我叫韩燕-小丑出装

1988年全国高中数学联赛试题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函 数的
图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
－－
A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ
1
(x) D．y=－φ
1
(－x) < br>2．已知原点在椭圆k
2
x
2
+y
2
－4kx+2k y+k
2
－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( )
A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－13．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)|
11
(x－)
2+(y+)
2
+
22
11
(x+)
2
+(y－ )
2
<22}，
22
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．MPN B．MNP C．PNM D．A、B、C都不成立
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之 间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
π
命题甲：θ>；
3
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对
5．在坐标 平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过
1个整点的集 合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达
式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠Ø． ⑶ M≠Ø． ⑷ P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
b
4
－b
31．设x≠y，且两数列x，a
1
，a
2
，a
3
，y和 b
1
，x，b
2
，b
3
，y，b
4
均为等 差数列，那么= ．
a
2
－a
1
2．(x+2)
2
n
+1
的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ．
DE
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= ．
BC
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员 比赛，负者被淘
汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形 成一种比赛过程．那
么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．
三．( 15分)长为2，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
四．(15分) 复平面上动点Z
1
的轨迹方程为|Z
1
－Z
0
|=|Z
1
|，Z
0
为定点，Z
0
≠0，另一 个动点Z满足Z
1
Z=－1，
求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 11
五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个n∈N
*
，
ab
(a+b)
n
－a
n
－b
n< br>≥2
2
n
－2
n
+1
．
1 2391 239

1988年全国高中数学联赛二试题
一．已知数列{a
n< br>}，其中a
1
=1，a
2
=2，

5a
n +1
－3a
n
(a
n
·a
n+1
为偶数)，
a
n+2
=


a
n+1
为奇数)．

a
n+1
－a
n
(a
n
·
试证：对一切n ∈N*，a
n
≠0．











S
二．如图，在△ABC中，P、Q、 R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：
S
A
PQR
2
>．
ABC
9
P
H
N
Q
B
R
C













三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l
1
，l
2
，……，l
n
，…的直线族，它满足条件：
⑴ 点(1，1)∈l
n
，(n=1，2，3，……)；
⑵ k
n+1=a
n
－b
n
，其中k
n+1
是l
n+1的斜率，a
n
和b
n
分别是l
n
在x轴和y轴上的截距 ，(n=1，2，3，……)；
⑶ k
n
k
n+1
≥0，(n=1，2，3，……)．
并证明你的结论．


2 2392 239

1988年全国高中数学联赛解答
一试题
一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函 数的
图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
－－
A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ
1
(x) D．y=－φ
1
(－x) < br>－－
解：第二个函数是y=φ
1
(x)．第三个函数是－x=φ
1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
2．已知原点在椭圆k
2
x
2
+y
2
－4kx+2ky+k
2
－1=0的内部，那么参数k的取值 范围是( )
A．|k|>1 B．|k|≠1 C．－1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k
2
－1<0，选D．
3．平面上有三个点集M，N，P：
M={(x，y)| |x|+|y|<1}，
N={(x，y)|
11
(x－)
2
+(y+)
2
+
22
11
(x+)
2
+(y－)
2
<2 2}，
22
P={(x，y)| |x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则
A．MPN B．MNP C．PNM D．A、B、C都不成立
解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1) 为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表
1111
示焦点为(，－)，(－，)， 长轴为22的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成
2222
的六边形内部的点的集合．故选A．
4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩ β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有
π
命题甲：θ>；
3
命题乙：a、b、c相交于一点．
则
A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分
C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对
ππ
解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时， θ=．当它们交于一点时，<θ<π．选C．
33
5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点 叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过
1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直 线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达
式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠Ø． ⑶ M≠Ø． ⑷ P≠Ø中，正确的表达式的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
解：均正确，选D．
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
b
4
－b
31．设x≠y，且两数列x，a
1
，a
2
，a
3
，y和 b
1
，x，b
2
，b
3
，y，b
4
均为等 差数列，那么= ．
a
2
－a
1
b
4
－b
3
812
解：a
2
－a
1
=(y－x)，b< br>4
－b
3
=(y－x)，=．
43
a
2
－ a
1
3
2．(x+2)
2
n
+1
的展开式中，x的 整数次幂的各项系数之和为 ．
解：(x+2)
2
n
+ 1
－(x－2)
2
n
+1
=2(C
2
n
+ 1
2x
n
+C
2
n
+1
2
3
x< br>n
1
+C
2
n
+1
2
5
x
n
2
+…+C
2
n
+1
2
2
n
+ 1
)．
1
令x=1，得所求系数和=(3
2
n
+1
+1)．
2
3 2393 239
13
－
5
－
2n+ 1

DE
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高 ，则= ．
BC
DEAD
解：△AED∽△ABC，==|cosα|．
BCAC4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘
汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那< br>么所有可能出现的比赛过程的种数为 ．
解 画1行14个格子，每个 格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上
他的顺序号(两方的人各用一种 颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一
方未出场的队员的顺序号． 于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结
果．这是一一对应关系．故所 求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．
∴共有C
14
种比赛方式．
三．(15分)长为2，宽为1的矩形，以它的 一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的
体积．
D
解：过轴所在对角 线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作
AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所 得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=
=
6
π
623
． 其体积V=()
2
·3=
π．同样，
3339
23
△BCD旋转所得旋转体的体积=
π．
9
其 重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=
1633
∴其体积=2·
π· (
)
2
·=
π．
3428
23323
∴ 所求体积=2·
π－π=
3π．
9872
四．(15分) 复平面上动点Z
1
的轨迹方程为|Z
1
－Z
0
|=|Z
1
|，Z
0
为定点，Z
0
≠0，另一个动点Z满足Z
1
Z=－
1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．
1111111
解：Z
1
=－，故得|－－Z
0
|=||，即|ZZ
0
+1|=1．|Z +|=||．即以－为圆心||为半径的圆．
ZZZZ
0
Z
0
Z< br>0
Z
0
11
五．(15分)已知a、b为正实数，且+=1．试证：对 每一个n∈N
*
，
ab
(a+b)
n
－a
n
－b
n
≥2
2
n
－2
n
+1< br>．
证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2ab，∴ ab≥2ab，故a+b=ab≥4 ．于是(a+b)
k
=(ab)
k
≥2
2
k
．
又 a
k
+b
k
≥2a
k
b
k
= 2(a+b)
k
≥2
k
+1
．下面用数学归纳法证明：
1° 当n=1时，左=右=0．左≥右成立．
2° 设当n=k(k≥1，k∈N)时结论 成立，即(a+b)
k
－a
k
－b
k
≥2
2
k
－2
k
+1
成立．
－－
则(a+b)
k+1
－a
k
+1
－b
k
+1
=(a+b)(a +b)
k
－(a
k
+b
k
)(a+b)+ab(a
k
1
+b
k
1
)
－－
=(a+b)[(a+b)
k
－a
k
－b
k
]+ ab(a
k
1+b
k
1
)≥4∙(2
2
k
－2
k
+ 1
)+4∙2
k
=2
2(
k
+1)
－4∙2
k
+1
+4∙2
k
=2
2(
k
+1)
－ 2
(
k
+1)+1
．即命题
对于n=k+1也成立．
故对于一切n∈N
*
，命题成立．

二试题
4 2394 239
3DO·AB6
，OM==．
2DA4
2
3
A
M
O
E
N
C
7
B

一．已知数列{a
n
}，其中a
1
=1，a
2
=2， < br>
5a
n+1
－3a
n
(a
n
·a
n+1
为偶数)，
a
n+2
=


a
n+ 1
为奇数)．

a
n+1
－a
n
(a
n< br>·
试证：对一切n∈N*，a
n
≠0．（1988年全国高中竞赛试题）
分析：改证a
n
≢
0(mod 4)或a
n
≢
0(mod 3)．
证明：由a
1
=1，a
2
=2
，
得a
3
=7，a
4
=29，……

∴ a
1
≡1，a
2
≡2，a
3
≡3(mod 4)．
设a
3k
－
2
≡1，a
3k
－
1
≡2， a
3k
≡3(mod 4)．
则 a
3k+1
≡5×3－3×2=9≡1(mod 4)；a
3k+2
≡1－3=－2≡2(mod 4)；a
3k+3
≡5×2－3×1=7≡3(mod 4)．
根据归纳原理知，对 于一切n∈N，a
3n
－
2
≡1，a
3n
－
1≡2，a
3n
≡3(mod 4)恒成立，故a
n
≢0(mod 4)成立，从
而a
n
≠0．
又证：a
1
≡1，a
2
≡2(mod 3)．
设a
2k
－
1
≡1，a
2k
≡2(mod 3)成立，则
当a
2k
－
1
∙a
2k
为偶数时a
2k+1
≡5×2－3×1≡1(mod 3)，当a
2k
－
1∙a
2k
为奇数时a
2k+1
≡2－1≡1(mod 3)，总之
a
2k+1
≡1(mod 3)．
当a
2k
∙ a
2k+1
为偶数时a
2k+2
≡5×1－3×2≡2(mod 3)，当a
2k
∙a
2k+1
为奇数时a
2k+2
≡1－2≡2(mo d 3)，总之，
a
2k+2
≡2(mod 3)．于是a
n
≢
0(mod 3)．故a
n
≠0．
S< br>二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：
S
A
PQR
2
>．
ABC
9
P
H
N
Q
B
R
C
1
证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△A BC的周长为1．则PQ=．
3
则
S
S
PQR
PQ·RH PQAR1PQ2
==·，但AB<，于是>，
CNABAC2AB3
ABC
AB·
PQR
S
111111AR1
AP≤AB－PQ<－=，∴ AR=－AP>，AC<，故>，从而
236362AC3
S
2
>．
ABC
9
三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l
1
，l
2
，……，l
n
，…的直线
族，它满足条件：
⑴ 点(1，1)∈l
n
，(n=1，2，3，……)；
⑵ k
n+1=a
n
－b
n
，其中k
n+1
是l
n+1的斜率，a
n
和b
n
分别是l
n
在x轴和y轴上的截距 ，(n=1，2，3，……)；
⑶ k
n
k
n+1
≥0，(n=1，2，3，……)．
并证明你的结论．
证明：设a
n
=b
n
≠0，即k
n
－
1
=－1，或a
n
=b
n
=0，即k
n
=1，就有k
n+1
=0，此时a
n+1
不存在，故k
n
≠±1．
11
现设k
n
≠0，1，则y=k
n
(x－1)+1，得b
n
=1－k
n
，a
n
=1－，∴ k
n+1
=k
n
－．此时k
n
k
n+1
=k
n
2
－1．
k
n
k
n
∴ k
n
>1或k
n
<－1．从而k
1
>1或k
1
<－1．
11
⑴ 当k
1
>1时，由于0<<1，故k
1
>k
2
=k
1
－>0，若k
2
>1，则又有k
1
>k
2
>k
3
>0，依此类推，知当k
m
>1
k
1
k
1
111
时，有k
1
>k
2
>k< br>3
>∙…>k
m
>k
m+1
>0，且0<<<…<<1， < br>k
1
k
2
k
m
11112m
k
m+ 1
=k
m
－m
－=k
m
－
1
－－m
－
1
－<…1
－．
k
m
k
1
k
1
k
1
k
m
－
1
k
1
mm
0
由于k
1
－随m的增大而线性减小，故 必存在一个m值，m=m
0
，使k
1
－≤1，从而必存在一个m值
k
1
k
1
m=m
1
≤m
0
，使k
m
1
－1
≥1，而1>k
m
1
=k
m
1－1
－
即此时不存在这样的直线族．
5 2395 239
>0，此时k
m
1
·k
m
1
+1
<0．
k
m
1
－1
1

11
⑵ 当k
1
<－1时，同样有－1<<0，得k
1
2
=k
1< br>－<0．若k
2
<－1，又有k
1
2
3
<0，依此类推，知当
k
1
k
1
111
km
<－1时，有k
1
2
3
<∙…m
m+1
<0，且0>>>…>>－1，
k
1
k
2
k
m
11112m
k
m+1
=k
m
－>k
m
－=k
m
－
1
－－>k
m
－
1
－>…>k
1
－．
k
m
k
1k
1
k
1
k
m
－
1
k
1mm
0
由于k
1
－随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m< br>0
，使k
1
－≥－1，从而必存在一个m
k
m
k1
值，m=m
1
(m
1
≤m
0
)，使k
m
1
－1
≤－1，而－1m
1
=k
m
1
－
即此时不存在这样的直线族．
综上可知这样的直线族不存在．



<0，此时k
m
1
·k
m
1
+1
<0．
k
m
1
－1
1
厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛
暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知

贵校教务处转数学教研组：
根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》， 以及省
数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 》，根据我市情
况，有关竞赛工作通知如下：

一、赛制、竞赛时间和命题范围
竞赛分预赛和复赛两个阶段。
1．预赛：
（1）时间：2010年
9月1 1日（星期六）
9：00——11：30，在本市考点进行。
（2）试题来源：预赛试题由福 建省数学学会组织命题，同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的
试题，试题类型以全国联赛类 型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。
（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分6 0分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷
满分160分。考试时间150分钟。
2．复赛
（1）时间及地点：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10， 集中在福州一中旧校区进行考试。
其中联赛时间为8：00—9：20，加试时间为9：40—12：1 0。
（2）试题来源及命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题 范围
以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。
根据现行“高 中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部
2000年《全日 制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主
要考查学生对 基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。
全国高中数学联赛加试（二试）及 中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面
有所扩展，适当增加一些教学大纲之 外的内容。
（3）试卷结构：
全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8 分，满分64分；解答题3题，分别为16
分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试 时间80分钟；
6 2396 239

全国高中数学联赛加试（二试） 试卷结构为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。
每题50分。满分200分。考 试时间150分钟。

二、参赛对象
本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。

三、报名、报名费和准考证
采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具 体负责，组织学生报名参加竞赛。
报名表请参照样表、统一用Excel文档并
按要求认真填写
，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试
的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学 生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填
写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每 名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按
省数学会通知）统一收取每生18元。 < br>各参赛学校请将报名表的电子文本用E.；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：436742193。
报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。
请保留 汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至，短信联系进行报
名的确认。 9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再
发给考生 。

四、考号安排
7 2397 239

学 校
厦门一中
双十中学
厦门六中
外国语学校
科技中学
厦门二中
湖滨中学

集美中学
英才学校
灌口中学
乐安中学

同安一中
启悟中学
第二外国语学校
翔安一中
新店中学
内厝中学
诗扳中学
考号安排
10001——10600
10601——11200
11201——11800
11801——12400
12401——13000
13001——13200
13201——13400
20001——20400
20401——20600
20601——28000
20801——21000
30001——30600
30601——30800
30801——31000
40001——40400
40401——40600
40601——40800
40801——41000
学 校 考号安排
松柏中学 13401——13600
厦门三中 13601——13800
华侨中学 13801——14000
禾山中学 14001——14200
大同中学 14201——14400
康桥中学 14401——14600


厦门十中 21001——21400
杏南中学 21401——21600
海沧中学 21601——21800
海沧实验中学 21801——22000

东山中学 31001——31200
五显中学 31201——31400
国祺中学 31401——31600
8 2398 239

五、考务：
有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。

六、奖项：
按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一 名经省数学会审核无误后也可以
直接参加复赛。
另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：
（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；
（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；
（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；
（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。
复赛试卷经省数学会评定后 ，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，
获得（省级）全国一、二、三 等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。
注意：一等
奖、二等奖和三等奖 均按联赛及加试的总分评定。

省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等 奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、
二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数 学联赛的积极性，研究决定：按报名人数
给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。


厦门市教育科学研究院 基础教育研究室
厦门市教育学会 数学教学专业委员会
2010年5月13日

附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表
考号








学生姓名








性别








年级








所在学校








指导教师








考生总数 （人） 应交金额 （元）
（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）

1992年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(每小题5分，共30分)
1. 对于每个自然数
n
，抛物线
y

(
n
＋
n
)
x
(2
n
＋1)
x
＋1及x
轴交于
A
n
，
B
n
两点，以|
A< br>n
B
n
|表示该两点的距离，则|
A
1
B
1
|
22
＋|
A
2
B
2
|＋＋|
A
1992
B
1992
|的值是( )
y
1
1
O
1
1
x
9 2399 239

1991
(A)
1992
1992
(B)
1993
1991
(C)
1993
1993
(D)
1992

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是( )
(A)(
x
＋
(C)(x＋
1y
2
)(y＋
1x
2
)=0 (B)(x
1y
2
)(y
1x
2
)=0
1y
2
)(y
1x
2
)=0 (D)(x
1y
2
)(y＋
1x
2
)=0
(

S
i
)
i1
4
3. 设四面体四个 面的面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
4
，它们的最大值为
S
，记

=
( A)2<

≤4 (B)3<

<4 (C)2.5<

≤4.5 (D)3.5<

<5.5

S
，则

一定满足( )
C
,
sinB
log
4. 在△
ABC
中，角A
，
B
，
C
的对边分别记为
a
，
b< br>，
c
(
b
1)，且
AsinA
都是方程
( C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形
b
x
=log(4
x
4)的根，则△
ABC
( )
b
(A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形
5. 设复数
z
1
，
z
2
在复平面上对应的点分别 为
A
，
B
，且|
z
1
|=4，4
z
1
2
z
1
z
2
＋
z
2
=0，
O
为坐标原点，则△
OAB
的面积为( )
(A)8
22
3
(B)4
3
(C)6
3
(D)12
3

6. 设
f
(
x
)是定义在实数集
R
上的函数，且满足下列关系
f
( 10＋
x
)

f
(10
x
)，
f(20
x
)


f
(20＋
x
)， 则
f
(
x
)是
(A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数
(C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数
二．填空题(每小题5分共30分)
1
,
1
,
1
x

z
xyz
成等差数列，则
zx
1. 设
x
，
y
，
z
是实数，3
x
，4
y
，5
z
成等比数列，且
2. 在区间[0，
]中，三角方程cos7
x

cos5
x
的解的个数是____ __．
的值是______．
3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出
k< br>条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则
k
的最大值是
____ _．
z
2
z
4. 设
z
，
z
都是复数， 且|
z
|=3，|
z
|=5|
z
＋
z
|= 7，则arg(
1
)的值是______．
3
121212
5. 设数列
a
1
，
a
2
，，
a
n
， 满足
a
1

a
2

1，
a
3< br>
2，且对任何自然数
n
， 都有
a
n
a
n
＋1
a
n
＋2
1，又
a
n
a
n
＋1
a
n
＋2
a
n
＋3

an
＋
a
n
＋1
＋
a
n
＋2
＋
a
n
＋3
，则
a
1
＋
a
2
＋＋
a
100
的值是__ __．
6. 函数
f
(
x
)=
x
4
3x
2
6x13
8 0

x
4
x
2
1
的最大值是_____． < br>16

1
17
k
k1
三、(20分)求证：．
10 23910 239

四、(20分)设
l
，m
是两条异面直线，在
l
上有
A
，
B
，
C
三点，且
AB
=
BC
，过
A
，
B，
C
分别作
m
的垂线
AD
，
BE
，< br>CF
，垂足依
次是
D
，
E
，
F
，已 知
AD
=
7
15
，
BE
=
2
CF
=
10
，求
l
及
m
的距离．
x
n1
x
n1
xx
1
五、(20分)设
n
是自然数，
f(x)

n
1
(
x
0，

1)，令
y
=
x
＋
x
.
1.求证 :
f
n＋
1
(x)=yf
n
(x)f
n－
1
(x)，
(
n>
1)
2.用数学归纳法证明：
f
n
(
x
)=

yCy

(1) Cy

(1),(i1,2,

,
n
,n为偶数)

2
n1n1

n1n2iin2i
n1
,n为奇数)
22
yCy

(1)Cy

( 1)C,(i1,2,

,

n1nin1

2
2
n1n2
n1
ii
ni
n2i
n
2








1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一 试
一．选择题(每小题5分，共30分)
1． 若
M
＝{(
x
，
y
)| |
tgy
|+
sinx

0}，
N
＝{(
x
，
y)|
x
+
y
≤2}，则
M

N
的元素个数是（ ）
222
(A)4 (
B
)5 (
C
)8 (
D
)9
2． 已知
f
(
x
)＝
asinx
+
b
+4 (
a
，
b
为实数)，且
f
(
lglog3
10)

5，则
f
(
lglg
3)的值是（ ）
(A)5 (
B
)3 (
C
)3 (
D
)随
a
，
b
取不同值而取不同值
3． 集合
A
，
B
的并集
A

B
＝{
a1
，
a
2
，
a
3
}，当
A

B
时，(
A
，
B
)及(
B
，
A< br>)视为不同的对，则这样的(
A
，
B
)对的个数是（ ）
（
A
）8 （
B
）9 （
C
）26 （
D
）27

4． 若直线x
＝
4
被曲线
C
：(
x
－
arcsi na
)(
x－arccosa
)＋(
y
－
arcsina< br>)(
y
＋
arccosa
)＝0所截的弦长为
d
，当
a
变化时
d
的最小值是( )



(A)
4
(
B
)
3
(
C
)
2
(
D
)


sin
CA
cos
CA
22
的值5． 在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边长分别为
a
，
b
，
c
，若
c

a
等于AC
边上的高
h
，则
是( )
1
1
(A)1 (
B
)
2
(
C
)
3
(
D
)1
11 23911 239

y
F
2
F
1
y
o
F
2
F
1
y
x
F
2
F
1
y
o
F
2
x
o
x
F
1
O
(A)
x
(B)(C)( D)
6． 设
m
，
n
为非零复数，
i
为虚数单位，
z

C
，则方程|
z
＋
ni
|＋|
z
－
mi
|＝
n
及|
z
＋
ni
|－|
z
－
mi
|＝－
m
在同一复平
面内 的图形(
F
1
，
F
2
为焦点)是( )
二．填空题（每小题5分，共30分）
1． 二次方程(1－
i
)
x
＋(

＋
i
)
x
＋(1＋
i
)＝0(
i
为虚数单位，


R
)有两个虚根的充分必要条 件是

的取值范围为
________．
2
1

1

SS
min
_____ __． 2． 实数
x
，
y
满足4
x
－5
xy＋4
y
＝5，设
S
＝
x
＋
y
，则< br>max
2222
5

3． 若
z

C
，
arg
(
z
4)＝
6
2

，
arg
(
z
+4)＝
3
，则
z
的值是_ _______．
2

10
93


31

4． 整数

103

的末两位数是_______．
log
x
0
1993log
x
1
1993log
x
2
1993
klog
x
0
1993
5． 设任意实数
x
0
＞
x
1
＞
x
2
＞
x
3
＞0，要使
最大值是_____ __．
6． 三位数(100，101 ，，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，
倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡
二用，于是至多可以少打印__ ___张卡片．
三．（本题满分20分）
三棱锥
S
－
ABC
中， 侧棱
SA
、
SB
、
SC
两两互相垂直，
M
为三角形
ABC
的重心，
D
为
AB
的中点，作及
S C
平行的直线
DP
．证
明：(1)
DP
及
SM相交；(2)设
DP
及
SM
的交点为
D

，则
D

为三棱锥
S
－
ABC
的外接球球心．
四．（本题满分20分）
设0＜
a
＜
b
，过两定 点
A
(
a
，0)和
B
(
b
，0)分别引直 线
l
和
m
，使及抛物线
y
＝
x
有四个不同 的交点，当这四点共圆时，
求这种直线
l
及
m
的交点
P的轨迹．
2
x
1
x
2
x
3
≥
x
3
恒成立，则
k
的
12 23912 239

五．（本题满分20分）
设正数列
a
0
，
a
1
，
a
2
，，
a
n
，满足
a
n
a
n2
a
n1
a
n2
2a
n1
(
n
≥2)且
a
＝
a
＝1 ．求{
a
}的通项公式．
01
n


1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试

一．选择题(每小题6分，共36分)
1．设
a
，
b
，< br>c
是实数，那么对任何实数
x
，

不等式
asinxbcosxc0
都成立的充要条件是
(A)
a，b
同时为0，且
c
>0 (B)
a
2
b
2
c

(C)
a
2
b
2
c
(D)
a
2
b
2
c

2．给出下列两个命题：
(1)设
a
，
b
，
c
都是复数，如果
a< br>2
b
2
c
2
，则
a
2
b2
c
2
0
；
b
2
c
20
，则
a
2
b
2
c
2
． (2 )设
a
，
b
，
c
都是复数，如果
a
那么下 述说法正确的是
2
(A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误
(C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确
3．已知数列
{a
n
}
满 足
3a
n1
的最小整数
n
是
a
n
 4(n1)
，且
a
1
9
，其前n项之和为
S
n
，则满足不等式
|S
n
n6|
1
125
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
0b1,0a
4．已知
小关系是

logb
sina
y(cosa)
log
b
cosa
， < br>z(sina)
log
b
cosa
的大
4
，则下列 三数：
x(sina)
，
(A)
x
＜
z (B)
y
＜
z
＜
x
(C)
z
＜
x
＜
y
(D)
x
＜
y
＜
z

5．在正
n
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(
(A)
n1
n2

n2n1
(

,

)

,

)(0,)(

,

)
n
n2
(D)
nn
(B) (C)
13 23913 239

|xy||xy|
1
2a2b
6．在平面直角坐标系中，方程(
a，b
是不相等的两个正数)所代表的曲 线是
(A)三角形 (B)正方形
(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形



二、填空题(每小题9分，共54分)
1．已知有向线段
PQ
的 起点P和终点
Q
的坐标分别为(1，1)和(2，2)，若直线
l
：
x
＋
my
＋
m
＝0及
PQ
的延长线相交，则m
的取值范围是__ ____．

x
3sinx2a0
x,y[,],aR

3
4ysinyc osya0
，则
cos(x2y)
=_____．
44
2． 已知且


55
A{(x,y)|(x3)
2
(y 4)
2
()
2
}B{(x,y)|(x4)
2
( y5)
2
()
2
}
22
3．已知点集，，则点集
A

B
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____．
s in(1cos

)
0



2
4． 设，则的最大值是______．
5．已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于
，则
sin

=___

6．已知95个数
a
1
,a
2
,a
3
,,a
95
， 每个都只能取 ＋1或
1
两个值之一，那么它们的两两之积的和
a
1
a
2
a
1
a
3
a
94
a
95
的最小值是_ __．


1995年全国高中数学联赛
第 一 试

一．选择题(每小题6分，共36分)
1. 设等差数列
{a
n
}
满足
3a
8
5a
13
且
a
1
0
，
S
n
为其前项之和，则
S
n
中最大的是( )
(A)
S
10
(B)
S
11
(C)
S
20
(D)
S
21

14 23914 239

2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为
Z< br>1
,Z
2
,,Z
20
，则复数
Z
1
对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
1995
，
Z
2
1995
，
1995
,Z
20
所
3. 如果甲的身高数或体重数至 少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称
他为棒小伙 子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个
4. 已知方程
|x 2n|kx(nN)
在区间(2
n
-1，2
n
+1]上有两个 不相等的实根，则
k
的取值范围是( )
(A)
k0
(B)
0k
1
2n1

1
k
2n1
(C)
1
2n1
(D)以上都不是
5.
log
sin1
cos1,log
sin 1
tg1,log
cos1
sin1,log
cos1
tg1
的大小关系是( )
log
sin1
cos1log
cos1< br>sin1log
sin1
tg1log
cos1
tg1

log
cos1
sin1log
cos1
tg1log
sin1
cos1log
sin1
tg1

log
sin 1
tg1log
cos1
tg1log
cos1
sin1lo g
sin1
cos1

log
cos1
tg1logsin1
tg1log
sin1
cos1log
cos1
s in1

(A)
(B)
(C)
(D)
6. 设
O
是正三棱锥
P
-
ABC
底面三角形
ABC的中心，过
O
的动平面及
PC
交于
S
，及
PA
，
PB
的延长线分别交于
Q
，
R
，则和
式
111

PQPRPS

(A)有最大值而无最小值 (
B
有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个及面
QPS
无关的常数
二、填空题(每小题9分，共54分)
1. 设

,

为一对共轭复数，若
|



|23
，且


2
为实数，则
|< br>
|
_____．
2. 一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为_______．
15 23915 239

3. 用[
x
]表示不大于实数
x
的最大整数， 方程
lg
2
x[lgx]20
的实根个数是______．

y3x

x
y

3

xy10 0
4. 直角坐标平面上，满足不等式组

的整点个数是______．
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用， 那么不同的染色方
法的总数是______．
6. 设
M
={1，2，3， …，1995}，
A
是
M
的子集且满足条件:当
xA
时，
15xA
，则
A
中元素的个数最多是______．
一九九六年全国高中数学联合竞赛

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
222 2
1. 把圆x+ (y –1 ) =1及椭圆9x+ (y + 1)= 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________.
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2. 等比数列{a
n
}的首项
a
1
＝1536, 公比是q＝
(A) T
9
(B) T
11
(C) T
12
(D) T
13

1
2
． 用
T
n
表示它的前
n
项之积，则
T
n
(
n

N
)最大的是______ ______
3.存在在整数
n
，使是整数的质数
p
．
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个
pnn
1
4设x(–
2
，0)，以下三个数： 
1
=cos(sinx), 
2
=sin(cosx), 
3
=cos(x+1)的大小关系是 __________．
(A) 
3
< 
2
< 
1
(B) 
1
< 
3
< 
2
(C) 
3
< 
1
< 
2
(D) 
2
< 
3
< 
1
2 2
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x) = x+ px + q及g(x) = x + ()在同一点取相同的最小值,
那么
f
(
x
)在该区间上的最大值是__________.
4
(A)
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O
1
, 球心O
1
在圆台的轴上. 球O
1
及圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一
个半径为3的球O
2
, 使得球O
2
及球O
1
、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O
2
, 圆台内最多还能放入半径为3
的球的个数是_____________.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1. 集合{x| –1 log
()
10 <– , xN}的真子集的个数是_____________________．
11
3
51
2
3
44
3
2
3
41
32
3
4
422
(B) (C) (D)以上答案都不对
1

2. 复平面上非零复数
z
1
、
z
2
在以
i
为圆心1为半径的圆上，
z
1
z
1
的实部为零，z
1
的辐角主值为
6
，则z
2
=
____________．
3.曲线C的极坐标方程是 = 1 + cos, 点A的极坐标是(2, 0)． 曲线C在它所在的平面内
绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________．

4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六
面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________．
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种
颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注: 如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应 面的染
色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).

6. 在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的 个数为
16 23916 239

_______________．

1997年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月5日上午8:0010:00)

一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列{
x
n}满足
x
n1
x
n
x
n1
(
n
≥2)，
x

a
，
x

b
， 记
S

x
＋
x
＋＋
x
，则下列结论正确 的是
nn
1212
(
A
)
x
100
＝－
a
，
S
100
＝2
b
－
a
(
B
)
x
100
＝－
b
，
S
10 0
2
b
－
a
(
C
)
x
100
＝－
b
，
S
100
＝
b
－
a (
D
)
x
100
＝－
a
，
S
100
＝
b－

a


2． 如图，正四面体
ABCD
中，
E
在棱
AB
上，
F< br>在棱
CD
上，使得
A
E
B
F
C
(
C
)
(
D
)

AE

CF


(0

)
EBFD
，
记
f(

)





其中
< br>
表示
EF
及
AC
所成的角，


表示
EF
及
BD
所成的角，则
f(

)
在
(0,)
单调增加
D
(
A
)
(
B
)
f(

)
在
(0,)
单调减少
f(

)
在(0，1)单调增加，而在(1 ，＋
)
单调减少
f(

)
在(0，＋

)为常数
2
3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为97，则这样的数列共有
(
A
)2个 (
B
)3个 (
C
)4个 (
D
)5个

4．在 平面直角坐标系中，若方程
m(x
2
y
2
2y1)(x2 y3)
2
表示的曲线为椭圆，则
m
的取值范围为
(
A
)(0，1) (
B
)(1，＋
)
(
C
)(0，5) (
D
)(5，＋
)

5．设
(
A
)
(
C
)

1

arctg
5
,

arccos(
1
) ,

arcctg(
5
)
f(x)x

x
，


arcsin
3
，
434
，则
2
f(

)f(

)f(

)f(

)
(
B
)
f(

)f(< br>
)f(

)f(

)

f(

)f(

)f(

)f(

)
(
D
)
f(

)f(

)f(
)f(

)

6．如果空间三条直线
a，b，c
两两 成异面直线，那么及
a，b，c
都相交的直线有
(
A
) 0条 (
B
) 1条 (
C
)多于1 的有限条 (
D
) 无穷多条

17 23917 239

二、 填空题(每小题9分，共54分)

(x1)
3< br>1997(x1)1

3
(y1)1997(y1)1
，则
x
＋
y
 .

设
x，y< br>为实数，且满足
y
2
x1
2
过双曲线的右焦点作直线l
交双曲线于
A
、
B
两点，若实数

使得|< br>AB
| 

的直线
l
恰有3条，则

＝ .
2
|2z
1
|1
z
已知复数
z
满 足，则
z
的幅角主值范围是 ．
已知三棱锥
S ABC
的底面是以
AB
为斜边的等腰三角形，
SA
＝
SB< br>＝
SC
＝2，
AB
＝2，设
S、A、B、C
四点均在 以
O
为球心的某个
球面上，则点
O
到平面
ABC
的 距离为 ．
设
ABCDEF
为正六边形，一只青蛙开始在顶点A
处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到
D
点，则停止跳< br>动；若5次之内不能到达
D
点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可 能出现的不同跳法共 种．
设
a
lg
z
＋lg[< br>x
(
yz
)

＋1]，
b
lg
x

＋lg(
xyz
＋1)，
c
lg< br>y
＋lg[(
xyz
)

＋1]，记
a，b，c中最大数为
M
，则
M
的最小值为 ．


一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月11日上午8∶00—10∶00）

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1． 若
a
＞1 ,
b
＞1且lg(
a
+
b
)=lg
a
+l g
b
，则lg(
a
1)+lg(
b
1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是及
a
,
b
无关的常数
2． 若非空集合
A={
x
2
a
+1≤
x
≤3
a
5},
B
={
x
|3≤
x
≤22}，则能使
A

A

B
成立的所有
a
的集合是( )
(A){
a
|1≤
a
≤9} (B){
a
|6≤
a
≤9} (C){
a
|
a
≤9} (D)


3． 各项均为实数的等比数列{
a
n
}前
n
项和记为
S
n
，若
S
10
=10,
S
30
=70，则
S
40
等于( )
(A) 150 (B) 200 (C) 150或200 (D)400或50
111
|
a
1< br>b
1
c
1

ab
2
c
2
4． 设命题
P
：关于
x
的不等式
ax
+
bx+
c
＞0及
ax
+
bx
+
c
＞0的解 集相同；命题
Q
：
2
22
111222
。则命题
Q

(A)是命题
P
的充分必要条件 (B)是命题
P
的充分条件但不是必要条件
(C)是命题
P
的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题
P
的充分条件也不是命题
P
的必要条件
5． 设
E
,
F
,
G
分别是正四面体
A BCD
的棱
AB
,
BC
,
CD
的中点，则二面角< br>C

FG

E
的大小是( )
A
(A)
arcsin
6
3

(B)
2
arccos
3
3

2
2
E< br>B
F
C
G
D

(C)
2
(D)
6． 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，< br>共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37
二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）
arctg2

arcctg
1． 若是以2为周期的偶函数，当
的排列是_________________.
f(x)(x R)x[0,1]
时，
f(x)x
1
1998
，则
9 8101104
f()f()f()
19
,
17
,
15由小到大
2． 设复数
z
=
cos

isin

(
0
≤

≤18
0
)，复数
z< br>,(1+
i
)
z
,2
z
在复平面上对应的三个点分别 是
P
,
Q
,
R
，当
P
,
Q
,
R
不
共线时，以线段
PQ
,
PR
为两边的平行 四边形的第四个顶点为
S
，则点
S
到原点距离的最大值是_______.
3． 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶 数，不同的取法有________种.
4． 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方及其 余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项.
18 23918 239

5． 若椭圆
x
2
4(ya)
2
4
及抛物线
x
2
2y
有公共点，则实数
a
的 取值范围是_____________.
6． △
ABC
中，∠
C
=90°,∠
B
=30°,
AC
=2，
M
是
AB
的中点，将△
ACM
沿
CM
折
A
起，使
A
,
B
两点间的距离为
2
________.
2
， 此时三棱锥
A

BCM
的体积等于
C
M
B
三、 （本题满分20分）

已知复数
z
=1sin

+
i
cos

(
2



)，求
z
的共轭复数
z
的辐
角主值。
四、 （本题满分20分）
设函数

f(x)ax
2
8x 3
(
a
＜0)，对于给定的负数
a
，有一个最大的正数
l< br>(
a
)，使得在整个区间[0,
l
(
a
)]上，不< br>等式|
f
(
x
)|≤5都成立。
问：
a< br>为何值时
l
(
a
)最大？求出这个最大的
l
(
a
)，证明你的结论。
五、 （本题满分20分）
22
y2px(a b0,b2pa)
，
M
是抛物线上的点，设直线
AM
,
BM
及抛物线
A(a,b)
已知抛物线及定点,
B
(a
,0),
的另一交点分别为
M
1
,
M
2.
求证：当
M
点在抛物线上变动时（只要
M
1
,
M
2
存在且
M
1
≠
M
2
）， 直线
M
1
M
2
恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
1999年全国高中数学联合竞赛

一． 选择题（满分36分，每小题6分）
1． 给定公比为
q
(
q
≠1)的等比数列{
a
n
}，设
b
1
＝
a
1
＋
a
2
＋
a
3
，
b
2
＝
a
4
＋a
5
＋
a
6
，…，
b
n
＝
a
3
n

2
＋
a
3
n

1
＋
a
3
n
,…，则数列{
b
n
}( )
(
A
)是等差数列 (
B
)是公比为
q
的等比数列
(
C
)是公比为
q
的等比数列 (
D
)既非等差数列也非等比数列
2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (|
x
|－1)＋(|
y
|1)＜2的整点(
x
，
22
3
y
)的个数是( )
(
A
)16 (
B
)17 (
C
)18 (
D
)25
3． 若(log
2
3)(
log
5
3)≥(
log
2
3)
xx
y
(
log
5
3)
y，则( )
(
A
)
x

y
≥0 (
B
)
x
＋
y
≥0 (
C
)
x

y
≤0 (
D
)
x
＋
y
≤0
4． 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面

上的直线
a
及平面

上的直线
b
为异面直线，直线
c
是
及

的交线，那么，
c
至多及
a
,
b
中的一条
相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
19 23919 239

那么，( )
(
A
)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (
B
)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
(
C
)两个命题都正确 (
D
)两个命题都不正确
5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛 一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部
比赛只进行了50场。那么，在上述3名选 手之间比赛的场数是( )
(
A
)0 (
B
)1 (
C
)2 (
D
)3
6． 已知点
A
(1,2)，过点(5,2)的直线及 抛物线
y
＝4
x
交于另外两点
B
,
C
，那 么，△
ABC
是( )
(
A
)锐角三角形 (
B
)钝角三角形 (
C
)直角三角形 (
D
)答案不确定
二． 填空题（满分54分，每小题9分）
1． 已知 正整数
n
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的
n
的个数是___________．
2
cos2

isin2

5
z
239i
2． 已知

＝arctg
12
，那么，复数的辐角主值是______ ___．
ctgC
3． 在△
ABC
中，记
BC
＝
a
，
CA
＝
b
，
AB
＝
c
，若 9
a
＋9
b
19
c
＝0，则
ctgActgB
＝__________．
222
x
2
y
2
1
169
4． 已知 点
P
在双曲线上，并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条双曲线的两个焦点的距离的
等差中项，那么，
P
的横坐标是_____．
5． 已知直线
ax
＋
by
＋
c
＝0中的
a
，
b
，
c
是取自集合{3，2，1，0，1，2，,3}中 的3个不同的元素，并且该直线的
倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是__ ____．
6． 已知三棱锥
S

ABC
的底面是正三角形，
A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC
的垂心，二面角< br>H

AB

C
的平面角等于30,
SA
＝2
3
。那么三棱锥
S

ABC
的体积为________ __．
22
xcos

x(1x)(1x)sin
0
恒成立，试求的取值范围． 三、(满分20分)已知当
x
[0,1]时， 不等式
5
x
2
y
2
1
四、(满分20分)给定
A
(2,2)，已知
B
是椭圆
2516
上的动点，
F
是左焦点，当|
AB
|＋
3
|
BF
|取最小值 时，求
B
的坐标．
22
aa
1n1
≤
M的所有等差数列
a
,
a
,
a
,….，试求
S< br>＝
a
五、(满分20分)给定正整数
n
和正数
M
，对 于满足条件
123
n
＋1
＋
a
n
＋2
＋… ＋
a
2
n
＋1
的最大值．
20 23920 239

2000年全国高中数学联合竞赛试卷
（10月15日上午8:00-9:40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设全集是实数，若A={x| ≤0}，B={x|

= },则 是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)
2．设sina＞0,cosa＜0,且sin ＞cos ,则 的取值范围是( )
(A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z
(C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z
3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右 分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
4．给定正数p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列 ，则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
6．设 ，则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．arcsin(sin2000°)=__________.
21 23921 239

8．设an是(3- 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则 )=________.
9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10．在椭圆
则∠ABF=_________.
(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是 ，
11．一个球及正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a1b,b1c,c1d,d1a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值，
那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)= 的最大值.
14．若函数 在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
15．已知C0:x2+y2=1和C1: (a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时， 对C1上任意一点P，均存在以
P为项点,及C0外切,及C1内接的平行四边形？并证明你的结论。



2001年全国高中数学联合竞赛题
2
1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定
2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以
（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是

为周期、在（0，
2
）上单调递增的偶函数是
（A）k=8
3


（B）01
2cos

的短轴长等
于 。
22 23922 239

3
8、若复数z,z满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=2
-I,则zz= 。
12121212
9、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ，则直线A
1
C
1
及BD
1
的距离是 。
13
2
log
1
x2
10、不等式
2的解集为 。
11、函数
yxx3x2
的值域为 。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两 块
种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。
一、 解答题（本题满分60分，每小题20分）
2
F
A


D
B
C
E



< br>ba
1
13、设{a}为等差数列，{b}为等比数列，且
1
nn< br>2
ba
2
，
2
2
ba
3
，3
2
（a
1
2
）,又
n
lim(b
1
b
2
b
n
)21
，试求 {a
n
}的首项及公差。
x
2
y
2
1
2
14、设曲线C:
a
(a为正常数)及C:y=2(x+m)在x轴上方公有一个 公共点P。
2
12
（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；
1
（2） O为原点，若C及x轴的负半轴交于点A，当02
时，试求 ⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。
1
15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6< br>、（a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，
才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。









2002年全国高中数学联赛试题及参考答案
试题
一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、函数f (x)=log
12
(x-2x-3)的单调递增区间是（ ）。
（A）（－∞,－1） （B）（－∞,1） （C）（1,＋∞） （D）（3, ＋∞）
2、若实数x，y满足(x+5)+(y-12)=14，则x+y的最小值为（ ）。
（A）2 （B）1 （C）√3 （D）√2
3、函数f(x)=x1-2-x2（ ）
（A）是偶函数但不是奇函数 （B）是奇函数但不是偶函数
（C）既是偶函数又是奇函数 （D）既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x4+y3=1及椭圆x16+y9=1相交于A， B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（ ）。
22
x
22222
2
23 23923 239

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
5、已知两个实数集合A＝｛a
1
,a
2
,…,a
10 0
｝及B＝｛b
1
,b
2
,…,b
50
｝，若从A 到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且
f(a
1
)≤f(a
2
)≤…≤f(a
100
)则这样的映射共有（ ）。
（A）C
50
100
（B）C
2
48
99
（C）C
49
100
（D）C
49
99

2222
6、由曲线x=4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周 所得旋转体的体积为V1；满足x+y≤16,x+(y-2)≥
22
4,x+(y+2)≥4 的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V
2
，则（ ）。
（A）V
1
=（12）V
2
(B)V
1
=（23）V
2
(C)V
1
=V
2
(D)V
1
=2V
2

2


二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）





7、已知复数Z
1
,Z
2
满足∣Z
1
∣＝2,∣Z
2
∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则 ∣(Z
1
＋Z
2)
(Z
1
＋Z
2
)∣= 。
8、将二项式（√x+1（2√x））的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列， 则该展开式中x的幂指数是整数
的项共有 个。
9、如图，点P
1< br>，P
2
，…，P
10
分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上 的四点组（P
1
，P
i
，P
j
，P
k
）（ 1＜i＜j＜k
≤10）有 个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数，f (1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f( x)+1-x，
则g(2002)= 。
11、若log
4
( x+2y)+log
4
(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是 。
12、使不等式sinx+acosx+a≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、已知点A（0,2）和抛物线y=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图，有一列曲线P
0
，P
1
，P
2
… …，已知P
0
所围成的图形是面积为1的等边三角形，P
k+1
是对P
k
进行如下操作得到：
将P
k
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边 ，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记S
n
为曲
2
22
4n
24 23924 239

线P
n
所围成图形的面积。
（1） 求数列｛S
n
｝的通项公式；
（2） 求limS
n
.
n→∞

















2003年全国高中数学联赛
第一试
一、 选择题（每小题6分,满分36分）
y
y y
y
2003项是 1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第

(A)2046 (B)2047

(C)2048
2
(D)2049

2
2． 设
a
,
b

R
,
ab
≠0，那么，直线
ax

y
+
b
=0和曲线
bx
+
ay
=
ab
的图形是
O

O
O

x
x x
x


(A) (B) (C) (D)
2
3． 过抛物线
y
=8(
x
+2)的焦点
F
作倾斜角为60的直线．若此直线及抛物线交于
A
,
B
两点，弦
AB
的中垂线及
x
轴交于
P
点，
则线段
PF
的长等于





15、设二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：
（1） 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
2
（2） 当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)2);
（3） f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。
2
163
8
(A) (B)
3
(C)
3
(D)8
3

5


2


4． 若
x
[
12
,
3
]，则
y
= ta n(
x
+
3
)tan(
x
+
6
)+co s(
x
+
6
)的最大值是
1112
1211
23
23
65
56
(A) (B) (C) (D)
9
4
2
2
5． 已知x
,
y
都在区间(2,2)内，且
xy
＝1，则函数
u
=
4x
+
9y
的最小值是
8
12
2412
(A)
5
(B)
11
(C)
7
(D)
5


6． 在四面体
ABCD
中，设
AB
=1，
CD
=
3
，直线
AB
及
CD
的距离为2，夹角为
3
，则四面体
ABCD
的体积等于
33
1
1
(A)
2
(B)
2
(C)
3
(D)
3

25 23925 239

二、 填空题(每小题9分,满分54分)
32
7． 不等式|x
|2
x
4|
x
|+3＜0的解集是__________ .
x
2
y
2
1
94
8． 设
F1
,
F
2
是椭圆的两个焦点，
P
是椭圆上的点，且|< br>PF
1
|:|
PF
2
|=2:1，则△
PF
1
F
2
的面积等于__________.
2
9． 已知
A
={
x
|
x
4
x
+3＜0,
x

R
},
B
={
x
|
2
____________.
1x
a
≤0,
x
2
2(
a
+7)
x
+5≤0,
x

R
}．若
A

B
, 则实数
a
的取值范围是
35
10．已知
a
,
b
,
c
,
d
均为正整数，且log
a
b< br>=
2
, log
c
d
=
4
，若
a< br>
c
=9, 则
b

d
=________. 11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且及圆柱的一 个底面及侧面都
相切，则此圆柱的高等于________.
12．设
M
n
={(十进制)
n
位纯小数0.
a
1
a
2
a
n
|
a
只取0或1(
i
=1,2,…,
n1)，
a
=1}，
T
是
M
中元素的个数，
S
是
M
中所有元
innnnn
S
n
n
T
n
=_______. 素的和，则
lim
三、 解答题(每小题20分，满分60分)
1.

3
x5
已知< br>2
,证
2x12x3153x219

1
z bi
1
zai
z1ci(a,b,cR)
对应的不共线三点。
0
2
2. 设A、B、C分别是复数,,
2
4224
zz cost2zcostsintzsint(tR)
及
ABC
中平行于AC的 中位线只有一个公共点，并求出
012
证：曲线
此点。

3. 一 张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点
折法，都留下一条 直线折痕，当
A

刚好及A点重合，这样的每一种
A

取遍 圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。
1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试

一、选择题(每小题6分，共36分)
1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式
asinxbcosxc0.
都成立的充要条件是
22
(A)a,b同时为0,且c>0 (B)
abc

2222
(C)
abc
(D)
abc

222222
2、给出下列两个命题：(1).设a,b ,c都是复数，如果
abc
,则
abc0
.(2).设a,b,c
222222
都是复数，如果
abc0
,则
abc
.那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误
(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
3、已知数列
{a
n
}
满 足
3a
n1
a
n
4(n1)
,且
a
1
9
,其前n项之和为
S
n
,则满足不等式
|S
n
n6|
1
125
的最小整数n是
26 23926 239

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
4、已知
0b1,0a

log
b
si nalog
b
cosalog
b
cosa
y(cosa)z(s ina)
4
,则下列三数:
x(sina)
,, 的大小
关系是
(A)x5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
n1
n2

n2n1
(

,

)
< br>,

)(0,)(

,

)
n
n2 nn
(A) (B) (C) (D)
(
|xy||xy|
1
2b
6、在平面直角坐标系中,方程
2a
(a,b是不相等的 两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形
(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)
1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的 坐标分别为(1,1)和(2,2)，若直线
l:xmym0
及
PQ的延长线 相交，则m的取值范围是______.
3

xsinx2a0

x,y[,],aR

4y
3
sinycosya0< br>44
2.已知且

则
cos(x2y)
=_____. < br>55
A{(x,y)|(x3)
2
(y4)
2
()
2
}B{(x,y)|(x4)
2
(y5)
2
( )
2
}
22
3.已知点集, ,则点集
A

B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.
sin(1cos
< br>)
2
4.设
0



,则的最大值是__ ____.

5.已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于

,则< br>sin

=___
6.已知95个数
a
1
,a2
,a
3
,,a
95
, 每个都只能取+1或
1< br>两个值之一,那么它们的两两之积的和
a
1
a
2
a
1
a
3
a
94
a
95
的最小值是___.

1995年全国高中数学联赛试题

第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
27 23927 239

1. 设等差数列{a
n
}满足3a
8
=5a
13
且a
1
>0，S
n
为其前n项和，则S
n
中 最大的是（ ）
(A)S
10
(B)S
11
(C)S
20
(D)S
21


2. 设复平面上 单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z
1
,Z
2
,... ,Z
20
， 则复数
Z
1
1995
,Z
2
1995
,...,Z
20
1995
所对应的不同的点的个数是（ ）
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20


3. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不
亚于其他 99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个


4. 已知方程 |x -2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是
( )
(A)k>0 (B)0(C)1(2n+1)

5. log
si n1
cos1，log
sin1
tg1，log
cos1
sin1， log
cos1
tg1的大小关系是
(A)log
sin1
cos1< log
cos1
sin1sin1
tg1cos1
tg1
(B)log
cos1
sin1< log
cos1
tg1sin1
cos1 sin1
tg1
(C)log
sin1
tg1cos1
tg1cos1
sin1 sin1
cos 1
(D)log
cos1
tg1sin1
tg1sin1
cos1 cos1
sin 1


6. 设O是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC的中心，过O的动平面及PC交于S，及PA,PB的延长线
分别交于Q、R，则和式 1PQ + 1PR + 1PS ( )
(A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个及面QPS无关的常数


二、填空题(每小题9分，共54分)
1. 设
α、β为一对共轭复数，若|α - β|=2 √3，且αβ
2
为实数，则|α|=
____。


2. 一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为____。


3. 用[x]表示不大于实数 x的最大整数，方程 lg
2
x -[lg x]-2=0的实根个数是____。


4. 直角坐标平面上，满足不等式组
y≤3x
y

≥x3
x+y≤100
5. 的整点个数是____。
6. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色， 如果只有5种颜色可使
用，那么不同的染色方法的总数是____。


7. 设M={1,2,...,1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x就不属于A，则A中元素 的
个数最多是____。


{
28 23928 239

1996年全国高中数学联赛试题
【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.把圆x
2
+ (y –1 )
2
=1及椭圆9x
2
+ (y + 1)
2
= 9的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2.等比数列{a
n
}的首项a
1
=1536, 公比是q=

1
.用
π
n
表示它的前n项之积，则
π
n(nN)最大的是
2
(A)
π
9
(B)
π
11
(C)
π
12
(D)
π
13
3.存在整数n使
pnn
是整数的质数p
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个，但为有限个 (D)有无穷多个
1
4设x(– , 0),以下三个数: 
1
=cos(sinx), 
2
=sin(cosx), 
3
=cos(x+1)的大小关系是
2
(A) 
3
< 
2
< 
1
(B) 
1
< 
3
< 
2
(C) 
3
< 
1
< 
2
(D) 
2
< 
3
< 
1
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f (x) = x
2
+ px + q及g(x) = x +
区间上的最大值是
（A）4+
1
在同一点取相同的最小值，那么f (x)在该
x
2< br>11
3
51
2
3
4
（B）4－
3
2
3
4
（C）1－
3
2
3
4
（D）以 上答案都不对
22
4
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O
1
, 球心O
1
在圆台的轴上. 球O
1
及圆台上底面、侧面都相切. 圆
台内可再放入一个半径为3的球O
2
, 使得球O
2
及球O
1
、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O
2
, 圆
台内最多还能放入半径为3的球的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
1
3. 集合{x| –1
log
1
10
<– , xN}的真子集的个数是_____________________
2
x
1< br>2.复平面上非零复数z
1
，z
2
在以i为圆心，1为半径的圆上，< br>z
1
z
2
的实部为零，z
1
的辐角主值为  , 则
6
z
2
= ____________.
3.曲线C的极坐标方程是 = 1 + cos, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周,
则它扫过的图形的面积是______________.
4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该
六面体的最短棱的长为2, 则最远的两顶点间的距离是__________.
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个
具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后
六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标 平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的
点）的个 数为_______________.
【第二试】

一、（本题满分25分） < br>设数列{a
n
}的前
n
项和S
n
=2a
n< br>－1（n=1，2，…），数列{b
n
}满足b
1
=3，b
k+1
=a
k
+b
k
（k=1，2，…）。求数
列{bn
}的前n项和.
29 23929 239

二、（本题满分25分）
求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意
θ
∈[0，π2]恒有
（x +3+2sin
θ
cos
θ
）
2
+（x+asin
θ
+acos
θ
）
2
≥18.



三、（本题满分35分）
如图，圆O1和圆O2及△ABC的三边所在的三条直线都相切，E 、F、G、H为切点，并且EG、FH的
延长线交于P点。求证直线PA及BC垂直。

P



G

H

O
1
。

A

。
O
2



C
F
E
B


四、（本题满分35分）
有n（n≥6）个人聚会，已知：
（1）每人至少同其中

个人互相认识；
2

n



n

（2）对于其中任意

个人，或 者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识。

2


2001年全国高中数学联赛试题
第 1 试
一、 选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．已知a为给定的实数，那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子集的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2．命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点；
命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点。
以上三个命题中正确的有 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D) 3个
3． 在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4． 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是( )
30 23930 239

(A)k=8√3 (B)0＜k≤12 (C)k≥12 (D)0＜k≤12或k=8√3
5． 若(1+x+x
2
)
1000< br>的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…a
2000
x
2000
，则a
0
+a
3+a
6
+a
9
+…+a
1998
的值为( )
(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001
6． 已知6枝玫 瑰及3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰及5枝康乃馨的价格之和小于22元，
则2枝玫瑰的 价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 ( )
(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
7． 椭圆ρ=1(2-cosθ)的短轴长等于________.
8．若复数z
1
, z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1< br>-2z
2
=32-i，则z
1
·z
2
=______ ___.
9．正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则直线A
1
C
1
及BD
1
的距离是________.
10．不等式|1log
12
x+2|＞32的解 集为__________________.
11．函数y=x+√(x
2
-3x+2)的值域为______________.
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不 同的
植物。现有4种不同的植物可供选择，则有________种栽种方案。
三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．设{a
n
}为等差 数列，{b
n
}为等比数列，且b
1
=a
1
2
, b
2
=a
2
2
, b
3
=a
3
2
(a
1
＜a
2
), 又(b
1
+b
2
+…+b
n
)的极限=√2+1。 试
求{a
n
}的首项和公差。[注意：√2+1和√(2+1)表示的数字不相同]
14．设曲线C
1
:x
2
a
2
+y
2=1(a为正常数)及C
2
:y
2
=2(x+m)在x轴上方仅有一个公 共点P。
(1)求实数m的取值范围(用a表示); (2)O为原点，若C
1
及x 轴的负半轴交于点A，当0＜a＜12时，试求△
OAP的面积的最大值(用a表示)。
15 ．用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
的电阻组成一个如图的组件，在组装的过程中如何选择电阻，
才能使该组件的电阻值最小？证明你的结论。


2001年全国高中数学联赛试题

【第一试】
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２
－3ｘ－ａ
２
＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个
数为（ ）．
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定
31 23931 239

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（ ）．
Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个
3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓ
ｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函 数是（ ）．
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范
围是（ ）．
Ａ． Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或
5．若（1＋ｘ＋ｘ
2
）
1000
的展开式为 ａ
０
＋ａ
１
ｘ＋ａ
２
ｘ
２
＋…＋ａ
2000
ｘ
2000
，则ａ
０
＋ａ
3
＋ａ
6
＋ａ
9
＋…＋ａ
1998
的值为（ ）．
Ａ．3
333
Ｂ．3
666
Ｃ．3
999
Ｄ．3
2001

6．已知6枝玫瑰及3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰 及5枝康乃馨的价格之和小
于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）．
Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高
Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．
8．若 复数ｚ
１
、ｚ
２
满足｜ｚ
１
｜＝2，｜ｚ
３
｜＝3，3ｚ
１
－2ｚ
２
＝（3／2）－ｉ，则ｚ
１
·ｚ
２
＝______________．

9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１
Ｂ
１
Ｃ1
１
的棱长为1，则直线Ａ
１
Ｃ１
及ＢＤ
１
的距离是______________．

10 ．不等式｜（1／ｌｏｇ
1／2
ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．
11．函数 的值域为______________．

32 23932 239

图3
12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3） ，要求同一块中种同一种植物，
相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有____ __________种栽种方案．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
1 3．设｛ａ
ｎ
｝为等差数列，｛ｂ
ｎ
｝为等比数列，且ｂ
１
＝ａ
１
２
，ｂ
２
＝ａ
２
２
，ｂ
３
＝ａ
３
２
（ａ
１
＜ａ
２
＝．又 试求｛ａ
ｎ
｝的首项及公差．
x
2
y
2
1
2
14．设曲线
C
1
：
a
（
a
为 正常数）及
C
2
：
y
2
=2（
x
+
m
） 在
x
轴上方仅有一个公共点
P
．

⑴ 求实数
m
的取值范围（用
a
表示）；
1
⑵
O< br>为原点，若
C
1
及
x
轴的负半轴交于点
A
， 当0<
a
<
2
时，试求Δ
OAP
的面积的最大值（用
a
表示）．
15．用电阻值分别为
a
1
、
a
2
、
a
3
、
a
4
、
a
5
、
a
6
(
a
1
>
a
2
>
a
3
>
a
4
>
a
5
>
a
6
) 的电阻组装成一个如图的组件，
在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．







【第二试】
一．（本题满分50分）
33 23933 239

如图，△
ABC
中，
O
为外心，三条高
AD
、
BE
、
CF
交于点
H
，直线
ED
和
AB
交于点
M
，
FD
和
AC
交
于点
N
．
求证：(1)
OB
⊥
DF
，
OC
⊥
DE
；
(2)
OH
⊥
MN
．

A
O
F
H
D
E
C
N
B
M

二．（本题满分50分）
设
x
i0
（
i
=1，2，…，
n
）且

x
i1
n
2
i
2
1kjn

n
k
x
k
x
j
1
x
i

j
，求
i1
的最大值及最小值．
三．（本题满分50分）
将边长为正整数
m
，
n
的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于
矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
C
n
A
m
B

D
34 23934 239

参考答案

一．

选择题：
1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A
二．填空题：
23
3

7． 8．
6
6
3072
i
1313

9．
2
7
10．
三．解答题：
(0,1)(1,2)(4,)
[1,
11．
3
)[2,)
2
12． 732
1 3．设所求公差为
d
，∵
a
1
＜
a
2
，∴
d
＞0．由此得
22422
a(a2d)(ad)
2a4add0

111
11
化简得：
解得：
d(22)a
1
……………………………………………………… 5分
而
220
，故
a
1
＜0
q
2
a
2
若
d(22)a
1
，则
若
d(22)a
1
，则
但
n
a
1
2
2
a
2
(21)
2

(21)
2
q
a
1
2
……………………………… 10分
2
存在，故|
q
|＜1，于是
q(21)
不可能．
lim(b
1
b
2
b
n
)21
2
a
1
2
从而
1(21)
2
21a
1
(222)(21) 2

所以
a
1
2,d(22)a
1
222
……………………………… 20分
35 23935 239

< br>x
2
2

2
y1

a

y
2
2(xm)
2222
14．解：(1)由

消去
y
得：
x2ax2ama0
①
2222
设
f(x)x2ax2ama
，问题(1)化为方 程①在
x
∈(－
a
，
a
)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
a
2
1
m
2
，此时
x
p
＝－
a
2
，当且仅当－
a
＜－
a2
＜
a
，即0＜
a
＜1时适合；
1°△＝0得：
2°
f
(
a
)
f
(－
a
)＜0，当且仅当－
a
＜
m
＜
a
；
3°
f
(－
a
)＝0得
m
＝
a
，此时
x
p
＝
a
－2
a
2
，当且 仅当－
a
＜
a
－2
a
2
＜
a
，即 0＜
a
＜1时适
合．

f
(
a
)＝0得
m
＝－
a
，此时
x
p
＝－
a－2
a
2
，由于－
a
－2
a
2
＜－< br>a
，从而
m
≠－
a
．
a
2
1< br>m
2
或－
a
＜
m
≤
a
；
综上可知，当0＜
a
＜1时，
当a
≥1时，－
a
＜
m
＜
a
．…………………… ………………………… 10
分
1
ay
p
2
(2)△
OAP
的面积
S
1
22
∵0＜
a
＜
2
，故－
a
＜
m
≤
a
时，0 ＜
aaa12m
＜
a
，
由唯一性得
x
p
a
2
aa
2
12m

1
x
2
p
a
2
取值最大，此时
显然当
m
＝
a
时，
x
p
取值最小．由于
x
p
＞0，从而
y
p
＝
y
p
2aa2
2
，∴
Saaa
．
1
a
2
 1
Sa1a
2
m
2
2
2
时，
xp
＝－
a
，
y
p
＝
1a
，此时2
当
．
1
a1a
2
2
下面比较
aaa
及
2
的大小：
36 23936 239

令
aaa
2

11
a1a2
a
2
3

，得
1
11
a1a< br>2
S
max
a1a
2
2
2
故当 0＜
a
≤
3
时，
aaa
≤
2
，此时．
111
aaaa
2
a1a
2
2
Saa a
2
32
max
当
时，，此时．……… 20分
15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
R
FG
，当
R
i
＝
a
i
，
i
＝3，4，5，6，
R< br>1
、
R
2
是
a
1
、
a
2< br>的任意排列时，
R
FG
最小 ……………………………………… 5分
证明如下：
111

1．设当两个电阻
R
1< br>、
R
2
并联时，所得组件阻值为
R
，则
RR
1
R
2
．故交换二电阻
的位置，不改变
R
值，且当
R
1
或
R
2
变小时，
R
也减小，因此不妨取
R
1
＞
R
2
．
2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为
R
AB


R
AB

RRR
1
R
3
R
2
R
3
R
1
R
2
R
3

12
R
1
R
2
R
1
R
2

显然
R
1
＋
R
2
越大，
R
AB
越小，所以为使
R
AB
最小必须取
R
3
为所 取三个电阻中阻值最小的—
个．
111

R
CD
RAB
R
4

3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为
RCD

若记
S
1

R
1
R< br>2
R
1
R
3
R
1
R
4
R
2
R
3
R
2
R
4
R
1R
2
R
4
R
1
R
3
R
4< br>R
2
R
3
R
4

1ij4

RR
ij
,

R
CD< br>
S
2
R
1
R
2
R
3
S
1
R
3
R
4

S
2
1ijk4

R
i
R
j
R
k
，则
S
1
、
S
2
为定值，于是
37 23937 239

只有当
R
3
R
4< br>最小，
R
1
R
2
R
3
最大时，
R< br>CD
最小，故应取
R
4
＜
R
3
，
R
3
＜
R
2
，
R
3
＜
R
l
，即得总电阻
的阻值最小 …………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由
R
1
、
R
2
、
R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替．要使
R
F G
最小，由3°必需使
R
6
＜
R
5
；且由1°应使
R
CE
最小．由2°知要使
R
CE
最小，必需使
R
5
＜
R
4
，且应使
R
CD
最小．
而由3°，要使
R
CD
最小，应使
R
4
＜
R
3
＜
R
2
且
R
4
＜
R
3
＜
R
1
，
这就说明，要证结论成立………………………………………………………………20分


2001年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准

一．证明：( 1)∵
A
、
C
、
D
、
F
四点共圆
∴∠
BDF
＝∠
BAC

1
又∠
OBC
＝
2
(180°－∠
BOC
)＝90°－∠
BAC

∴
OB
⊥
DF
．
(2)∵
CF
⊥
MA

∴
MC

2
－
MH

2
＝
AC

2
－
AH

2
①
∵
BE
⊥
NA

∴
NB

2
－
NH

2
＝
AB

2
－
AH

2
②
∵
DA
⊥
BC

∴
BD

2
－
CD

2
＝
BA

2
－
AC

2
③
∵
OB
⊥
DF

∴
BN

2
－
BD

2
＝
ON

2
－
OD

2
④
38 23938 239

∵
OC
⊥
DE

∴
CM

2
－
CD

2
＝
OM

2
－
OD

2
⑤ …………………………………… 30分
①－②＋③＋④－⑤，得

NH

2
－
MH

2
＝
ON

2
－
OM

2

MO

2
－
MH

2
＝
NO

2
－
NH

2

∴
OH
⊥
MN
…………………………………………………………………… 50分
另证：以
BC
所在直线为
x
轴，
D
为原点 建立直角坐标系，
k
AC

aa
,k
AB

cb
设
A
(0，
a
)，
B
(< br>b
，0)，
C
(
c
，0)，则
y
∴直线
AC
的方程为
ac
(xc)y(xb)
ca
， 直线
BE
的方程为

c

y(xb)


a

222
a
acbcacabc

y (xc)
,
22

c
a
2
c
2) 由

得
E
点坐标为
E
(
a c
a
2
bb
2
cab
2
abc
,22
aba
2
b
2
) 同理可得
F
(
直线
AC
的垂直平分线方程为
y< br>acc
(x)
2a2

bc
2
直线
BC
的垂直平分线方程为
x
acc

y(x)

2a2

bcbca
2

x
bc
,

2

22a
) 由 得
O
(
bca
2
bca
2
2a

bc
acab
b
2
ab
2
abcabac
< br>2

22
abbcabc
k
OB
,k
D F

∵
k
OB
k
DF
1
∴
OB
⊥
DF

同理可证
OC
⊥
DE
．
39 23939 239