美容师销售技巧-雷霆咆哮

首届中国大学生数学竞赛区赛试卷（非数学类，2009）
一、填空题（每小题5分，共20分）
y
(xy)ln(1)
x
dxdy
____________，其中区域
D
由直线
xy1与两1．计算

D
1xy
坐标轴所围成三角形区域.

01

解 令
xyu,xv
，则
xv, yuv
，
dxdydet


11

< br>dudvdudv
，

y
(xy)ln(1)
ul nuulnv
x
dxdy

D
1xy

D
1u
dudv

u
ulnu
u
u
d vlnvdv)du

000
1u1u

2
1ulnuu(ulnuu)


du
0
1u1u


(
1


1
0
u
2
du
（*）
1u
2
2224
令
t1u< br>，则
u1t
，
du2tdt
，
u12tt，
u(1u)t(1t)(1t)
，
(*)2

(12t
2
t
4
)dt

1
0
2< br>
1
0
1

16

2
(12t t)dt
2

tt
3
t
5


5

0
15

3
24
1
2 ．设
f(x)
是连续函数，且满足
f(x)3x
2

解 令
A
2

2
0
f(x)dx2
, 则
f(x)
____________.

2
0
f(x )dx
，则
f(x)3x
2
A2
，
A

(3x
2
A2)dx82(A2)42A
,
0解得
A
410
2
。因此
f(x)3x
。
33
x
2
y
2
2
平行平面
2x2yz 0
的切平面方程是__________. 3．曲面
z
2
x
2
y
2
2
在解 因 平面
2x2yz0
的法向量为
(2,2,1)
，而曲面
z
2
(x
0
,y
0
)
处的法向量为
(zx
(x
0
,y
0
),z
y
(x
0,y
0
),1)
，故
(z
x
(x
0
,y
0
),z
y
(x
0
,y
0
),1)
与
(2,2,1)
平行，因此，由
z
x
x
，< br>z
y
2y
知
2z
x
(x
0
,y
0
)x
0
,2z
y
(x
0
,y
0
)2y
0
，
即
x
0
2,y
0< br>1
，又
z(x
0
,y
0
)z(2,1)5，于是曲面
2x2yz0
在
(x
0
,y
0
,z(x
0
,y
0
))

x
2
y
2
2
平行平面 处的切平面方程是
2( x2)2(y1)(z5)0
，即曲面
z
2
2x2yz 0
的切平面方程是
2x2yz10
。
4．设函数
yy( x)
由方程
xe
f(y)
e
y
ln29
确定，其 中
f
具有二阶导数，且
f

1
，
d
2< br>y
则
2

________________.
dx
解 方程
xe
f(y)
e
y
ln29
的两边对
x
求导，得
1
1
，因此
f
(y)y

y

，即
y


x(1 f

(y))
x
e
f(y)
xf

( y)y

e
f(y)
e
y
y

ln29

因
eln29xe
yf(y)
，故
d
2
y1f

(y)y


y

dx< br>2
x
2
(1f

(y))x[1f

( y)]
2
f

(y)1f

(y)[1f

(y)]
2

2


x[1f
< br>(y)]
3
x
2
(1f

(y))x
2< br>[1f

(y)]
3
e
x
e
2x


e
nx
x
)
，其中
n
是给定的正 整数. 二、（5分）求极限
lim(
x0
n
解法1 因
ee
x
e
2x


e
nx
x
e
x
e
2x


e
nx
n
x
lim()lim(1)

x0x0
nn
故
ee
e
x
e
2x


e
nx
ne
Alim
x0
nx

x2xnx
ee

en
elim
x0
nx
e
x
2e< br>2x


ne
nx
12

nn1
elimee

x0
nn2
因此
e
x< br>e
2x
e
nx
x
lim()e
A
e
x0
n
解法2 因
e
e
n1
e
2

e
x
e2x


e
nx
x
ln(e
x
e
2x


e
nx
)lnn
limln()e lim

x0x0
nx
e
x
2e
2x


ne
nx
12

nn1
eli m
x
ee

x0
ee
2x

< br>e
nx
n2
故
e
x
e
2x
 e
nx
x
lim()e
A
e
x0
n
e
n1
e
2

三、（1 5分）设函数
f(x)
连续，
g(x)

1
0
f (xt)dt
，且
lim
x0
f(x)
A
，
A
为常数，求
x
g

(x)
并讨论
g
(x)
在
x0
处的连续性.
解 由
lim
因g(x)
x0
f(x)f(x)
A
和函数
f(x)
连续知，
f(0)limf(x)limxlim0

x0x0x0< br>xx
1
0

f(xt)dt
，故
g(0)

f(0)dtf(0)0
，
0
1
1
x
因此 ，当
x0
时，
g(x)

f(u)du
，故
x
0

limg(x)lim
x0x0
x
0
f(u)du
x
lim
x0
f(x)
f(0)0

1
当
x0
时，
f(x)
，

0x
x
1
x
f(t)dt
f(t)dt

0
f(x)A
g(x)g(0)
0
x
lim
< br>g

(0)limlimlim
2
x0
x0x0 x0
2x2
xxx
1
x
f(x)f(x)1
x
A A
limg

(x)lim[
2

f(u)du] limlim
2

f(u)duA

0
x0x 0x0x0
xx
0
xx22
这表明
g

(x)
在
x0
处连续.
x
1
g

(x)
2
x
f(u)du

四、（15分）已知平面区域
D{ (x,y)|0x

,0y

}
，
L
为< br>D
的正向边界，
试证：
（1）
xe
siny
dy ye
sinx
dxxe
siny
dyye
sinx
dx
；

L
L

L
（2）
xe

siny
5
dyye
siny
dx

2< br>.
2
证 因被积函数的偏导数连续在
D
上连续，故由格林公式知 < br>（1）
xe
siny
dyye
sinx
dx

L


sinysinx

(xe)(ye)
dxdy


x

y

D< br>


(e
siny
e
sinx
)d xdy

D

xe
L
siny
dyye
sinx
dx








(xe
siny
)(ye
sinx
)

dxdy

xy

D



(e< br>siny
e
sinx
)dxdy

D
而
D
关于
x
和
y
是对称的，即知


(e
D
siny
e
si nx
)dxdy

(e
siny
e
sinx
)dxdy

D
因此
sinysinxsinysinx
xedyyedxxedyyedx


LL
（2）因
t
2
t
4
ee2 (1

)2(1t
2
)

2!4!
tt
故
e
sinx
e
sinx< br>2sin
2
x2
由
1cos2x5cos2x


22

xe
L
siny
dyye
s iny
dx

(e
siny
e
sinx
) dxdy

(e
siny
e
sinx
)dxdy< br>
DD
知
sinysiny

xedyyedxL
11
sinysinx
(ee)dxdy(e
siny
e
sinx
)dxdy


2
D
2D

11
sinysiny
(ee)dxdy(e
si nx
e
sinx
)dxdy

(e
sinx
e
sinx
)dxdy


2
D
2DD

sinx
0



(e
即
e
sinx
)dx



0
5co s2x5
dx

2

22
5
2sinysiny
xedyyedx

< br>
2
L
x2xx
x2x
xx
五、（10分）已知
y
1
xee
，
y
2
xee
，y
3
xeee
是某二阶常
系数线性非齐次微分方程的三个解，试求 此微分方程.
x2xx
x2x
xx
解 设
y
1
xee
，
y
2
xee
，
y
3
 xeee
是二阶常系数线性非齐
次微分方程
y

by

cyf(x)

的三个解，则
y
2
y
1
e
x
e
2x
和
y
3
y
1
e
x
都是二阶常系数线性齐次微分 方程
y

by

cy0

的解，因此< br>y

by

cy0
的特征多项式是
(

2)(

1)0
，而
y

by
cy0
的特
征多项式是

2
b

c0


y
1

2y
1
f(x)
和 因 此二阶常系数线性齐次微分方程为
y

y

2y0
，由
y
1

e
x
xe
x
2e
2x
，
y
1

2e
x
xe
x4e
2x

y
1

y
1
2y
1
xe2e4e
知，
f(x)y
1
( 12x)e
x

xx2x
(xe
x
e
x2e
2x
)2(xe
x
e
2x
)

二阶常系数线性非齐次微分方程为
y

y< br>
2ye
x
2xe
x


六、（10 分）设抛物线
yaxbx2lnc
过原点.当
0x1
时,
y0
,又已知该抛
物线与
x
轴及直线
x1
所围图形的面 积为
的旋转体的体积最小.
解 因抛物线
yaxbx2lnc
过原点，故
c1
，于是
2< br>2
1
.试确定
a,b,c
,使此图形绕
x
轴旋转一周 而成
3
1
1
2
b

ab

a

(axbx)dt

x
3
x
2


3
0
2

0
32

3
即
1
2
(1a)

3
而此图形绕
x
轴旋转一周而成的旋转体的体积
b
V( a)


(axbx)dt


(ax
2< br>
00
2
1
4
1
22
1
2
(1a)x)
2
dt

3
11
44
32


a

xdt

a(1a)

xd t

(1a)

x
2
dt

000< br>39
114


a
2


a(1 a)

(1a)
2

5327
即
114V(a)

a
2


a(1a)
(1a)
2

5327
令
V

(a)
得
218

a

(12a)

(1a)0
，
5327
54a4590a4040a0

即
4a50


因此
53
a
,
b
,
c1
.
42


(x)

u
n
(x)

x
n1
e
x
(n

1,2,

)
, 且
u
n
(1)
七、（15分）已知
u
n< br>(x)
满足
u
n
数项级数
解
e
, 求函
n

u
n1

n
(x)
之和.


(x)u
n
(x)x
n1
e
x
，
u
n
即
y

yx
n1
e
x

由一阶线性非齐次微分方程公式知
ye
x
(C

x
n1
dx)

即
x
n
ye(C)

n
x
因此
x
n
u
n
(x)e(C)

n
e1< br>由
u
n
(1)e(C)
知，
C0
，
nn
x
于是
x
n
e
x
u
n
(x)

n
下面求级数的和：
令
x
n
e
x
S( x)

u
n
(x)


n
n1n1

则

x
n
e
x
e
x
n1x
S

(x)

(xe )S(x)

xeS(x)

n1x
n1n1

n1x
即
e
x
S

(x)S(x)

1x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
S(x)e
x
(C

1
dx)

1 x
令
x0
，得
0S(0)C
，因此级数

u
n1
n
2

n
(x)
的和
S(x)e
x
ln(1x)

八、（10分）求
x1
时, 与
2


x
n0

等价的无穷大量.
2
解 令
f(t)x
t
，则因当
0x1
，
t(0,)
时，
f

(t)2tx
t
ln x0
，故
f(t)xe
t
2
t
2
ln< br>1
x
在
(0,)
上严格单调减。因此




0
f(t)dt


n 0
n1
n
f(t)dt

f(n)f(0)

n0n1

n
n1
f(t)dt1

0
f(t)dt

即

又


0
f(t)dt

f(n)1

n0


0
f(t)dt
，

n0
f(n)

x
n
，
n0< br>2
11

lim
x
lim
x
1

x1
1x
x1
1
ln


0< br>f(t)dt



0
xdt

e< br>0
t
2

t
2
ln
1
x
dt
1
ln
1

x

0
e
t
dt
2
1
ln

1
2
x
，
所以，当
x1
时, 与


x
等价的无穷大量是
n0
n
2
1

。
21x