桂花飘香-深圳大学分数线

二○○一年全国高中数学联合竞赛题
（10月4日上午8：00—9：40）
题号
得分
评卷人
复核人
一



二



三
13



14



15



合计



加试



总成绩



学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D） 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请
将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分 ；不选、选错或选的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内），一律得0分。
1、已知a为 给定的实数，那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子 集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，

）上单调递增的偶函数是
2
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=8
3
（B）0≥
≥
1< br>1
2
2 （D
）
）05 、若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则a0+a3 +a6+a9+…+a1998的值为
（A）3333 （B）3666 （C）3999 （D）32001
6、已知6技玫瑰与3枝康乃馨和价格之和大 于24元，而4技玫瑰与5枝康乃馨和价格之和小于22元，
则2 枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是
（A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同 （D）不确定
填空题（本题满分24分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7、椭圆


1
的短轴长等于。
2cos

3
-I,则z
1
z
2
=。
2
8、若复数z
1
,z
2
满足|z
1
|= 2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
9、正方体 ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是。
10、不等式
13
2
的解集为。
log
1
x2
2
1 7

11、函数
yxx
2
3x2
的值域为。
F
E
A
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求 同一场块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。
二、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、设{a
n
}为等差数 列，{b
n
}为等比数列，且
b
1
a
1
，
b
2
a
2
，
b
3
a
3
（a
1
2
）,
又
n
2
2
B
C
D
2
lim(b
1
b
2
b
n
)21
，试求{a
n
}的首项与公差。
x
2
2
2
14、设曲线C
1
:
2
y1
(a为正常数)与C
2
:y=2(x+m) 在x轴上方公有一个公共点P。
a
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
（2） O为原点，若C
1
与x轴的负半轴交于点A，当01
时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。
2
15、用电阻值分别为a
1、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a6
、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4>a
5
>a
6
）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中
应如何 选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。








二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试卷
（10月4日上午10：00—12：00）
学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、（本题满分50分）
如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD 、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于
点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，O C⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且

x
i1
n
2
i< br>2
1kjn

n
k
x
k
x
j
1
，求

x
i
的最大值与最小值。
j
i1
三、（本题满分50分）
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干 边长均为正整数的正方形，每个
正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。

2 7

2001年全国高中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范
一．选择题：CBDDCA
二．填空题
7．
23
3
8．
2

3072
i
1313
9．
6
6

10．
(0,1)(1,2
7
)(4,)
11．
[1,
3
)[2,)
2
12． 732
三．解答题
2
(a
1
2d)
2
(a
1
d)
4
化简得：13．设所求公差为d，∵a
1
＜a< br>2
，∴d＞0．由此得
a
1
2a
1
2
4a
1
dd
2
0

解得：
d(22)a
1
……………………………………………………… 5分
而
220
，故a
1
＜0
若
d( 22)a
1
，则
q
2
a
2
a
12
(21)
2

2
a
2
若
d(22)a
1
，则
q
a
1
2
(2 1)
2
……………………………… 10分但
n
lim(b
1
b
2
b
n
)21
存在，故| q |＜1， 于是
q(21)
2
不可能．从而
a
1
2
2 1a
1
2
(222)(21)2

1(21)
2
所以
a
1
2,d(2 2)a
1
222
……………………………… 20分

x< br>2
2

2
y1
14．解：(1)由

a
消去y得：
x
2
2a
2
x2a
2
ma
2
0
① 设

y
2
2(xm)

f(x)x
2
2a
2
x2a
2
m a
2
，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．只需讨论以下三种a
2
1
情况：1°△＝0得：
m
，此时x
p
＝－a
2
，当且仅当－a＜－a
2
＜a，即0＜a＜1时适合；2°f (a)f (－
2
a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝ 0得m＝a，此时x
p
＝a－2a
2
，当且仅当－a＜a－2a
2< br>＜a，即0＜a＜1时适合．f (a)＝0得
a
2
1
m＝－a，此 时x
p
＝－a－2a，由于－a－2a＜－a，从而m≠－a．综上可知，当0＜a＜1时，< br>m
2
22
3 7

或－a＜m≤a；当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
S
1
1
ay
p
∵ 0＜a＜，故－a＜m≤a时，0＜
a
2
aa
2
12m＜a，由唯一性
2
2
得
x
p
a
2
aa
2
12m

显然当m＝a时，x
p
取值最小．由于x
p
＞0，从而y< br>p
＝
1
2
x
2
p
a
2
取 值最大，此时
y
p
2aa
2
，∴
1
a
2
1
Saaa
．当
m
时，x
p
＝－a2
，y
p
＝
1a
2
，此时
Sa1a2
．下面比较
aaa
2
与
2
2
111
a1a
2
的大小：令
aaa
2
a1a
2
，得
a

2
23
1111
1
故当0＜a ≤时，
aaa
2
≤
a1a
2
，此时
S
max
a1a
2
．当
a
时，
2232
3< br>1
aaa
2
a1a
2
，此时
S
max
aaa
2
．……… 20分
2
15．解：设6个电阻的组件 (如图3)的总电阻为R
FG
，当R
i
＝a
i
，i＝3， 4，5，6，R
1
、R
2
是a
1
、a
2
的
任意排列时，R
FG
最小 …………………………………………………… 5分
证明如下： 1．设当两个电阻R
1
、R
2
并联时，所得组件 阻值为R，则
111

．故交换二电
RR
1
R
2
阻的位置，不改变R值，且当R
1
或R
2
变小时，R也减小，因此不 妨取R
1
＞R
2
．
2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为< br>R
AB
R
AB

RRR
1
R
3< br>R
2
R
3
R
1
R
2
R
3

12

R
1
R
2
R
1
R
2
显然R
1
＋R
2
越大，R
AB
越小，所以为使R
A B
最小必须取R
3
为所取三个电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组 件(如图2)的总电阻为
R
CD
111

R
CD
R
AB
R
4

R
1
R
2
R1
R
3
R
1
R
4
R
2
R
3
R
2
R
4
R
1
R
2
R
4
R
1
R
3
R
4
R
2R
3
R
4
若记
S
1

1i j4

RR
ij
,S
2

i
1i jk4

RRR
jk
，则S
1
、
S
2
为定值，于是
R
CD

S
2
R
1
R
2
R
3
只有当R
3
R
4
最小 ，R
1
R
2
R
3
最大时，R
CD
最小，故 应取R
4
＜R
3
，
S
1
R
3
R
4
R
3
＜R
2
，R
3
＜R
l，即得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………………
15分
4 7

4°对于图3把由R
1
、R2
、R
3
组成的组件用等效电阻R
AB
代替．要使R
F G
最小，由3°必需使R
6
＜R
5
；
且由1°应使R
CE
最小．由2°知要使R
CE
最小，必需使R
5
＜R
4
，且应使R
CD
最小． 而由3°，要使
R
CD
最小 ，应使R
4
＜R
3
＜R
2
且R
4
＜R3
＜R
1
， 这就说明，要证结论成
立………………………………………………………………20分
2001年全国
合竞赛加试
评分规范

一．证明：(1)
点 共圆∴∠BDF＝
高中数学联
参考答案及
∵A、C、D、F四
∠BAC又∠O BC＝
＝90°－∠BAC∴
1
(180°－∠BOC)
2
OB⊥D F．
(2)∵CF⊥MA∴MC
2
－MH
2
＝AC
2－AH
2
①∵BE⊥NA∴NB
2
－NH
2
＝AB2
－AH
2
②∵DA⊥BC∴BD
2
－
CD
2
＝BA
2
－AC
2
③∵OB⊥DF∴BN
2
－BD
2
＝ON
2
－OD
2
④∵OC⊥DE∴CM
2－CD
2
＝OM
2
－OD
2
⑤…………………………… ……… 30分①－②＋③＋④－⑤，得NH
2
－MH
2
＝ON
2
－OM
2
MO
2
－MH
2
＝
NO
2
－NH
2
∴OH⊥MN…………………………………………………………………… 50分
另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则
aaac
,k
AB

∴直线AC的方程为
y(xc)
，直线BE的方程为
y(xb)< br>
cbca
c

y(xb)

a
2cbc
2
ac
2
abc

a
,
由

得E点坐标为E(
2
)
222
a
ac ac

y(xc)

c

k
AC

a
2
bb
2
cab
2
abc
,< br> 同理可得F(
2
)
ab
2
a
2
b
2
acc
(x)

2a2
bc
直线BC的垂直平分线方程为
x

2
acc

y(x )

bcbca
2

2a2
由

得O()
,
22a

x
bc

2

直线AC的垂直平分线方程为
y

k
OB
DE．
bca
2
bca
2
2a

bc
acab
b
2
,k
DF
ab
2
abcabac

2

∵
k
OB
k
DF
1
∴OB⊥DF同理可证OC⊥
abb
2
ca
2
bc
5 7

在直线BE的方程
y
bc
c
)∴
k< br>OH
(xb)
中令x＝0得H(0，

a
a
ab ac
x

2
abc
bca
2
bc
< br>a
2
3bc
2aa


bc
abac
2
直线DF的方程为
y
ab ac

yx

a
2
cbc
2
abc ac
2

a
2
bc
,
2
由

得N (
2
)
22
a
a2bcca 2bcc

y(xc)

c

a
2bb
2
cabcab
2
,
同理可得M(
2
)
a2bcb
2
a
2
2bcb
2
∴
k
MN
a(b
2
c
2
)(a
2
bc)abac
∵k
OH
·k
MN
＝－1，∴OH⊥MN．

(cb)(a
2
bc)(a
2
3bc)a2
3bc
二．解：先求最小值，因为
(

x)
< br>2
i
i1i1
i
nn
x
i
2
 2
1kjn

k
x
k
x
j
1< br>j

x
i1
n
i
≥1等号成立当且仅当
存 在i使得x
i
＝1，x
j
＝0，j＝i∴
10分

x
i1
n
最小值为1． ……………………………………………………………
再求最大值，令
x
k
ky
k
∴

k1
n
2
ky
k
2
1kjn

kyy
kj
1
①设
M< br>
x
k


ky
k
， 令
k1k 1
nn

y
1
y
2


y
n
a
1

y
2


y
n
a
2






y< br>n
a
n

22
a
n
1
… ………………………………………………… 30分 令
a
n1
＝0， 则①⇔
a
1
2
a
2
则
nnnnnn
M

k1
k(a
k
a
k1
)
k1
ka
k

n

k1
ka
k 1


k1
1
2
ka
k

n< br>
k1
n
k1a
k


(
k 1
kk1)a
k

由柯西不等式得：
M[
等
⇔

k1
(kk1)](
号
2

k1
2
2
a
k
)
1
[

k 1
(kk1)
2
]
2

成立
1
22< br>a
k
a
n
a
1
2





2
1
(kk1)(nn1)
2
6 7


22
a
1
2
a
2


a
n
1(21)
2


(n n1)
2

2
a
k
(kk1)
2
a
k

[
kk1

(
k1
12
n
(k=1，2，…，n)
1
2
kk1)
2
]
由于a
1
≥a
2
≥…≥a
n
，从而
y
k
a
ka
k1

2k(k1k1)
[

(
k1
n
0
，即x
k
≥0所求最大值为
kk1)< br>2
]
[

k1
n
(kk1)
2
]
2
…………………………………………… 50分
1
三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*)其中(m，n) 表示m和n的最大
公约数 …………………………………………… 10分 事实上，不妨没m≥n
(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)
当用m＝1时，命题显然成立．
假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)． 当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从
矩形ABCD中切去正方形AA< br>1
D
1
D(如图)，由归纳假设矩形A
1
BCD
1< br>有一种分法使得所得正方形边长之和恰
为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原 矩形ABCD有

D

D
1
C
一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，
n)…………………………………… 20分 (2)关于m归纳
n
可以证明(*)成立． 当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)
＝rn＋n－(m，n)
假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，
m
A
1
A B
n)
若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)． 当1≤n≤k时，设矩形ABCD
按要求分成了 p个正方形，其边长分别为a
l
，a
2
，…，a
p
不妨a< br>1
≥a
2
≥…≥a
p

显然a
1
＝n或a
1
＜n．
若a
1
＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于
是a
1
＋a
2
＋…＋a
p
不小于 AB与CD之和． 所以a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥2m＞rn＋n－(m，n)
若a
1
＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别 为a
2
，…a
p
的正方形，由归
纳假设a
2
＋…＋ a
p
≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)
从而a
1
＋a
2
＋…＋a
p
≥rn＋n－(m，n)
于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)
再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)． ………………………………………… 50分


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