心猿意马-qq飞车名

全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a、b、c都是实数，并且
abc
，那么下列式子中正确的是（ ）
A、
abbc
B、
abbc
C、
abbc
D、
2、如果方程
x
2
 px
1

0

p
0

的两根之差是1 ，那么p的值为（ ）
A、2 B、4 C、
3
D、
5

3、在
AB C
中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且
BDCE
，
BD4，
CE6
，
那么
ABC
的面积等于（ ）
A、12 B、14 C、16 D、18
4、已知
abc0
，并且
限
A、一、二 B、二、三 C、三、四 D、一、四

9 x

a

0
5、如果不等式组

的整数解仅为1， 2，3，那么适合这个不等式组的整数a、b的
8
xb
0

ab


cc
a

bb

cc
a

p
，那么直线
ypxp
一定通过第（ ）象
cab
有序数对（a、b）共有（ ）
A、17个 B、64个 C、72个 D、81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD中，已知两邻边
AD 12
，
AB5
，P是AD边上任意一点，
PEBD
，
P FAC
，E、F分别是垂足，那么
PEPF
___________.2 7、已知直线
y2x3
与抛物线
yx
2
相交于A、B两 点，O为坐标原点，那么
OAB
的面
积等于___________.
8 、已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条
锁链，那 么这条锁链拉直后的长度为
__________cm
.
9、已知方程
a< br>2
x
2


3
a
2

8< br>a

x
2
a
2

13
a
15

0
（其中a是非负整数），至少有一个整数
根，那么
a_ ______
.
10、B船在A船的西偏北450处，两船相距
102
，若 A船向西航行，B船同时向南航行，
且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是__________km
.

三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰
A BC
中，
AB1
，
A90
，点E为腰AC中点，点F在底边 BC上，
且
FEBE
，求
CEF
的面积。













12、设抛物线
yx
2


2
a< br>1

x
2
a
a
18

323< br>a

6
的值。
B
F
C
A
E
5
的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求
4

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给 D市18
台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B 市调
运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为
400元和500元。
（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求 总运费W（元）关于x
（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。
（2）设从A市调x 台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示
总运费W（元），并求W的最大 值和最小值。

1998年全国初中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题
1、根据不等式性质，选B．
2、由
p
2

4

0
及
p2
，设
x
1
，
x
2
为方程两根，那么有
x
1
x
2
 p
，
x
1
x
2

1
．
又由
x
1
x
2



x
1< br>x
2

4x
1
x
2

22得：
1
2


p


4

2
所以
p
2

5
，
p5
p2


故选D
3、如图，连ED，则
S
四边形BCDE

A
1
BDCE
12

2
E
D
又因为DE是
ABC
两边中点连线
所以
S
ABC

故选C．

a
b

pc

4、由条件得

b

c< br>
pa


a

c

pb

44
S
四边形
BCDE

12

16

33
B
C
三式相加得：
2

ab c

p

abc


所以有
p2
或
abc0

当
p2
时，
y2x2
，则直线通过第一、二、三象限
当
abc0
时，不妨取
abc
，于是
p
< br>所以
yx1
，则直线通过第二、三、四象限
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限
故选B
5、由原不等式组可得a

b
1

c
0


c
ab

x

，在数轴上画出这个不等式组的解的可以区间，如图
98

a
9

-1 0 1 2 3
b

不难看出
0

由
0

8
4 5
ab
1
，
3


4

98a
1
得：
0a9
，则
a1
，2，3，4，5， 6，7，8，9共9个
9

由
3

b
4< br>得：
38b48
，则
b381
，
382< br>，
383
，…，
388
，共8
8
个，
9872
（个）
故选C
6、如图，过A作
AGBD
于G
∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高
∴
PEPFAG

∵
AD12
，
AB5

∴
BD13

∴
AG
G
B
F
C
A
P
E
D
12

560


1313
60

13
y
B
A
B
1
O
A
1

x
故
PE PF
7、如图，直线
y2x3
与抛物线
yx
2
的交 点坐标为A（1，1），B(
3
，9)
作
AA
1
，BB
1
分别垂直于x轴，垂足为
A
1
，
B
1< br>
S
AOB

S
梯形
AA
1
B< br>1
B

S
AA
1
O

S
BB
1
O

111


1

9



1

3

-

1

1-
936

222
b

a
2

2
ab
（厘米）
2
8、如图，当圆 环为3个时，链长为
3a

当圆环为50个时，链长为
50a
9、因为
a0
，解得
x
1

故a可取1，3或5．
b

a

2

49
ab
（厘米 ）
2
ba
2
2a

33a

55
2

，
x
2

1


aaaa
a a a
ba
2
10、如图，设经过t小时后，A船 、B船分别航行到
A
1
，
B
1
，设
AA
1
x
，于是
BB
1

2x

由
AB102
，得
ACBC10

B
北
∴
A
1
C|10x|
，
B
1
C|1 02x|

B
1

∴
A
1
B
1

|10
x
|
2

|10

2
x
|
2

5

x
6


10

2
C
A
1

A
东
当
x6
时，
A
1
B
1

25< br>最小
11、解法1如图，过C作
CDCE
与EF的延长线交于D．
∵
ABEAEB90
，
CEDAEB90

∴
ABECED

∴
RtABE
∽
RtCED

S
1
C EAB

CE

∴

CDE


2



，
S

EAB

A B

4
CDAE
2
A
E
B
F
D
C

又∵
ECFDCF45

∴CF是
DCE
的平分线，点F到CE和CD的距离相等
∴
S

CEF
CE
2

S

CDF
CD
∴
S
CEF

2212111

S
CDE

S
ABE

S
ABC

33434224
解法2 如图，作
FHCE
于H，设
FHh

∵
ABEAEB90
，
CEDAEB90

∴
ABECED

∴
RtABE
∽
RtCED

EHAB
∴
，即
EH2h


FHAE
∴
HC

A
E
H
B
F
C
1

2h

2
又∵
HCFH

∴
h

∴
h
1

2h

2
1

6
11111

EC

F H

222624
5

0

4
5< br>
2


0
，即
aa10

4

∴
S

CEF

12、（1）∵抛物线与x轴 只有一个交点
所以一元二次方程
x
2


2
a
1

x
2
a

2
有两个相等的实根， 于是


2
a
1


4
< br>2
a

∴
a
15

2
（2） 由（1）知，
a
2
a
1
，反复利用此式可得
a
4


a1

a
2
2a13a2< br>
2
a
8


3a2

9a< br>2
12a421a13

2
a
16


21a13

441a
2
546a169987a 610

2
a
18


987a610

a1

987a
2
1597a6102584a1 597

又
a

6

1111


a
6
a
4
a
2

3a
< br>2

a

1

8
a
5
∵
a
2
a
1

0

∴
64< br>a
2

64
a
65

1
，即< br>
8a5

8a13

1

∴< br>a

6

1

8a

13

8a

5

∴
a
18

323
a
6

2584
a
1597

323


8
a
13


5796
13、（1）由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，
182 x
，发往E
市的机器台数分别为
10x
，
10x
，2x10
．于是
W200x300x400

182x
800

10x

700

10x

500

2x10

800x17200

0

x

10
又

< br>0

18

2x

8


0

x

10
∴


5

x

9

∴
5x9

∴
W800x17200

5x9，x是整数


由上式可知，W是随着x的增加而减少的
∴当
x9
时，W取到最小值10 000元；当
x5
时，W取到最大值13200元．
（2）由题设知，A市、B市 、C市发往D市的机器台数分别为x，y，
18xy
，发往E市
的机器台数分别为
10x
，
10y
，
xy10
．于是
W 200x800

10x

300y700

10 y

400

18xy

500
xy10


500x300y17200

< br>0

x

10

又

0

y

10


0

18

x

y

18


0

x
10

∴

0

y

10


10

x

y

18


0

x

10

∴
W 500x300y17200
且

0

y

1 0
，x，y都是整数

10

x

y

18

∴
W200x300

xy
172002001030018172009800

∴当
x10
，
y8
时，
W9800

故W取到最小值9800元
又
W200x300

xy< br>
172002000300101720014200

∴当
x0
，
y10
时，
W14200

故W取到最大值14200元。