为人处世之道-杨靖宇的故事

2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案
一、选择题（本大题共6小题， 每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的 相应位置．）
1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是
A．

5

6
B．
2

3
C．
1

2
D．
1

3，则2．若

是第四象限角，且
sin

2
cos< br>
2
12sin

2
cos

2

是
2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3. 已知点
O、A、B
不在同一条直线上，点
P
为该平面上一点， 且
2OP2OA+BA
，则
A．点
P
不在直线
AB
上 B．点
P
在线段
AB
上
C．点
P
在线段
AB
的延长线上 D．点
P
在线段
AB
的反向延长线上
4．设
m,nR< br>
，若直线
(m1)x(n1)y40
与圆
(x2)( y2)4
相切，则
mn
的取值范
围是
A.
(0,13]
B.
[1
22
3,)
C.
[222,)
D.
(0,222]

5. 已知正方体C
1
的棱长为
182
，以C
1
的 各个面的中心为顶点的凸多面体记为C
2
，以C
2
的各个面的中
心为 顶点的凸多面体记为C
3
，则凸多面体C
3
的棱长为
A．18 B．
92
C．9 D．
62

6. 已知定义在
R
上的奇函数
f(x)
，满足
f(x3 )f(x)
,且在区间
[0,
3
]
上是增函数,若方程
2
f(x)m(m0)
在区间

6,6

上有四个不 同的根
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,则
x
1
x
2
x
3
x
4


A．
6
B．
6
C．
8
D．
8

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 
1
ln,x0


x
7．已知
f(x)

，则不等式
f(x)1
的解集为 ▲ .

1
,x0


x
8．随机抽查某中学高二年级100 名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分
成9组，得其频率分布直 方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力
在4.6到5.0之间的学 生有 ▲ 人.


高中数学竞赛试题 第 1 页 共 13 页

0.3
0.1
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
5.1.
5.2
视力
222
频率组距
c
，则
cosC
的最小值为 ▲ . 9．在< br>ABC
中，角
A,B,C
所对应的边长分别为
a,b,c
， 若
ab2
10．给出下列四个命题：
（1）如果平面

与平面

相交，那么平面

内所有的直线都与平面

相交； （2）如果平面

⊥平面

，那么平面

内所有直线都 垂直于平面

；
（3）如果平面

⊥平面

，那 么平面

内与它们的交线不垂直的直线与平面

也不垂直；
（4） 如果平面

不垂直于平面

，那么平面

内一定不存在直线 垂直于平面

．
其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
．．．
11．若动点
M(x
0
,y< br>0
)
在直线
xy20
上运动，且满足
(x
0< br>2)
2
(y
0
2)
2
≤8，则
x0
2
y
0
2
的取值范围是
▲ ．
1

1

12．设函数
f

x

x


，
A
0
为坐标原点，
A
n
为函数
yf

x

图象上横坐标为n（n∈N*）的 点，向
x1

2

x
量
a
n


n
n

5
A
k1
A
k
，向量
i(1,0)
，设

n
为向量
a
n与向量
i
的夹角，满足

tan

k

的最大整数
n
是
k1
k1
。
3
▲ ．


答 题 卡
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7． 8． 9．
10． 11． 12．



高中数学竞赛试题 第 2 页 共 13 页

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
已知函数
f(x)2sin
xxx
cos23sin
2
3
．
222
（1）求函数
f(x)
的单调减区间；
（2）该函数的图象可由
ysinx(xR)
的图象经过怎样的变换得到?
（3）已知






































6



2π

,
，且，求
f(

)f(

)
的值．

63
56

高中数学竞赛试题 第 3 页 共 13 页

14.（本小题满分12分）
菱形
ABCD
中，
A(1,2)
，
AB(6,0)
，点
M
是线段
A B
的中点，线段
CM
与
BD
交于点
P
.
（1）若向量
AD(3,7)
，求点
C
的坐标；
（2）当点
D
运动时，求点
P
的轨迹.









































高中数学竞赛试题 第 4 页 共 13 页

15．（本题满分13分）
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE
＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.
（1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；
（2）求点D到平面ACE的距离.








































高中数学竞赛试题 第 5 页 共 13 页
D
C
F
A
B
E

16．（本题满分13分）
如图，某化 工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污
水2万m
3
，每天流过甲厂的河水流量是500万m
3
（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河 道内排放污水
1.4万m
3
，每天流过乙厂的河水流量是700万m
3
（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的
作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20 %可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，
且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部 门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，
甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.
（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m
3
，试根据环保部门 的要求写出x、y
所满足的所有条件；
（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元万m< br>3
，乙厂处理污水的成本是1000元万m
3
，在满足环保
部门要求 的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m
3
，才能使这两个工厂处理污
水的总费用最小？最小总费用是多少元？
支流




















高中数学竞赛试题 第 6 页 共 13 页
甲厂
乙厂
500万m
3
天
700万m
3
天

17．（本题满分14分）
已知
f(x)ax2bx4c(a,b,cR)
.
（1）当
a0
时，若函数
f(x)
的图象与直线
yx
均无公共点，求 证：
4acb
2

（2）
b4,c
2
1;

4
3
时，对于给定的负数
a8
，记使不等式< br>|f(x)|5
成立的
x
的最大值为
M(a)
.
4
问
a
为何值时，
M(a)
最大，并求出这个最大的
M(a)
，证明你的结论.


2014年高中数学竞赛决赛参考答案
11.24
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
C
5
D
6
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7．
(,1)(0,e)
8． 78 9．
1
2


10． （3）（4） 11． [2，8] 12． 3
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
解：（1）
π

x

f(x)sinx3(12sin
2
)
sinx3cosx
2 sin

x

． …………………2分
3
< br>2

令

23

7

得
2k

x2k

，
kZ
．
66

7

2k

]
，
kZ
． …………………5分
f(x)
的单调减区间为
[2k

,
66


（2）先把函数
ysi nx(xR)
的图象向左平移个单位，就得到函数
ysin(x)(xR)
的 图象；
3
3
再把其纵坐标伸长为原来的
2
倍 ，横坐标不变，就得到
y2sin

x
象．…………7分
2k

x


3

2k

，
kZ
．
2


π

< br>(xR)
的图
3


高中数学竞赛试题 第 7 页 共 13 页

（3）由
f(

)
因为



6
π6
π3
得：
2sin(< br>
),
即
sin(

),
…………………8分
535
35
π



2π< br>
,

,所以
(

)(,

)
.
32

63

从而
cos(


于是
f(


ππ34
)1sin
2< br>(

)1()
2

…………………10分
3355

)2sin[(

)] 2[sin(

)coscos(

)sin]

6363636
3
5
341334
]
. …………………12分
2525


2[


14.（本小题满分12分）
解：（1）菱形
ABCD
中，
ACADAB(3,7)(6,0)(9,7)
，且
A(1,2)
，所以
C(10,9)
.…4分

（2）设
P(x,y)
，则
BPAPAB(x1,y2)(6,0)(x7,y2)
. …………………5分
又因为点
M
是线段
AB
的中 点，线段
CM
与
BD
交于点
P
，即点
P
是
ABC
的重心，从而有
MC3MP
,所以
ACAMMC 
111
AB3MPAB3(APAB)3APAB

222
3(x1,y2)(6,0)(3x9,3y6)
…………………7分
菱形
ABCD
的对角线互相垂直，所以
BPAC
，
即
(x7,y2)(3x9,3y6)0
，
亦即
(x7)(3x9)(y2)(3y6)0
，
整理得：
(x5)(y2)4
（
y2
）， …………………11分
故
P
点的轨迹是以
(5,2)
为圆心，2
为半径的圆，除去与
y2
的交点. …………………12分

15．（本题满分13分）
解：（1）平面ADE与平面BCE垂直. …………………1分
证明如下：
D
C
22
因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE. …………………3分
因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，BC⊥AB，
F

高中数学竞赛试题 第 8 页 共 13 页
A
B
E

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE. …………………6分
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE. ………………7分
（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等. …………………8分
因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. …9分
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.
又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形. …………………10分
因为AB＝2，所以BE＝
2sin45
在Rt△CBE中，
F
2
. …………………11分
A

G

B
D
M
C
CEBCBE6

BF
BCBE2223

CE3

6
22
E
故点D到平面ACE的距离是

16．（本题满分13分）
23
. …………………13分
3

2x0.2

500
100


0.8(2x)

1.4y

0.2

解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是

， …………………4分
700100


0x2

0 y1.4


4x5y8

即

1x2
. …………………5分

0y1.4

（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则
目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y).…………7分
l
作可行域，如图. ……………10分
1.4
平移直线l：6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，
z取最大值，此时
o
y
A
2
1
x
4x＋5y=8

高中数学竞赛试题 第 9 页 共 13 页

z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分
故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且
最 小总费用是2000元. …………………13分

17．（本题满分14分）
解：(1)由
f(x )ax2bx4c(a,b,cR)
与直线
yx
均无公共点（
a 0
），
可知
ax2bx4cx
无解， ………………1分
由
ax(2b1)x4c0
无解，得：
(2 b1)16ac0
，
整理得：
4acb
2

2< br>22
2
2
1
b
(1) ………………3分
4
2
由
ax(2b1)x4c0
无解， 得：
(2b1)16ac0
，
1
b
(2) ………………5分
4
1
由(1),(2)得:
4acb
2

. ………………6分
4
3
2
(2) 由
b4,c
，所以
f(x)ax8x3
………………7分
4
416416
因为
f()3
, 由
a8
得，
f()35
………………9分
aaaa
整理得：
4acb
2

所以
f(x)5
恒成立，
故不等式
|f(x)|5
成立的
x
的最大值也就是不等式
f(x)5
成立的
x
的最大值，……… …10分
因此
M(a)
为方程
ax8x35
的较大根，
2
即
M(a)
4242a
（
a8
） ………………11分
a
当
a8
时，
M(a)
42 42a4
是关于
a
的增函数， ………………13分

a
42a2
15
. ………………14分
2
所以，当
a8
时，
M(a)
取得最大值，其最大值为
M(a)

18．（本题满分14分）
n2n
解：（1）由条件 可得
x
n
3
，
y
n
4n5
，根据题 意知，
c
n
3
． …………………1分 由
c
k
为数列
{y
n
}
中的第m项，则有3
2k
4m5
， …………………2分
2(k1)
93
2k
9(4m5)36 m454(9m10)5
， …………………4分 那么
c
k1
3

高中数学竞赛试题 第 10 页 共 13 页

因
9m10N
,所以
c
k1< br>是数列
{y
n
}
中的第
9m10
项． …………………5分
（2）设在区间
[1,2]
上存在实数b使得数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项，

a
s
b
即存在正整数s，t使
a(a1)tb
，∴
t
，
a1
s
因自然数
a≥2
,s，t为正整数，∴< br>ab
能被
a1
整除． …………………6分
s
a
s
b
a

①当
s1
时，
t
N

．
a1
a1
②当
s2n

(nN)
时，
若
b1
，

a
s
ba
2n
11a
2n
[1(a)(a)
2

a1a 11(a)
(a1)[1a
2
a
4
即
as
(a)
2n1
]

a
2n2
]N

，
b
能被
a1
整除， …………………8分
2n

此时数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
， 通项公式为
z
n
a
(nN)
；
若
b2
，
a
s
ba
2n
2a2n
11
s
N

，即
ab
不能被
a1
整除． ………………9分 显然，
a1a1a1a1
b
a(a
2n
)
ab

a
， …………………10分 ③当
s2n1
(nN)
时,
t
a1a1
b
a(a
2n
)
b
2n
a
N

． ………………11分 若
a2
，则
aN
，又
a
与
a1
互质，故此时
t
a
a1
bb
2n2 n2n
若
a2
，要
aN
，则要
b2
，此时
aa1
， …………………12分
aa
b< br>a(a
2n
)
2n
a
N

，即
a
s
b
能被
a1
整除． 由②知，
a1
能被
a1
整除， 故
t
a1
s
当且仅当
ba2
时，
ab
能被
a1
整除 ． …………………13分
2n1
(nN

)
. 此时数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
，通项公式为
z
n
2
S
综上所述，存在
b {1,2}
，使得数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
，
2n2n1

(nN

)
. ……………14分 且当
b1
时,数列
z
n
a
(nN)
；当
ba2
时,数列
z
n
2

高中数学竞赛试题 第 11 页 共 13 页

18．（本题满分14分）
n
已知数列

x
n

和

y
n
的通项公式分别为
x
n
a
和
y
n


a1

nb,nN
.
2
（1）当a3,b5
时，记
c
n
x
n
，若
ck
是

y
n

中的第
m
项
( k,mN

)
，试问：
c
k1
是数列

y
n

中
的第几项？请说明理由．
（2）对给定自然数
a2
，试问是否存在
b

1,2

，使得数列

x
n

和

y
n

有公共项？ 若存在，求出
b
的值及相应的公共项组成的数列

z
n
< br>，若不存在，请说明理由．

高中数学竞赛试题 第 12 页 共 13 页

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