羽扇纶巾谈笑间-中学生科技论文范文

2011年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正 确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知

[
5

3

,]
，则
1sin2

1sin2

可化简为（ ）
42
A．
2sin

B.
2sin

C.
2cos

D.
2cos


2．如果复数

a2i

1i

的模为4，则实数a的值为（ ）
A. 2 B.
22
C.
2
D.
22

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
xAB
， 命题q：
xA
或
xB
，则p
是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
x
2
y
2
1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ ） 4. 过椭圆
2
A.
43
264642
B. C. D.
3
333
442
。正确答案为C。
A B2(x
1
x
2
)
2

33
，则该函 数为（ ）
3x
2
4x0x
1
0,x
2


15
x
5. 函数
f(x)

x

51
x0
x0
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5

3


B. 4+ C. 4+ D. 4+


22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依

次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行 中
输出的一个数组是
(x,10),
则数组中的
x
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|1,|y|1
上恒有
ax2by 2
，则动点
P(a,b)
所形成平面区域
的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)sin(2x





)m
在

0,

上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
6

2


1

2



1

2


A.

, 1

B

, 1

C.

, 1

D.

, 1


10. 已知
a[1,1]
，则
x
2< br>(a4)x42a0
的解为（ ）
A.
x3
或
x2
B.
x2
或
x1
C.
x3
或
x1
D.
1x3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数
f(x)2sin

1

2


1

2


x
3cosx的最小正周期为______ ____。
2
12. 已知等差数列

a
n

前15项的和
S
15
=30，则
a
1
a
8
a
15
=____ ______.
13. 向量
a(1,sin

)
，
b(cos

,3 )
，

R
，则
ab
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
，底面
ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC< br>1
上的动点
（含端点），D为BC边上的中点，且
PDPE
。则直线
AP,PE
的夹角为_ _。
15．设
x,y
为实数，则
22
max(xy)
_____ ________。
22
5x4y10x
16. 马路上有编号为1，2，3， …，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也 不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___
______种。（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
xyz3,xyz3
，则
xyz
_ _。

18. 设
a2
，求
y(x2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
333222
19. 给定两个数列

x
n

，

y
n

满足
x
0
y
0
1
，
x
n

x
n 1
(n1)
，
2x
n1

2
y
n1
y
n
 (n1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
x
j
n
。
12y
n1
x
2
y
2
20. 已知椭圆< br>2

2
1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交 椭圆于A，B两点，D
(a,0)
为
F
1
54
右侧一点，连 AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
求
a
的值。
1
，

2011
1. 已知数列

a
n

满足：
a
n1

年河 北省高中数学竞赛试题
a
n2
a
n
,a
1
 1,a
403
2011,
则
a
5
的最大值为 .
2
一、填空题(本大题共8小题，每小题9分，满分72分)
2. 若
x,y
均为正整数，且
x
5
y
5
的值恰好是由一个2，一 个0，两个1组成的四位数，则
满足条件的所有四位数是 .
3. 已知
abc1
,则
abbcac
的值域为 .
4. 标号1，2，…，13号共4种颜色的卡片共计52张，加上两张空白卡片，平均放入三个
不同的盒子，若某个盒子中有两张空白卡片，4张1，且2，3，…，13号卡片各一张，称
该盒是“ 超级盒“。则出现超级盒的概率为 （列出算式即可）.
5. 已知
a
1
1,a
2
3,a
n2
(n3)a
n1
(n2)a
n
,
当
mn
时，
a
m
的值都能被9整除，
则
n
的最小值为 .
6. 函数
f(x)
为 .
7. 6名大学毕业生到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情
况的种数是 .
8. 已知
O
为坐标原点，
B(4,0),C(5,0),
过< br>C
作
x
轴的垂线，
M
是这垂线上的动点，以
O
为
圆心，
OB
为半径作圆，
MT
1
,MT
2是圆的切线，则
MT
1
T
2
垂心的轨迹方程
是 .
二、解答题(本大题共6小题，每题的解答均要求有推理过程，9、10、11、12小题各12分 ，
13、14小题各15分，共78分)
9. 解不等式
x
222
xx1x2x2010

的图像的对称中心
x1x2x3x2011
111
x.
x
2
x
2
x
22
10、如图，已知
A,B是圆
xy4
与
x
轴的两个交点，
P
为直线
l:x4
上的动点。
PA,PB
与圆
x
2
y
2
4
的另一个交点分别为
M,N.

求证：直线
MN
过定点。
11、求证：
n23
时，总有
21

12、已知：< br>f(x,y)x
3
y
3
x
2
yxy
2
3(x
2
y
2
xy)3(xy)
,且
x,y
1
2
3

1
3
3

< br>
1
n
3
3
成立。
1
,
求
2
f(x,y)
的最小值。
13、（1） 在
ABC
中，
BCA90
,则有
ACBCAB
，类比到三维空间中，你能
得到什么结论？请给出证明。
（2）在
ABC
中，
BCA90
，若点
C
到
AB
的距离为
h ,
ABC
的内切圆半径为
r,

求
222
r
的最小值。
h
（3）推广（2）的结论到三维空间，并证明之。
1p
2
ap
14. 已知数列

a
n
 
、b
n

满足：
a
1
2p,a
n1
(a
n
),b
n

n
(nN
*,p0).

2a
n
a
n
p
（1）求数列

b
n

的通项；
（2）证明：n1
a
n
p
3
2
1;

a
n1
p
（3）设
S
n
是数列

a
n

的前
n
项和，当
n2
时，S
n
与
(n
请说明理由。
23
)p
的大小 关系是否确定？
18
2011年全国高中数学联赛广东省预赛
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．

1. 设数列
{a
n
}
满足
a
1
1,a
24,a
3
9,a
n
a
n1
a
n2
a
n3
,n4,5,...
，则
a
2011

.
2. 不等式
sin
2
xacosxa2
1cosx
对一切
xR
成立，则实数a的取值范围
为 .
3. 已知定义在正整数集上的函数
f(n)
满足以下条件：(1)
f(mn)f(m)f(n)mn
，其中
m,n
为正整数；(2)
f(3)
6
.
则
f(2011)
.

4. 方程
x
1220112011
一共有 个解.
5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的
棱长最大等于 .
6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线
y x

2x2

绕y轴旋转而构成的.请问能
2
接触到 杯底的球的半径最大是 .
111
..._____
. 7. 计算：
sin45sin46sin46sin47sin89sin90
8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求
每种颜色的帽子都要有，且 相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽
子的方法共有 种.
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
111
...
9．
（本小题满分16分）
若
n
是 大于2的正整数，求的最小值.
n1n22n
10．
（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段
分成三段.请问得到的三条新线段能构成三 角形的概率是多少？
11．
（本小题满分20分）
数列
a
0
,a
1
,...,a
n
,...
满足
a
0
0,a
1
1,a
2
0
，当
n3
时有a
n

2n
(a
0
a
1
... a
n2
)
. 证明：对所有整数
n3
，有
a
n


n110
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1i)
4
(1i)
4

．
2． 已知直线
xmy10
是圆
C:x
2
y< br>2
4x4y50
的一条对称轴，则实数
m
.
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概
率
是 （结果用最简分数表示）．
4． 已知
cos4


1
4 4
，则
sin

cos


．
5
π
，则以向量
2ab
与
3ab
表示的有 向线段
3
为邻边的平行四边形的面积为 ．
3
6． 设数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
．若{
S
n
}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{
a
n
}的前
n
项和等于 ．
5． 已知向量
a
，
b
满足
ab2,a,b
7． 设函 数
f(x)x
2
2
．若
f
(
a
)＝< br>f
(
b
)，且0＜
a
＜
b
，则
ab
的取值范围是 ．

8． 设
f
(< br>m
)为数列{
a
n
}中小于
m
的项的个数，其中a
n
n
2
,nN*
，
则
f[f(2011)]
．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知
m
是正整数，且方程
2xm10xm100
有整数解，则
m
所有可能的值
是 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x
2
y
2
1
与抛物线
yx
2
h
有公 共点，求实数
h
的取值范围．
12．设
f(x)x
2
 bxc(b,cR)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在区间

2,3

上的最大值
为
1，求
b
2
c
2
的最大值和最小值．
13．如图，
P
是
ABC
内一点．
1
（1）若< br>P
是
ABC
的内心，证明：
BPC90BAC
； < br>2
11
（2）若
BPC90BAC
且
APC90 ABC
，证明：
P
是
ABC
的内心．
22

14．已知

是实数，且存在正整数
n
0
，使得
n
0


为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数
n
，使得
n

为有理数．
2011年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答 案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知

[
5

3

,]
，则
1sin2

1sin2

可化简为（ ）
42
A．
2sin

B.
2sin

C.
2cos

D.
2cos


2．如果复数

a2i

1i

的模为4，则实数a的值为（ ）
B. 2 B.
22
C.
2
D.
22

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
xAB
， 命题q：
xA
或
xB
，则p
是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
x
2
y
2
1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ ） 4. 过椭圆
2

A.
43
264642
B. C. D.
3
333
442
。正确答案为C。
AB2(x
1x
2
)
2

33
，则该函数为（ ） < br>3x
2
4x0x
1
0,x
2

< br>15
x
5. 函数
f(x)

x

5 1
x0
x0
B. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5

3


B. 4+ C. 4+ D. 4+


22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依 次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),,(x
n
,y
n
),;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,10),
则数组中的
x
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|1,|y|1
上恒有
ax2by 2
，则动点
P(a,b)
所形成平面区域
的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)sin(2x





)m
在

0,

上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
6

2


1

2



1

2


A.

, 1

B

, 1

C.

, 1

D.

, 1


10. 已知
a[1,1]
，则
x(a4)x42a0
的解为（ ）
A.
x3
或
x2
B.
x2
或
x1
C.
x3
或
x1
D.
1x3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
2

1

2



1

2



11. 函数
f(x)2sin
x
3cosx
的最小正周期为______ ____。
2
12. 已知等差数列

a
n

前 15项的和
S
15
=30，则
a
1
a
8
a
15
=____ ______.
13. 向量
a(1,sin
)
，
b(cos

,3)
，

 R
，则
ab
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABC A
1
B
1
C
1
，底面
ABC
是正三角 形，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点
（含端 点），D为BC边上的中点，且
PDPE
。则直线
AP,PE
的夹角为_ _。
15．设
x,y
为实数，则
22
max(xy)
_____ ________。
22
5x4y10x
16. 马路上有编号为1，2，3， …，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也 不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___
______种。（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
xyz3,x
3
y
3
z
3
3
，则
x
2
y
2
z
2

_ _。

18. 设
a2
，求
y(x2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列

x
n

，

y
n

满足
x
0
y0
1
，
x
n

x
n1
(n1)
，
2x
n1
2
y
n1
y
n
 (n1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
x
j
n
。
12y
n1
x
2
y
2
20. 已知椭圆< br>2

2
1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交 椭圆于A，B两点，D
(a,0)
为
F
1
54
右侧一点，连 AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
求
a
的值。
1
，
2011年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试
一﹑填空题(每小题8分,共80分)
1.已知集合M={2,0,11},若
A M
,且A的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合A

的个数为 .
ab2
.若A+B=a-b,则ab的值是 .
,B
11< br>2

ab
1sin

cos

1si n

cos

2
的最大负角

的弧度数为 . 3.满足
1sin

cos

1sin

cos

x
2
y
2
2
4.设斜率为的直线l
与椭圆
2

2
1(ab0)
交于不同的两点 P、Q,若点P、Q
2
ab
2.设a、b都是正实数,
A