签字英文-美国现状

全国初中数学竞赛（海南赛区）
初 赛 试 卷
（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30）
一 二 三 总分
题号
（1—10） （11—18） 19 20
得分
一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正 确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写
在下表相应题号下的方格内
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 方程
1
1
2009
x0
的根是
A.

1
1
2009
B.
2009
C. -2009 D. 2009
2. 如果
ab0
，且
b0
，那么
a
2与
b
2
的关系是
A．
a
2
≥
b
2
B．
a
2
＞
b
2
C．
a
2
≤
b
2
D．
a
2
＜
b
2

3. 如图所示，图1是图2中 正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那
么，图1中的线段AB在图2中的对应线 段是
A．
k
B．
h
C．
e
D．
d

4. 如图，A、B、C是☉O上的三点，OC是☉O的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA的度数是
A．75° B．72° C．70° D．65°

A
A

B
B
C

O

图1 图2
（第3题图） （第4题图）
5. 已知
2
a
=3，
2
b
=6，
2
c
=12，则下 列关系正确的是

A．
2abc
B．
2bac
C．
2cab
D.
c2ab

6. 若实数n满足 (n-2009 )
2
+ ( 2008-n )
2
=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是
A．1 B．
1
2
C．0 D. -1
7. 已知△ABC是锐角三角形，且∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是
A．∠A＞60° B．∠C＜60° C．∠B＞45° D．∠B＋∠C＜90°
8. 有2009个 数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第
一个数是1，第二个数是- 1，则这2009个数的和是
A．-2 B．-1 C．0 D．2
9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P到圆心0的距离为9，则通过P点且长度是整数值
的弦的条数是
A．5 B．7 C．10 D．12
10. 已知二次函数
yax
2
bxc(a0)
的图象
y
如图所示，记
p2ab
，
qba
，则下列
结论正确的是
A．
p
＞
q
＞0 B．
q
＞
p
＞0
C．
p
＞0＞
q
D．
q
＞0＞
p

0
1
x


（第10题图）
二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）
11. 已知 |
x
|=3，
y
2
=2，且
xy
＜0，则
x
y
= .
12. 如果实数
a,b
互 为倒数，那么
1
1a
2

1
1b
2

.
13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其 余都相同，其中红球4个，
绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为
2
5
，那么，随机从中摸出一个黄球的概
率为 .
14. 如图，在直线yx3
上取一点
P
，作
PA
⊥
x
轴，< br>PB
⊥
y
轴，垂足分别为A、B，
若矩形OAPB的面积为4，则这样 的点P的坐标是 .
15. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=60°, E, F分别在AC、AB上，且AE=AF，∠CDE =
∠BAC，那么，图中长度一定与DE相等的线段共有 条.

o
y A
E
A
F
D
yx3


x
B
F
D
C
B
E
C
（第14题图） （第15题图） （第16题图）
16. 如图，等腰梯形 ABCD中，ADBC，∠DBC=45°，折叠梯形ABCD，使点B重合于点D，
折痕为EF，若A D=2，BC=8，则tan∠CDE= .
17. 实数
x,y< br>满足
2x6xy0
，设
wxy8x
，则
w
的最大值是 .
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），
y

点B的坐标为（8，0），点C，D在以OA为直径的
半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C
的坐标为 .
O
M
C
D
2222
•
B
A
x
（第18题图）
三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）
19. 某书店 老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用了100元，按该书定价2.8元出售，
很快售完；由于该 书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高出0.5元，共用
了150元，所购得书的数量比第 一次多10本；这批书按原定价售出80%后，出现滞销，
便以5折售完剩余的该图书. 试问：这个书 店老板第二次售书是赔钱，还是赚钱？请通
过计算说明（只与进价比较，不考虑其它成本）.





20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上（点E与A、C 都不
重合），点F在斜边AB上（点F与A，B都不重合）
（1）若EF平分Rt△ABC的 周长，设AE=
x
，△AEF的面积为
y
，写出
y
与
x
之间的函数
关系式，并指出
x
的取值范围；
（2）试问：是否 存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分，
若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由.





C
E
A
F
B

2009年全国初中数学竞赛（海南赛区）
初赛试题参考答案

一、选择题：DBCAB，CDADB
提示：
1
1
x0
，得
x1,x2009

200 9
2009
2222
2．B；由
ab
＜0，
b
＞ 0知
a
＜0且|
a
|＞|
b
|，所以|
a
|＞|
b
|，即
a
＞
b
；
1．D；由
1
3．C；将图1中的平面图折成正方体
4．A；延长CO交 于⊙O于D，连结AD，则∠D=∠B=15°，因为CD为⊙O的直径，所以∠CAD=90°，
所
以在Rt△ACD中 , ∠OCA=90°－15°=75°.
b
aaaccc
5．B；由2=3，2=12，得2·2
=3
×
12.
即2=36=6
2
，而2=6
a
ac
(2
b
)
2
2
2b
2bac

6．C；设
an2009,b2008n,则ab1
，
又
(ab)
2
a
2
2abb
2
且a2
b
2
1(1)
2
12ab,2ab0即ab 0

7．D；若∠B＋∠C＜90°，则 ∠A＞90°，这与△ABC是锐角三角形矛盾，故D错.
8．A；先据题意写出前面一些数：1，－ 1，－2，－1，1，2，1，－1，……，经观察发现从左向右数
每排列六个数后，从第七个数开始重 复出现，即这2009个数是由1，－1，－2，－1，1，2这6
个数组成的数组重复排列而成，而1 ＋(－1)＋(－2)＋(－1)＋1＋2=0，又2009=334×6＋5，这说
明，这2009个 数的和等于最后五个数：1，－1，－2，－1，1的和.
9．D；过P点的最长的弦是直径，其长为 30，最短的弦长=
215
2
9
2
24
，所以⊙O中， 通过P点的
弦长
L的取值范围是24≤L≤30，又L为整数，所以L的值可取24，25， 26，27，28，29，30，又根据
圆的
对称性知：长度为25，26，27，28，29的弦各有2条，故共有12条.
10. B ；由图象知
a
＜0，
c
=0，

b
＞1，从而2< br>a
＋
b
＞0，又
(2ab)(ba)3a
＜0，即< br>2ab
2a
＜
ba
.
二、填空题：11. 9或
1
12. 1 13.
1
14.（4，-1），（-1，4） 15. 3条 16.
3
17. O 18.
95
3
（1，3）
提示：
11．9或
1
；由条件知
x3
，
y2

9
12．1；由已知条件知
ab
=1，所以原式

abababab

baab

1

ababab
ab a
2
abb
2
a(ba)b(ab)
62
51
,x5
，所以P（摸出1个黄球）=

13.
1
；设口袋中有黄球
x
个，依题意，得
46x5
153
3

|a||b|4
14. （4，-1），（-1，4）；设点P的坐标为（
a,b
），由题意得分程组 解此方程组即可.


ba3
15. 3条；易知△AFD≌△AE D，所以∠AFD=∠AED，DE=DF，又∠CDE=∠BAC，∠C为公共角，所以
∠DEC= ∠B=60°，所以∠AFD=∠AED=120°，所以∠BFD=60°，又∠B=60°，所以△BDF为 等边三
角形，所以DB=BF=DF=DE.
16．
3
；因为折叠后点B与 D重合，所以∠EDB=∠DBC=45°，∴∠BED=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形
11
ABCD中，CE=
(BCAD)(82)
，
3
DE=BE=8-3=5
22

EC3
∴ tan∠CDE=

DE5
17. O；由
2x
2
6xy
20
，得
2x
2
y
2
6x
知
5< br>x
≥0，又
y
2
2x
2
6x
，
wx
2
2x
2
6x8xx
2
2x(x 1)
2
1
，由此可见，当
x
≥-1时，
w
随着
x
的增大而
减小，又因为
x
≥0>-1, ，故当
x
=0时，
w
的最大值是0.

18. （1, 3）；∵ 四边形OCDB是平行四边形，B（8，0），
∴ CDOA，CD=OB=8
1
过点M作MF⊥CD于点F，则CF= CD=4
2
过点C作CE⊥OA于点E，
∵ A（10，0），∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1.
1
连结MC，则MC= OA=5
2
∴ 在Rt△CMF中，
MFMC
2
CF
2
5
2
4
2
3

∴ 点C的坐标为（1，3）
三、解答题
19. 解：设第二次购书
x
本，依题意得
100

1

150
x102x
y
C
F
D
O
E
M
•

B
A
x
x
2
110x30000
，解得
x
1
50,x
2
60
整理得
当
x
=50时，150÷50=3＞2.8，这与实际不符，舍去.
当
x
=60时，150÷60=2.5＞2.8，符合题意，由
2.8×60×80%＋2.8×0.5×60×20% =151.2；151.2-150=1.2（元）
B
20. 解：（1）在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，所以AB=5，∴△ABC的周长为
12，又因 EF平分△ABC的周长，∴AE＋AF=6，而AE=
x
，∴AF=6－
x
，
过点F作FD⊥AC于D，则
DF
sinA
BC

4

AFAB5
∴
DF

4
,DF 
4
(6x),
所以
6x55
F
y
11 4212
AEDFx(6x)x
2
x
（0＜
x
＜3）
22555
（2）这样的EF存在，此时AE=
66
.
C
2
S
△ABC
=
1
BCAC
1
436
，由EF平分△ABC的面积，所以
22
6666
21 2
,x
2

x
2
x3
，解得
x
1

22
55
66
时
66
不合舍去，当 ∵0＜
x
＜3，∴
x
1

x
2

2
2
66
66
6x
＜
5
，符合题意，所以这样的EF存在，此时AE= .
2
2

E
D
A