姓名测缘-我爱你塞北的雪歌词

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1999年全国初中数学联合竞赛试卷

第一试 （4月4日上午8:30--9:30）
考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。全卷满分70分。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（ B）、（C）、（D）四个结论，其
中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆 括号内。每
小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号
内） ，一律得0分。
1、计算的值是（ ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
3、设，将一次函数与的图象画在同一 平面直角
坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）。

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4、若函数，则当自变量取
1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
5、如图，在等腰梯形A BCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P
在线段AD上，则满足 条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
6、有下列三个命题：（甲）若是 不相等的无理数，则是无
理数；（乙）若
不相等的无理数，则
是不相等的无理数，则是 无理数；（丙）若是
是无理数。其中正确命题的个数是（ ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知且，则＝________。 < br>2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，
△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。
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3、已知为整数，且满足，则
＝________。
4、在正方形ABCD中，N是 DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，
则tg∠ABM＝________。


=============== =============== ===============
第二试 （4月4日上午10:00--11:30）
考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分。
一、（本题满分20分）
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某班参加一次智力竞赛，共
题满分20分，题、题
三题 ，每题或者得满分或者得0分。其中
满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对
的人数与 了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题
答对题
题
的人数之 和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对
的人数与答对题的人数之和为20，问这个班 的平均成绩是多少分？
二、（本题满分25分）
如图，设△ABC是直角三角形， 点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C
且与AC相交于F，与AN相切于AB的中点G。求证 ：AD⊥BF。

三、（本题满分25分）
已知
和的值。
为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求
=============== =============== ===============
第一试参考答案
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（ B）、（C）、（D）四个结论，其
中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆 括号内。每
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小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号< br>内），一律得0分。
1、计算的值是（ D ）。
（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。
解：原式＝。
2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。
（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。
解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠A CB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC
2
＋
BC
2＝10
2
。∴2AC×BC＝（AC＋BC）
2
－（AC
2＋BC
2
）＝14
2
－10
2
＝4×24。
∴ 。
3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角
坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个 图中的一个为正确的是（ B ）。

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解：由方程 组的解知两直线的交点为，而图A中交点横
坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图 C不对；图D中交点
纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。
4、若函数，则当自变量
2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。
（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。
取1、
解：当
。∴当自变量
时，
取2、3、…、98
时，函数值都为0。而当取1、99、100时 ，
，故所求的和为：
。
5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝9 98，DC＝1001，AD＝1999，点P
在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个 数为（ C ）。

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（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。
解：AD的 中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。
由△ABN和△D CN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与
AD至多有两个交点，可知所求 点的个数为2。
6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理
数；（乙）若是 不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是
不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（ A ）。
（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。
解：
，，则
，只要令< br>为有理数，故（甲）不对；又
若令，，则为有理数，故（乙）不对；又若令
为有理数，故 （丙）不对；故正确命，则
题个数是0，应选（A）。
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。
1、已知且，则＝ 2 。
解：，即
，
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，
，
，，。
2、如图，在△ABC中，∠B＝36 °，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，
△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线 于N，则△ANM的最小角等于 44° 。

解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°， AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM＝∠MAB＝
，∵∠AMC＝44°。又AN为切线，∴∠NAC ＝∠B
＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小 角为
44°。
3、已知为整数，且满足，则
＝ 3 。
解：左边＝
数，且不相等，
，即，
只可能取值或
，而
。不妨设
为整
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，则，或，∵（2）无整数解，由（1）
得，。
4、在正方形ABCD中，N是DC 的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，
则tg∠ABM＝。

解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴
，即
AM＝，BM＝，BT＝
，注意到
。令DN＝1，CT＝MD＝
，代入（ 1）式得
，解得
，则
。
=============== =============== ===============
第二试参考答案
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一、（本题满分20分）
某班参加一次智力竞赛，共
题满分20分，题、题
三题，每题或者得满分或者得0分。其中
满分分别为25分。竞赛结果，每个学生至少答对的人数与了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题
答对题
题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对
的人数与答对题的人数之和为2 0，问这个班的平均成绩是多少分？
解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有
， ，，∴答对一题的人数
为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为
。
答：班平均成绩为42分。
二、（本题满分25分）
如图， 设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。已知圆过点C
且与AC相交于F，与AN 相切于AB的中点G。求证：AD⊥BF。

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证：作DE⊥AC于E，则AC＝AE，AG＝ED。由切割线定理有：AG
2
＝AF·AC，
∴ED
2
＝AF·AE，∴5ED
2
＝AF·AE，∴AB·ED＝ AF·AE，∴，
∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴ ∠ABF＋∠DAB＝
90°，∴AD⊥BF。
三、（本题满分25分）
已知
和的值。
为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求
解：根据函数< br>，∴
的图象和题设条件知：当
…①；当时，
时，
，
∴
∴
…②。抛物线顶点的横坐标
…③。
满足，
∵，即，∴
，若
…④，由①、③、④得
，则由②、④得且，
得；
若，则且，无整数解；
若，则且，无整数解；
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若，则

且，无整数解；故所求的值为


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