节日来历-qq好看图片

..


全国数学竞赛综合试题分类篇
第一类：一元二次方程的整数根问题
2
试题1. 求实数
k
，使得 关于
x
的方程
kx(k1)x(k1)0
的根都是整数（中等数学 1999
年第5期）
x
2
kx3
3xk
的解，求 实数
k
的取试题2.在正实数范围内，只存在一个数是关于
x
的方程
x1
值范围。（中等数学2001年第3期）
试题3. 试求出所有这样的正整数
a
，使得二次方程
ax2(2a1)x4(a3)0
至少有一个整
数根。（中等数学2003年第5期）
2
试题4. 设
p
是质数，
k
是正整数。求证方程
xpxkp10
至少有一个整数根的充分必要
2
条件是
k1
。（中等数学2003年第6期）
试题5. 设
a ,b,c
为互不相等的实数，且
c1
，已知关于
x
的方程
xax10和xbxc0
有一个公共根，方程
xxa0和xcxb0
有一个公共根，试求
abc
的值。（中等
数学2002年第6期）
2
试题6. 试确定一切有理数
r
，使得关于
x
的方程rx(r2)x3r20
有根且只有整数根。
22
22
试题7. 求出所有的实数
k
，使得关于
x
的一元二次方程
kx2(3k1)x9k10
的两个根都
是整数。（中等 数学2005年第3期）
2
3
m10
①与
2x
2(m6)xm
2
40
若
4
方程①的两个实数根的平 方和等于方程的一个整数根，求
m
的值。（中等数学2006年第10期）
试题8. 已知关于
x
的一元二次方程
xmx
2
2试题9.已知方程
ax4xb0(a0)
的两个为
x
1
,x
2
，方程
ax3xb0
的两根为

，

。
2
（1）若
a,b
为整数，且


< br>1
，求
a,b
的值。
2x
1
1x
2
。（中等数学2007年第5期） （2）若

1

2,x
1
x
2
求证：试题9.已知方程
x
2
a
1
xa
2
a3
0
与方程
x
2
a
2
xa
1< br>a
3
0
有且只有一个公共根。求证：这两
个方程的另外两个根是方程
x
2
a
3
xa
1
a
2
0< br>的两个根。（中等数学2000年第4期）
试题10. 若关于
x
的方程2kxkx1

2

只有一个解，求
k
的值。（中等 数学2000年第4期3）
x1xxx
222
试题11. 已知关于
x
的一元二次方程
x2(a2b3)x(a4b99)0
有不相等的实数
;.

..
根，则满足条件的有序正整数
(a,b)
有多少对？（中等数学2006年第8期）
试题12. 已知关于
x
的方程
kx(k6k6)x6k360
的根都是某个等腰直角三角形的
边长，求
k
的值。（中等数学2011年第5 期）
试题13. 已知关于
x
的一元二次方程
(k6k8)x(2 k6k4)xk40
有两个整数
根，求实数
k
的值。（中等数学2 011年第7期）
试题14.已知
a,b
为整数,且
ab
,方程
3x3(ab)x4ab0
的两个根

,

满足关 系式
（1997年全国初中数学联赛试题）

(

1)

(

1)(

1)(

1)
试求所有的整数点对(
a,b
).
试题15.已知
a
是正整数，如果 关于
x
的方程
x(a17)x(38a)x560
的根都是整数 ，
求
a
的值及方程的整数根.（2007年全国初中数学联合竞赛）
试题1 5.已知一元二次方程
xaxb0
有两个连续的整数根，一元二次方程
xbx a0
要
整数根，求
a,b
的值。（中等数学2004年第5期）
第二类：二次函数（抛物线）类问题
试题1 在直角坐标系中，抛物线
y
22
32
2
22
2222
4
2
254
x mxm
与
x
轴交于A,B两点，已知点A在
9993
x
轴的负半轴上，点B在
x
轴的正半轴上，BD的长是AO的2倍（即
BO2AO< br>)点C为抛物
线的顶点。（2）求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线的对称轴上且⊙P与< br>x
轴，直线BC都相
切，求点P的坐标。（中等数学2001年第6期）
2
试题2 如图，开口向下的抛物线
yax8ax12a
与
x
正半轴交于A,B两点，（点A在点B
的左侧），抛物线上另一点C在第一象限，且使
OCA
~
OBC
。（1）求OC的长及
BC
的值。
A C
（2）设直线BC与
y
轴交于点P，当C点是BP的中点时，求直线BC和抛物线 的解析式。（中
等数学2000年第6期）
2
试题3 二次函数
yxp xq
的图像经过点（2，-1）且与
x
半轴交于不同的两点
A（a,0)， B(b,0)
。设图像的顶点为M。求使
AMB
面积最小时的二次函数的解析式。（ 中
等数学2002年第5期）
2
试题4 如图抛物线
yxpxq若有两点
A(a,y
1
),B(b,y
2
)(0ab)在
x
轴下方，则抛物线
与
x
轴有两个交
C(x
1
,0)D(x
2
,0)
（其中
x
1
abx
2
），（1）请对上述直观结论给出严格的
证明。（2）当
A(1,200 5)
且
x
1
,x
2
均为整数时，求二次函数的解析式。（中 等数学2006年第2
期）
;.

..
试题5 已知a
是大于2005的正整数，
b,c
为整数，抛物线
yaxbxc
在
x
轴上方，且过点
2
A(1，4a7),A(3,4a-1)
两点，求
abc
的最小值。（中等数学2005年第5期）
试题6 已 知一个两位数，其十位数字与个位数字分别为
p,q
二次函数
yxqxp
的图像与
x
轴交于不同的两点A,B顶点为C，且
S
ABC
≤1 。
2
（1）求
q4q
的值；（2）求出所有这样的两位数
pq< br>。（中等数学2004年第1期）
2

试题7 求二次函数
yx 2x3
绕点
A（3,0）
旋转
90
后所得抛物线的解析式。（中等 数学2006
2
年第3期）
（，-）
试题8 二次函数
yx4 x3
的顶点为P，过点的直线AB与抛物线相切，且直线AB
经过第一，二，四象限与
x
轴
y
轴分别交于A,B两点，求点P到直线AB的距离。（中等数学2007年第9期）
试题9 方程
x22x10
的两个根为

，

。试求二次函数
f(x)
，满足
2
2
3
2
7
4
f(

)

,f(

)

,f(1)1.
（中等数学1998年第6期）
试题10 已知< br>m
是实数，函数
ymx4xm5
在
2x2
内有 实数根，求
实数
m
的取值范围。（中等数学2011年第12期）
试题11 已知二次函数
yx(m3)xm2
，当
1x3< br>时，恒有
y0
；
关于
x
的方程
x(m3)x m20
两个实数根的倒数和小于
-
等数学2012年第5期）
试题12 已知抛物线
yaxbx2
与
x
轴交于点
A (x
1
,0),B(x
2
,0)(x
1
x
2)
且
x
1
,x
2
是方程
2
2
2
2
9
，求
m
的取值范围。（中
10
x
2
x60
的两个实数根，C为抛物线与
y
轴的交点。（1）求抛物线的对 称轴；（2）求直线
AC,BC的解析式；（3）如果动直线
ym（0m2）

与线段AC,BC分别交于D,E两点，那么在
x
轴上是否存在点P，使得
 DEP
为等腰直角三角形？
若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由。（中等数学20 12年第8期）
试题13设
m,n
为正整数，且
m2
，如果对一 切实数
t
，二次函数
yx(3mt)x3mt
的图
象与x
轴的两个交点间的距离不小于
2tn
，求
m,n
的值.（2 007年全国初中数学联合竞赛）
试题14 已知
a,b,c
为正整数，且二次函数
yaxbxc
的图像与
x
轴交于点A,B。若A,B到
原点O 的距离都小于1，求
abc
的最小值。（中等数学2007年第5期）
;.
2
2