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最新高中数学奥数竞赛决赛试题

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分 ，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正
确．请把正确选择支号填在答题表的相应位置． ）
1．若集合
M{a,b,c}
中的元素是
ABC
的三边长， 则
ABC
一定不是（ ）
A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．设
cos100k
，则
tan80
=（ ）
1k
2
k
1k
2
1k
2
A． B．

C．

D．


2< br>k
k
k
1k
3．如图，一个空间几何体的正视图，左视图，俯视图均 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形
的直角边长都为1，那么这个几何体的体积为（ ）


正视图
A．
左视图 俯视图
1
11
B． C． D．1
3
62
2222
4． 若
A
、
B
两点分别在圆
xy6x16y480和xy4x8y440
上运动，则< br>|AB|
的最大值为（ ）
A．13 B．19 C．32 D．38
5．设
x
1
,x
2是函数
f(x)2008
定义域内的两个变量，且
x
1
x< br>2
，若
a
列不等式恒成立的是（ ）


A．
|f(a)f(x
1
)||f(x
2
)f(a)|
C．
|f(a)f(x
1
)||f(x
2
)f (a)|

B．
f(x
1
)f(x
2
)f(a)

D．
|f(a)f(x
1
)||f(x
2
)f(a)|

2
x
1
(x
1
x
2
)
，那么， 下
2
6．已知函数
f(n)cos
A．1
f(1)f(2)f(2008)
n


（ ） < br>(nN*)
，则
f(10)f(21)f(32)f(43)
5
B．0 C． -1 D．4

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相 应题的横线上．）
7．右图的发生器对于任意函数
f

x

，
xD
可制造出一
系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据
x
0
D
，
则发生器结束工作；②若输入数据
x
0
D
时，则发生
器 输出
x
1
，其中
x
1
f

x
0

，并将
x
1
反馈回输入端.现
定义
f

x

2x1
,
D(0,50)
.若输入
x
0
1
,那么,
当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 ．

8．若点（1,1）到直线
xcos

ysin

2
的距离为
d
，则
d
的最大值是 ．
9. 从[0，1]之间选出两个数，这两个数的平方和小于0.25的概率是_______．
10．函数
yx
2
x
输入
x
0

x
0
x
1

输出
x
1

x
1
f(x
0
)

x
0
D

否
结束
是
（第7题图）
1
（
x

n,n1

，其中
n
为正整数）的值域中共有2008个整数，则正整数
2
n
.
11. 把1，2，3，…，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的 数取出来，
所得10个数的和记为
S
.若
S
的最大值为
M< br>，最小值为
N
，则
MN
.
12．设集 合
Axx
2


x

2
，
B xx2
，其中符号

x

表示不大于x的最大整数，则


AB
.
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13．（本小题满分12分）
已知向量
AB(1tanx,1tanx)< br>，
AC(sin(x
（1）求证：
BAC
为直角；
（2）若
x[

4
),sin(x

4
))
．

,]
，求
ABC
的边
BC
的长 度的取值范围．
44







14．（本小题满分12分）
已知函数
f(x)ax(a2)x1
.若
a
为整数，且函数
f(x)
在
(2,1)
内恰有一 个零点，求
2

a
的值.









15．（本小题满分12分） 设
A
、
B
是函数
ylog
2
x
图象 上两点, 其横坐标分别为
a
和
a4
, 直线
l:xa2与函数
ylog
2
x
的图象交于点
C
, 与直线
AB
交于点
D
.
(1)求点
D
的坐标；
(2)当
ABC
的面积大于1时, 求实数
a
的取值范围.










16．（本小题满分14分）
D
1
如图，在正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别
为棱
AD
、
AB
的中点．
（1）求证：
EF
∥平面
CB
1
D
1
；
（2）求证：平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1
；
（3）如果
AB1
，一个动点从点
F
出发在正方体的
A
E
D
F
B
C
A
1
B
1
C
1

表面上依次经过棱
BB
1
、
B
1
C
1
、
C
1
D
1
、
D
1
D
、
DA
上的点，最终又回到点
F
，指出整个
路线长度的最小值并说明理由.






17．（本小题满分14分）
已知以点
C(t,)(tR, t0)
为圆心的圆与
x
轴交于
O、A
两点，与
y
轴交于
O
、
B

两点，其中
O
为坐标原点.
（1）求证：
OAB
的面积为定值；
2
t

（2）设直线
y2x4
与圆
C
交于点
M、N
，若< br>|OM||ON|
，求圆
C
的方程.




18．（本小题满分14分）
对于函数
f(x)
，若
f (x)x
，则称
x
为
f(x)
的“不动点”，若
f(f< br>
x

)x
，则称
x
为
f(x)
的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
A
和
B
，即< br>A

x|f

x

x

，Bx|f

f

x


x
.
（1）求证：
AB
；
（2）若
f

x

ax
2
1

aR,xR

，且
AB
，求实数
a
的取值范围；
（3）若
f(x)
是
R
上的单调递增函数，
x
0
是函数的稳定点，问
x
0
是函数的不动点吗？若是，请
证明你的结论；若不是，请说明的理由.


2008年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案
一、选择题D B A C D C
二、填空题
7．5 8．
2
三、解答题
13．（1）证明：因为
ABAC(1tanx)sin(x
2
9．

10．1003 11．1505 12．
{1,3}

16

4
)(1tanx)si n(x

4
)



2cosxsinxcosxsinx
[(sinxcosx)(sinx cosx)]

2cosxcosx

0， …………4分

所以
ABAC
，即
BAC90
． …………5分
所以
ABC
是直角三角形． …………6分
（2）解：
|AC|sin(x
2

)sin
2
(x)1
，
44

因为
ABC
是直角三角形，且
ABAC
，
所以
|BC |
2
|AB|
2
|AC|
2
32tan
2
x
…………9分
又因为< br>x[

,]
，
0tan
2
x1
，
44
所以
3|BC|5
．
所以，
BC
长度的取值范围是

3,5

． …………12分
1
，所以
f(x)
在
(2,1)
内没有零点；2分 < br>2
22
14．解：（1）
a0
时，令
f(x)2x1 0
得
x
2
（2）
a0
时，由
f(x)ax (a2)x1,(a2)4aa40
恒成立，
知
f(x)ax(a2)x1
必有两个零点． …5分
若
f(2)0
，解得
a
2
53
 Z
；若
f(1)0
，解得
aZ
，
62
所以
f(2)f(1)0
． ……7分
又因为函数
f(x)
在
(2,1)
内恰有一个零点，
所以
f(2)f(1)0
即
(6a5)(2a3)0
． …………10分
解得

35
a,

26

由
aZ,

a1

综上所述，所求整数
a
的值为
1
． …………12分
15．解：（1）易知D为线段AB的中点, 因
A(a,log
2
)
，
B(a4,log
2
所以由中点公式得
D(a2, log
2
a(a4)
a
(a4)
)
，
)
． …………2分
（2）连接AB ，AB与直线
l:xa2
交于点D，D点的纵坐标为
y
D
1
(log
2
alog
2
(a4))
． …………4分
2
所以
S
ABC
S
ACD
 S
BCD


1
|CD|(22)

2
2|CD|

2

log
2
(a2)(log
2
alog< br>2
(a4))


2


1

(a2)
2
= log
2
…………8分
a(a4)
(a2)
2
由S
△
ABC
= log
2
>1, 得
0a222
， …………10分
a(a4)
因此, 实数a的取值范围是
0a222
. …………12分
16．（1）证明:连结
BD
.
在正方体
AC
1
中，对角线
BDB
1
D
1
.
又
Q
E、F为棱AD、AB的中点，

EFBD
.

EFB
1
D
1
. …………2分
又B
1
D
1


平面
C B
1
D
1
，
EF
平面
CB
1
D
1
，

EF∥平面CB
1
D
1
. …………4分
（2）证明:
Q
在正方体
AC
1
中，AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1，
而B
1
D
1


平面A
1
B
1
C
1
D
1
，

AA
1
⊥B
1
D
1
.
又< br>Q
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1中，A
1
C
1
⊥B
1
D
1
，

B
1
D
1
⊥平面CAA
1
C
1
. …………6分
又
Q
B
1
D
1


平面CB
1
D
1
，
F
F


平面CAA
1
C
1
⊥平面CB
1
D
1
． …………8分
（3）最小值为
32
. …………10分
如图，将正方体六个面展开成平面图形， …………12分
从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB
1
、B1
C
1
、C
1
D
1
、D
1
D 、DA上的中点，
所求的最小值为
32
. …………14分
17．解：（1）
圆C过原点O
，
OCt
22
4
．
2
t
2
t
22
设圆
C
的方程是
(xt)(y)t
2
4

t
2
令
x0
，得
y
1
0,y
2

4
；令
y0
，得
x1
0,x
2
2t
. …………2分
t

S
OAB

114
OAOB|||2t|4
，即：
OAB
的面积为定值. ………4分
22t
（2）
|OM||ON|,|CM||CN|,
 OC
垂直平分线段
MN
.

k
M N
2,k
oc

11
，

直线
OC
的方程是
yx
. …………6分
22


21
t
，解得：
t2或t2
. …………8分
t2
5
， 当
t2
时，圆心
C
的坐标为
(2,1)
，
OC
此时
C
到直线
y2x4
的距离
d
1
55
，
圆
C
与直线
y2x4
相交于两点． …………10分
当
t2
时，圆心
C
的坐标为
(2, 1)
，
OC
此时
C
到直线
y2x4
的距 离
d
圆
C
与直线
y2x4
不相交，
5
，
9
5
5

t2
不符合题意舍去． …………13分

圆
C
的方程为
(x2)
2
 (y1)
2
5
. …………14分
18．解：（1）若
A
，则
AB
显然成立； 若
A
，设
tA
，则
f

t

t,f

f

t


f

t

t
，
tB
，故
AB
. …………4分

（2）
QA,ax1x
有实根，
 a
34222
2
2
1
2
.又
AB
， 所以
a

ax1

1x
，
4
即< br>ax2axxa10
的左边有因式
axx1
，
从而有
ax
2
x1a
2
x
2
axa10. …………6分

QA B
，
a
2
x
2
axa10
要么没有实根 ，要么实根是方程
ax
2
x10
的根.若
a
2
x
2
axa10
没有实根，则
a
3
22
；若
axaxa10
有实根且实根是方程
4
ax
2
x10
的根，则由方程
ax
2
x10
，得
a
2
x
2
axa
，代入
a
2
x
2
axa10
，
有
2ax10
.由此解得
x 
1113
，再代入得
10
，由此
a
，故a的取值 范围
2a4a2a4
是



13

,< br>
. …………10分
44

（3）由题意：
x
0
是函数的稳定点则
f

f

x
0


x
0
，设
f
x
0

x
0
，
f

x< br>
是
R
上的单调增
函数，则
f

f

x
0


f

x
0

，所以
x
0
f

x
0

，矛盾.若< br>x
0
f

x
0

，
f

x

是
R
上的
单调增函数，则
f

x
0

f

f

x
0

，所以
f

x
0

x
0
，矛盾，故
f

x
0

x
0
，所以x
0
是
函数的不动点.