黄船钉-建国六十周年

全国初中数学竞赛试题及参考答案
（湖北省3月17日复试）

一．
选择题
（5×7'=35'）
1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．
A．0 B．1 C．3 D．5
【分析】
n5
时，
n
！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个
位数是3. 本题选C．


2x5
x5

3
2.已知关于x的不等式组

x3
恰好有5个整数解，则 t的取值范围是( )．

tx


2
A.6 t
11111111

B.6t

C.6t

D.6t

2222
2x5
x5


3
32tx20
，则 5个整数解是
x19,18,17,16,15
． 【分析】


x3
tx


2
< br>注意到
x15
时，只有4个整数解．所以
3.已知关于x的方程
14 32t156t
11
2
，本题选C
xx2a2x
恰好有一个实根，则实数a的值有( )个．

2
x2xx2x
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】
xx2a2x

2
a2x
2< br>2x4
，下面先考虑增根：
x2xx2x
2
ⅰ）令
x0
，则
a4
，当
a4
时，
2x2x0,x1
1,x
2
0
（舍）；
ⅱ）令
x2
， 则
a8
，当
a8
时，
2x2x40,x
1
1,x
2
2
（舍）；
再考虑等根：
ⅲ）对
2x 2x4a0
，
48(4a)0a
故
a4,8,

2
2
771
，当
a,x
1,2

.
22
2
71
，
x1,1,
共3个.本题选C．
2
2

4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段A C上，点F在线段
BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部
分 的面积为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分 析】设
ABC
底边
BC
上的高为
h
，则
h48481212

BC4CFCFDE
，
111
S
ADE
S
BDE
DEh
1
DEh
2< br>DE(h
1
h
2
)
222

1112
DEhDE6
22DE
本题选D．


5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标 号，则较大标号被较小标号整除
的概率是( )．
1257
A.

B.

C.

D.

49183 6
11
C
4
C
2
1182
【分析】
P
本题选B．
2
C
9
369

二．填空题（5×7'=35'）
6.设
a
3
3
，b是 a
2
的小数部分，则
（b2)
3
的值为 ．
【分析】考虑到
a
3
3
，则
a
2
3
3
2

3
9，2
3
8
3
9
3
273,b
3
92,b2
3
9

则
（b2)
3
(
3
9)
3
9


7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方 体三次，则其朝上的面的
数的和为3的倍数的概率是 ．
【分析】对第一 次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，
135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5 ，6的，后面两次与
首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有
126
，而总次数是
666
次，则其概率为
P



1261

.
6663
8.已知正整数a、b、c满足a+ b
2
-2c-2=0,3a
2
-8b+c=0，则abc的最大值为 ．
【分析】先消去c，再配方估算．
6aab16b26(a
221
2
1
)(b8)
2
66

1224

观察易知上式中
a3
，故
a 1,2,3
，经试算，
a1,2
时，
b
均不是整数；当
a 3
时，
b5,11
，于是有
(a,b,c)(3,5,13),(3, 11,61)
，故
abc
max
311612013
．

9. 实数a、b、c、d满足：一元二次方程x
2
+cx+d=0的两根 为a、b，一元二次方程x
2
+ax+b=0的两根为c、
d，则所有满足条件的数组 （a、b、c、d）为 ．
【分析】由根与系 数关系知
abccda0bd,abd,cdb
，然后可得
（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)
本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．
10.小明 某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350
支 ，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔．
【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则
4x7y2013,xy350

4x7y20134x20128yy1x5032y
令
y 1
4

y1
ky4k1
，则
x5032(4 k1)k5057k
，又
xy350
，即
4
1
N
5057k4k1350k51
k
k52
，y4k14521207

3
即他至少卖了207支圆珠笔．

三．解答题（
4×20'=80'）

11．如图 ，抛物线y=ax
2
+bx-3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，
与y轴 交于点C，且OB=OC=3OA．直线
y
求∠DBC-∠CBE．



【分析】易知
yx2x3(x1)4
，
22
1
x1
与y轴交于点D，
3
A(1,0),B(3,0)，C(0,3 )，D(1,4)
，作EF⊥CO于F，连CE，易知△O
BC
、
△CEF 都是等腰直角三角形，则△CBE是直角三角形．分别在Rt△O
BD
、
Rt△BCE 中运用正切定义，即有
tan


OD1CE21

，tan


，则




OB3BC
32
3
从而可得∠DBC-∠CBE=45º．
12．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，D为线段OB内一
点(不是端点)，满足C D⊥AB，DE⊥CO，E为垂足，若CE=10，且AD
与DB的长均为正整数，求线段AD的长．
【分析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，
DE
2
C EOEDE
2
10(r10)
，又
CD
2
CE< br>2
DE
2
10
2
10(r10)10r

由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC、BC用相似或三角函数，易知
ADBDCD
2
10r
①，而
ADBD2r
②
令
ADx,BDy
，①②即
y
xy10ryy
5 1
，显然有
0yx
，则
01
，即
xy2rx 5
x
0
y
115y10
，
y
为正整数 ，故
y6,7,8,9
，又
x
也为正整数，经逐一试算，仅当
y 6,x30
5
这一组是正整数，故
AD30
.

13．设a、b、c是素数，记
xbca,ycab, zabc
，当
z
2
y,x
能否构成三角形的三边长？证明 你的结论．
y2
时，a、b、c

ycab
118 a
z
2
y
【分析】


yz2a z
2
z2a0z
2

zabc
a
、
b、c是素数，则
abcz
为整数，则
18a2k1
，
k
为正整数．化简整理后，有

k1,k12a112a1(非质数
）

k(k 1)2a



k2,k1a213
118 a
a3
z3,2

2
z
ⅰ)
z 3,y9,x92x25,xz2bb11
,
b17,ab317 2017c
不能围
成三角形;
ⅱ)
z2,y4,x16,b9是合数

综上所述，以a、b、c不能围成三角形．
14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到 的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，
把86放在415的左侧，得到的数86415 能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n的最小值，使得
存在互不相同的正整数a< br>1
，a
2
，．．．，a
n
，满足对任意一个正整数m，在a< br>1
，a
2
，．．．，a
n
中都至少有一个为
m的“魔 术数”．
【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a
1
，a
2
，． ．．，a
n
互不相等，不妨设
a
1
a
2
... a
n
，余数必为1、
2、3、4、5、6，0，设
a
i
 7k
i
t
，（
i1,2,3,...,n;t0,1,2,3,4,5 ,6
），至少有一个为m的“魔术数”．因
kk
为
a
i
1 0m
（k是m的位数)，是7的倍数，当
i6
时，而
a
i
10
除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，
6中的6个；当
i7
时，而
a
i
10
除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字 循环出现，当
i7
时，
kk
依抽屉原理，
a
i
 10
与m二者余数的和至少有一个是7，此时
a
i
10m
被7整 除，即n=7．
k