奇妙之旅-几米漫画

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数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）

第Ⅰ卷（选择、填空题）
一、选择题：下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填 入答题卷的相应位
置（每小题5分，共计30分）．
1．下列说法中，正确的是（ ）
A .

111
π
a
2
的系数是

B.在（-1）
0
，cot30°，，|-π-1|几个数中，实数有2个
337
a
2
ca
2
cc
C. 若
2

，则
2

D . 单项式-x
n+1
y与单项式2x
2n+3
y不可能是同类项
bd bdd
2．一次函数
y
1
kxb
与
y
2xa
的图象如图，则下列结论 ①
k0
；
②
a0
；③当
x3
时，
y
1
y
2
中，正确的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
O
C
P
DB
y
y
2
xa

3
x
3．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90º，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB 上
的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的
位置关系（ ）
A． 点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
B．点P在⊙O上
O
A
y
1
kxb

第2题图
D．无法确定
第3题图
4.将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别
为
a,b,c
，则
a,b,c
正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
1111
B. C. D.
216 723612
5．给出三个命题：①点P（b，a）在抛物线y＝x
2
＋1上；②点A （1，3）能在抛物线y＝ax
2
＋bx＋1上；③点B（－2，1）能在抛物线y＝ax2
－bx＋1上．若①为真命题，则（ ）
A．②③都是真命题 B．②③都是假命题
C．②是真命题，③是假命题 D．②是假命题，③是真命题
6．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
二、填空题：请将你的答案填到答题卷的相应位处（每小题5分，共计40分）．
7．已知不 等式2x-m

0只有三个正整数解，则化简
A.
(4m)
2+
|m9|
=
8．如图，在平而直角坐 标系xOy中，抛物线y=x
2
+bx+c与x轴交于A、B两
第8题图

点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=
1
，CO=BO，
2
AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．

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
a
1
xb
1
yc
1

3a
1
x2b
1
y5c
1

x3
9.三个同学对问题“若方程组

的 解是

，求方程组


y4

a
2xb
2
yc
2

3a
2
x2b
2
y5c
2
的解。”提出各自的想法。甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解” ；乙说：“它们的
系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都 除
以5，通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该
是 ．
10．已知
a
、
b
为实数，且
ab1
，a1
，设
M
ab11
，
N
，则
MN< br>
a1b1a1b1
C
的值等于 .
11、如图，点P在⊙
O
的直径BA的延长线上，AB＝2PA，
PC切⊙
O
于点C，连结BC．若⊙
O
的半径r＝2cm，
则BC与
P
的正弦值的积为 ．
P
A
O
B
第11题图
12．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，
BC＝6cm，点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直
线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B´．
则B´、C两点之间的距离为 ．

B
E
A
D
C
12题图
1
13.如图，
P
在
P
的半圆后得
1
是一块半径为1的半圆形 纸板，
1
的左下端剪去一个半径为
2
到图形
P
2
， 然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形
P
3
,P< br>4
,,P
n
,
，记纸板
P
n
的面积为
S
n
，试计算求出
S
2

；
S
3

；并
猜想得到
S
n
S
n1



n2

．





（第13题图）
14．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分别 从A，C两点同时
出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米 ／秒，
乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第< br>一次出现在同一条边上．

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密















封















线
















南充高中20XX年面向省内外自主招生考试
数 学 试 题
第Ⅱ卷（答题卷）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

一、选择题答案：

















姓
名
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
初
中
就
读
学
校
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_


考
号

二、填空题答案：
7．__________________
9．__________________
11．__________________
8．__________________
10．__________________
12．__________________
13．________ _________ _________ 14．__________________
三、解答下列各题：（共80分）
15．计算(本题满分8分)：
1
4
(
8
1
cos60cos45
)(3
)
0
|184|

4sin45sin30







16．(本题满分8分)
解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为
原问题的一个“逆向 ”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的
周长”，求出周长等于14后，它的 一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边
长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的 周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．
x
2
－4
3xx
（1）设A＝－，B＝，求A与B的积；
x
x－2x＋2
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

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17．(本题满分8分)
如图，
△AB C
内接于⊙O，点
D
在半径
OB
的延长线上，
BCD A30°
．
（1）试判断直线
CD
与⊙O的位置关系，并说明理由； < br>（2）若⊙O的半径长为1，求由弧
BC
、线段
CD
和
BD< br>所围成的阴影部分面积（结果保
留
π
和根号）．


O
A

B


C

（第17题图）







18．(本题满分8分)
水稻种植是南充的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技 人员从两块试
验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：
请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．

苗高统计图

高度
9

cm
8
7

6

5
4

3
2

1
0

1 2 3 4 5
D
甲
乙
植株

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< br>











密
















封
















线
































姓
名
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
初
中
就
读
学
校
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_


考
号









19、(本题满分12分)
已知关于x的一元二次方程
xbxcx
有 两个实数根
x
1
,x
2
，且满足
x
1
0
，
2
x
2
x
1
1
。（1）试证明c0
； （2）证明
b2(b2c)
；
2
（3）对 于二次函数
yxbxc
，若自变量取值为
x
0
，其对应的函数 值为
y
0
，
2
则当
0x
0
x
1
时，试比较
y
0
与
x
1
的大小．

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20．(本题满分10分)
善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效 果更好．某一天
小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间
x
（单位： 分钟）与学习收益
量
y
的关系如图1所示，用于回顾反思的时间
x
（ 单位：分钟）与学习收益
y
的关系如
图2所示（其中
OA
是抛物线的 一部分，
A
为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不
超过用于解题的时间． （1）求小迪解题的学习收益量
y
与用于解题的时间
x
之间的函数关系式 ；
（2）求小迪回顾反思的学习收益量
y
与用于回顾反思的时间
x
的函数关系式；
（3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总
量最大？
y y

A
16


2



O O
1 4 10
x x

（第20题图1） （第20题图2）

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21. (本题满分12分)
,AC4cm,BC5cm点,D在BC上，且以CD＝3cm,
在
ABC
中，
CRt
现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发， 其中点P以1cms的速度，沿AC向
终点C移动；点Q以1.25cms的速度沿BC向终点C移动。 过点P作PE∥BC交AD于
点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移 动时，设
EDQ
的面积为
y(cm)
，求
y
与
x
的函数关系式，并写出自变量
x
的取值范围；
（3）当
x
为何值时，
EDQ
为直角三角形．
E
A
2
P






B
Q
D
C

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22．(本题满分14分)
如图1，在平面直角坐标系中，已知点
A(0，43)< br>，点
B
在
x
正半轴上，且
∠ABO30
．动点P
在线段
AB
上从点
A
向点
B
以每秒
3
个单位的速度运动，设运
动时间为
t
秒．在
x
轴上取两点
M，N
作等边
△PMN
．
（1）求直线
AB
的解析式；
（2）求等边
△PMN
的边 长（用
t
的代数式表示），并求出当等边
△PMN
的顶点
M
运动到与原点
O
重合时
t
的值；
（3）如果取
OB
的中点
D
，以
OD
为边在
Rt△AOB
内部作如图2所示 的矩形
ODCE
，点
C
在线段
AB
上．设等边
△P MN
和矩形
ODCE
重叠部分的面积为
S
，请
求出当
0≤t≤2
秒时
S
与
t
的函数关系式，并求出
S
的最大值．


y

y


A

P

A


E

C



M

O

N

B

x

O

D

B

x


（图1） （图2）