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中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）
1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式
．
a
2< br>|ab|(ca)
2
|bc|
可以化简为（ ）
（第1题图）
（A） （B） （C） （D）a
b
2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，
x
其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 3．如果
a，b
为给定的实数，且
1ab
，那么
1，a1 ， 2ab，ab1
这四个数据的平
均数与中位数之差的绝对值是（ ）．
（A）1 （B）
11
2a1
（C） （D）
24
4
4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说： “你若给我2元，我的
钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍” ，其中n为
正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个 面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，
设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数 分别是0，1，2，3的概率为
p
0
，p
1
，p
2
，p
3
，
则
p
0
，p
1
，p
2< br>，p
3
中最大的是（ ）．
（A）
p
0
（B）
p
1
（C）
p
2
（D）
p
3






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二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．按如图的程序进行操作，规定：程序运 行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为
一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .





（第7题图）
7．如图，正方形ABCD的边长为2
15，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交
于点M，N，则△DMN的面积是 .
x
3
2
9
8．如果关于x的方程x+kx+k－3k+= 0的 两个实数根分别为
x
1
，
x
2
，那么
1
2 012
的
2
4
x
2
2
2011
值为 ．
9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼
此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结
束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值
为 .
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作
BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .





三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（第10题图）
（m3）xm 2
，当
1x3
时，恒有
y0
；关于x的方11．已知二次 函数
yx
2
（m3）xm20
的两个实数根的倒数和小于

程
x


2
9
．求
m
的取值范围．
10
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12．如图，⊙O的直径为
AB
，⊙O
1
过点
O
，且与⊙O内切于点
B
．
C
为⊙O上的点 ，
OC
与⊙O
1
交于点
D
，且
ODCD
．点
E
在
OD
上，且
DCDE
，BE的延长线与⊙O
1
交于
点
F
，求证：△BOC∽△
DO
1
F
．





13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小
值.





14．求所有正整数n，使得存在正整数
x
1
，x
2
，　，x
2012
，满足
x
1
x
2

（第12题图）
x
2012
，且
12

x
1
x
2









2012
n
.
x
2012
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中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题
1．C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
ba0c
，且
bc
，
所以
a
2|ab|(ca)
2
|bc|a(ab)(ca)(bc)
a
．

2．D
解：由题设知，
2a( 3)
，
(3)(2)b
，所以
a，b6
.
2
3

y


解方程组


y


2
x，

x3，

x3，3
得




y2；y2.
6

，

x
所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例 函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因
此另一个交点的坐标为（3，2） .
3．D
解：由题设知，
1a1ab12ab
，所以这四个数据的平均数为
1(a1)(ab1)(2ab)34a2b
，

44
(a1)(ab1)44a2b
中位数为 ，

24
44a2b34a2b1
于是

.
444
4．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，
x，y
均为非负整数. 由题设
可得

x2n(y2)，


yn2(xn)，

消去x得 (2y－7)n = y+4，
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2n =
(2y7)1515
1
.
2y72y7
因为
15
为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，
2y7
6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
5．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的
余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
p
0


98910
，p
1
，p
2
，p
3

，因此
p
3
最大．
36363636
二、填空题
6．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487，
81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，
3x2
≤487
9x8
≤487，故x的取值范围是
7＜x≤19．
7．8
解：连接DF，记正方形
ABCD
的边长为2
a
. 由题设易知△
BFN
∽△
DAN
，所以
ADANDN2

，
BFNFBN1
2
由此得
AN2NF
，所以
ANAF
.
3

在Rt△ABF中，因为
AB2a，BFa
，所以
AFAB
2
BF
2
5a
，
（第7题）
于是
cosBAF
AB25
.

AF5
由题设可知△ADE≌△BAF，所以
AEDAFB
，

AME180
0
BAFAED180
0
BAFAFB90
.
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于是
AMAEcosBAF
25
a
，
5
245
MNANAMAFAMa
，
315
S
MND
MN4

.
S
AFD
AF15

又
S
AFD

148
(2a)(2a)2a
2
，所 以
S
MND
S
AFD
a
2
.
21515
因为
a15
，所以
S
MND
8
.
8．

2

3
39

=k
2－4
(k
2
3k)
≥0，
42
解：根据题意，关于x的方程有
由此得 (k－3)≤0．
又(k－3)≥0，所以(k－3)=0，从而k=3. 此时方程为x+3x +
222
2
9
3
=0，解得x
1
=x
2< br>=

.
2
4
故
x
1
x
2
2011
2012
=
1
2
=

．
x
2
3
9．8
解：设平局数为
a
，胜（负）局数为
b
，由题设知
2a3b130
，
由此得0≤b≤43.
又
a b
(m1)(m2)
，所以
2a2b(m1)(m2)
. 于是
2
0≤
b130(m1)(m2)
≤43，
87≤
(m1)(m2)
≤130，
由此得
m8
，或
m9
.
当
m8
时，
b 40，a5
；当
m9
时，
b20，a35
，
a
ab55

，不合题设.
22
故
m8
．

（第10题）
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10．
32

2
解：如图，连接AC，BD，OD.
由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.
依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O
的内接四边形，所以
∠BCF =∠BAD,
所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此
BCBA
.

CFAD
因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是
DEOE
2
. 因此
DCOB
DE2CD2AD，CE3AD
.
由△
AE D
∽△
CEB
，知
DEECAEBE
．因为
AE< br>所以
2AD3AD
BA3
，BEBA
，
22
BA3
BA
，BA=
22
AD ，故
22
CF
AD
BC32
.
BC

BA
2
22
三、解答题
11．解： 因为当
1x3
时，恒有
y0
，所以
2
（m3）（4m2）0
，
（m1）0
，所以
m1
． ………（5分） 即当
x1
时，
y
≤
0
；当
x3
时 ，
y
≤
0
，即
2
(1)
2
(m3 )(1)m2
≤
0
，
且
33(m3)m2
≤
0
，

解得
m
≤
5
． ………（10分）
设方程
x

m3

x

m2

0
的两个实数根分别为
x
1
，x
2
，由一元二次方程根与
2
2
系数的关系得
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x
1
x
2

m3

，x
1
x
2
m2
．
因为
119

，所以
x
1
x
2
10

x
1
x
2
m39

，
x
1
x
2
m2 10


解得
m12
，或
m2
．
因此
m12
． …………（20分）
12． 证明：连接BD，因为
OB
为
O
1
的直径，所以< br>ODB90
．又
因为
DCDE
，所以△CBE是等腰三角形．

…………（5分）
设
BC
与
O
1
交于点
M
，连接OM，则
OMB90
．又因为
OCOB
，所以
（第12题）
BOC2DOM2DBC
2DBFDO
1
F
．

…………（15分）
又因为
BOC，DO
1
F分别是等腰△
BOC
，等腰△
DO
1
F
的顶角，所以
△BOC∽△
DO
1
F
． …………（20分）
13．解：设a－b = m（m是素数），ab = n（n是正整数）.

因为 (a+b)－4ab = (a－b)，
所以 (2a－m)－4n= m，
(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m. ………（5分）

因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以
2a－m+2n

m，2a－m－2n

1.
2
2
22 2
22
2
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m
2
1
(m1)
2
解得 a

，
n

.
4
4
2
（m1）
于是
b
= a－m

. …………（10分）
4
(m1)
2
又a≥2012，即≥2012.
4
(891)
2
又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.
4

当
a2025
时，
m8 9
，
b1936
，
n1980
.
因此，a的最小值为2025. …………（20分）

14．解：由于
x
1
，x
2
，　，x
2012
都是正整数，且
x
1
x
2
 x
2012
，所以
x
1
≥1，
x
2
≥ 2，…，
x
2012
≥2012．
于是
n

当
n1
时，令
x
1
2012，x
2
22 012，　，x
2012
20122012
，则
12
< br>x
1
x
2

2012
12
≤
< br>x
2012
12

2012
2012
．…………（ 10分）
2012
12

x
1
x
2

2012
1
.…………（15分）
x
2012
，x
2
2，　，x
k
k，
当
nk1
时，其中
1
≤
k
≤
2011
，令
x
1
1

x
k1
(2012k)( k1),x
k2
(2012k)(k2)，x
2012
(201 2k)2012
，则

12

x
1
x
2

20121
k(2012k)
k1n
．
x
2012
2012k

综上，满足条件的所有正整数n为
1，　2，　，　2012
． …………（20分）

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