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初三数学竞赛试题 初中数学竞赛专项训练

1、一个六位数，如 果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以
被（ ）整除。

A. 111 B. 1000 C. 1001 D. 1111
< br>解：依题意设六位数为，则＝a×105＋b×104＋c×103＋a×102＋b×10＋c＝a×1 02（103
＋1）＋b×10（103＋1）＋c（103＋1）＝（a×103＋b×10＋c）（ 103＋1）＝1001（a×103
＋b×10＋c），而a×103＋b×10＋c是整数，所以能 被1001整除。故选C

方法二：代入法

2、若，则S的整数部分是____________________

解：因1 981、1982……2001均大于1980，所以，又1980、1981……2000均小于2001，所 以，
从而知S的整数部分为90。

3、设有编号为1、2、3……100的100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关
闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡 号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第
二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n个（n≤ 100）学生进来，凡号码是n
的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100 整除的电灯上的开关
拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

解：首先，电 灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的，所以
只有那些被拉过奇数次的灯 才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以那些编号为1、
22、32、42、52、62、72 、82、92、102共10盏灯是亮的。

4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零 售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把
零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣 的零售价是 （ ）

A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m?a%(1-b%)元

C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元

解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1＋a%）元，因调整 后的零售价为原零售价的b%，
所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。

应选C

5、如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为 （ ）

A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2

解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。

①当a，b，c为两正一负时：

；

②当a，b，c为两负一正时：



由①②知所有可能的值为0。

应选A

6、在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B＝60°，则的值为 （ ）

A. B.

C. 1 D.

解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝，AD＝ 。在Rt△ADC
中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－）2＝b2－C2，整理得a2＋c2= b2＋ac，从而有

应选C

7、设a＜b＜0，a2+b2=4ab，则的值为 （ ）

A. B. C. 2 D. 3

解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于a
应选A

8.已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1 999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca
的值为 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3



9、已知abc≠0，且a+b+c＝0，则代数式的值是 （ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售 时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降
价的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为＿＿＿＿＿

解：设该商品的成本为a，则有a(1+p%)(1-d%)=a，解得

11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=__________ _____

解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x＋1)?y=z2＋9，所以x＋ 1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两
个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝ －4z2≥0，从而知z=0，解方程得
x+1=3，y=3。所以x+2y+3z＝8
< br>12.气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午
是 晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（ ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天 ，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关
系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+ c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，
于x＝a+b+c+d=9。

13、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时、、、千米，且满足＞＞＞ ＞0，
其中，为河流的水流速度（千米小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、
②、 ③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号？

解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为



各艇追上④号艇的时间为



对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。

14.有一水池， 池底有泉水不断涌出，要将满池的水抽干，用12台水泵需5小时，用10台水
泵需7小时，若要在2小 时内抽干，至少需水泵几台？

解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为， 水泵每小时抽水量为，2小时
抽干满池水需n台水泵，则

由①②得，代入③得：

∴，故n的最小整数值为23。

答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台

15.某宾馆一层客房比二层 客房少5间，某旅游团48人，若全安排在第一层，每间4人，房
间不够，每间5人，则有房间住不满； 若全安排在第二层，每3人，房间不够，每间住4人，
则有房间住不满，该宾馆一层有客房多少间？

解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得



由①得：，即

由②得：，即

∴原不等式组的解集为

∴整数的值为。

答：一层有客房10间。

16、 某生产小组开展劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过
200个，后来改 进技术，每人一天又多做27个零件，这样他们4个人一天所做零件就超过劳
动竞赛中8个人做的零件， 问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？

解：设劳动竞赛前每人一天做个零件

由题意

解得

∵是整数 ∴＝16

（16＋37）÷16≈3.3

故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

初中数学竞赛专项训练（5）

（方程应用）

一、选择题：

1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行1小时后他们分别到达各自的终点A与B，若仍
从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A之后35分钟到达B，甲乙的速度之比为
（ ）

A. 3∶5 B. 4∶3 C. 4∶5 D. 3∶4

2、某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高 一个档次，
每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少
3件，如果获利润最大的产品是第R档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那
么 R等于 （ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

3、某商店出售某种商品每件可获利m元，利润为20%（利润＝），若这种商 品的进价提高25%，
而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m元，则提价后的利润率为
（ ）

A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5%

4、某项工程，甲单独需a天完成，在甲做了c（c天，若开始就由甲乙两人共同合作，则完成任务需（ ）天

A. B. C. D.

5、A、B、C三个足球队举行循环比赛，下表给出部分比赛结果：

球队

比赛场次

胜

负

平

进球数

失球数

A

2

2场

1

B

2

1场

2

4

C

2

3

7

则：A、B两队比赛时，A队与B队进球数之比为 （ ）

A. 2∶0 B. 3∶1 C. 2∶1 D. 0∶2

6、甲乙两辆汽 车进行千米比赛，当甲车到达终点时，乙车距终点还有a千米（0＜a＜50）现
将甲车起跑处从原点后 移a千米，重新开始比赛，那么比赛的结果是 （ ）

A. 甲先到达终点 B. 乙先到达终点

C. 甲乙同时到达终点 D. 确定谁先到与a值无关

7、一只小船顺流航行在甲、乙两个码头之间需a小时，逆流航行这 段路程需b小时，那么一
木块顺水漂流这段路需（ ）小时

A. B. C. D.

8、A的年龄比B与C的年龄和大16，A的年龄的平方比B与C的 年龄和的平方大1632，那么
A、B、C的年龄之和是 （ ）

A. 210 B. 201 C. 102 D. 120

二、填空题

1、甲乙两厂生产同一种产品，都计划把全 年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南
市场同类产品的，然而实际情况并不理想，甲厂仅有的 产品，乙厂仅有的产品销到了济南，
两厂的产品仅占了济南市场同类产品的，则甲厂该产品的年产量与乙 厂该产品的年产量的比
为＿＿＿＿＿＿＿

2、假期学校组织360名师生外出旅游 ，某客车出租公司有两种大客车可供选择，甲种客车每
辆有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有 50个座位，租金480元，则租用该公司客车
最少需用租金＿＿＿＿＿元。

3、时钟在四点与五点之间，在＿＿＿＿＿＿＿时刻（时针与分针）在同一条直线上？
4、为民房产公司把一套房子以标价的九五折出售给钱先生，钱先生在三年后再以超出房子原
来标价 60%的价格把房子转让给金先生，考虑到三年来物价的总涨幅为40%，则钱先生实际上
按＿＿＿＿＿ %的利率获得了利润（精确到一位小数）

5、甲乙两名运动员在长100米的游泳池两边同 时开始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游
100米要60秒，略去转身时间不计，在12分钟内二 人相遇＿＿＿＿次。

6、已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的两倍，乙 比丙小7岁，三人的年
龄之和是小于70的质数，且质数的各位数字之和为13，则甲、乙、丙三人的年 龄分别是＿
＿＿＿＿＿＿＿＿

三、解答题

1、某项工程，如 果由甲乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，
需付150000元； 由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元，现在工程由一个队单独承包，
在保证一周完成的前提 下，哪个队承包费用最少？

2、甲、乙两汽车零售商（以下分别简称甲、乙）向某品牌汽车 生产厂订购一批汽车，甲开始
定购的汽车数量是乙所订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲从其所订的 汽车中转让给乙
6辆，在提车时，生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了6辆，最后甲所购汽车 的
数量是乙所购的2倍，试问甲、乙最后所购得的汽车总数最多是多少量？最少是多少辆？