初中数学竞赛试题大全

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2020年12月23日 08:54
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我和我的老师-职业定位怎么写

2020年12月23日发(作者:沈绪榜)


中国教育学会中学数学教学专业委员会
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
(本卷满分120分,考试时间120 分钟)
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
在下列各小题中,均给出四个答案 ,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代
号填入题后的括号里,不填、多填或错填均为零分 .
1. 从长度是2cm,2cm,4cm,4cm的四条线段中任意选三条线段,这三条线段能够组 成
等腰三角形的概率是( )
A.
1
B.
1
C.
1
D.1
4
A
N
B
(第2
M
题图)
2.如图,
M
是△
ABC的边
BC
的中点,
AN
平分∠
BAC

AN< br>⊥
BN

N
,且
AB
=10,
BC
=15,
MN
=3,则△
ABC
的周长为( )
A.38 B.39 C.40 D. 41
3
2
C
3.已 知
xy1
,且有
5x
2
2011x90

9y
2
2011y50
,则的值等于( )
A.
5
9
x
y
B. C.

9
5
20112011
D.

59
4.已知直角三角形的一直角边长是4,以这个直角
边为直径作三个半圆(如图所示) ,已知两个月牙形(带斜
(第4题图)
三角形的三
线的阴影图
中两个弓形形 )的面积之和是10,那么以下四个整数中,最接近图
(带点的阴影图形)面积之和的是( )
A.6 B. 7 C.8 D.9
b
2
b
2
c
是△
ABC
的三边长,5.设
a
,二次函数
y(a) x
2
cxa

x1
时取最小值
b
b

8
5
则△
ABC
是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
6.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出按
照“先进后出”的原则,如图,堆栈(1)中的2个连续存储单元已依次存入数

b

a
,取出数据的顺序是
a

b
;堆栈(2)的3 个连续存储单元已依次存入
数据
e

d

c
,取 出数据的顺序是
c

d

e
,现在要从这两个堆栈中取出5
(1)
(第6题图)
个数据(每次取出1个数据),则不同顺序的取法的种数有( )
A.5种 B.6种 C.10种 D.12种


二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7.若
x
2
2x140
,则满足该方程的所有根之和为 .
8.(人教版考生做)如图A,在
ABCD
中,过
A
,< br>B

C
三点的圆交
AD

E
,且与
CD

切,若
AB
=4,
BE
=5,则
DE
的长为 .
8.(北师大版考生做)如图B,等边三角形
ABC
中 ,
D

E
分别为
AB

BC
边上的两个动
点,且总使
AD=BE

AE

CD
交于点
F

AG

CD
于点G,则
2
FG
< br> .
AF
2a
4
3xa
2
22
9.已知
aa10
,且
3
,则
x


2
3
a2xaa
10.元旦期间,甲、乙两人到特价 商店购买商品,已知两人购买商品的件数相同,且每
件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品 一共花费了172元,则其中单价为9元
的商品有 件.
11.如 图,已知电线杆
AB
直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面
CD
和地面
BC
上,如果
CD
与地面成
45
o
,∠
A
=
60
o

CD
=4m,
BC
=
(4622)
m,则电线杆
AB
的长为
12.实数< br>x

y
,使得
xy

xy

x y
,四个数中的三个有相同的数值,则所有具有
这样性质的数对
(x,y)
为 .
C
x
y
D C
三、解答题(本大题共3个小题,每小题20分,共60分)
E
A
F
13.(本题满分20分)
D
E
G
已知:
(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)
是完全平方式.求证:
abc

B C
B
A
B
A
D
(第11题图)
14.(本题满分
OA
= 6
(第8题图A)
20

分)如图,将
(第8题图B)

AB
= 4的矩形
OABC
放置在平面直角坐标系中,
动点
M

N
以每秒1个单位的速度分别从点
A

C
同时出发,其中点
M
沿
AO
向终点
O

动 ,点
N
沿
CB
向终点
B
运动,当两个动点运动了
t
秒时,过点
N

NP

BC
,交
OB于点
P
,连接
MP

(1)点
B
的坐标为 ;用含
t
的式子表示点
P
的坐标为 ;
(2)记△
OMP
的面积为
S
,求
S
关系式(0 <
t
< 6);并求
t
为何
最大值?
(3)试探究: 当
S
有最大值时,
否存在点
T
,使直线
MT
把△< br>ONC

形和四边形两部分,且三角形的面
1
3
O
C
yy

t
的函数
B
N
B
C
值时,
S

P
M
A
x
O
(备用图)
A
x
(第14题图)

y
轴上是
割成三角
积是△
ONC
面积的?若存在,求出点
T
的坐标;若不存在,请说明理由.


15.(本题满分20分)

对于给定的抛物线
yx
2
axb
,使实数
p

q
适合 于
ap2(bq)
.(1)证明:抛物线
yx
2
pxq< br>通过定点;
(2)证明:下列两个二次方程,
x
2
axb0< br>与
x
2
pxq0
中至少有一个方程有实数
根.
2013年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2013年3月17日 9:30-11:30 满分150分
题 号 一
1~5
得 分
评卷人
复查人
答题时注意:
1.
用圆珠笔或钢笔作答;
2.
2.解答书写时不要超过装订线;
3.
3

6~10




11



12



13



14



总分




草稿纸不上交。
一、选择题(共5个小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为 A、B、C、D
的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里,
不填、多填或错填都得0分)
1.设非零实数
a

b
、< br>c
满足

1
2

a2b3c0
ab bcca
,则
2
的值为( )
22
abc

2a3b4c0
1
2
(A) - ( B) 0 (C) (D) 1
2.已知
a

b
、< br>c
是实常数,关于
x
的一元二次方程
ax
2
bx c0
有两个非零实根,则下列
关于
x
的一元二次方程
ax
2
bxc0
中,以
11
,为两个实根的是( )
2
x
1
2
x
2
(A)
c
2< br>x
2
(b
2
2ac)xa
2
0
( B)
c
2
x
2
(b
2
2ac)xa< br>2
0


(C)
c
2
x
2
(b
2
2ac)xa
2
0
(D)
c
2
x
2
(b
2
2ac)xa< br>2
0

3,如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,
垂足为D,DE⊥OC,垂足为E,若AD,DB,CD的长度
数,则线段OD、OE、DE,AC的长 度中,不一定是有
...
( )
(A) OD ( B) OE
(C) DE (D) AC
4、如图,已知△A BC的面积为24,点D在线段AC上,点
BC=4AF,DCFE是平行四边形,则图阴影部分(△B DE+△
( )。
B
C
F
A
C
CD⊥AB,< br>都是有理
E
O
B
理数的为
A
D
F在线段BC 上,且
D
E
ADE)的面积为
A
(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8
5.对于任意实数x,y,z ,定义运算“*”为:
3x
3
3x
2
y
2
xy
3
45
,且
x*y*z(x*y)*z
,则
x*y< br>(x1)
3
(y1)
3
60
E
D
F
2013*2012*……*3*2的值为( )
(A)
B
C
6389
( B) (C) (D)
967967967967
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分) < br>6.设
a
3
3

b

a
2
的小数部分,则
(b2)
3
的值为
7.如图,点D、E 分别是△ABC的边AC、AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知△
CDF,△BFE,△BCF 的面积分别是3,4,5则四边形AEFD的面积是 。
8.已知正整数
a

b

c
满足
ab
2
2c20

3a
2
8bc0
,则
a
b
c
的最 大值
为 。
9.实数
a

b

c< br>,
d
满足:一元二次方程
x
2
cxd0
的两根 为
a

b
,一元二次方
c
,程
x
2
axb0
的两根为
c
,则所有满足条件的数组(
a
,为 。
d

b

d


10.小明某天 在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元。开始时
他有铅笔和圆珠笔共350支,当 天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元,
则他至少卖出了 支圆珠笔。
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.如图,抛物线
yax2
bx3
,顶点为E,该
D
抛物线

A
O B
x
与轴交于A,B两点,与
y
轴交于点C,且OB=OC= 3OA。
1
yx1

y
轴交于点D,求∠DBC-∠CBE.
3
线
12.、设△ABC的外心,垂心分别为O,H,若B,
共圆,对于所有 的△ABC,求
∠BAC所有可能的度数。
C
E
C,H,O
13.设
a

b

c
是素数,记
xbca< br>,
ycab

zabc
,当
z
2
y

xy2
时,
a

b

c能否构成三角形的三边长?证明你的结论。
14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新 数可被7整除,那么称M为m的“魔术
数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被 7整除,所以称86为415的魔术
,a
n
,满足任意一个正整数数),求正整数n的 最小值,使得存在互不相同的正整数
a
1
a
2

,a
n
中都至少有一个为的m魔术数。 m,在
a
1
a
2

2013年全国初中数学联赛江西预赛试题
时间:2013年3月10日上午9:00-11:30
一、选择题(每小题7分,共6题,计42分)
22
4m5mn6n
m n
,且m、n
1、若同号,则
2
的值是( )
2
2n3m5n
m2mn3n
A、7 B、6 C、5 D、4
2、若△ABC中,AB=
62
,BC=2, △ABC的面积是1,若∠B是锐角,则∠ACB的度数是( )
A、30° B、45° C、60° D、75°
22
3、若
a
,ab≠1, 则
7 a90,b7b90
b

a
a
的值为
b
( )


A、
13
B、

3
13
C、

3
13
D 、0
3
4、一块木板上钉有9枚铁钉,钉尖向上如图,用橡皮盘套住往其中4枚铁钉,构 成一个平行四边
形,共有套法( )
A、82 B、40 C、22 D、21
5一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”,在正整数列中 ,从1
开始数起,问第1990个“智慧数”是( )
A、2663 B、2664 C、2665 D、2626
6、能使方程mx
2
+2(2m-1)x+4(m-3)=0至少有一个整数解的正整数a的值的个数有( )
A、3 B、4 C、5 D、6
二、填空题(每题7分,共4小题,计28分)
7、如图:在△ABC中,AB=9,BC= 4,Q为AC的中点,P为AB边
上一点,且∠APQ=90°+∠B,则BP的长为______ < br>8、为了迎接2016年世界杯足球赛的到来,某足球
了一次足球联赛,其记分规则及奖励方案如 下表:
胜一场 平一场
协会举办
负一场
0
0
1
2

积分
奖金(元人)
3
1500
1
700
当比寒进行到12轮结束(每人均需要12轮)时,A队共积分19分, 若每赛一场队员人均出场费
500元,设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元,则W的 最大值是_________
9、已知a、b、c、d是四个不同的实数,且(a+c)
(a +d)=-2013,(b+c)(b+d)=-2013,
则(a+d)(b+d)=--_______
10、已知⊙O的半径为6,四边形ABCD 是圆内接四边形,对角线AC与BD
交于点E,CE=1.2,若AC是直径,且AD=BD,则四边形 ABCD的周长是
_______
三、解答题(70分)
11、(满分20分)已知方程x
2
+ax+2a+2=0有两个整数解,求a的值。
12、(满分25分)已知AE是△ABC的角平分线,D是线段AE上的点,且
∠BDE=90°+∠BAC,求证:D是△ABC的内心。
13、(满分25分)如图:抛 物线y=mx2+5x+n与x
交y轴与A点,过A、B、C三点作⊙P,且⊙P与y
(1)求 m、n的关系;
(2)求∠BAC的正切值;
(3)设抛物线的顶点为D,试判断直线DB与⊙P
证明。
轴交于B、C两点,
轴相切于点A,
1
2
的位置关系,并
2012年全国初中数学竞赛预赛试题
江西省吉安市
一、 选择题:(每题7分,共42分)
1、化简
27211232341983
的结果是( )


A、2 B、 -2 C、-
33
D、
33

2、一次考试共有5道题,考后统计如下,有81%的同学做对第1题,9 1%的同学做对第2
题,85%的同学做对第3题,79%的同学做对第4题,74%的同学做对第5题 ,如果做对3题
以上的(含3题)题目的同学考试合格,那么这次考试合格率的同学至少( )。
A、70% B、 79% C、74% D、81%
3、如图:在△ABC中,
ADAB,BEBC,CFCA,
等于( )
A、2:1:1 B、3:2:1 C、3:3:1 D、2:3:
4、满足方程x
2
y
2
2(xy)xy
的所有非负整数解的组数有( )
A、1 B、2 C、3 D、4
5、如图:正方形ABCD的边 长为
215
,E、F分别是
点,AF分别交DE,DB于M,N,则△DMN的面积为 ( )
A、8 B、9 C、10 D、11
x
2
2x4
6、使分式
2
的值为整数的实数x的值的个数是( )
x 3x3
1
3
1
3
1
3
则AN:NL:LE
1
AB、BC的中
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题(每题7分,共28分)
7、边长为整数,且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 .
8、边长为9cm, 40cm,41cm的三角形的重心到外心的距离是
k
2
9、已知二次函数
yaxbxc
,一次函数
y k(x1)
,若它们的图像对于问题任意的数
4
2
k都只有一个公共点, 则二次函数的解析式为
10、代数式
x
29(x8)
2
49
的最小值是
三、解答题(共三大题,70分)
11、已知关于x 的方程
(k2)(k4) x
2
(10k28)x240
的根是整数,求满足条件的所有实


数k的值(20分)
12、如图:在矩形ABCD中,点P在AB上,且△ACP是等腰三角形,O是AC的中点,OE⊥ AB
于有,点Q是OE的中点,求证:PQ⊥ CE(25分).
13、已知二次函数
yx
2
(m3)xm4
图像与轴交于
点A(x
1
,0),点B(x
2
,0)
(x
1
2
), 与y轴交
于点C,若∠CAB与∠CBA是锐角。
(1)求m的值;
(2)是否可能出现∠CAB=∠CBA? 若可能,求出m的值;若不可能,比较∠CAB与∠CBA
的大小;
(3)当∠CAB与∠CBA互余时,△ABC的面积是多少?(25分)
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试

一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.已知
a21
b32

c62
,那么
a,b,c
的大小关系是 ( )
A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

2.方程
x
2
2xy3y
2
34
的整数解
(x,y)
的组数为
( )
A.3. B.4. C.5. D.6.
3.已知正方形ABCD的边长为1,E为BC边的 延长线上一点,CE=1,连接AE,与CD
交于点F,连接BF并延长与线段DE交于点G,则BG的 长为
( D )
A.
6525
26
B. C. D.
333
3
4.已 知实数
a,b
满足
a
2
b
2
1
,则< br>a
4
abb
4
的最小值为
( )


A.

. B.0. C.1. D..
23
x
2
)
,则实5 .若方程
x
2
2px3p20
的两个不相等的实数根
x1
,x
2
满足
x
1
2
x
1
3
4(x
2
1
8
9
8

p
的 所有可能的值之和为
( )
A.0. B.

. C.
1
. D.

.
6.由1,2,3,4这四个数字组成四位数
abcd
( 数字可重复使用),要求满足
acbd
.

( )
A.36个. B.40个. C.44个. D.48个.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.已知互不相等的实数a,b,c
满足
abc
1
b
1
c
1
t
,则
t

a
3
4
5
4
样的四位数共有
2.使 得
52
m
1
是完全平方数的整数
m
的个数为 .
3.在△ABC中,已知AB=AC,∠A=40°,P为AB上一点,∠ACP=20°,则4.已知实数
a,b,c
满足
abc1

abc4< br>,
abc4
222
abc
,则= .

222
a3a1b3b1c3c19
BC

AP
第二试

一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数,周长为30,求它的外接圆的
面积.
二.(本题满分25分)如图,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D.证
明:
AD
2
BDCD
.
三.(本题满分25分)已知抛物线
O
A
1
yx
2
bxc
的顶点为P,与x
轴的
6
D
PBC
正半轴交于
交于点C,PAA
(x
1
,0)
、B
(x
2
,0)

x< br>1
x
2
)两点,与
y

是△ABC的外接圆的切线 .设M
(0,)
,若AMBC,求抛物线的解析式.
3
2


2011年全国初中数学竞赛试题
(考试时间:2011年3月20日9:30——11:30 满分:150分)
一、选择题 (共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D
的四个选项,其中有且只 有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,
不填、多填或错填都得0分)
1、设
x
53
,则代数式
x(x1)(x2)(x3)
的 值为( )
2
A、0 B、1 C、﹣1 D、2
2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对(a, b)与(c, d)之间的运算“△”为:
(a, b)△(c, d)=(ac+bd, ad+bc)。如果对于任意实数u, v,都有(u, v)△(x, y)
=(u, v),那么(x, y)为( )
A、(0, 1) B、(1, 0) C、(﹣1, 0) D、(0, ﹣1)
3、已知A,B是两个锐角,且满足
sin< br>2
Acos
2
Bt

cos
2
Asi n
2
Bt
2
,则实数t所
有可能值的和为( )
A、

B、

C、1 D、
8
3
5
3
11

3
5
43
4
4、如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,BE、CD相交于点F,设< br>S
四边形EADF
=S
1

S
BDF
=S
2

S
BCF
=S
3

S
C EF
=S
4
,则
S
1
S
3

S< br>2
S
4
的大小关系为
A
( )
A、< br>S
1
S
3

S
2
S
4
B、
S
1
S
3

S
2
S
4

D
C、
S
1
S
3

S
2S
4
D、不能确定
5、设
S=
3
+
( )
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
1
1
111
,则 4S的整数部分
B
++L+
2
3
3
3
20113
F
E
第4题
C
等于
6、两条直角边长分别是整数a, b(其中b<2011),斜边长是b+1的直角三角形的个


数为 .
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数
1,2,2,3 ,3,4;另一枚质地均 匀的正方体骰子的六
分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子,则其朝
字和为5的概 率是 .
8、如图,双曲线
y
2

x0
)与矩形OABC的边BC, BA分别交于点E, F, 且
x
字 分别是
个面上的数字
上的面两个数
AF=BF,连结EF,则△OEF的面积为 .
9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 .
10、设四位数
abcd
满足
a
3
b
3
c3
d
3
110cd
,则这样的四位数的个数
为 .
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11、已知关于x的一元二次方程
x
2
cxa0
的两个整数根恰好比方程
x
2
ax b0

两个根都大1, 求
abc
的值.
12、如图,点 H为△ABC的垂心,以AB为直径的⊙
O
1
和△BCH的外接圆⊙
O
2
相交于点
D, 延长AD交CH于点P, 求证:点P为CH的中点.
13、若 从1,2,3,…,n中任取5个两两互素的
a
3

a
4

a
5
, 其中总有一个整数是素数,求n的最
B
O
2
O
1
A
H
D
不同的整数
a
1

a
2

P
C
大值.
A
14、如图,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC. 点P
PA=
3
, PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.
在△ABC内,且
2011年全国初中数学联赛江西赛区初赛试题
(考试时间2011年3月二0日9:30—11:30)
第一试
一、选择题(每题7分,共42分)
B
P
C
1、设a为质数,并且
7a
2
8

8a
2
7
都是质数,若记
x77a8

y88a7
,财在以


下情况中 ,必定成立的是( )
A、x,y都是质数 B、x,y都是合数
C、x,y一个是质数,一个是合数 D、对于不同的a,以上各情况皆可
2、化简
322
17122
322
17122
的结果是( )
A、
2
B、
2
C、2 D、-2
3、
2
2011
3
2011
的末位数字是( )
A、1 B、3 C、5 D、
4、方程
x34x1x86x11
的解的情况是( )
A、无解 B、恰有一解 C、恰有两个解 D、有无穷多个解
5、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形,则图中的全体正三角形的个数是( )
A、24 B、36 C、38 D、76
6、设a,b为整数,并且一元二次方 程
x
2
(2ab3)x(a
2
ab6)0
有 等根α,而一
元二次方程
2ax
2
(4a2b2)x(2a2b 1)0
有等根β,那么以α、β为根的一元二次方
程是( )
A、
2x
2
7x60
B、
2x
2
x60

C、
x
2
4x40
D、
x
2
(ab)xab0

二、填空题( 每题7分,共28分)
1、Rt△ABC的三条边长分别为3、4、5,若将其为内切圆挖去,则剩下部分的面积等

2、若
x
3
5x
2
7x3(x4)
3< br>a(x4)
2
b(x4)c
,则(a,b,c)= ( )
3、如图:正方形ABCD的边长为1,E是CD边
外的一点,满CE∥BD,BE=BD,则CE=
4、绕圆周填写了十二个正整数,其中每个数取自
7


{1,2,3 ,4,5,6,7,8,9}之中(每一个数都可以多次出现在圆周上)若圆周上任何三个相邻位
置上的 数之和都是7的倍数,用S表示圆周上所有的十二个数的和,那么数S所有可能的
取值情况有 种。
第二试
一(20分)试确定,对于怎样的整数a,方程
5x
2
4(a3)xa
2
290
的正整数解?并
求出方程的所有正整数 解。
二(25分)锐角△ABC的外心为O,外接圆的半径为R,延长AO,BO,CO,分别与对边
BC,CA,AB交于D、E、F;证明
1112


ADBECFR
三、(25分)设k为正整数,证明:
1、如果k是两个连续正整数的乘积,那么25 k+6
整数的乘积;
2、如果25k+6是两个连续正整数的乘积,那么 k也是两个连续正整数的乘积;
也是两个连续正
2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题
第 一 试
一. 选择题(每小题7分,共42分)
1、化简
351348
62
的结果是( ).
1

2
(A)、
2
; (B)、
2
; (C)2; (D)、
2
2、△ABC是一个等 腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;
那么,由图中的线段所构成的三角 形中相互全等的三角形的对数为( ).
(A)、12; (B)、13;(C)、26;(D)、30.
3、设ab≠0,且函数
f
1
(x)x
2
2ax4b

f
2
(x)x
2
4ax2b
有相同的最小值u;函数
f
3
(x)x
2
2bx4a

f
4
(x)x
2
4b x2a
有相同的最大值v;则u+v的值( ).
(A)、必为正数;(B)、必为负数;(C)、必为0; (D)、符号不能确定.


4、若关于x的方程
(A)、
(C)、
没有实根,那么,必有实根的方程是( ).
; (B)、
; (D)、


AC于M,AF5、正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,DE交
交BD于N;若AF平分∠BAC,DE⊥AF,;记
x
BEBNCF
,,则有( ).
,y,z
OMONBF
(A)、x>y>z; (B)、x=y=z;
(C)、x=y>z; (D)、x>y=z.
6、 将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个
相邻位 置的数之和为质数, 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有
( ).
(A)、4种; (B)、 8种; (C)12种、; (D)、16种.
二、 填空题(每小题7分,共28分)
1、若k个连续正整数之和为2010,则k的最大值是 .
2、单位正三角形中 ,将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)
的内部挖去,则三角形剩下部分的面 积为 .
3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为:
AB=2,BC=7,C D=6,DA=9,则四边形的面积为 .
4、在±1±2±3±5±20中,适当选择+、-号,可以
数和的个数是 .
第 二 试
一、(20分)边长为整数的直角三角形,若其两直角边长a,b是方程
x
2
(k2)x4k
=0
的两根,求 k的值并确定直角三角形三边之长.
得到不同代


二、(25分)如图,自△ ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线: PD⊥BC,PE⊥
CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE;证明:AE=AF.
三 、(25分)已知a,b,c为正整数,且
a
2
b
2
c
2
为整数.
abc
3ab
3bc
为有
理数,证明
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.
1.若
ab
ab
的值为( ).
20,10
,则bc
bc
1121110210
(A) (B) (C) (D)
21112111
1
2.若实数
a

b
满足
aabb
2
20
,则
a
的 取值范围是( ).
2
(A)
a
(B)
a
4 (C)
a
≤或
a
≥4 (D)≤
a
≤4
3.如图,在四边形
ABCD
中,∠
B< br>=135°,∠
C
=120°,
AB
=
23

BC
=
422

CD

42

AD
边的长为( ).
B
(A)
26
(B)
46

(C)
46
(D)
226

A
D
第3题
k1k2
4 .在一列数
x
1
,x
2
,x
3
,
……中, 已知
x
1
1
,且当
k
≥2时,
x
kx
k1
14{[][]}
44
C
(取整符号[a] 表示不超过实数的最大整数,例如
[2.6]=2,[0.2]=0),则
x
2010
等于( ).
(A) 1 (B) 2 (C)
3 (D) 4
5.如图,在平面直角坐标系
xOy
中,等腰梯形
坐标分别为< br>A
(1,1),
B
(2,-1),
C
(-2,-1),
C
第9题
D
y
P ·
A
x
B
O
ABCD
的顶点
D
(-1,1).
y

< br>轴上一点
P
(0,2)绕点
A
旋转180°得点
P
1
,点
P
1
绕点
B
旋转180°得点
P
2< br>,点
P
2
绕点
C
旋转180°得点
P
3,点
P
3
绕点
D
旋转180°得点
P
4
,……,重复操作依次得到点
P
1

P
2
,…,
则点
P
2010
的坐标是( ).
(A)(2010,2) (B)(2010,
二、填空题
6.已知
a
51
,则2
a
3
+7
a
2
-2< br>a
-12 的值等
于 .
7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝
) (C)(2012,) (D)(0,2)
同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正 中间.过
了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过
t
分钟,货车追
上了客车,则
t
= .
8.如图,在平面直 角坐标系
xOy
中,多边形
OABCDE
的顶点坐标分别是
O
(0,0),
A
(0,6),
B
(4,6),
C
(4,4 ),
D
(6,4),
E
(6,0).若直线
l
经过点
M
(2,3),
且将多边形
OABCDE
分割成面积相等的两部分,则直线
l
的函数表达式
是 .
9.如图,射线
AM

BN
都垂直于线段
AB
,点
E
点,过点< br>A

BE
的垂线
AC
分别交
BE

BN
于点
F

C

的垂线
CD
,垂足为< br>D
.若
CD

CF
,则
AE

AD

AM
上一
过点
C

AM< br>10.对于
i
=2,3,…,
k
,正整数
n
除以i
所得的余数为
i
-1.若的最小值
n
0
满足
200n
0
3000
,则正整数的最小值为 .
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)


11、如图:△
ABC
为等腰三角形,
AP
是底边< br>BC
上的高,点
D
是线段
PC
上的一点,
BE

CF
分别是△
ABD
和△
ACD
的外接圆直径,
求证:
tanPAD
EF

BC
连接
EF
.
12.如图,抛物线
yax
2
bx

a
0)与
y
k
相交于点
A
B
. 已知点
A
的坐标为(1,
x
双曲线
4 ),点
B
标原在第三象限内,且△
AOB
的面积为3(
O
为 坐
点).
(1)求实数
a

b

k
的值;
(2) 过抛物线上点
A
作直线
AC

x
轴,交抛

C
,求所有满足△
EOC
∽△
AOB
的点
E
的坐 标.
13.求满足
2p
2
p8m
2
2m
的所有素数
物线于另一
p
和正整数
m
.
2009年全国初中数学江西赛区预赛试题
(2009年3月22日上午9:30~11:30)
一、选择题(共5小题,每小题7分,满分35分)
1、已知非零实数a、b满足|2a-
4|+|b+2|+(a-3)b
2
+4=2a,则a+b等于( )
A、-1 B、0 C、1 D、2
2 、如图所示,菱形ABCD边长为a,点O在对角线AC上一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,
则a等于( )
A、 B、1 C、
15
D、
1
2
15

2
3、将一枚六个面编号分别为1,2, 3,4,5,6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两


次,记第一次掷出的点数为a,第二 次掷出的点数为b,则关于x、y的方程组

有正数解的概率为( )
A、
12513
B、 C、 D、
1291836

axby3


x2y2
4、如图1所示,在直 角梯形ABCD中,AB∥CD,
∠B=90°,动点P从点B出发,沿梯形的边由B→
C→D→A运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面
积为y,把y看作x的函数,函数图象如图2所示,则△ABC的面积为( )
A、10 B、16 C、18 D、32
5、关于x、y的方程
x
2
xy 2y
2
29
的整数解(x、y)的组数为( )
A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6、一自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在
后轮,则自行 车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、
后轮胎。如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时
报废,那么这辆自行车将能行驶 ;
7、已知线段AB的中点为C,以点C为圆心,AB长为半径作
圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,
DA的长位半径作圆,与⊙A分别相交于点F、G两点,连接FG交
AB于点H,则
AH
的值为 ;
AB
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
满足条件
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
9
的五个不同的整数,8、已知
a
1

若b是关于x
的方 程
(xa
1
)(xa
2
)(xa
3
)(x a
4
)(xa
5
)2009

的整数根,则b的值为 ;


9、如图所示,在△ABC中,CD是高,CE为∠ACB
分线,若AC= 15,,BC=20,CD=12,则CE的长等于
10、10个人围成一个圆圈做游 戏,游戏的规则是:
心里都想好一个数,并把自己想好的数如实告诉两旁
人,然后每个人将他两 旁的两个人告诉他的数的平均
来,若抱出来的数如图所示,则报3的人心里想的数
三、解答题( 共4小题,每题20分,共80分)
的平
每个人
的两个
数报出
是 ;
11、函数
yx
2
(2k1)xk
2
的图像与 x轴的两个交点是否都在直线x=1的右侧?若是,
请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线 x=1的右侧时k的取值范围?
12、在平面直角坐标系xoy中,我们把横坐标为整数,纵坐标为完 成平方数的点称为
“好点”,求二次函数
y(x90)
2
4907的图像上的所有“好点”的坐标.
13、如图,给定锐角△ABC,BC<CA,AD,BE是它 的两条高,过点C作△ABC的外接圆
的切线l,过电D、E分别作l的垂线,垂足分别为F、G,试比 较线段DF和EG的大小,并
证明你的结论?
,a
2
,,a
n
满足如下条件:
1a
1
、a
2
a
3
a
n
2009
且14、n个正整数
a
1

a
1
,a
2
,,a
n
中任意n-1个不同的 数的算术平均数都是正整数,求n的最大值。
2009年初中数学竞赛江西赛区决赛试题
第一试
一、 选择题(每小题7分,共42分)
1、化简
32
1724

32
1724
的值是( ).
A、
2
B、
367
C、 D、.
234
2、a,b,c是互不相同的实数,


a
2
( xb)(xc)b
2
(xc)(xa)c
2
(xa)(xb)< br>
则代数式经化简后得到( ).
(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)
A、
a
2
B、
b
2
C、
c
2
D、
x
2
.
3、设实数aA、ax+by+cz B、cx+by+az C、bx+ay+cz D、ax+cy+bz
4、若△ABC的三条边长AB=3,AC=4,BC=5,分别以A、B、C 为圆心作⊙A,⊙B,⊙C,
使得这两个圆两两相切,则⊙A,⊙B,⊙C面积之比是( ).
A、1:2:3 B、3:4:5 C、1:4:9 D、9:16:25
5、数组{a,b,c,d},a的个数是( ).
A、6 B、8 C、12 D、16. < br>6、若一元二次方程
x
2
axb0
的两根为整数,且两根的平方 和为2009,则这种方程
有( ).
A、1个 B、2个 C、4个 D、8个.
二、填空题(每小题7分,共28分)
7、从前20个正整数1,2,……20 中选择5个不同的数填写在一个圆周上,使得圆周
上每相邻两数之和都是平方数,你的填法是( ).(如果写成一行,首尾的
数看成相邻).
8、若f(x)=
3
1x2x1x2x1x1
2
3
2
3
2
,
则f(1)+f(3)+f(5)+ …+f(2009)= .
9、若AD,BE为△ABC的两条角平分线,I为内心,若
四点共圆,且DE=1,则ID= .
10、设
a
k

2
k
3
2
 1
k
C,D,I,E
,k为自然数,令
Aa
1
a
2
a
9

Ba
1
a
2
a
9
,则
A
= .
B


第二试
三、 解答题(本题三大题,共70分)
11、(20分)
若关于x的方程
x
4
16x
3
(812a)x
2
(16a14 2)xa
2
21a680
的各根为整数,求a的值,并解此方程.
12、(25分)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,E,F分别是边AC,
AB 上的点,且DE∥AB,DF∥AC,作点D关于EF的对称点F,
证明:PD平分∠BPC,且△PBC∽△AEF.
13、(25分)将前300个正整数1 、2、3、4、…、
板上排成一行,然后划去两数1、2,而将这两数
面,成为3、4、5、6 、…300、3;接着,再划去
300顺次在黑
的和写在最后
前两数3、4,
而将这两数的和写在最后面,成为5、6、7、8、…、300、3、7;象这样一直进行下去,
直到黑 板剩下一个数为止,试求黑板上出现过所以数之和(包括每次划去的数在内).
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1. 设
a71
,则3a
3
12a
2
6a12
( )
A.24. B. 25. C.
4710
. D.
4712
.
2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=( )
A.
72
. B.
10
. C.
105
. D.
73
.
3.用
[x]< br>表示不大于
x
的最大整数,则方程
x
2
2[x]30< br>的解的个数为 ( )
A.1. B. 2. C. 3. D. 4.
4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有 三角
形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B )
A.
3
314
. B. . C. . D. .
14
727
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为 直径在矩形内作半圆,自点A作半
圆的切线AE,则
sin
CBE= ( )


A
D
A.
6
2
1
. B. . C. . D.
3
3
3
E
10
.
10
C
6.设
n
是大于1909的正整数,使得
个数是 ( )
n1909
为完全
2009n
B
平方数的
n

A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.已知
t
是实 数,若
a,b
是关于
x
的一元二次方程
x
2
2x t10
的两个非负实根,则
(a
2
1)(b
2
1 )
的最小值是___ _____.
2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DEBC交 AC于点E,作DFAC交BC于点F,
已知△ADE、△DBF的面积分别为
m
和< br>n
,则四边形DECF的面积为_ __.
3.如果实数
a,b< br>满足条件
a
2
b
2
1

|12ab |2a1b
2
a
2
,则
ab
____
4.已知
a,b
是正整数,且满足
2(
1515
)
是整 数,则这样的有序数对
(a,b)
共有 对.
ab
第二试
一、 (本题满分20分)已知二次函数
yx
2
bxc(c0)
的图象与< br>x
轴的交点分别为A、
B,与
y
轴的交点为C.设△ABC的外接圆的 圆心为点P.
(1)证明:⊙P与
y
轴的另一个交点为定点.
(2)如果 AB恰好为⊙P的直径且
S
△ABC
=2
,求
b

c
的值.
二.(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,
I
1

I
2
分别是△ADC、
△BDC的内心,AC=3,B C=4,求
I
1
I
2
.
三.(本题满分25分)已知
a,b,c
为正数,满足如下两个条件:
I
2

abc32

I
1

bcacababc1


bccaab4
是否存在以
a,b,c
为三边长的三角形?如果存在,求 出三角形的最大内角.

2008年全国初中数学联合竞赛试题
第一试


一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
.1.设
a
2
13a

b
2
13b
,且
ab
,则代数式
11


2
的值为 ( )
2
ab
(A)
5.
(B)
7.
(C)
9.
(D)
11.
2.如图,设< br>AD

BE

CF
为三角形
ABC
的三条高 ,若
AB6

BC5

EF3
,则
线段BE
的长为 ( )
(A)
182124
.
(B)
4.
(C)
.
(D)
.
555
3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,
把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为
个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( )
(A)
13
21
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
510
52
4. 在△
ABC
中,
ABC12

ACB132

BM

CN
分别是这两个角的外角平分线,且点
M,N
分 别在直线
AC
和直线
AB
上,则
( )
(A)
BMCN
.
(B)

BMCN
.
(C)

BMCN
.
(D)

BM

CN
的大小关系不确定.
5.现 有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,
这5种商品的价格互 不相同,设最高价格和最低价格的比值为
r
,则
r
的最小值为
( )
9999
(A)

()
3
.
(B)

()
4
.
(C)

()
5
.
(D)
.
88886、已知实数
x,y
满足
(xx
2
2008)(yy2
2008)2008
,则
3x
2
2y
2
3x3y2007

值为( )
(A)

2008
.
(B)
2008.
(C)

1
.
(D)
1.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)


51
a
5< br>a
4
2a
3
a
2
a2

. 1.设
a
,则
3
2
aa
2.如图,正方形
ABCD
的边长为1,
M,N

BD
所在直线上的两点,且
AM5

MAN135
,则四边形
AMCN
的面积为
3.已知二次函数
yx
2
axb
的图象与
x
轴的两个交
点的横坐标分别为
m

n
,且
mn1.设满足上述要求的
b

的最大值和最小值分别为
p

q
,则
pq

4.依次将正整数1,2,3,……,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字
是6 ,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是
第二试
一 .(本题满分20分)1、已知
a
2
b
2
1
,对于满足 条件
0x1
的一切实数
x
,不等式
a(1x)(1xax )bx(bxbx)0
(1)恒成立.当乘积
ab
取最小值时,求
a ,b
的值.
二.(本题满分25分) 如图,圆
O
与圆
D
相交于
A,B
两点,
BC
为圆
D
的切线,点
C< br>在

O
上,且
ABBC
.
(1)证明:点
O
在圆
D
的圆周上.
(2)设△
ABC
的面积为
S
,求圆
D
的的半径
r
的最小值. 。
三.(本题满分25分)1、设
a
为质数,
b
为正整数,且9(2ab)
2
509(4a511b)

a

b
的值.
2008年全国初中“数学周报”杯数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)
1.已知实数
x,y
满足
42
4
42
y
4
的值为( )
3,yy3
,则.
4
42
x
xx
113
713
(C) (D)5
2
2
(A)7 (B)
2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为
m

n
,则二次函数
yx
2
mxn
的图象与
x

有两个不同交点的概率是 ( ).
(A)
5
4
17
1
(B) (C) (D)
1236
92
3.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小 圆
个不同的点,则这6个点可以确定的不同直线最少有
( ).
(A)6条 (B) 8条 (C)10条 (D)12条
4.已知
AB
是半径为1的圆
O
的一条弦,且
ABa1


AB
为一边在圆
O
内作正△
ABC
,点
D
为圆< br>O
上不同于点
周上有2
A
的一点,且
DBABa

DC
的延长线交圆
O
于点
E

为( ).
(A)
53
a
(B)1 (C) (D)
22

AE
的长
a

个数是奇5.将1,2 ,3,4,5这五个数字排成一排,最后一
数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一 个数整除,那么满足要求的
排法有( ).
(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6.对于实数
u

v
,定义一种运算“*”为:
uvuvv
.若关于
x
的方程
x(ax)
有两个不同的实数根,则满足 条件的实数
a
的取值范围是 .
7.小王沿街匀速行走 ,发现每隔6分钟从背
路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交
18路公交车行驶速度 相同,而且18路公交车总站
(第
隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟.
8
后驶过一辆18
车.假设每辆

1
4


8.如图,在△
ABC
中,
AB
=7,
AC
=11,点
M

BC
的中点,
AD
是∠
BAC

平分线,
MF

AD
,则
FC
的长为 .
9.△
ABC
中,
AB
=7,
BC
=8,CA
=9,过△
ABC
的内切圆圆心
I

DE

BC

分别与
AB

AC
相交于点
D

E
,则
DE
的长为 .
10.关于
x

y
的方程
x
2
y
2
20 8(xy)
的所有正整数解为 .
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11.在直角坐标系
xOy
中,一次函数
ykxb
的图象与
x
轴、
y
轴的正半轴 分
(k0)
别交于
A

B
两点,且使得△
OAB
的面积值等于
OAOB3

(1) 用
b
表示
k

(2) 求△
OAB
面积的最小值.
12.是否存在质数
p

q
,使得关于
x
的一元二次方程
px
2
qxp0
有有理数根?
13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2 倍
的△
ABC
?证明你的结论.
14.从1,2,…,9中任取
n
个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以
是全部),它们的和能被10整除,求< br>n
的最小值.
2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)
(2008年4月19日 上午9:00—11:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
本题共有6小题,每题均给出了代号为
A,B,C,D
的四个答案,其中有且仅有一个是正确
的.将你所选择的答案的代号填在题后的 括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的
代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0 分.
1、从分数组

数是( )
(A)

(B )

1
4
1
8
1
4
11111
(C)

(D)


10810812
111111
,,,,,
24681012

中删去两个分数,使剩下的数之和为1,则删 去两个


3
2、化简
1
2
25
的结果是( )
15
5
15
3
(C) (D)
7
4
8
(A) (B)
第5题图
3、
5
55
的末尾三位数字是( )
(A)125 (B)375 (C)625 (D)875

xy

x2y
1.........(1)


yz
4、若实数
x,y,z
满足方程组:

2... .......(2)
, 则有( )

y2z

zx
3...........(3)


z2x
(A)x+2y+3z= 0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=0 < br>5、将正三角形每条边四等份,然后过这些分点作平行于其它两边的直线,则以图中线
段为边的菱 形个数为( )
( A)15 (B)18 (C)21 (D)24
6、某人将2008看成了一个填数游戏式:2□□8,于是他在每个框中各填写了一个两
位数
ab与cd
,结果所得到的六位数
2abcd8
恰是一个完全立方数,则
ab cd
=( )
(A)40 (B)50 (C)60 (D)70
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
7、设
(xx
2
 1)(yy
2
4)9,则xy
2
4yx
2
1
.
8、一本书共有61页,顺次编号为1,2,…,61,某人在将这些数相 加时,有两个两
位数页码都错把个位数与十位数弄反了(即:形如
ab
的两位数被当成 了两位数
ba
),结果
得到的总和是2008,那么,书上这两个两位数页码之和的最 大值是 .
9、如图,在边长为1的正三角形
ABC
中,由两条含
120
0
圆心角的弓
形弧,及边BC所围成的(火炬形)阴影部分的面积是 .


10、不超过
(53)
6
的最大整数是 .
三.解答题(共70分)
11. (本题满分20分)设a为整数,使得关于x的方程a
x
2
-(a+5)x+a+7=0至少有一个
有理根,试求方程所有可能的有 理根.
12. (本题满分25分)如图,四边形中
ABCD
中 ,
E,F
分别是
AB,CD
的中点,
P
为对
角线
AC
延长线上的任意一点,
PF

AD

M

PE< br>交
BC

N

EF

MN

K
;
求证:
K
是线段
MN
的中点.
13. (本题满分25分)120人参加数学竞赛,试题共有5道大题,已知第1、2、3、4、
5题分别有9 6、83、74、66、35人做对,如果至少做对3题便可获奖,问:这次竞赛至少
有几人获奖?
2007年江西省初中数学预赛试题
(2007年3月24日上午9:00~11:00)
第一试
一、选择题(本大题共六小题,每小题7分,共42分)
1、2007
2007
的末位数字是( )
A、1 B、3 C、
32
D、
32

2、 化简
23
223

23
223
的结果是( )
A、
3
B、
2
C、
32
D、
32

3、若
a,b, c
为正数,已知关于
x
的一元二次方程
ax
2
bxc 0
有两个相等的实根,则方

(a1)x
2
(b2)xc 10
的根的情况是( )
A、没有实根 B、有两个相等的实根
C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定
4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边
种直角三角形的个数为( )
A、36 B、60 C、96 D、120
5、对于给定 的单位正方形,若将其两条对角线以及每两条边的中线连线作出,便得到
右图,则图中互为相似的三角形 “对子”数有( )
形的顶点,则这


A、44 B、552 C、946 D、1892
6、若将三条高线长度分别为x,y, z的三角形记为(x,y,z),则在以下四个三角形
(6,8,10),(8,15,17),(12 ,15,20),(20,21,29)中,直角三角形的个数为( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28
D
C
分)
7、 满足方程
3x4
3
53x1
的所有实数
x
的和为
8、边长为整数,周长为20的三角形个数是
9、在边长为1的正 方形ABCD中,分别为A、B、C、D
圆心,作半径为1的圆弧,将正方形分成图中的九个小块,
则中心小块的面积是
10、用数字1,2,3,4排成一个四位数,使得这个数是11的倍数,则这样的四位数
共有 个
第二试
三、解答题:(本大题共3小题,共70分,第11小题20分,第12、13小题各25分)
11、试求所有的正整数
a
,使得关于
x
的一元二次方程
x
2
5a
2
26a8x(a
2
4a9)0
的 两根皆为整数
12、四边形ABCD的对角线AC、BD交于P,过点P作直线,交AD于E,交BC 于F,若
PE=PF,且AP+AE=CP+CF,证明:四边形ABCD为平行四边形
13 、若数
a
能表示成两个自然数(允许相同)的平方和,则称
a
为“好数”,试 确定在
前200个正整数1,2,…,200中,有多少个“好数”?
AB

2007年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)
1.方程组

xy6
的实数解的个数为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2.口袋中有20 个球,其中白球9个,红球5个,黑球6
从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球< br>2个,
个.现
不少于

xy12,


黑球 不多于3个,那么上述取法的种数是( )
(A)14 (B)16 (C)18 (D)20
3.已知
a

b

c
是三个互不相等 的实数,且三个关于
x

方程
ax
2
bxc0

bx
2
cxa0

cx
2
axb 0
恰有一个公共
a
2
b
2
c
2


的值为( )
bccaab
y
一元二次
实数根,
A
C
3 (A)0 (B)1 (C)2 (D)
O E
B F
D
(第6题
4.已知△ABC为锐角三角 形,⊙O经过点B,C,且与边AB,AC分别相交于点D,E.若
x
⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,
则⊙O一定经过△ABC的( ).
(A)内心 B)外心 (C)重心 (D)垂心
5.方程
x
3< br>6x
2
5xy
3
y2
的整数解(
x,y< br>)的个数
( ).
(A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多
二、填空题(共5小题,每小题6分,満分30分)
6.如图,点A,C都在函数
y 
33

x
>0)的图象上,点B,
x

D点在
x
轴上,且使得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为 .
7 .如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4.点P是半圆弧AC的中点,连
接BP, 线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分
面积之差的绝对 值是 .
8.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
n90
,则
n
= .
9.已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0) .若二次函数
yx
2
(a3)x3
的图象与线
A
B
段AB恰有一个交点,则
a
的取值范围是 .
Q
10.已知对于任意正整数
n
,都有
a
1
a
2
a
n
n
3

C
D
G
F
E
(第8题图)



111
= .

a
2< br>1a
3
1a
100
1
三、解答题(共4题,每小题15 分,满分60分)
11.已知抛物线
C
1
:yx
2
 3x4
和抛物线
C
2
:yx
2
3x4
相交 于点A,B两点.点P
在抛物线
C
1
上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物 线
C
2
上,也位于点A和点B之间.(1)
求线段AB的长;(2)当PQ∥
y
轴时,求PQ长度的最大值.
解:
2
y
A
1
P
12.已知
a,b
都是正整数,试问关于
x
的方程
xabx(ab)0
是否有两个整数解?
2
如果有,请把它们 求出来;如果没有,请给出证明.
Q
O
B
x
解:
(
第11题图)
13.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长 线上,且满足
DEAD
.若

CFBC
CD,FE的延长线相交于点 G,△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接
PA,PB,PC,PD.求证: (1)
证明:
14.(1)是否存在正整数
m

n
,使 得
m(m2)n(n1)

ADPD
;(2)△PAB

BCPC
∽△PDC.
(2 )设
k

k
≥3)是给定的正整数,是否存
m

n
,使得
m(mk)n(n1)

在正整数
解:
2006年全国初中数学竞赛初赛试题
(2006年3月12日 上午9:00—11:00)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.要 使方程组


4
3
3x2ya,
的解是一对异号的数, 则
2x3y2

a
的取值范围是( )
4
3
(A)


a
<3 (B)
a
< (C)
a
>3 (D)
a
<,或
a
>3
4
3


2.一块含 30°角的直角三角板(如图),它的斜边
AB
=8cm,里面空心△
DEF
的各边与

ABC
的对应边平行,且各对应边的距离都是1 cm,那么△
DEF
的周长是( )
(A) 5 cm (B) 6 cm (C)(
63
)cm (D)(
33
)cm
3.将长为15 dm的木棒截成长度为整数的三段,使它们构成一个三角形的三边,则不
同的截法有( )
(A) 5种 (B) 6种 (C) 7种 (D) 8种
4.作抛物线
A
关于
x
轴对称的抛物线
B< br>,再将抛物线
B
向左平移2个单位,向
上平移1个单位,得到的抛物线
C
的函数解析式是
y2(x1)
2
1

则抛物线A
所对应的函数表达式是( )
(A)
y2(x3)
2
2

y2(x3)2

2
A
(B)
G
B
C
E
(
D
第6
(C)
y2(x1)
2
2
(D)
F
y2(x1)
2
2

5.书架上有两套同样的 教材,每套分上、下两册,在这四册教材中随机抽取两册,恰
好组成一套教材的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
6.如图,一枚棋子放在七边形
ABCDEFG
的顶点
A
处,现顺时针方向 移动这枚棋子10次,
移动规则是:第
k
次依次移动
k
个顶点.如第 一次移动1个顶点,棋子停在顶点
B
处,第二
次移动2个顶点,棋子停在顶点
D
处.依这样的规则,在这10次移动的过程中,棋子不可
能停到的顶点是( )
(A)
C

E

F
(B)
C

E

G
(C)
C

E
(D)
E

F

7 .一元二次方程
ax
2
bxc0(a0)
中,若
a

b
都是偶数,
c
是奇数,则这个方程( )
(A) 有整数根 (B) 没有整数根 (C) 没有有理数根 (D) 没有实数根
8.如图所示的阴影部分由 方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图
案为
L
形,那么在由4×5个小方格组成的 方格纸上可以画出不同位置的
L
形图案个数是( )
(A) 16 (B) 32 (C) 48 (D) 64
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm和4 cm,那么以两直角边为直径的两圆
公共弦的长为 cm.
10 .将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列,处于最中间位置的数(当数据
的个数是奇数时), 或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的
中位数.现有一组数据共有100 个数,其中有15个数在中位数和平均数之间,如果这组数
(第8题)
2
3
1
3
1
2
1
6


据的中位数和平均数都不在这 100个数中,那么这组数据中小于平均数的数据占这100个
数据的百分比是 .
11.△
ABC
中,
a

b

c
分别是∠
A
、∠
B
、∠
C
的对边.已知
a
=
10

b
=
32

c
=
3 2


b
sin
B
+
c
sin
C
的值等于 .
12.设直线
ykxk1
和直线
y(k1)xk

k
是正整数)及
x
轴围成 的三角形面积为
S
k


S
1
S
2S
3
LS
2006
的值是 .
F
D
M
E
A
13.如图,正方形
ABC D
和正方形
CGEF
的边长分别是2和3,
且点
B

C

G
在同一直线上,
M
是线段
AE
的中点,连 结
MF
,则
B
MF
的长为 .
(第13题)
C
G
14.边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周 长分为1∶2的两部分,那么所有这
些等腰三角形中,面积最小的三角形的面积是 .
三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)
15 .已知
a

b

c
都是整数,且
a2b4
abc
2
10
,求
abc
的值.
16.做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺,每个店铺在同一段时间内都能售出
A
B
两种款式的服装合计30件,并且每售出一件
A
款式和
装,甲店铺获毛 利润分别为30元和40元,乙店铺获毛
为27元和36元.某日王老板进货
A
款式服 装35件,
B
25件.怎样分配给每个店铺各30件服装,使得在保证
毛利润不小于9 50元的前提下,王老板获取的总毛利润
大的总毛利润是多少?
一周回到原来的位置.
(1) 当⊙
O
和凸
n
边形的周长相等时,证明⊙
O
自身转动了两圈.
B
款式服
利润分别
O
·
A
A
款式服装
A
A
乙店铺获
最大?最
A
17(第
17.如图所示,⊙
O
沿着凸
n
边形
A
1
A
2
A
3

A
n
-1
A
n的外侧(圆和边相切)作无滑动的滚动
(2) 当⊙
O
的周长是
a
,凸
n
边形的周长是
b
时,请写出此时⊙
O
自身转动的圈 数.
18.已知二次函数
yx
2
2(m1)xm1

(1) 随着
m
的变化,该二次函数图象的顶点
P
是否都在某条抛物 线上?如果是,请求出
该抛物线的函数表达式;如果不是,请说明理由.
(2) 如果直线< br>yx1
经过二次函数
yx
2
2(m1)xm1
图象的顶点
P
,求此时
m
的值.
2006年全国初中数学竞赛试题
考试时间 2006年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分
一 、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。以下每道小题均给出了代号为A,


B, C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的
括号里。不填、多 填或错填均得0分)
1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从1 0千
米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,
那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )
(A)36 (B)37 (C)55 (D)90
2.已知
m 12

n12
,且
(7m
2
14ma)(3n
2
6n7)
=8,则
a
的值等于( )
(A)-5 (B)5 (C)-9 (D)9
3.Rt△ABC的三个顶点
A

B

C< br>均在抛物线
yx
2
上,并且斜边
AB
平行于
x轴.若斜
边上的高为
h
,则( )
(A)
h
<1 (B)
h
=1 (C)1<
h
<2 (D)
h
>2
4.一个正方 形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一
部分,再沿一条不过任何顶点的 直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,
还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部 分……如此下去,最后得到了34个六十二边
形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )
(A)2004 (B)2005 (C)2006 (D)2007
5.如图,正方形
ABCD
内接于⊙
O
,点
P
在劣弧
AB
上,连结
DP
,交
AC
于点
Q
.若
QP=QO


QC
的值为( )
QA
D
O
Q
A
C
(A)
231
(B)
23
(C)
32
(D)
32

二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)
6.已知
a
,b,c为整数,且
a
+b=2006,c-
B
P
(第5题
A
D
a
=2005.若
a

a
+b+c的最大值为 .
B
G
E F
C
(第7题


7.如图,面积为
abc
的正方形
DEFG
内接于面积为1的正三角形
ABC
,其 中
a
,b,
c为整数,且b不能被任何质数的平方整除,则
ac
的 值等于 .
b
8.正五边形广场
ABCDE
的周长为 2000米.甲、乙两人分别从
A

C
两点同时出发,沿
A

B

C

D

E

A
→…方向绕广场行走,甲的速度为50米分,乙的速度为46米分.那
么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.
9.已知0<
a
<1,且满足

a



a



a 

18
,则

10a

的值等
30< br>
30

30

于 .(

x

表示不超过
x
的最大整数)
10.小 明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数
字8,成为一个七位数的电 话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位
数的电话号码.小明发现,他家两次升位 后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六
位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
11.已知
x
b

a

b
为互质的正整数(即
a

b是正整数,且它们的最大公约数为1),
a

1

2

29


a
≤8,
21x31
.试写 出一个满足条件的
x
;求所有满足条件的
x

12.设
a

b

c
为互不相等的实数,且满足关系式求
a
的 取值范围.

13.如图,点
P
为⊙
O
外一点,过点P
作⊙
O
的两条切线,
P
切点分别为
A

B
.过点
A

PB
的平行线,交⊙
O
于点
C
.连结
PC
,交⊙
AE
,并延长
AE

PB
于点
K
.求证:
PE·AC=CE·KB

14.10个学生参加
n
个课外小组,每一个小组至多5
学生至少参加某一个小组,任 意两个课外小组,至少可以找
A
K
E
O
于点
E
;连结
B
O
C
个人,每两 个
到两个学生,他
们都不在这两个课外小组中.求
n
的最小值.
(第13题)
2006年全国初中数学联合竞赛试卷(C卷)


第一试
(4月9日 上午 8:30-9:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.已知四边形
ABCD
为任 意凸四边形,
E

F

G

H
分别是边< br>AB

BC

CD

DA
的中点,

S

P
分别表示四边形
ABCD
的面积和周长;
S
1

P
1
分别表示四边形
EFGH
的面积和周长 .设
SP
K
= ,
K
1
= ,则下面关于
K

K
1
的说法正确的是 ( ).
S
1
P
1
A
.
K

K
1
均为常值
B
.
K
为常值,
K
1
不为常值
C
.
K
不为常值,
K
1
为常值
D
.
K

K
1
均不为常值
2.已知m
为实数,且sinα、cosα是关于
x
的方程3
x
2

mx
+ 1 = 0的两根,则sin
4
α+ cos
4
α的值为
( ).
217
A
.
B
.
C
.
D
.1
2
939
x
3.关于
x
的方程| |=
a
仅有两个不同的实根,则实数
a
的取值范围是 ( ).
x
–1
A
.
a
> 0
B
.
a
≥4
C
.2 <
a
< 4
D
.0 <
a
< 4
4.设
b
>0,
a
2
-2
ab
+
c
2
= 0,
bc
>
a
2
,则实数
a

b

c
的大小关系是 ( ).
A
.
b
>
c
>
a

B
.
c
>
a
>
b

C
.
a
>
b
>
c

D
.
b
>
a
>
c

5.设
a

b
为有理数,且满足等式
a
+
b
3 =6 ⋅1 + 4 + 23 ,则
a
+
b
的值

( ).
A
.2
B
.4
C
.6
D
.8
6.将满足条件“ 至少出现一个数字0,且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:
20,40,60,80,100 ,104,……,则这列数中的第158个数为 ( ).
A
.2000
B
.2004
C
.2008
D
.2012
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.函数
y
=
x
2
-2006|
x
|+ 2008的图象与
x
轴交点的横坐标之和等于__________.
2.在等腰
Rt

ABC
中,
AC
=
BC
=1,
M

BC
的中点,
CE

AM

E

AB

F
,则
S< br>⊿
MBF

= __________.
3.使
x
2
+ 4 + (8 -
x
)
2
+ 16 取最小值的实数
x
的值为__________.
4.在平面直 角坐标系中,正方形
OABC
的顶点坐标分别为
O
(0,0),
A< br>(100,0),
B
(100,100),
C
(0,100).若正方 形
OABC
内部(边界及顶点除外)一格点
P
满足:
S

POA

S

PBC
=
S

PAB

S

POC
,就称格点< br>P
为“好点”,则正方形
OABC
内部“好点”的个数为__________ .
(注:所谓“格点”,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)
第二试
(4月9日 上午 10:00-11:30)
一、(本题满分20分)


如图,
D
为等腰△
ABC
底边
BC
的中点,E

F
分别为
AC
及其延长线上的点.又已知∠
EDF
= 90°,
ED
=
DF
= 1,
AD
= 5.求线段
BC
的长.
二、(本题满分25分)
在平行四边形
A BCD
中,∠
A
的平分线分别与
BC

DC
的延长 线交于点
E

F
,点
O

O
1
A
F
分别为△
CEF
、△
ABE
的外心. (1)求证:
O

E

O
1
三点共线;

(2)求证:若∠
ABC
= 70°,
求∠
OBD

度数.
三.(本题满分25分)
B
A
O
1
.< br>E
B
D
C
E
D

p
为正整数,且
p
≥ 2. 在平面直角坐标系中,连结点
C
O
A
(0,
p
)和点
F
B
(
p
,0)的
线段通过
p
– 1 个格点
C
1
(1,
p
- 1),… ,
C
i
(
i

p

i
),… ,
C
p
– 1
(
p
– 1,1).
证明:(1)若
p
为素数,则在原点
O
(0,0)与点
C
i
(
i

p

i
)的连线段
OC
i

i
= 1,… ,
p
- 1)上除端点外无其它格点;(2) 若在原点
O
(0,0)与点
C
i
(
i

p

i
)的连线段
OC
i

i
= 1,… ,
p
- 1)上除端点外无其它格点,则
p
为素数.
2005年全国初中数学联赛初赛试卷
3月25日下午2:30-4:30或3月26日上午9:00-11:30
学校___________ 考生姓名___________
一、选择题:(每小题7分,共计42分)
1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是( )
(A)a>b

a>b; (B)a≠b

a≠b; (C)|a|>b

a>b; (D)a>|b|

a>b
2、 已知:a+b+c=3,a
2
+b
2
+c
2
=3,则a2005
+b
2005
+c
2005
的值是( )
(A)0 (B) 3 (C) 2
2005

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制
边形,白皮为 正六边形,(如图),如果缝制好的这
块,则白皮有( )块。
(D)3·2
2005

而成,黑皮为正五
种足球黑皮有12
22222222


(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、 在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x-(2m-1)x+4(m
-1)=0的两根,则m的值是( )
(A)4 (B)-1 (C)4或-1 (D)-4或1
5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点, 设k为整数,当直线y=x-3与
y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取( )
(A)2个 (B)4个 (C)6个 (D)8个
6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax
2
+bx+c的图像的对称轴,则有( )
(A)a+b+c=0 (B)b>a+c (C)c>2b (D)abc<0
二、填空题: (每小题7分,共计28分)
x
2
1
1、已知:x为非零实数,且
xx
= a, 则 =_____________。
x

1
2
1
22
2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x
2
+a
2
x+a = 0有实根,则该方程的根x所能
取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC
于Q,则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使 n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,
例如:3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~ 20这20个自然数中,“好数”共有 __个。
三、(本题满分20分)设A、B是抛物线y= 2x
2
+4x-2上的点,原点位于线段AB的中
点处。试求A、B两点的坐标。 < br>四、(本题满分25分)如图,AB是⊙o的直径,AB=d,过A作⊙o的切线并在其上取
一点 C,使AC=AB,连结OC叫⊙o于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长。

B
五、(本题满分25分)设x = a+b-c ,y=a+c-b ,z= b+c-a ,其中a、b、c是待定的
O
D
A E
C


质数,如果x=y ,
zy
=2,试求积abc的所有可能的值。
2
2005年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题(满分30分)
1.如图 a,ABCD是一矩形纸片,AB=6cm,AD=8cm,E是AD上一点,且AE=6cm,操作:
⑴将AB向AE折过去,使AB与AE重合,得折痕AF,如图b;⑵将△AFB以BF为折痕向右
折过 去,得图c,则△GFC的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若M=3x
2
-8xy+9y
2
-4x+6y+13(x,y是实数),则M的值一定是( )

A.正数 B.负数 C.零 D.整数
3.已知点I是锐角△A BC的内心,A
1
,B
1
,C
1
分别是点I关于边BC,C A,AB的对称点。
若点B在△A
1
B
1
C
1
的外 接圆上,则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.设
A48(
111
L)
,则与A最接近的正整数是( )
222
34441004
A.18 B.20 C.24 D.25
5.在自变量x的取值范围59≤x≤60内,二次函数< br>yx
2
x
的函数值中整数的个数
是( )
A.59 B.120 C.118 D.60
二、填空题(满分30分)
6.在一个圆形的时钟的表面,OA表示秒针,OB表 示分针(O为两针的旋转中心)。若现
在时间恰好是12点整,则经过_____秒后,△OAB的面积 第一次达到最大。
3
4
112

,则m=_____. 两点到 原点的距离分别为OA,OB,且满足
OBOA3
1
2
7.在直角坐标系中, 抛物线
yx
2
mxm
2
(m0)
与x轴交于A,B 的两点。若A,B
8.有两幅扑克牌,每幅的排列顺序是:第一张是大王,
是小王,然后是黑桃 、红桃、方块、梅花四种花色排列,
E
P
C
第二张
D
每种花
A
QR
B


色的牌又按A,2,3,…,J,Q,K的顺序排列 。某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放
在一起,然后从一到下把第一张丢去,把第二张放在最底层, 再把第三张丢去,把第四张
放在底层,……如此下去,直至最后只剩下一张牌,则所剩的这张牌是___ ______
9.已知D,E分别是△ABC的边BC,CA上的点,且BD=4,DC=1,AE= 5,EC=2。连结AD
和BE,它们交于点P。过P分别作PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边A B交于点Q,R,则△
PQR的面积与△ABC的面积的比是________
10.已知x
1
,x
2
,x
3
,…x
19
都是正整数, 且x
1
+x
2
+x
3
+…+x
19
=59 ,x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+… +x
19
2
的最大值
为A,最小值为B,则A+B的值等于________ _。
三、解答题、(满分60分)
11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站, 每辆车乘4人(不包括司机)。其中
一辆小汽车在距离火车站15km地方出现故障,此时距停止检票的 时间还有42分钟。这时
惟一可用的交通工具是另一辆小汽车,已知包括司机在内这辆车限乘5人,且这 辆车的平
均速度是60kmh,人步行的平均速度是5kmh。试设计两种方案,通过计算说明这8个人
能够在停止检票前赶到火车站。
12.如图,半径不等的两圆相交于A、B两点,线段CD经 过点A,且分别交两圆于C、D
»

BD
»
的中点。两点。连结BC 、BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点。M,N分别是
BC
求证:
13. .已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程x
2
-(8p-10q)x +5pq=0至少有一
个正整数根,求所有的质数对(p,q).
14.从1,2….,205个共205 个正整数中,最多能取出多少个数。使得对于取出来的
数中的任意三个数a,b,c (a,2004年“
TRULY
信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)


1、已知实数a≠b,且 满足(a+1)=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1).则
b
( ).
(A)23 (B)-23 (C)-2 (D)-13
22
ba
的值为
a
ab
2、若直角三角形 的两条直角边长为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有( )
(A)ab=h
2
(B)

1
a
11
111
222

(C)
2

2

2
(D)a+b=2h
bh< br>abh
3、一条抛物线y=ax
2
+bx+c的顶点为(4,-11),且与x 轴的两个交点的横坐标为一正
一负,则a、b、c中为正数的( )
(A)只有a (B)只有b (C)只有c (D)只有a和b
4、如图所示,在△ABC中,DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距离之比为1:2。若△AB C
的面积为32,△CDE的面积为2,则△CFG的面积S等于( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
5、如果x和y是非零实数,使得∣x∣+y=3和 ∣x∣y+x
3
=0,那么x+y等于( )
(A)3 (B)
13
(C)
113
(D)
413

2
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6、如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,则∠EDC= (度)。
7、据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n(单位:万人)以及两城市间的距离 d(单位:km)有T=
kmn
的关系(k为常数 )。现测
2
d
得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示,且已知A、B 两个城市间每天的电
话通话次数为t,那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为 次(用t表示)。
8、已知实数a,b,x,y满足a+b=x+y=2,ax+by=5,则(a< br>2
+b
2
)xy+ab(x
2
+y
2
)= .
9、如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC (BC>AD),∠
D=90°,BC=CD=12,
∠ABE=45°,若AE=10,则CE的长为 。


10、实数x、y、z满足x+y+z=5,xy+yz+zx =3,则z的最大值是 。
三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)
1 1、通过实验研究,专家发现:初中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间的变
化而变化的。讲课开 始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持平稳的状
态,随后开始分散。学生注意力指标 数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示(y越
大表示学生注意力越集中)。当0≤x≤10时, 图象是抛物线的一部分,当10≤x≤20和20
≤x≤40时,图象是线段。
(1) 当0≤x≤10时,求注意力指标数y与时间x的函数关系式;
(2) 一道数学竞赛题,需要讲解2 4分钟。
老师能否经过适当安排,使学生在听
道题时,注意力的指标数都不低于
12、 已知a、b是实数,关于x、y的方
有整数解(x,y),求a,b满足的关系式。
13、D 是△ABC的边AB上的一点,使得
是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB,求
A B=3AD,P



36。

PB
的值。
PD
14、已知a<0,b≤0,c>0,且
b
2
4ac
= b-2ac,求
最小值。
b
2
-4ac的
2004年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题
a
2
b
2
c
2
1.已知a bc≠0,且a+b+c=0, 则代数式

的值是( )
bccaab
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以 p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是


( )
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3. 一个三角 形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,
若两个三角形的最小 内角相等,则的值等于( )
(A)
31513252
(B) (C) (D)
2222
a
b
4. 过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作
( )
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根, 则ab的取值范围为


(A)
ab
(B)
ab
(C)
ab
(D)
ab

6.如图,在2×3矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点 为顶点的
等腰直角三角形的个数为( )
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D)
二.填空题
1.计算
1
12
1
23

1
34
L
1
20 032004

.
1
8
1
8
1
4
1
4
50
2.如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,
D
C
DA为半径的圆
则弧与以BC为直径的圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,
BN
= .
NC
A
N
P
B
3.实数a,b满足a3+b3+3ab=1 ,,则a+b= .
4.设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则m= .
第二试(A)


一. 已知方程
x
2
6x4 n
2
32n0
的根都是整数,求整数n的值。
二. 已知如图,梯形ABCD中,AD∥BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE
和D CHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,EP⊥l于P,FQ⊥l于Q。
求证:EP=FQ
三. 已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,
t
2
)为抛物线y=
x
2
上位于三角形ABC< br>内(包括边界)的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F。将
示为自变量t的函数。
BF

CE
2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分)
1、若4x―3y―6z=0,x―2y ―7z=0,(xyz≠0),则代数式
5x
2
2y
2
z
2
2x
2
3y
2
10z
2
的值等于( )
G
超过20g而不超过40g时付邮费1.60元,依次类推,每增加20g需增
加邮费0.80元(信的质量在100g以内),如果某人所寄一封信的
F
C
质量为72.5g,那么他应付邮费( )
A 2.4元 B 2.8元 C 3元 D 3.2元
D E
3、如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( )
A 360° B 450° C 540° D 720°
A
4、四条线段的长分别为9,5,x,1(其中x为正实数),用它们
拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如图),则x
D
可取值的个数为( )
C
O
A 2个 B 3个 C 4个 D 5个
B
5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照
留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求
各行的人数必须是连续 的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,
那么,满足上述要求的排法的方案有( )
A 1种 B 2种 C 4种 D 0种
二、 填空题(共5个小题,每小题6分,满分30分)
6、已知x=1―
3
,那么
1

1

1
= 。
7、若实数x,y,z
x2x
2
4x2
满足x+
1
=4,y+
1
=1,z+
1
y
x
z
19
A ―
1
B ― C ―15 D ―13
A
2
2
B
2、在本埠投寄平信,每封信质量不超过20g时付邮费0.8元,
=
7
,则xyz的值为 。
3
8、观察下列图形:
① ② ③ A 第9题
根据图①、②、③的规律,图④中的三角形的个数为 。
E
D
C


9、如图所示,已知电线杆AB直立于地面上,它的影子恰好 照在土坡的坡面CD和地面
BC上,如果CD与地面成45°,∠A=60°,CD=4m,BC=(4
6
―2
2
)m,则电线杆AB的长为
m。
2
10、已知二次函数y=ax+bx+c(其中a是正整数)的图像
A
经过点A(―1,4)与点B(2,1),并且与x轴有两个不同的交
E
P
D
点,则b+c的最大值为 。
O
三、解答题(共4小题,每小题15分,满分60分)
11、如图所示,已知AB是⊙O的直 径,BC是⊙O的切线,
OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交
C
B
于点P,问EP与PD是否相等?证明你的结论。
12、某人租用一辆汽车 由A城前往B城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所
需的时间(单位:小时),若汽车行驶的平 均速度为80千米小时,而汽车每行驶1千米需
要的平均费用为1.2元,试指出此人从A城出发到B城 的最短路线(要有推理过程),
并求出所需费用最少为多少元?
D
1

6
E
13、如图所示,⊙O的直径的长是关于x的二
1
C 次方程
1
2
1
x+2(k―2)x+k=0(k是整数的最大整数根), P是⊙O外一点,
1
B
点,点B、C是
O
过点P作⊙O的切线PA和割线PBC,其中A为切
5
1
是正整数,且PB直线PBC与⊙O的交点,若PA,PB,PC的长都
A
1
A
1
H
的长不是合数,求PA
2
+PB
2
+PC
2
的值
9
14、沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4
F
7
G
O
个数a、b、c、d满足
不等式(a―d)(b―c)>0,那么就可以交换b、 c的位置,这称为一次操作。
P
C

B
(1)若圆周上依次放 着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周
上任意依次相连的4个数a,b, c,d,都有(a―d)(b―c)≤0?请说明理由。
(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放 着2003个正整数1,2,…,2003,问:是
否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的4 个数a,b,c,d,都有(a―d)(b―c)
≤0?请说明理由。
1

2003年全国初中数学联合竞赛试卷
6 2
第一试
5
3
(4月13日上午8:30—9:30)
4
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.
232217122
等于( )
A
.
542

B
.
421

C
.5
D
.1
2.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是( )
A
.0
B
.1
C
.3
D
.5
3.若函 数y=kx(k>0)与函数
y
1
的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则 △ABC
x


的面积为( )
A.1 B.2 C.k D.-k
4.满足等式
xyxy2003x2003y2003xy 2003
的正整数对(x,y)的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且
形DECB的面积 为,则
1
2
1
3
AD1

.若在边AC上取一点E ,使四边
AB3
3
4
CE
的值为( )
EA
A. B. C. D.
5
1
4
1
6.如图,在□ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4 ,BE=5,
则DE的长为( )
A.3 B.4 C.
1516
D.
45

D C
E
A B
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.抛物线
yax
2
bxc
与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角 三角
形,则ac=__________.
2.设m是整数,且方程
3x
2
mx20
的两根都大于
于,则m=____________.
3. 如图,
AA'

BB'
分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若
A'


C
B D
B'


3
7
E
A
9
而小
5
AA' BB'AB
,则∠BAC的度数为_____________.
4.已知正整数a,b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,
b中较大的数是_______ __.
第二试(A)
(4月13日上午10:00—11:30)
一、(本题满分20分)
试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位 数之和的平方,


恰好等于这个四位数.
二、(本题满分25分)
在 △ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作
CA, CB的垂线,相交于P.设线段PA,PB的中点分别为M,N.
求证:⑴△DEM≌△DFN;⑵∠PAE=∠PBF.
三、(本题满分25分)
1、已知实数a,b,c,d互不相等,且
a
1111
bcdx,试求x的值.
bcda
2、已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长 都是整数,且它们的和为16.
⑴这样的四边形有几个?
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.
2003年山东省“KLT快灵通杯”初中数学竞赛试题
(2003年11月30日上午 8:00-11:00)
一、选择题(本题共8小题,每小题6分,满分48分):下面各题给出的选 项中,只
有一项是正确的,请将正确选项的代号填在题促括号内。
1.如果a,b,c是非零 数,且a+b+c=0,那么
abcabc
的所有可能的值为( )

cbcabc
(A) 0 (B) 1或-1 (C) 2或-2 (D) 0或-2
2.如果自然数a是一个完全平方数,那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是
( )
(A)
a1
(B)
a
2
1
(C)
a
2
2a1
(D)
a
2
2a1

3.甲、乙、丙三人比赛象棋,每局比赛后,若是和棋,则这两人继续比赛,直到分出
胜负,负 者退下,由另一人与胜者比赛。比赛若干局后,甲胜4局、负2局;乙胜3局、
负3局。若丙负3局,那 么丙胜( )
(A)0局 (B)1局 (C)2局 (D)3局


2x5
x5
4.关于x的不等式组
3
只有5个整数解,则a的取值范围是( )
x3
xa
2
1111
(B)
6a

22
1111
(C)
6a
(D)
6a

22
(A)
6a
5.如图, 若将左图正方形剪成四块,恰能拼成右图的矩形,设a=1,则这个正方形的面
积为( )
35
735
(A)(B)
2
2
2
51
(C)(D)
12

2< br>Ⅱ

ab




ba
a



b
6.某种产品按质量分为10个档次,生产最
低档次产品 ,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元。用同样工时,
最低档次产品每天可生产6 0件,提高一个档次将减少3件。如果获利润最大的产品是第k
档次(最低档次为第一档次,档次依次随 质量增加),那么k等于( )
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D)10 < br>CB
A
E
7.如图,在
RtABC
中,∠C=90°∠A= 30°∠C的
平分线与∠B的外角平分线交于E点,连结AE,则是
(A) 50° (B)45°(C)40° (D)35°
8.已知四边形ABCD,从下列条件中:
⑴AB∥CD ⑵BC∥AD ⑶AB=CD ⑷BC=AD ⑸∠A=∠C ⑹∠B=∠D
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( )
(A)4种 (B)9种 (C)13种 (D)15种
二、填空题( 本题共4小题,每小题8分,满分32分):将答案直接填写在对应题目
的横线上。


1

1

9.已知
1a 0
,化简

a

4

a

4
得 。
a

a

2210.如图,已知AD=DB=BC,如果∠C=α,那么∠ABC= 。
11. 甲、乙两厂生产同种产品,都计划把全
往济南,这样两厂的产品就能占有济南市场同
C
年的产品销
类产品的
31
D
,然而实际情况并不理想。甲厂仅有的产品、乙厂 仅
42
1
B
有的产品销到了济南。两厂的产品仅占了济
A
南 市场同类
3
1
产品的。则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 。
3
12.假期学校组织360名师生外出旅游,某客车出租公司有两种大客车可供选择:甲
种客车每辆车有40个座,租金400元;乙种客车每辆车有50个座,租金480元。则租用
该公司客车最少需用租金 元。
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
13.如图,在
RtA BC
中,∠ACB=90°,CD是角平分线,DE∥BC交AC于点E,
DF∥AC交BC于点F 求证:(1)四边形CDEF是正方形;
C
(2)
CD
2
2AE•BF

22
F
E
14.设方程
2002x2003•2001x10
的较大根是r,方程
200 1x
2
2002x10
的较小
的根是s,求r-s的值
A< br>B
D
15.在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证 :无论
哪种填法,至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格),每
对小方格中所填之数的差均不小于10。
2002年全国初中数学联合竞赛试卷
(2002年4月21日8:30—10:30)
一、选择题(本题42分,每小题7分)
1、已知a=
2
-1,b=2
2
-
6
,c=
6
-2,那么a,b,c的大小关系是( )


(A) a2
(B) b233
(D)c2、若m=n+2,n=m+2(m≠n),则m-2mn+n的值为( )
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3、已知二次函数的图象如图所示,并 设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则( )
(A)M>0 (B)M=0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0 < br>4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90º,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB< br>于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为( )
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24
5、圆O
1
与 O
2
圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O
1
相切于点B,若AB与两圆 的
另一条外公切线平行,则圆O
1
与圆O
2
的半径之比为( )
(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:3
6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成 个k
完全平方数的和,那么k的最小值为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

y
二、填空题(每小题7
O
x
O
1
-1
B
1、已知a<0,ab<0,化简,
A
分,共28分)
O
1

.
|ab32||ba3|
2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长
度为
3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价
只有8元 和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有
件。
4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对


(x,y)共有 对。
三、(本题满分70分)
1、(本题满分20分)
已知:a ,b,c三数满足方程组

2、(本题满分25分)
如图,等腰三角形ABC中,P 为底边BC上任意点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC
相交于Q,R两点,又P`的对称点,证明 :P'在△ABC的外接圆上。

P
3、(本题满分25分)
试确定一切有理数r,使得关于x的方程
rx+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。
2
ab8

2
,试求方程bx+cx-a=0的根。
2

abc83c48
A
R
Q
B
P
C
2002的全国初中数学竞赛试题
(2002年4月7日上午 9:30——11:30)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1、设a<b<0,a< br>2
+b
2
=4ab,则
ab
的值为( )
ab
A、
3
B、
6
C、2 D、3
2、已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x
多项式
a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ca的值为( )
A、0 B、1 C、2 D、3
3、如图, 点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点,连AF、CE交于点G,则
等于( ) < br>S
四边形AGCD
S
矩形ABCD
A
E
D
G
B
C
F
+2002,则


A、 B、 C、 D、

22
,y=b-2c+,z=c-2a+,
3 33
5
6
4
5
3
4
2
3
4、设a 、b、c为实数,x=a-2b+
则x、y、z中至少有一个值( )
2
A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0
5、 设关于x的方程ax
2
+(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根x
1
、x
2
,且x
1
<1<x
2

那么a的取值范围是 ( )
A、

<a< B、a> C、a<

D、

2
7
2
5
25
2
7
2
<a<0
11
A
P
6、A
1
A
2
A
3
…A
9
是一个正九边形,A< br>1
A
2
=a,A
1
A
3
=b,则A
1
A
5
等于( )
C
A、
a
2
b
2
B、
a
2
abb
2
C、
1
B

ab

D、a+b
2
二、填空题(每小题5分,共30分)
7、设x
1
、x
2
是关于x的一元二次方程x
2
+ax+a=2的两个实数根,
则(x1
-2x
2
)(x
2
-2x
1
)的最大值为 。
8、已知a、b为抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x轴交点的横坐标,
a<b,则
accb
的值为 。
9、如图,在△ABC中,∠ABC=60
0
,点P是△ABC
A

O
1



O
3


O

O
4


内的一点,
O
2


B

使得∠APB=∠BPC=∠CPA ,且PA=8,PC=6,则PB
10、如图,大圆O的直径AB=acm,分别以OA、OA为直= 。
径作
⊙O
1
、⊙O
2
,并在 ⊙O与⊙O
1
和⊙O
2
的空隙间作两个等圆⊙O
3
和⊙O< br>4

这些圆互相内切或外切,则四边形O
1
O
2
O
3
O
4
的面积为 cm
2

11、满足(n
2
-n-1)
n+2
=1的整数n有 个。
12、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(降
价的百分数)不得超过d%,则d可以用p表示为 。


三、解答题(每小题20分,共60分)
13、某项工程,如果由甲、乙两队 承包,
2
天完成,需付180000元;由乙、丙两队
3
4
6
7
2
5
承包,
3
天完成,需付150000元;由甲、丙两队承包 ,
2
天完成,需付160000元。现
在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前 提下,哪个队的承包费用最少?
14、如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对 角线AD、BE、CF交于一点Q,
设AD与CE的交点为P。
(1)求证:
QDAC
CPAC


(2)求证:
PE
CE
2
EDEC
F
2
2
A
B
Q
P
C
15、如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方 数(即整数的
方)。
证明:(1)2a、2b、c都是整数;
(2)a、b、c都 是整数,并且c是平方数;反过来,如果(2)成立,是否对一切的
x的整数值,x 的二次三项式ax
2
+bx+c的值都是平方数?
E
D
2001年全国初中数学联赛
一、选择题(每小题7分,共42分)
1、
a

b

c
为有理数,且等式
ab2c3526
成立,则2
a
+999
b
+1001< br>c
的值是( )
(A) 1999(
B
)2000(
C
)2001(
D
)不能确定
2、若
ab1
,且有5
a
2
+2001
a
+9=0及
9b
2
2001b50
,则
a
的值是( )
b

A

9

B
5

C


2001

D


2001

5
9
59
3、已知在△< br>ABC
中,∠
ACB
=90
0
,∠
ABC
= 15
0

BC
=1,则
AC
的长为( )

A

23

B

23

C

03

D

32

4、如 图,在△
ABC
中,
D
是边
AC
上的一点,下面四种情况中 ,△
ABD
∽△
ACB
不一定成
立的情况是( )



A

AD•BCAB•BD

B

AB
2
AD•AC


C
)∠
ABD
=∠
ACB

D

AB•BCAC•BD

2
5、①在实数 范围内,一元二次方程
ax
2
bxc0
的根为
x
 bb4ac
;②在△
ABC
2a
中,若
AC
2
BC
2
AB
2
,则△
ABC
是锐角三角形;③在△ABC

A
1
B
1
C
1
中,
a

b

c
分别为

ABC
的三边,若
aa
1
,bb
1
,cc
1
,则△
A BC
的面积
S
大于
A
1
B
1
C
1
a
1
,b
1
,c
1
分别为
A
1
B
1
C
1
的三边,
的面积
S
1
。以上三个命题中,假命题的个数是( )

A
)0(
B
)1(
C
)2(
D
)3
6、某商场对顾客实行优惠,规定:①如一次购物不超过200元,则不予折扣;②如一
次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠;③如一次购物超过500元的,
其中 500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物,分
别付款168元 和423元;如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是( )

A
)522.8元(
B
)510.4元(
C
)560.4元(
D
)472.8
二、填空题(每小题7分,共28分)
1、已知点
P在直角坐标系中的坐标为(0,1),
O
为坐标原点,∠
QPO
=150
0
,且
P

Q
的距离为2,则
Q
的坐标为 。
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点
P
,则点
P
到两圆外公切线的距离
为 。
3、已知
x ,y
是正整数,并且
xyxy23,x
2y
xy
2
120
,则
x
2
y
2
= 。
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数
为 。
3、
解答题(共70分)
1、 在直角坐标系中有三点
A
(0 ,1),
B
(1,3),
C
(2,6);已知直线
yaxb上横坐标为
0、1、2的点分别为
D

E

F
。试求
a,b
的值使得
AD
2
+
BE
2
+
CF
2
达到最大值。(20分)
2、 (1)证明:若
x
取任意整数时,二次函数
yax
2
bxc
总取整数值,


那么
2a,ab,c
都是整数;(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证 明你的结论。(25
分)
3、如图,
D

E
是△
ABC

BC
上的两点,
F

BC
延长线上的一点 ,∠
DAE
=∠
CAF
。(1)
判断△
ABD
的外 接圆与△
AEC
的外接圆的位置关系,并证明你的结论;(2)若△
ABD
的 外接
F
A
圆的半径的2倍,
BC
=6,
AB
=4, 求
BE
的长。
B
DE
C
选解题
1、
E FGH
是正方形
ABCD
的内接四边形,两条对角线
EG

FH
所夹的锐角为
θ
,且∠
BEG
A
H
θ
O
F
D
与∠
CFH
都是锐角。已知
EG
=
k

FH
=
l
,四边形
EFGH

(1)求证:
sinθ
=
2S
kl

E
面积为
S

G
C
(2)试用
k,l,S
来表示正方形的面积。
B
2、求所有的正整数
a

b

c
,使得关于
x
的方程
x2
3ax2b0

x
2
3bx2c0

x
2
3cx2a0
的所有的根都是正整数。
3、在锐角△< br>ABC
中,
AD

BC

D
为垂足,
DE

AC

E
为垂足,
DF
为△
AB C
的外心。求证:(1)△
AEF
∽△
ABC
; (2)
AO

EF

4、如图,在四边形
ABCD
中,
AC

BD
交于点
O
,直线
l
lM
B
A
O
C

AB

F
为垂 足。
O
D
平行于
BD
,且
R
S

AB

DC

BC

AD

AC
的延长线分别相交于点
M

N

R

NP
S

P
。 求证:
PM

PN

PR

PS
2001年TI杯全国初中数学竞赛试题
一、选择题(30分)
2
n4
2(2
n
)
1、化简,得( )
2(2
n3
)
77
84
abbcca
,,
2、如果
a,b,c
是三个任意整数,那么 ( )
222
(A)
2
n1

(B)
2
n1
(C) (D)
1
8
(A)都不是整数 (B)至少有两个整数 (C)至少有一个整数 (D)


都是整数
3、如果
a,b
是质数,且
a
2
13am0,b
2
13bm0,那么

(A)
123
125
125
123
(B) (D)
或2
(C)
或2

2222
2222
b
a
a
的值为( )
b
1 2
4、如图,若将正方形分成
k
个全等的矩形,其中上、
下各横排两个,中间竖排若干个,则
k
的值为( )

(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
5、如图,若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于
点D,且PB=4,PD=3,则AD

DC等于( )
P
(A)6 (B)7 (C)12 (D)16
C
6、若
a,b
是正数,且满足
12345(111a)(1 11b)


a和b
之间的大小关系是( )
A
D
3 4
B
(A)
ab
(B)
ab
(C)
ab
(D)不能确定
二、填空题(30分)
7、已知:
x
32
32
,y 
32
32
。那么
yx


x
2
y
2
8、若
x
2
xyy14,y
2
xyx28,

xy
的值为
9、用长为1,4,4,5的线段为边作梯形,那么这个梯形的面积等于
10、销售某种商品,如果单价上涨
m
%,则售出的数量就将减少
销售总金额 最大,那么
m
的值应该确定为
11、在直角坐标系
xO y
中,
x
轴上的动点M(x,0)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距
离 分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标
x

1 2、已知实数
a,b
满足
a
2
abb
2
1, 且taba
2
b
2
,那么t的取值范围是
三、解答题(60分)
13、某个学生参加军训,进行打靶训练,必须射击10次。在第6、 第7、第8、第9
m
。为了使该商品的
150


次射击中,分别 得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高
于前5次射击所得的 平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第
10次射击中至少要得多少环? (每次射击所得环数都精确到0.1环)
14、如图,已知点P是⊙O外一点,PS、PT是⊙O的两 条切线,过点P作⊙O的割线PAB,
交⊙O于A,B两点,并交ST于点C。
求证:
1111
()
.
PC2PAPB
P
x
2
x
15、已知:关于x的方程
(a1)()(2a7)()110
有实根。
x1x1
2
(1) 求
a
取值范围;
S
A
C
x
1
x
2
3
a
的值。 (2) 若原 方程的两个实数根为
x
1
,x
2
,且

,求x
1
1x
2
111
O
T
B
2000年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试(4月2日上午8:30----9:30)
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、计算
14651465,
的值是( )。
(A)1;(B)
5
;(C)2
5
;(D)5。
xy6x15y
4x
2
5xy6y
2
2、若的值是( )。
,
,则
22
3y2x5yx
x2xy3y
(A)
99
;(B);(C)5;(D)6。
24
b
2
 1a
2
1
3、设a,b是不相等的任意正数,又
x
,则x,y这 两个数一定( )。
,y
ab
(A)都不大于2;(B)都不小于2;(C)至少 有1个大于2;(D)至少有1个小于2。
4、正整数n小于100,并满足等式
[][] []n
,其中[x]表示不超过x的最大整数,这样的正整数
n有( )。
(A)2个;(B)3个;(C)12个;(D)16个。
5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4,则此梯形的面积等于( )。
(A) 4;(B)6;(C)
82
;(D)
n
2
n
3
n< br>6
10
2

3
6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接 四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,它们相交于P且BP
=8,∠APD=60°, 则R等于( )。
(A)10;(B)
221
;(C)
122
;(D)14。
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)


1、a,b是正数,并且抛物线
yx
2
ax2b

yx
2
2bxa< br>都与x轴有公共点,则
a
2
b
2
的最小值
是___ _____。
2、某果品店组合销售水果,甲种搭配:2千克A水果,4千克B水果;乙种搭配:3千 克A水果,8千克B
水果,1千克C水果;丙种搭配:2千克A水果,6千克B水果,l千克C水果。A 水果价格每千克2元,B水果
价格每千克1.2元,C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共 得441.2元,其中A水果的销售额为116
元,则C水果的销售额为_____元。
2< br>3、实数x,y满足
xy1,

2xxy5xy40
, 则x+y=________。
4、设正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是边BC 上的任意一点,PA+PM的最大值和最小值分
别记为x和t,则
s
2
t< br>2

________。
第二试(4月2日上午10:30---- 11:30)
2
一、(本题满分20分)设p是实数,二次函数
yx2pxp
的图象与x轴有两个不同的交点
A
(x
1
,0)
,B
(x
2
,0)
。(1)求证:
2px
1
x
2< br>3p0
; (2)若A,B间的距离不超过|2P-3|,求P的最大值。
二、( 本题满分25分)EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ,且∠BEG
与∠CFH都是锐角。已知EG=k,FH=l,四边形EFGH的面积为s。
(1)求证:
sin


2
2s

kl
(2)试用k,l,s表示正方形ABCD的面积。
三、(本题满分25分)设 关于x的二次方程
(k
2
6k8)x
2
(2k
26k4)xk
2
4
的两根都是
件的所有实数k的值。
整数,求满足条
2000年全国初中数学竞赛试题解答
一、选择题(只有一个结论正确)
1、设a,b,c的平均数为M,a,b的平均数为N,N ,c的平均数为P,若a>b>c,则M与P的大小关系是( )。
(A)M=P;(B)M>P;(C)M<P;(D)不确定。
2、某人骑车沿直线旅行,先 前进了千米,休息了一段时间,又原路返回b千米(b则此人离起点的距离S与 时间t的关系示意图是( )。
3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( )。
(A)甲比乙大5岁;(B)甲比乙大10岁;(C)乙比甲大10岁;(D)乙比甲大5岁。
4、一个一次函数图象与直线
y
595
x
平行,与x轴、
44
y轴的交点分别为
B),横、纵坐标都A、B,并且过点(-1,-25),则在线段AB上( 包括端点A、
是整数的点有( )。
(A)4个;(B)5个;(C)6个;(D)7个。
5、设a,b,c分别是△ABC的三边的长,且
aab


ba bc
则它的内角∠A、
∠B的关系是( )。
(A)∠B>2∠A;(B)∠B=2∠A;(C)∠B<2∠A;(D)不确定。

< br>6、已知△ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,△A
1
B
1
C
1
的三边长分别为
a
1
,b
1
,c
1< br>,面积为S
1
,且
aa
1
,bb
1
,c c
1
,则S与S
1
的大小关系一定是( )。
(A)S>S1
;(B)S<S
1
;(C)S=S
1
;(D)不确定。
二、填空题
a
3
4
3
2
3
1,7、已知:那么
331


2

3
=___ _____。
a
aa
8、如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=8,BC=6
2
,∠BCD=45°,∠BAD=120°,则梯形ABCD的面积
等于_____ ___。
9、已知关于x的方程
(a1)x2xa10
的根都是整数,那 么符合条件的整数有________个。
10、如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相 距15米,分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C
处,向两侧地面上的E、D;B、F点处,用钢丝 绳拉紧,以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的
高度为________米。
11、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线
y
2< br>11
x
恰好将矩形OABC
32
分成面积相等的两部分,那么b=_ _______。
12、某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率 增加了8个百分点,那么经销这
种商品原来的利润率是________。(注:

利润率=(销售价-进价)进价)
三、解答题
13、设m是不小于-1的实数,使 得关于x的方程
x2(m2)xm3m30
有两个不相等的实数根
22< br>x
1
,x
2
.(1)若
x
1
x
2
22
mxmx
2
6
,求m的值。(2)求
1
< br>的最大值。
1x
1
1x2
22
14、如上图:已知四边 形ABCD外接圆O的半
线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=
2AE,
且B D
四边形ABCD的面积。
径为2,对角
=2
3
,求
15 、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32
人,而且只能在第2层至第33层中 的某一层停一次。对于每个人来说,他往
下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意 。现在有
32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使 得这32个人不满
意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)
1999年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试 (4月4日上午8:30--9:30)
考生注意:本试两大题共10道小题,每题7分。全卷满分70分。
一、选择题(本题满分4 2分,每小题7分)本题共有6个小题,每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)
四个结论,其 中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得7分;
不选、 选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分。
1、计算
1
1
4
3

1
1
4
3

2< br>13
的值是( )。


(A)1;(B)-1;(C)2;(D)-2。
2、△ABC的周长是24,M是AB的中点,MC=MA=5,则△ABC的面积是( )。
(A)12;(B)16;(C)24;(D)30。
3、设b>a,将一次函数y=bx+ a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内,则有一组a,b的取值,使得
下列4个图中的一个 为正确的是( )。
4、若函数
y
1
2
(x100x196 |x
2
100x196|)
,则当自变量x取1、2、3、…、100这100 个自
2
然数时,函数值的和是( )。
(A)540;(B)390;(C)194;(D)97。
5、如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=998,DC=1001,
AD=1999,点P在线段AD上,则满足条件∠BPC=90°的点P
的个数为( )。
(A)0;(B)1;(C)2;(D)不小于3的整数。
6、有下列三个命题:(甲)若α.β是不相等的无理数,则


α-β 是无理数;(乙)若α.β是不相等的无理数,则
数,则



是无 理数;(丙)若α.β是不相等的无理





3

是无理数。其中正确命题的个数是( )。
(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)本题共有4道小题,要求直接把答案写在横线上。
1、已知

1
(bc)
2
(ab)(ca)
且a ≠0,
4
bc
=________。
a
2、如图,在△ABC中,∠B=36°,∠ACB=128°,∠CAB的平分
线交BC于M,△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N,则
△ANM的最小角等于________。
3、已知a,b为整数,且
1
a
11

ab

1112
()

11
ab
11
3

ab
a
2
b
2< br>1
b
则a+b=________。
4、在正方形ABCD中,N是DC的中 点,M是AD上异于D的点,且∠NMB=∠MBC,则tg∠ABM=________。
第二试
(4月4日上午10:00--11:30)
一、(本题满分20分) 某班参加一次智力竞赛,共a,b,c三题,
每题或者得满分或者得0分。其中题a满分20分,题b、题c满分
分别为25分。竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对
的有1人,答对其中两道题的有15人,答对题a的人数与答对题b
的人数之和为29,答对 题a的人数与答对题c的人数之和为25,答对题b的人数与答对题c的人数之和为20,
问这个班的平 均成绩是多少分?
二、(本题满分25分)如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD =4DC。已知圆过点C且与AC
相交于F,与AN相切于AB的中点G。求证:AD⊥BF。
三、(本题满分25分)已知b,c为整数,方程
5xbxc0
的两根都大于-1且小 于0,求b和c的值。
2
1999年全国初中数学竞赛试卷


第一试
一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A,B,
C,D 的四个结论,其中只有一个是正确的.请将正确答案的代号填在题后的括号里)
1.一个凸n边形的内角和小于1999°,那么n的最大值是( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
2.某城市按以下规定收取每月煤气费:用煤气如果不超过60立方米,按 每立方米0.8
元收费;如果超过60立方米,超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的 煤气
费平均每立方米0.88元,那么4月份该用户应交煤气费( ).
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
3.已知
|a|1
,那么代数式
|a|1
的值为( ).
A.
55
B.- C.-
22
1
a
1
a
D.
4 .在三角形ABC中,D是边BC上的一点,已知AC=5,AD=6,BD=10,CD=5,那么三角
形ABC的面积是( ).
A.30 B.36 C.72 D.125
5.如果抛物线
的面积的最小值是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
6.在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P,使得△PCD
与x轴的交点为A ,B,项点为C,那么三角形ABC
与△BCD的面积相等,并且△ABP为等腰三角形,这样的不同的 点P的个数为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)
7.已知
x
1
32
,y
1
32
,那么x2 + y2的值为
8.如图1,正方形ABCD的边长为 10cm,点E在边CB的延长线上,且EB=10cm,点P


在边DC上运动,EP与 AB的交点为F.设DP=xcm,△EFB
的面积和为ycm2,那么,y与x之间的函数关系式是
9.已知ab≠0,a2 + ab-2b2 = 0,那么
为 .
2ab

2ab
与四边形AFPD
(0<x<10).

10.如图2,已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中,A,B两点在第Ⅰ象限 内,
OA与x轴的夹角为30°,那么点B的坐标是 .
11. 设有一个边长为1的正三角形,记作A1(如图3),将A1的每条边三等分,在中间
的线段上向形外作 正三角形,去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4);将A2的
每条边三等分,并重复上述过 程,所得到的图形记作A3(如图5);再将A3的每条边三等
分,并重复上述过程,所得到的图形记作 A4,那么A4的周长是 .
12.江堤边一洼地发生了管涌,江水不
定每分钟涌出的水量相等.如果用两
台抽水机抽水 ,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽
断地涌出,假
水,16分钟可抽完.如果要在10分钟 内抽完水,那么至少需要抽水机 台.
三、解答题(本题共3小题,每小题20分,满分60分)
13.设实数s,t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0,t2 + 99t + 19 = 0,并且st≠1,求
的值.
14.如图6,已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O,对角线AC是直径,对角线AC和BD的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.
15.有人 编了一个程序:从1开始,交错地做加法或乘法(第一次可以是加法,也可
以是乘法)每次加法,将上次 的运算结果加2或加3;每次乘法,将上次的运算结果乘2
或乘3.例如,30可以这样得到:

st4s1
t
(1)(10分)证明:可以得到22;


(2)(10分)证明:可以得到2 + 2-2.
10097
1998年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、 填空题
1.设
m51
,那么
m
1
的整数部分是 .
m
2.在直角三角形
ABC
中,两条直角边
AB,AC
的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平
分线的长度等于 厘米.
3 .已知
x
3
x10
,那么代数式
x
3
2x 1
的值是 .
4.已知
m
,
n
是有 理数,并且方程
x
2
mxn0
有一个根是
52
,那 么
mn
的值
是 .
5. 如图,
ABCD为正方形,
A,E,F,G
在同一条直线上,
米,
EF
=3厘米 ,那么
FG
= 厘米.
6.满足1998
2
+< br>m
2
=1997
2
+
n
2
(0mn1 998)
的整
有 个.
7.设平方数
y
2
是11 个相继整数的平方和,则
y
是 .
8.直角三角形
ABC中,直角边
AB
上有一点
M
,斜边
BC
上有一点
P
,
的最小值
数对
(m,n)
,共
并且
AE=
5厘
已知
MPBC,BMP
的面积等于四边形
MPCA
的面积的一半,
BP
=2厘米,
PC
=3厘米,那么直
角三角形
ABC
的面积是__________平方厘米.
9.已知正方形
ABCD
的面积35平方厘米,
E
,
F
分别为边
AB
,
BC
上的点,
AF
,
CE
相交
于点
G
,并且
ABF
的面积为5平方厘米,
BCE
的面积
那么四边形
BEGF
的面积是____________平方厘米.
10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个 ,
目各不相同,那么至多有__________人.
且每人分的数
为14平方厘米 ,


11.设
(a,b)
为实数,那么
a
2
 abb
2
a2b
的最小值是__________.
12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.
13.在右 边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么
A

B
乘积的最大值是____________.
14.直线
AB

AC与圆
O
分别为相切于
B
,
C
两点,
P
为圆上一点,
P

AB
,
AC
的距离分别
为4厘米 ,6厘米,那么
P

BC
的距离为 厘米.
15.每一本书都有一个国际书号:
A B C D E F G H I J
,其中
A B C D E F G H I

九个数字排列而成,
J
是检查号码.令
S
=10
A
+9
B
+8
C
+7
D
+6
E
+5
F
+4
G
+3
H
+2
I
,
r
是S除以11所得的余数,若
r
不等于0或1,则规定J=11-
r
.(若
r
=0,则规定
J
=0;若
r
=1,规 定
J

x
表示)
现有一本书的书号是962
y
707015,那么
y
= .
第二试
(1)
求所有正实数
a
,使得方程
xax 4a0
仅有整数根.
(2)

3
P
为▱
ABC D
内一点
,O

AC

BD
的交点,
M、 N
分别为
PB,PC
的中点,
Q

AN

DM
的交点,求证:
(1)
P,Q,O
三点在一条直线上;
(2)
PQ
=2
OQ
.
3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整
除.
1998年全国初中数学竞赛试卷
第一试
一、选择题:(每小题6分,共30分)
1、已知
a、b、c
都是实数,并且
abc
,那么下列式子中正 确的是( )
(A)
abbc
(B)
abbc
(C)< br>abbc
(D)


a
c
b
c


2、如果方程
x
2
px10

p0

的两根之差是1,那么p的值为( )
(A)2(B)4(C)
3
(D)
5

3、在△ABC中, 已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么
△ABC的面积等于 ( )
(A)12(B)14(C)16(D)18
4、已知
abc0
,并且

(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四
5、如果不等式组


9xa0
的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数
a、
8xb0

abbcca
p
,那么直线
ypx p
一定通过第( )象
cab
b
的有序数对(
a、b
)共有( )
(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个
二、填空题:(每小题6分,共30分)
6、在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,A B=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥
AC,E、F分别是垂足,那么PE+PF=__ _________。
7、已知直线
y2x3
与抛物线
yx
2
相交于A、B两点,O为坐标原点,那么△OAB的
面积等于___________。
8、已知圆环内直径为
a
cm,外直径为
b
cm,将50个这样的圆 环一个接一个环套地连成
一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm。 9、已知方程
a
2
x
2


3a
2< br>8a

x2a
2
13a150
(其中
a< br>是非负整数),至少有一个整数
根,那么
a
=___________。 10、B船在A船的西偏北45
0
处,两船相距
102
km,若A船向西 航行,B船同时向南航
行,且B船的速度为A船速度的2倍,那么A、B两船的最近距离是______ _____km。
第二试


三、解答题:(每小题20分,共60分) 11、如图,在等腰三角形ABC中,AB=1,∠A=90,点E为腰AC中点,点F在底边BC
上,且FE⊥BE,求△CEF的面积。
12、设抛物线
yx
2


2a1

x2a
的图象与x轴只有一个交点,(1)求
a
的值;(2)

a
18
323a
6
的值。 < br>13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台,现在决定把这些机器支援给D
市18 台,E市10台。已知:从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元;
从B市调运一 台机器到D市、E市的运费为300元和700元;从C市调运一台机器到D市、
E市的运费为400元 和500元。
(1)设从A市、B市各调
x
台到D市,当28台机器调运完毕后,求 总运费W(元)关于
5
4
0
x
(台)的函数关系式,并求W的最大值 和最小值。
(2)设从A市调
x
台到D市,B市调y台到D市,当28台机器调运完 毕后,用x、y表
示总运费W(元),并求W的最大值和最小值。
1997年全国初中数学联赛试题
第一试
一.选择题本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个
答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.
1.下述四个命题,正确个数有( )
(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)
a
2
的平方根是
a
;
(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (4)大于直角的角一定是钝角.
(A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个.
2.已知
4
32
x
4
53
,那么满足上述不等式的整数
x
的个数是( )
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.


3.若实数
a,b,c
满足
a
2
b
2
c
2
9
,代数式
(ab)
2
(bc)
2
 (ca)
2
的最大值是( )
(A)27 (B)18; (C)15; (D)12.
4.给定平面 上
n
个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两
离,那么点数
n的最小可能值是( )
(A)4; (B)5; (C)6; (D)7.
点之间的距
5.在梯形
ABCD< br>中,
ADDC
,
B30
0
,
C60
0
,E,M,F,N
分别为
AB,BC,CD,DA
的中点,
已知
BC
=7,
MN
=3,则
EF
之值为( )
(A)4 (B)
4
6.如图,已知
AB
,
AA
1
,
PP
1
,
BB
1
均垂直于
A
1
B
1
,
AA
1
17
,
1
(C)5;
2
(D)6.
PP
1
16
,
BB
1
20
,
A
1
B
112
,则
AP+PB
等于( )
(A)12; (B)13; (C)14; (D)15.
二、填空题
1.从等 边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等
边三角形的面积是 .
2.当
a
取遍0到5的所有实数值时,满足
3ba(3a8 )
的整数
b
的个数是
3.若
a
,
b< br>满足
3a5b7
,则
S223b
的取值范围是 .
4.若正整数
x
,
y
满足
x
2
y
2
1997
,则
xy
等于___________.
第二试
一.设
P
为等腰直角三角形
ACB
斜边
AB
上任意一点,
PE
垂直
AC
于点
F
,
PF
垂直
BC


F
,
PG
垂直
EF
于点
G
, 延长
GP
并在其延长线上取一点
D
, 使得
PD=PC
,试证:
BCBD
,且
BC=BD
. < br>二.已知
a,b
为整数,且
ab
,方程
3x
23(ab)x4ab0
的两个根

,

满足关系式
(

1)

(

1)(

1)(

1)
,试求所有的整数点对(
a,b
). < /p>


三.已知定理:“若三个大于3的质数,
a,b,c
满足关系式
2a5bc
,则
abc
是整数
n
的倍数”.试问:上述定理 中的整数
n
的最大可能值是多少?并证明你的结论。
1996年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1、实数a,b满足ab=1,记M
11
ab

N
,则M,N的关系为( )


1a1b
1a1b
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
2、设正整数a,m,n满足
a
2
42 mn
,则这样的a,m,n的取值( )
A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在
3.如图,A是半径为1的圆O外的一点,OA=2,AB
线,B是切点,弦BC∥OA,连结AC,则阴影部分的面积等于( )

3

3
2



A、
9
B、
6
C、
68
D、
48

是圆O的切
4.设x1、x2是二次方程x2+x3=0的两个根 ,那么x134x22+19的值等于( )
A、 4 B.8 C.6 D.0
5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所
该直线必通过这个三角形的( )
A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个
数有 [ ]
A.4个 B.8个 C.12个 D.24个
二、填空题(本题满分2 8
1、已知实数
x
0,
y
0
是方
分,每小题7分)
程组的解,则
x
0
y
0

BN=a,则点
平分,那么
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABN=∠MBC, BM=NM,


N到边BC的距离等于______.
3.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,

3
1 995x
3
1996y
3
1997z
3

3< br>1995
3
1996
3
1997
,则

1
x
11


yz
4.如图,将边长为1的 正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB'C'D'的位
置,则这两个正方形重叠部分的面 积是______.
第二试
一、(本题满分20分)某校在向“希望工程”捐款活动中,甲 班的m个男生和11个女
生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m·n+9 m+11n+145)元,
已知每人的捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数.
二、( 本题满分25分)设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平
行线分别交A B、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P
OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠O PF=
三、(本题满分25分)已知a、b、c都是正整数,
是以O为圆心
∠OEP.
且抛物线
y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,若A、B到原点的距离都小于 1,求a+b+c的最
小值.
1995年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题(每题7分,共42分)
1.已知a=355,b=444,c=533,则有[ ]
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b
2、方程组
D.a<c<b
的正整数解的组数是[ ]
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如果方程(x-1)(x2-2x-m)=0的三根可以作 为一个三角形的三边之长,那么


实数m的取值范围是[ ]
A、0≤m≤1 B、m≥ C、4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆,那么此圆的周长为[ ]
A.62π B.63π C.64π D.65π
5.设AB是⊙O的一条弦,CD是⊙ O的直径,且与弦AB相交,记M=|S△CAB-S△DAB|,
N=2S△OAB,则 [ ]
A.M>N B.M=N C.M<N D.M、N的大小关系不确定
6.设实数a、b满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,则[ ]
A.a>0且b>0 B.a<0且b>0
C.a>0且b<0 D.a<0且b<0
二、填空题(每题7分,共28分)
1.在12,22,32…,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有__ __个。 < br>a
3
1
1
2.已知a是方程
xx0
的根,则
5
的值等于
432
aaaa
4
2
3
4
3
4
3
4
3.设x为正实数,则函数
yx
2
x
1
的最小值是
x
4. 以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C是半圆周上的点,且OC2=AC·BC,则
∠CAB=_ _____.
第二试
一(本题20分)、已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上 ,CA=CB=CD,经A、C、D
三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。
二(本题25分)、在坐标平面上,纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点,试在二
x
2
x9

的图象上找出满足y≤|x|的所有整点(x,y),并说明理由。 次函数
y
10105
三(本题25分)、试证:每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1 且互质的自
然数之和。


1994年全国初中数学联赛试
第一试
(4月3日上午8:30—9:30)
考生注意:本试共两道大题,满分80分.
一、选择题(本题满分48分,每小题6分)
1、若0a
2

A、

111
2(1).
可化简为( )
2
a1a
a
1aa1
B、 C、
1a
2
D、
a
2
1

1 aa1
2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若
x=a2-bc,y=b2-ca,z= c2-ab,则x,y,z( )
A.都不小于0 B.都不大于0
C.至少有一个小0于 D.至少有一个大于0
3.如图1所示,半圆O的直径在梯形AB CD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相
切,若BC=2,DA=3,则AB的长( )
A.等于4 B.等于5 C.等于6 D.不能确定
4、当
x< br>11994
时,多项式
(4x
3
1997x1994)
2001
的值为( )
2
A.1 B.-1 C.22001 D.-22001
5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2
形,则共得同旁内角( )
A.4对 B.8对C.12对 D.16对
所示的图
6、若方程
xpx
有两个不相等的实根,则实数p的取值范围是( )
A、p≤0 B、p< C、0≤p< D、p≥
7.设锐角三角形ABC的三条 高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则
AH·AD+BH·BE+CH· CF的值是( )
1
4
1
4
1
4

1
1
2
2
2
2
C、
(abbcca)
D、
(a
2
b
2
c
2
)

3
3
A、
(abbcca)
B、
(a
2
b
2
c
2
)
8、若
a
x
b
y
1994
2
(其中a,b 是自然数),且有

是( )
1
x
11

, 则2a+b的一切可有的取值
yz
A.1001 B.1001,3989 C.1001,1996 D.1001,1996,3989
二、填空题(本题满分32分,每小题8分)各小题只要求在所给横线上直接填写结果.
1、若在关于x的恒等式
MxN2cMxN
中,为最简分式,且有

2
2
xaxb
xx2
xx2
a>b,a+b=c, 则N=
2、当|x+1|≤6时,函数y=x|x|-2x+1的最大值是
3.在 △ABC中,设AD是高,BE是角平分线,若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=______. 4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切,若要
有用一个大圆形 纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于
第二试
(4月3日上午10:00—11:30)
考生注意:本试共三道大题,满分60分. 一、(本题满分20分)如图所示,在△ABC中,AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使< br>AP=BQ.求证:△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。
二、(本题满分20分)周长为 6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出
证明;若存在,请证明共有几个?
三、(本题满分20分)某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n=0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.
n 0 1 2 3 …… 12 13 14 15
做对n个题的人数 7 8 10 21 …… 15 6 3 1


如果又知 其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题,做对10个题和10个题
以下的学生每人平均 做对4个题.问这个表至少统计了多少人?
1993年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正
确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1 .多项式
x
12
x
6
1
除以
x
21
的余式是( )
(A)1; (B)-1; (C)
x1
; (D)
x1
;
2.对于命题,正确的是( )
Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.
Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是
(A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错.
3.设
x
是实数,
yx1x1
.下列四个结论: 其中正确的是( )
Ⅰ.
y
没有最小值; Ⅱ.只有一个
x
使
y
取到最小值;
Ⅲ.有有限多个
x(不止一个)使
y
取到最大值;Ⅳ.有无穷多个
x
使
y
取到最小值.
(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ
4.实数
x
1
,x
2
,x
3
, x
4
,x
5
满足方程组
其中
a
1
,a< br>2
,a
3
,a
4
,a
5
是实常数,且
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
,则
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,x
5
的大小顺序是(
(A)
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
; (B)
x
4
x
2
x
1
x
3
x
5
;
(C)
x
3
x
1
x
4
x
2
x
5
; (D)
x5
x
3
x
1
x
4
x
2
.
5.不等式
x1(x1)
2
3x7
的整数解的个解( )
(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5
6.在
ABC
中,
A是钝角,O是垂心,AOBC
,



cos(OBCOCB)
的值是( )
(A)

223
1
(B) (C) (D)

.
2
22
2
7.锐角三角
ABC
的三边是
a
,
b
,
c
,它的外心到三边的距离分别为
m
,
n
,
p
,那么
m
:
n
:
p
等于( )
(A)
:
1
a
11
:
; (B)
a:b:c

bc
(C)
cosA:cosB:cosC
(D)
sinA:sinB:sinC
.
8.
3
3(
3< br>4
3
2
3
1
1
)
可以化简成
999
(A)
3
3(
3
21)
; (B)
3
3(
3
21)
(C)
3
21
(D)
3
21

二.填空题
3x
2
6x5
1.

x
变化时,分式的最小值是
1
2
2
xx1
___________ .
最左面的盒里有7
的盒里有
2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如 果
个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面
__________个小球.
3.若方程
(x
2
1)(x
2
4)k
有四个 非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则
k
=____________. 4.锐角三角形
ABC
中,
A30
.以
BC
边为 直径作圆,与
AB
,
AC
分别交于
D
,
E
,连接
DE
,
把三角形
ABC
分成三角形ADE
与四边形
BDEC
,设它们的面积分别为
S
1
,
S
2
,则
S
1
:
S
2
=____ _______.
第二试
一.设
H
是等腰三角形
ABC
垂心,在底边
BC
保持不变的情况下让顶点
A
至底边
BC< br>的距
离变小,这时乘积
S
ABC
S
HBC
的值 变小,变大,还是不变?证明你的结论.


二.
ABC
中,
BC
=5,
AC
=12,
AB
=13, 在边
AB
,
AC
上分别取点
D
,
E
, 使线段
DE

ABC
分成面积相等的两部分.试求这样的线段
DE
的最小长度.

,x
2

,且三.已知方程
x< br>2
bxc0及x
2
cxb0
分别各有两个整数根
x
1
,x
2

x
1

x
2

0
.(1)求证:
x
1
0,x
2
0,x
1

0,x
2

0;

x
1
x
2
0,x
1
(2)求证:
b1

c

b1
; (3)求
b,c
所有可能的值.
1
1992年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一.选择题
本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确
的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1.满足
abab1
的非负整数
(a,b)
的个数是( )
(A)1; (B)2;

(C)3;

(D)4.
2.若
x
0
是一元二次方程
ax
2
bxc0(a0)
的根,则判别 式
b
2
4ac
与平方式
M(2ax
0
b )
2
的关系是( )
(A)

>
M
(B)

=
M
(C)

>
M
;

(D)不确定.
3.若
x
2
13x10
,则
x
4
x4
的个位数字是
(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.
4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长 皆大于1且小于
2
,则这个多边形的
边数必为( )
(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.
5.如图,正比 例函数
yx和yax(a0)
的图像与反比例函数


y
k
(k0)
的图像分别相交于A点和C点.若
RtAOB

C OD
的面积分别为S
1
和S
2
,则S
1
x
与S
2
的关系是( )
(A)
S
1
S
2
(B)
S
1
S
2
(C)
S
1
S
2
(D)不确定
6.在一 个由
88
个方格组成的边长为8的正方形棋
径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格 的圆内部分的
S
1
,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记
盘内放 一个半
面积之和记为

S
2
,则
S
1
的< br>S
2
整数部分是( )
(A)0; (B)1;

(C)2; (D)3.
7.如图,在等腰梯形
ABCD
中,
AB

CD
,
AB=
2
CD
,
A60
,又
E
是 底边
AB
上一点,且
FE=FB=AC
,
FA=AB
.则
AE
:
EB
等于( )
(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10)
8.设
x
1
,x
2
,x
3
,,x< br>9
均为正整数,且
x
1
x
2
x
9
,
x
1
x
2
x
9
220
,则当
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
的值最大时,
x
9
x
1
的最小值 是( )
(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.
二.填空题
1.若一等腰三角形的底边上的高等于18
cm
,腰上的中线等15
cm
,则这个等腰三角形的面
积等于_____________ ___.
1x
2
x
4
1x
4
2.若x0
,则的最大值是__________.
x
3.在
ABC中,
C90

,A和B
的平分线相交于
P
点, 又
PEAB

E
点,若
BC2,AC3
,则
AEEB
.
4.若
a,b
都是正实 数,且

1
a
1
b
1
ba
0
,则
()
3
()
3

.
ab
ab
第二试
一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程
x
2
6xa0
的两根,当这样的三角


形只有一 个时,求
a
的取值范围.
二、如图,在
ABC
中,
AB AC,D
是底边
BC
上一点,
E
是线段
AD
上一 点,且
BED2CEDA
.
求证:
BD2CD
.(提示:可用面积法证)
三、某个信封上的两个邮政 编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,
现有四个编码如下:
A:320651 B:105263 C:612305 D:316250
已 知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M
和N相同.试求 :M和N.
1991年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题
本题共有8个小题,每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论,其中只有一
个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.
1、设等式
a(xa)a( ya)xaay
在实数范围内成立,其中
a

x

y
是两两
3x
2
xyy
2
不同的实数,则
2
的值是( )
2
xxyy
(A)3 ; (B); (C)2; (D).
2、如图,
AB‖EF‖CD
,已知
AB
=20,
CD
=80,
BC
=100,那么
EF
的值是( )
(A)10; (B)12; (C) 16; (D)18.
3、方程
x
2
x10
的解是( )
(A)
151515
1515
; (B); (C)或; (D)


222
22
11
1
3
5
3

1
nn
x(19911991)(n是自然数)4、已知:.那么
(x1x
2
)
n
,的值是 ( )
2


(A)
1991
1
; (B)
1991
1
; (C)
(1)
n
1991
; (D)
(1)
n
1991
1

5、若
1 239910012
n
M
,其中

为自然数,n为使得 等式成立的最大的自然数,


( )
(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除;
(C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.
6、 若
a

c

d
是整数,
b
是正整数,且满足
abc

bcd

cda
, 那么
abcd
的最大值是( )
(A)
1
;(B)
5
;(C)
0
;(D)1.
7、 如图,正方形
OPQR
内接于Δ
ABC
.已知Δ
AOR

Δ
BOP
和ΔCRQ的面积分别是
S
1
1
S
2
3

S
3
1

那么,正方形
OPQR
的边长是( )
(A)
2
;(B)
3
;(C)2 ;(D)3.
S
3
=1
8、 在锐角Δ
ABC
中,
AC1< br>,
ABc

A60

,Δ
ABC
的外 接圆半径
R
≤1,则
( )
(A)<
c
< 2 ; (B)0<
c
≤; (C)
c
> 2; (D)
c
= 2.
二、填空题
1.

是平行四边 形
ABCD

BC
边的中点,
1
2
1
2< br>AE
交对角线
BD

G
,如果Δ
BEG
的面 积是1,则平行四边形
ABCD
的面积是 .
2.已知关于< br>x
的一元二次方程
ax
2
bxc0
由于看错了二次项系 数,误求得两根为2和4;
一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,
2b3c


a
(x1)
m
(x1)< br>p
1
3.设
m

n

p,q
为 非负数,且对一切
x
>0,恒成立,则
nq
xx
没有实数解.甲< br>乙由于看错了某


(m
2
2np)
2q
< br> .
4.四边形
ABCD
中,∠
ABC
1 35

,∠
BCD
120


AB
6

BC
53

CD
= 6,则
AD
=



第二试
一、x
+
y

x

y

x y
,四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质
的数对(
x
,
y
).
二、Δ
ABC
中,
AB

AC< br><
BC

D
点在
BC
上,
E
点在< br>BA
的延长线上,且
BD

BE

AC

Δ
BDE
的外接圆与Δ
ABC
的外接圆交于
F
点( 如图).求证:
BF

AF

CF
三、将正方形
ABCD
分割为
n
2
个相等的小方格(n
是自然数),把相对的顶点
A

C

成红色,把B

D
染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个< br>顶点同色的小方格的数目必是偶数.
x
y

aroused-人民陪审员作用


英语高分突破-阿里山


网络营销策略分析-捷拉


青春全员集合-笔记本电池保养方法


成人情感故事-草莓牛奶


电影海洋-亘古的思念


南开职专-月经前水肿


澎河-开心上网