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全国初中数学竞赛复赛试题

题 号
得 分
评卷人
复查人
一
1－6



二
7－12



13



14



三
15



16



总分



答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．
2．解答书写时不要超过装订线．
3．草稿纸不上交．
一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每
小题 均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有
一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入 题后的括号里．不
填、多填或错填均得零分）
得 分

评卷人


1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米， 它们相向行驶
在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则
坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )
（A）7.5秒 （B）6秒 （C）5秒 （D）4秒
2．将一张边长分别为a，b
(ab)
的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕
的长为( )
b
2
a
2
（A）
ab
2
（B）
ab
2

ab
b
22
a
22
（C）
ab
（D）
ab

ab
3．如图，设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，黑、白
两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱
D
1
A
1
D
A
B
(第3题)
B
1
C
1
C
向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA
1
→A
1
D1
→……，白甲壳虫爬行的路线是
AB→BB
1
→……，并且都遵循如下 规则：所爬行的第
n2与第n
条棱所在的直线必须
是既不平行也不相交（其中
n
是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008
条棱分别停止在所到的正方体顶 点处时，它们之间的距离是（ ）
（A）0 （B）1 （C）
2
（D）
3

4．设m，n是正整数，满足m＋n＞mn，给出以下四个结论：① m，n都不等于1；
② m，n都不等于2；③ m，n都大于1；④ m，n至少有一个等于1．其中正确
的结论是（ ）
（A）① （B）② （C）③ （D）④

5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；
第三层按 第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第
10层．则树形图第10层的 最高
点到水平线的距离为（ ）
（A）
11704
（B）
10241024
第一层 第二层
第三层
第四层
水平线
1705
（C） （D）2
1024
（第5题）
6．有10条不同的直线
yk
n
xb
n
（n = 1， 2，3，…，10），其中
k
3
k
6
k
9
，< br>b
4
b
7
b
10
0
，则这10条直线 的交点个数最多有（ ）
（A）45个 （B）40个 （C）39个 （D）31个


二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

得 分

评卷人


7．在平行四边形
AB CD
的边AB和AD上分别取点E和F，使
AEAB
连结EF交对角线AC于G，则
1
3
，
AF
1
AD
，
4
AG< br>的值是 ．
AC
·
·
8．如图所示，一个半径为
2
的圆过一个半径为2的圆的圆心，
则图中阴影部分的面积为 ．
9．已知y=
xmx6
，当1≤m≤3时，y＜0恒
成立，那么实数x的取值范围是 ．
（第8题） < br>2
10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为
1111

，< br>
，
xyzyzx
11
63211

．例如，输 入1，2，3，则输出，，. 那么当输出的新数为，，
zxy
54334
1
时，输入的3个数依次为 ．
5
输入
x，y，z
转换器
输出


111111

，

,


xyzyzxzxy
（第10题）

11．10张卡片上分别写 有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相
邻两张卡片位置的方法对它们进行操作 ，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数
比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换 ．若规定将相邻两张卡片
交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至 多经
过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．
12．设整数a使得关于x的一元二次方程
5x5ax26a1430
的两个根都是整 数，
则a的值是 ．

三、解答题（共4小题，满分54分）

13．（本题满分12分）

2
得 分

评卷人


已知正三角形ABC，AB = a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直
线 运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动. 设AP的长为x，△PCQ
的面积为S，
（1）求S关于x的函数关系式；
（2）当AP的长为多少时？△PCQ的面积和△ABC的面积相等.

14．（本题满分12分）

得 分

评卷人


如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE＝AD， BE=BC，过
E作EF∥BC 交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明
PDPC2PF

的理由．















ADBCEF
A D
E
F
B
C

15．（本题满分14分）

2
得 分

评卷人

设二次函数
yaxbxc(a0,c1)
，当x = c时，y = 0；当0＜x＜c时，
y0
．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：


abc
0
．
x2x1x

16．（本题满分16分）

得 分

评卷人


有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好 比赛一场，且没有平局．如果其中有
3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们 称X、Y、Z构成
一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．

全国初中数学竞赛复赛试题参考答案


一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）
1．答案：D
解：
D
F
G
A
E
(第2题)
B
C
80
54
．
100
2．答案：A
解：如图，设折痕EF与对角线AC的交点为G，则
AC⊥EF，AG=CG，EG=FG．
所以△AGE∽△ABC，得
3．答案：C
AGGEAGb
2
，< br>EF2GE2BC
=
ab
2
.
ABBCABa
解：黑、白两个甲壳虫各爬行完3条棱时都到达点C
1
处，各爬行完6条棱时回到起点
A.由2008=334×6+4，得黑、白甲壳虫各爬行完第2008条棱后分别停止在点C，
D
1
处，距离为
2
.
4．答案：D
解：由m＋n＞mn，得（m－1）（n－1）<1. 因为m，n是正整数，所以（m－1）（n－1）
＝0，故m和n中至少有一个为1．
5．答案：C

1
(n为奇数时),
n1


2
解：设树形图第n层增加的高度为
a
n
，则
a
n




1
(n为偶数时).

2n
树形图第10层的最高点到水平线的距离为
a
1
a
2a
3
a
4
a
5
a
6
a7
a
8
a
9
a
10

05
=.
1
4425610241024
6．答案：B

解：由条件知，10条直线中至少有3条直线平行，3条直线过原点．所以交点个数最多
有
13346
43
=40.
2

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）
7．答案：
1

7
D
H
F
G
A
E
C
O
B
3
解：如图，在AD上取点H，使
AHAD
，
4
连结BH交AC于O，则
AG11
（第7题）

，即
AGAO
.
AO33
AOAH34
又 △AOH∽△COB，所以

，
COAO
.
COCB43
1
·
·
AO
AG
AG1
3
所以 =

．
4
AC
AOCO
AOAO
7
3
8．答案：２
（第8题）
解：如图，两圆的公共弦恰为小圆的直径，故阴影部分面积为半个小圆的面积减去 大圆
的一个弓形（所含圆心角为90º）的面积，

(2)(

 2
9．答案：
3x
1
2
2
1
4
2
1
2
2)2
．
2
333

2
22
解：因为1≤m≤3，
所以当x≥0时，
xmx6
≤
x3x6
，
由y=
x3x6＜0，得0≤x＜
22
2
333
；
2
2
当x＜0时，
xmx6
≤
xx6
，由y=
xx6
＜0，得 -3＜x＜0.
10．答案：
解：由
1111
，，11 32
11
11
1
1
1
1
1

=，

=，

=，得
xyz
3
yzx
4
zxy
5
3(xyz)xyzx
， ①
4(xyz)xyyz
， ②

5(xyz)yzzx
. ③
将上述3式等号两边分别相加，得
6(xyz)xyyzzx
. ④
④-①，得
3(xyz)yz
，
④-②，得
2(xyz)zx
，
④-③，得
(xyz)xy
.
所以
x
11．答案：45
解：将数最小的一张卡片调到最左边，至多需要 9次操作，将数次小的一张卡片调到左
边第2张，至多需要8次操作，依此类推，至多经过9+8+7+ 6+5+4+3+2+1=45次
操作，能将它们按从小到大的顺序排列.
另一方面 ，如果这10张卡片开始时从左到右按从大到小的顺序排列，则需要45
次操作才能按从小到大的顺序排 列．
12．答案：18
21111
y
，
z2y
.由此可解得x=，y=，z=11. < br>332
5x
2
143x13
5x6539
x5< br>解：
a
为整数

为整数

为整数，所
5x 265x26
5x265x26
以
5x261,3,13,39
，解得
x
5或
x
13，所以
a18
．
三、解答题（共4小题，满分54分）
13．(12分)
解：（1）当0＜x＜a时，作PM⊥BQ（如图1），
则
PM
Q
C
3
(ax)
，CQ=AP=x，
2
M
A
P
（图1）
Q
B
13
x(ax)
． 所以 S =
CQPM
24
当x= a时，S = 0.
当x＞a时，同样作PM⊥BQ（如图2），
则
PM
3
(xa)
，
2
C
A
B
M
P

所以 S =
13
CQPMx(xa)
．
24
3
2
a
.
4
（2）S
△
ABC
=
当0＜x＜a时，由
2< br>3
3
2
x(ax)
=
a
，得
x
2
axa
2
0
.
4
4
2
因为
b4ac3a0
，所以此方程无解.
当x＞a时，由
解得
x
即当
x
14．(12分)
解：如图，过D、F分别作DM∥AB交EF于M，FN∥AB交BC于N，
得平行四边形ADME和平行四边形BEFN．
所以FM=EF-AD，CN=BC- EF，DM=AE=AD，FN=BE=BC．
由△DMF∽△FNC，得
所以
3
3
2
x(xa)
=
a
，得
x
2
axa
2
0
.
4
4
a5aa5aa5a
.
x
不合题意舍去，所以
x
，
222
a5a
时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等.
2
FMDMEFADAD
，即，

CNFNBCEFBC
E
A D
ADBC2
．

ADBCEF
DFFCDFCF
，即．

DMFNADBC
B
M
F
P
C
又因为
所以当点P在线段CF上时，
PDPCPFDFCFPF


ADBCADBC
PFPFADBC2PF
．
PF 
ADBCADBCEF
同理，当点P在线段DF上时，
所以
N
PCPD2PF

．
BCADEF
PDPC2PF

．
ADBCEF
15．(14分)

解：（1）由题意可知
ac
2
bcc0
， ①

b
≥c ． ②
2a
x
1c
，
x1
由①，得 b= -ac -1， 代入②化简，得ac≤1．
（2）证明：当x＞0时，
0
所以
ya(
x
2
x
)bc0
．
x1x1
则
abc
a


x2x1 x
x2
a(
x
2
xx
2
)bca()< br>x1x1x1

x
a(

＞
16．(16分)
x
2
x
)bc
ax
x1x1
a< br>
xx2(x1)
2
axa
a
=＞0．
22
x2(x1)(x2)(x1)
解： 如图1，若3个人A、B、C的 比赛结果构成一个圈，则3个人胜负各一场，图
中表现为“箭头一进一出”。
如图2，若3个 人A、B、C的比赛结果不能构成一个圈，则3个人中必有1人
胜两场1人负二场，图中表现为“箭头二 出”与“箭头二进”。
如果我们把表示3个人比赛结果的胜负图中，角两边“箭头一进一出”的角称为
“好角”，角两边“箭头二出”或“箭头二进”的角称为“坏角”，那么当比赛结果构成
圈时， 图中有3个“好角”（图1），不构成圈时有1个“好角”、2个“坏角”（图2）。

设某个人胜k（k=0,1,2,3,4,5,6）场，则他负（6- k）场，可产生k(6-k)个“好角”。

k=0,1,2,3,4,5,6时，k(6- k)=0，5，8，9，8，5，0，所以k(6-k)≤9，即每个人胜负构成
的“好角”不超过9个 。
再设7个人共构成n个圈，则“好角”共有3n+(35-n)个。
由3n+(35-n)≤9×7=63，得n≤14。

另一方面：14个圈是可能的。

不妨设7个人为A、B、C、D、E、F、G，让他们按顺时针围着圆桌坐下，
假如每人胜他左边的3人而负于他右边的3人，则含A的“圈”有
（ABE），（ACE），（ACF），（ADE），（ADF），（ADG）共6个．
这时“圈”的数目共有
67
14
．
3
“圈”的数目不超过14也可以用下面的方法说明：
假如一次比赛后发现至少有15个圈，不妨设含A的“圈”数最多，则
含A的“圈”数≥7．
假设有s个人胜A而t个人负于A，s+t=6．
由于对称性不妨设s≤3．
（1）当s＝0时，t=6，没有含A的“圈”；
当s＝1时，t=5，含A的“圈”最多5个；
所以当s＝0或1时，含A的“圈”数<7．
（2）若s＝2，则t=4．
不妨设B、C胜A，而D、E、F、G负于A，则只有当D、E 、F、G均胜B、C
或D、E、F、G中只有一人负于B、C中的一人时，才有含A的“圈”数≥7．
① D、E、F、G均胜B、C，则含A的“圈”有8个；
D、E、F、G最多构成2个“圈”．
故“圈”的总数目不超过10．
② D、E、F、G中恰有一人负于B、C中的一人，不妨设B胜D，则

含A的“圈”有7个；
B、C、D可以构成一个“圈”， D、E、F、G间的“圈”数最多2个．
故“圈”的总数目不超过10．
（3）若s＝3，则t=3．
不妨设B、C、D胜A，而E、F、G负于A，则只有以下五种 情况下，才有含A
的“圈”数≥7：
① E、F、G均胜B、C、D，则含A的“圈”有9个．
E、F、G之间和B、C、D之间至多有一个“圈”．
故“圈”的总数目不超过11．
② E、F、G中恰有一人负于B、C、D中的一人，不妨设B胜E，则
含A的“圈”有8个；
且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、E、F、G之间最多有2个“圈”．
故“圈”的总数目不超过12．
③ E、F、G中有一人负于B、C、D中两人，不妨设B、C胜E．则
含A的“圈”有7个；
且B、C、D、E之间最多有2个“圈”，B、C、E、F、G之间最多有4个“圈”．
故“圈”的总数目不超过13．
④ E、F、G中有两人负于B、C、D中的一人，不妨设B胜E、F，则
含A的“圈”有7个；
且B、C、D、G、E之间最多有3个“圈”，B、C、D、E之间最多有3个“圈”．
故“圈”的总数目不超过13．
⑤ E、F、G中有两人分别负于B、C、D中的两人，不妨设B胜E、C胜F，则
含A的“圈”有7个；
且B、C、D、E、F、G之间最多有6个“圈”．
故“圈”的总数目不超过13．

所以假设不成立，“圈”的数目不超过14．
综上所述，“圈”的数目的最大值是14．