
(3
1< br>)C
n
3
(3

)
(13)
n
24
(1C
n
(3)
2
C
n
(3)
4

)

13
(C
n
(3)
1
C
n
(3)
3


)
所以，若(13)n
=a
n
+b
n
3,
则(13)
n
=a
n
b
n
3,解得：
(13)
n
+(13 )
n
a
n
=，
2
(13)
n
(13 )
n
b
n
=
23

lim
=lim
a
n
n
b
n
(13)
n
(13)
n
(13)(13)
(13)
n
(1(nn
n
3
1
1
lim
n
1
(13)
n
(1(
1
=3

3
n< br>))
3
3
3
n
))
3
f(x)
 a0
，
x
3. 设
f(x)
有连续导数且
lim
x0
x
又
F(x)

(x
2
t)f(t) dt
，
0
当
x0
时
F

(x)
与
x
n
是同阶无穷小，
则
n
________。 < br>x
F(x)(x
2
t)f(t)dt
0
xx
< br>
x
2
f(t)dttf(t)dt
00

x
F

(x)2x

f(t)dtx
2
f(x) xf(x)

0
显然lim
F

(x)
0

x0< br>x
x
考虑：lim
x0
x
2x

f(t) dtx
2
f(x)xf(x)
0
x
2

li m
x0
2

f(t)dtf(x)
0
x
xlimf(x)

x0
lim
x0
2

f(t)dtf(x)
0
x
x
limf(x)

x 0
lim
x0
2

f(t)dt
0
x
lim
x0
f(x)
0
a0

x
n2

5.
设f(x)在[1,+)上可导，下列结论成立的是：
________。
A.若limf

(x)0，则f(x)在[1,+)上有界；
x+

B.若limf

(x)0，则f(x)在[1,+)上无 界；
x+

C.若limf

(x)1，则f(x)在[1, +)上无界。
x+
f(x)x表明结论A不一定成立；
g(x)sinx表 明结论B不一定成立；
结论C一定成立.
反证：若limf

(x)1，< br>x+
且M，f(x)M。
x[1,+),有：f(2x)f(x) f

(

)x,
f(2x)f(x)f(2x)+f(x)2 M；
这与limf

(

)x+矛盾。
x+

limf

(x)1f(x)在[1,+)上无界。
x+< br>6. 设函数
yy(x)
满足
y

(x1)y

x
2
ye
x
，
且
y

(0)1
，若
lim
x0
y(x)x
a
，则
a
______。
x
2
由y

(x1)y
x
2
ye
x
，y

(0)=2
y(x)xy

(x)1y

(0)
limlim 1=a

x0x0
2x2
x
2




7.
设a,b是夹角为的非零常向量，b=2,

3
则l im


axba
x
x
=_________。
lim
x0


axba
x



2x(a,b)x
2
(b,b)
lim


x0
x(axba)



2(a,b)x (b,b)

lim



x0
(axb a)


(a,b)
lim

0
x0a


1
bcos2
32
1

k

xsin x0
8. 如果要使函数
f(x)

在
x0
处有连续的
x


0 x0
一阶导数， 则正整数k的最小值为_____。

11
x
k2
c os,
xx
f(x)f(0)1
x0时，f

(0)lim limx
k1
sin,
x0x0
xx
当k1时，

f

(0)=0，
x0,f

(x)kx
k 1
sin
11

k1k2

kxsinxcos x0
f

(x)

（k1时）
xx

0 x0
又

limf

(x)

x0
= lim（kx
k1
sin
x0
11
x
k2
cos ）
xx
=0
=f

(0)（当k2时）
k=3
9. 设
y
1x
1x
，则
y
(10)

1
2
x0

____________。
y(1x)(1x),

y
(10)
1

 
2
(1x)


(1x)


 
(10)
(10)
1


2
C
< br>
(1x)




1
10
( 9)
(9)
1


2
(1x)


(1x)



1


1
2
C
10


(1x)




1

3




1
22< br>

(1x)



2
(1x)



1

5



13
22



(1x)

< br>
22
(1x)

1


2


(1x)



(9)
x0
1 7!!

9

2
1


2


(1x)



(10)

x 0
19!!

2
10
y
(10)
(0)
19!!17!!17!!

1034
2
10
2
9
2
10
1
10.设
y1,ye
x
,y2e< br>x
,ye
x


都是某二阶常系数
线性微分方程的解，则微分方程为_______。
Qy
3
y
2
e
x
是解，该方程是齐次方程。
特征根：0，1特征方程：r
2
r0
原方程：y

y

0.

11. 设二阶常系数线性微分方程
y

py

qyf(x)

有三个特解
y
1e,y
2
ee,y
3
e
x
e
x< br>，
xx
x
2

则该方程为______。
111
特征方程：(r)(r1)r
2
r0

222
对应齐次方程：y


11
y

y0

22
11
y

yf(x)

22< br>将特解ye
x
代入y


f(x)e
x
11
y

ye
x

22
12.
设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为

原来的方程：y


y
1
xe
x
cos2x,则其通解为
__。

y
1
xe
x
cos2x,特征方程有二重特征根12i.< br>2
特征方程为：(

-1-2i)(

-1+2i)
2
0
((

-1)
2
4)
2
0 .
2
即：（

2
-2

+5）

4
4

3
14

2
20

250

方程为：y
(4)
4y
(3)
14y< br>
20y

25y0.
13.

(1x
1
4
4
)1x
4
dx
___________ _+C。

(1x)
1
1x
44
4
dx< br>
dx
x
5
(1
1
)
x
4
5
4

11

4
1
(1)d(1)4

x
4
x
4
1
1

4(1
4
)C

x
x
C
4
1x
4
x
2
ax2
dx
的结果中不含 14. 设 不定积分

(x1)(x
2
1)
5
反正切函数，则a
_________。
x
2
ax21ax1


2
(x1)( x1)
x1
(x1)(x
2
1)

1
的积 分不含反正切，
x1

ax1
只需的积分不含反正切。
(x1 )(x
2
1)
ax1
的部分分式应为：

(x1)( x
2
1)


ax1ABx

2

2
(x1)(x1)
x1
x1
A1,Ba1

15.设连续非负函数满足
f(x)f(x)1(x)
，

2
则


cosx
dx
______ __。
1f(x)

2

2


1 f(x)
dx


2
cosx

0
< br>
2
cosxcosx
dxdx

1f(x)1f(x )

0

2
0


1f(x)
dx

2
cosx


2
tx
0
cost
(dt)

1

1
2
f(t )



0
f(t)cost
dt
1f(t)< br>原式

2

2
f(x)coscosx
=dxdx

1f(x)1f(x)
00


2
co sxdx1
0


2
例如：


cos x
dx1

x
1e

2
1
16.已在 函数
f(x)3x1x
则
f(x)
___________。
1
2

f
0
2
(x)dx
，
记a=

f
2
(x)dx.

0

< br>则有：
f(x)9x6ax1x(1x)a
1
22222

f
2
(x)dx
0
111


9x< br>2
dx6ax1x
2
dxa
2
(1x
2)dx
000

1

12
a36a(1x< br>2
d(1x
2
))a
2
,
2
0
3


2a
2
9a90,
a3或a
3

2
3
1x
2

2
f(x)3x31x2
或3x

2
17.
设I
n

< br>
2
1
dx
，则
I
n

_____ 。
n
1tanx
0
设I
n


2
1
dx
n
1tanx
0
cos
n
x
dx
nn
cosxsinx
0


2
1
2
cos
n
xsin
n
x
(d xdx)
nn
2
0
cos
n
xsin
n
xsinxcosx
0


1
2

dx
2
0
4

18.
lim

n
k1
n
n
e
k
n
2k
n
_=_____ _。
k
n
2k
n
nne
e
k
n
2k
n
n
lim

k1
lim
nne
n

k1
n
e
1e
1


n
e
x
de
x



dxa rctane

2xx2

4
1e1(e)
0011
19.设C是从球面
x
2
y
2
z
2< br>a
2
上
任一点到球面
x
2
y
2
z
2
b
2
上任一点
的任一条光滑曲线
(a0,b0)
，

则
r
3
(xdxydyzdz)
_______，
C
其中
rx
2
y
2
z
2
。





C

r
3
( xdxydyzdz)

=
1
32
r(dxdy
2< br>dz
2
)

2
C
1
32

rdr
2
C
4
C
b



r( dr)


r
4
dr
a

1
( b
5
a
5
)
5
x
2
20.设曲线
L:y
2
1
的周长为l，则
4
22

(x 2y)ds
=__________。
2
L
x
2
2原式

L
(x4y)ds

L
2xyds 4

L
(
4
y)ds04l

21.设< br>f(x)

0x2

sinx
，D是全平面，
0 其它

则

f(x)f(yx)dxdy
________。
D
D是全平面，则

f(x)f(yx)dxdy
。
D
2x2

f(x)f(yx)dxdy

dx

sinxsin(yx)dy

D0x
2


sinx(1cos2)dx(1cos2)
2

0
22.

为区域
x
2
y
2
z
2
1
，
x
2
y
2
z
2
则

(
2

2

2
)dv
__________。
abc

由对称性，可记：

I@
1
=3
蝌蝌
W
W
x
2
dv=
22
蝌
W
2
y
2
dv=
蝌
W
z
2
dv

蝌
(x+y+z ）dv
111
原式=（
2
+
2
+
2
） I

abc
x
2
y
2
z
2
=
蝌 (
a
2
+
b
2
+
c
2
)dv

W
1111
=（
2
+
2
+
2< br>）(x
2
+y
2
+z
2
）dv

蝌
3
abc
W
1111
=（
2
+
2
+
2
）dq
3
abc
蝌
0
=
4p111< br>（
2
+
2
+
2
）
15
abc
2pp1
sinfdf
0

rdr
4
0

23.
椭球面x
2
+2y
2
+4z
2
= 1与平面x+y+z-7=0

之间的距离为
________。
法1.
令F(x)

(xyz7)
2
(x
2
2y
2
4z
2
1)

3
解法略。
法2.
设最值点为P
0
(x
0
,y
0
, z
0
).

显然，曲面上过P
0
的切平面与平面x+y+z -7=0平行；
（2x
0
，4y
0
，8z
0
）平 行（1，1，1）
即：x
0
=2y
0
=4z
0
。解 得（
（-

277721
，，）(d=)，
77146
27 7721
，-，-）((d=))，
77142
椭球面x
2
+2y
2
+4z
2
=1与平面x+y+z-7=0

21
。
2
24.
设对于半平面x>0内任意的光滑有向闭曲面S，都有

之间的距离为

xf(x)dydzxyf(x)dzdxe
S
2x
zdxdy0.< br>
其中函数f(x)在(0,+)
内具有连续的一阶导数，

且limf(x)=1.则f(x)的表达式为
________。

x 0



xf(x)dydzxyf(x)dzdxe
S
2x
zdxdy0.
利用高斯公式，有：


(xf

(x)f(x)xf(x)e
2x
)dv0,

是S由围成的立体。
由S的任意性
xf

(x)f(x)xf(x) e
2x
=0（x>0）
1e
2x
即f

(x) (1)f(x)=（x>0）
xx
e
x
x
e
x
x
f(x)=(eC)(e1)(利用：limf(x)=1)
x0

xx

25.
I=(y
2
-z
2
)dx(2z
2
x
2
)dy(3x
2
y
2
)dz
=____。

L
其中L是平面x+y+z=2与柱面x+y=1
的交线，
从z轴正向看去，L为逆时针方向。
提示：斯托克斯公式
LA


PdxQdyRdz
dydzdzdxdxdy

xyz< br>PQR
coscoscos

dS
xyz
P QR







其中闭曲线L是 曲面

的边界。且

的法线方向
与L的方向符合右手法则：即当右手四指与L方向
一致时，大拇指的指向与

的

的法线方向一致。

记S为平面上L所围成部分的上侧，D为S在面上的投影，
由斯托克斯公式
222222
I=

(y-z)dx(2zx)dy (3xy)dz

L
1



1
3< br>
y
2
2zx
2
1
3

dS< br>z
3x
2
y
2
3

x
2y-z
2




1
(2y2x2z 2y4z6x)dS

3

2
3
2
3< br>

(6xy)dS

3
x+y1
< br>(6xy)dxdy

12
x+y1

dxdy024

26.设
m1
为正整数，
a
n
是
(1x)
nm
中
x
n
的系数，
则

1

_____。
a
n0
n

为明确计，先取m3

a
n
=C
3
n3

(n+3)！(n+3)(n+2)(n+1)< br>

3!n!3!
13！
=

a
n
（n+1）(n+2)(n+3)
1
（n+1）(n+2)(n+3)

11 1
()
2（n+1）(n+2)(n+2)(n+3)

a
k 0
n
1
k

3!113!13
()

212(n+2)(n+3)2122
容易看出，当m2时，

1
利用
（n+1）(n+2)(n+3)

（n+m）
< br>111
()
m1（n+1）(n+2)(n+3)

（n+m 1）(n+2)(n+3)

（n+m）

a
k0
n1
k

n
m!1m


m1(m1)! m1
k
3
6k
2
11k5
27.
lim

=___。
n
(k3)!
k1

首先记住：lim

1
e
n
k!k0
n
(k1)(k2)(k3)
k
3
6k
2
11k6
k
3
6k
2
11k5
( k1)(k2)(k3)1
k
3
6k
2
11k5
(k3)!
(k1)(k2)(k3)1

(k3)!< br>11

k!(k3)!
k
3
6k
2
 11k5
lim

n
(k3)!
k1
n
n
11
lim

lim

nn
k1
k!
k1
(k3)!

115
(e1)(e2 )
2!3!3
n
28.

k2

____ ____。
k1
k!(k1)!(k2)!

k2
k !(k1)!(k2)!
1k2


k!
1(k1 )(k
2
3k2)
1

k!(k2)
1(k2) 111


k!(k2)(k2)!(k1)!(k2)!

k!(k1)!(k2)!

2

(n2)!

2

k1
n
k2

111
29.幂级 数

(1nln(1))x
n
的收敛域为________。
n1
1
n
11
a
n
1nln(1)0((1 )
n
e)

nn

利用lim
xln(1 x)1xln(1x)x
x0时，

2
x0
2x2
x
11
ln(1)
1
n

1
。

a
n
1nln(1)
n
1
n2n
n< br>1
a
2(n1)
lim1,(注意：
n1
1)n
1
a
n

2n


lim< br>1
a
n1
n
a
n
1R



11
由

发散

(1nln(1)发 散,

n
n1
2n
n1
n

（-1） 1
n
由

收敛

（-1）(1nln(1)收敛
n
n=1
2n
n1

1

(1nln(1))x
n
的收敛域也为[1,1)。

n
n1

30.设
x0
或
x1
，
则级数

ln
n1


[1(n1)x]( 12nx)
的和为_________。
(1nx)[12(n1)x]

ln
(1nx)[12(n1)x]

n1
[1(n1 )x](12nx)
ln
[1(n1)x](12nx)
(1nx)[1 2(n1)x]

1(n1)x1nx
lnln
12(n1 )x12nx
1x1x12x
)(lnln)
12x12x14x

1(n1)x1nx


(lnln)
12 (n1)x12nx
s
n
(ln1ln

s
n
ln2