情何以堪什么意思-优雅女人

2015年深圳市高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共6小题，每 小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的相 应位置．）
1．集合
A{0,4,a}
，
B{1,a
4
}
，若
AB{0,1,2,4,16}
，则
a
的值为
A．
0
B．
1
C．
2
D．
4

2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能
是 ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．设
a0.5

0.5
3
2
2

2
正视图

侧视图
,blog
0.3
0.4,ccos
A．
cba
B．
cab

2

，则
3
C．
abc

（第2题图）
D．
bca

4. 平面上三条直线
x2y10,x1 0,xky0
，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数
k
的
值为
A.
1
B.
2
C.
0
或
2
D.< br>0
，
1
或
2

5．函数
f(x)Asin (

x

)
（其中
A0,|

|< br>
2
）的图象如图所
示，为了得到
g(x)cos2 x
的图像，则只要将
f(x)
的图像


个单位长度 B．向右平移个单位长度
12
6


C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

12
6
A．向右平移
（第5题图）

6.在棱长为1的正四 面体
A
1
A
2
A
i
A
j
(i, j1,2,3,4,ij)
，则
a
ij
不同取值的个
1
A
2
A
3
A
4
中，记
a
ij
A
数为
A．6 B．5 C．3 D．2
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答
案填在答题卡相应题的横线上．）
7．已知
a(m,1)
，
b (1,2)
，若
(ab)(ab)
，则
m
=.
8．如图，执行右图的程序框图，输出的T=.
9. 已知奇函数
f(x)
在
(,0)
上单调递减，且
f(2)0
，
则不等式
(x1)f(x)0
的解集为．
（第8题图）
10.求值：
11

．
cos70

3sin250

22
)
. 11 ．对任意实数
x,y
，函数
f(x)
都满足等式
f(xy)f( x)2f(y)
，且
f(1)0
，则
f(2011
1 8 < /p>

12.在坐标平面内，对任意非零实数
m
，不在抛物线
ymx
2


2m1

x

3m2

上但在直线
yx1

上的点的坐标为 .
答 题 卡

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7． 8． 9．
10． 11． 12．
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
为预防
H
1
N
1
病 毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效
的概率小于90% ，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
b5E2RGbC AP

疫苗有效
疫苗无效
A组
673
77
B组 C组
x

90
y

z

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率是0.375.
（1）求
x
的值；
（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C组中抽取多少个？
（3）已知
y465
,
z25
,求该疫苗不能通过测试的概率.
14．（本题满分12分）
已知函数
f(x)2cos(x
2

12
)sin2x
．
（1）求
f(x)
的最小正周期及单调增区间；
（2）若
f(
)1,

(0,

)
，求

的 值．
15．（本题满分13分）
如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
ACBCAA
1
2
，
ACB90
，
E,F,G
分别是
AC,AA
1
,AB
的中点．
B
1

C
1

A
1

F
2 8
B
G
E
A

（1）求证：
B
1
C
1

平面
EFG
；
（2）求证：
FGAC
1
；
（3）求三棱锥
B
1
EFG
的体积.
16．（本题满分13分）
已知函数
f(x)x
2
2xt< br>2
3t
.当
x
[t,)
时，记
f(x)的最小值为
q(t)
.
(1)求
q(t)
的表达式；
(2)是否存在
t0
，使得
q(t)q()
？若存在，求出
t
；若不存在，请说明理由.
17．（本题满分14分）
已知圆
M:2x< br>2
2y
2
8x8y10
和直线
l:xy90
，点
C
在圆
M
上，过直线
l
上一点
A作
1
t
MAC
.
（1）当点
A
的横坐标为
4
且
MAC45
时，求直线
AC
的方程；
（ 2）求存在点
C
使得
MAC45
成立的点
A
的横坐标的 取值范围.
18．（本题满分14分）
在区间
D
上，若函数
y g(x)
为增函数，而函数
y
上的“弱增”函数．已知函数
f(x)1


1
g(x)
为减函数，则称函数
yg(x)
为区间
D
x
1
．
1x
1
x
2
x
1
；
2
（1 ）判断函数
f(x)
在区间
(0,1]
上是否为“弱增”函数，并说明理由；
（2）设
x
1
,x
2


0,

,x
1
x
2
，证明
f(x
2
)f (x
1
)
（3）当
x

0,1

时， 不等式
1ax
1
恒成立，求实数
a
的取值范围．
1x
2014年深圳市高中数学竞赛决赛
参考答案

一、选择题：C B A D D C
二、填空题：7.
2
8．< br>29
9.
(,2)(0,1)(2,)


10.
31
2011
43
11． 12.
(,),(1,0),(3,4)

2
22
3
三、解答题：
13. （本题满分12分）
解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组的概率0.375，
所以
p1EanqFDPw
x90
0.375
， ………………2分
2000
3 8

即
x660
. ………………3分
DXDiTa9E3d
（2）C组样本个数为y＋z＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4
分
RTCrpUDGiT
现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C组中抽取个数为
360
50090
个. ………………7分
2000
5PCzVD7HxA
（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.
由（2）知
yz500
，且
y,zN
,所以C组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：
（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分
jLBHrnAILg
由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有
673660y
0.9
， …………………10分
2000
xHAQX74J0X
即
673660y1800
，
解得
y467
，
所以事件M包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个.…………………11分
2
，
11
2
故该疫苗不能通过测试的概率为. …………………12分
11
所以
P(M)
LDAYtRyKfE
14. （本小题满分12分）
解：
f(x)1cos(2x
6
)sin2x
…………………1分
sin2xsin1cos2xc os

6

6
sin2x

1
31
cos2xsin2x
………………… 2分
22
sin(2x
Zzz6ZB2Ltk

3
)1
. …………………4分
（1）
f(x)
的最小正周期为
T
dvzfv kwMI1
2



； …………………5分
2
又由
2x

3
[2k



2
,2k



2
]
， …………………6分
得
x[k


5

,k

](k Z)
， …………………7分
1212
4 8

从而
f(x)的单调增区间为
[k


（2）由
f(

) sin(2


所以
2


5

,k

](kZ)
． …………………8分
1212

3
)11
得
sin( 2



3
)0
， …………………9分
k


(kZ)
． …………………10分
326

5

又因为

 (0,

)
，所以


或． …………………12分
6
3
k

，


15. （本题满分13分）
解：（1）因为
G、E
分别是
AB、AC
的中 点，所以
GEBC
；……1分
B
1

又
B
1
C
1
BC
，所以
B
1
C
1
G E
； …………2分
C
1

又
GE
平面
EFG
，
B
1
C
1

平面
EFG
，
所以
B
1
C
1

平面
EFG
． …………3分
（2）直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，因为
ACB90
，
B
F
A
1


G
E
C
A
所以
BC
平面
AA
1
C
1
C
； ……………4分
rqyn14ZNXI
又
GEBC
，所以
GE< br>平面
AA
1
C
1
C
，即
GEAC
1
； ……………5分
又因为
ACAA
1
2
，所以四边形
ACC
1
A
1
是正方形，即
A
1
CAC
1
； ……………6分
又
E ,F
分别是
AC,AA
1
的中点，所以
EFA
1
C
，从而有
EFAC
1
， ……………7分
由
EFGEE
，所以
AC
1

平面
EFG
，即< br>FGAC
1
． ……………8分
（3）因为< br>B
1
C
1

平面
EFG
，所以
VB
1
EFG
V
C
1
EFG
V
GEFC
1
． ……………10分
11
S
EFC
1
GE
，且
GEBC1
．…………11分
32
13
又由于
S
EFC
1
S
正方形 ACC
1
A
1
S
AEF
S
A
1< br>FC
1
S
ECC
1
411
，………… …12分
22
11311
所以
V
GEFC
1
 S
EFC
1
GE1
，即
V
B
1
EFG

． ……………13分
33222
由于
GE
平面
AA
1
C
1
C
，所以V
GEFC
1

16. （本题满分13分）
解：（1）
f(x)x2xt3t

22
f(x)

(x1)
2
t
2
3t1
． ……………1分
①当
t1
时，
f(x)
在
x
[t,)
时为增函数，所以
O

1

x
< br>f(x)
在
x
[t,)
时的最小值为
q(t)f(t )t
；……………3分
5 8