电子印章-保养皮肤的步骤

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初一奥赛自测题一
甲多开支100元，三年后负债600元．求每人每年收入多少？









S的末四位数字的和是多少？















4．一个人以3千米小时的速度上坡，以6千米小时的速度下坡，行程12千米共用了3
小
时20分钟，试求上坡与下坡的路程．

,.


5．求和：











6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．










8.若a、b、c均为整数，且∣a －b∣
3
＋∣c－a∣
2
＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的
值。







9．若两 个整数x，y使x
2
+xy+y
2
能被9整除，证明：x和y能被3整除。

,.






10．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长
线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半。















所以 x=5000(元)．

所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．





3．因为


a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．



4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
有
由②有 2x+y=20，


由①有y=12-x．将之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)．



5．第n项为
所以

,.

③

,.










6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，
由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，
当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．








7．设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有

,.
解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．




(2)若m=2时，有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．


(3)若m=3时，有

解之得

故p＋q=8．






8.解: ∵∣a－b∣
3
＋∣c－a∣
2
＝1,并且a、b、c均为整数
∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1
∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a, ∣c－b∣=1
∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2
当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a, ∣c－b∣=1
∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=2

,.


9．因为x
2
+xy +y
2
=(x-y)
2
+3xy．由题设，9｜(x
2
+x y＋y
2
)，所以3｜(x
2
＋xy＋y
2
)，
从而3｜(x-y)
2
．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)
2< br>．由上式又可知，
9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；
若3｜y，同理可得，3｜x．











10．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以


上述两式相加

S
△PCD
=S
△CND
＋ S
△CNP
＋S
△DNP
．
因此只需证明
S
△AND
＝S
△CNP
＋S
△DNP
．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S
△CNP
=S
△CPM
-S
△CMN

=S
△APM
-S
△AMN

=S
△ANP
．
又S
△DNP
=S
△BNP
，所以
另一方面，
S
△CNP
＋S
△DNP
=S
△ANP
+S
△BNP
=S
△ANB
=S
△AND
．

,.



























初一奥赛自测题二
1．已知3x
2
-x=1，求6x
3
+ 7x
2
-5x＋2000的值。







2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、
减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件。

,.
试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？








3．如图1－ 96所示。已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°。
求证：DA⊥AB。







4．已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为

求a
2
＋b
2
＋c
2
的值。

,.
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解。







6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，
若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库
券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？
(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)








7．对k，m的哪些值，方程组
至少有一组解？








8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解。

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9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友。水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格
分 别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果
数目互不相同，试 问他能否实现自己的愿望？









1．原式=2x(3x
2
-x)+3(3x
2
-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但 每天卖出为
(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x
2

=-10(x
2
-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)
2
＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
∠ADC＋∠BCD=180°，
所以 AD∥BC．
又因为 AB⊥BC，
由①，②
AB⊥AD．
4．依题意有

,.


所以 a
2
+b
2
+c
2
=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以
(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有


6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则

因为 y=35000-x，
所以
x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)
2

+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以
1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因为
(k－1)x＝m-4， ①

,.

m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以
方程组有无穷多 组解．当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．
8．由题设方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解为

其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则

消去y，得12x-5z=180．它的解是
代入原方程，得y=-230＋17t．故

x=90-5t，z=180-12t．
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．

x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，
苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
初一奥赛自测题三
1．解关于x的方程

,.
2．解方程

其中a＋b＋c≠0．




3．求(8x
3
-6x
2
+4x- 7)
3
(2x
5
-3)
2
的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的
浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？ 这里[x]表示不超过x的最大整数，
例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的
取值范围．
7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过
9小时到东 站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写 成其他两数的和减1，这
样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2， 2，2？
9．设有n个实数x
1
，x
2
，…，x
n< br>，其中每一个不是+1就是-1，且

自测题四
1．已知a，b，c，d都是正数，并且
a＋d＜a，c＋d＜b．
求证：ac＋bd＜ab．
2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙 种商品提价
的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单
价 之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
4．某工厂三年计划中， 每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，
那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且 第三年的产量恰为原计划三年总产量
的一半，求原计划每年各生产多少台？

求证：n是4的倍数．

,.
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值与最小值．
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这8 0个数中，选取两个不同的数，使它们的和为
偶数的选法有多少种？
自测题五
1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可
提前5天完工，试求工作的 件数和原计划完工所用的时间．
2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
3．求x
3
-3px＋ 2q能被x
2
＋2ax＋a
2
整除的条件．
4．证明不等式

5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此
角的两边乘积之比．
6．已知(x-1)
2
除多项式x
4
＋ax
3
-3x
2
＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的
值．
7．今有 长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从
中选用若干条，使它们能围成一 个正方形？
8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把
平面分成多少部分？
9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？
2、若a、b、c均为整数，且∣a－ b∣
3
＋∣c－a∣
2
＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值( 8
分)




3:解: ∵∣a－b∣
3
＋∣c－a∣
2
＝1,并且a、b、c均为整数
∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1
∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a, ∣c－b∣=1
∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2
当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a, ∣c－b∣=1
∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=2