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2008年全国初中数学联赛试卷

（第一试）
一、选择题
11
1．设a
2
＋1＝3a，b
2
＋1＝3b，且a≠b，则代数 式
2
＋
2
的值为（ ）
ab
(A) 5. (B) 7. (C) 9. (D) 11.

2．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，
若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（ ）
(A)
182124
. (B) 4. (C) . (D) .
555

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出 两张，把第一张卡片上的数字作
为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所 组成的数是3的倍
数的概率是（ ）
1321
(A). (B) . (C) . (D) .
51052
< br>4．在△ABC中，∠ABC＝12°，∠ACB＝132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，
且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）
(A) BM＞CN. (B) BM＝CN.
(C) BM＜CN. (D) BM和CN的大小关系不确定.

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降 价10％或20％，若干天后，这5
种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的 最小值为（ ）
9999
(A) ()
3
. (B) ()
4
. (C) ()
5
. (D) .
8888

6．已知实数x，y满足(x－
x
2
－2008
)(y－
y
2
－2008
)＝2008，则3x
2
－2y
2
＋3x－3y－2007
的值为（ ）
(A) -2008. (B) 2008. (C) -1. (D) 1.

二、填空题
5
－1
a
5
＋a
4
－2a
3
－a
2
－a＋2
1．设a＝，则 ＝ _________.
2a
3
－a

2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD所在直线上的两点，
且AM＝5，∠MAN＝135°，则四边形AMCN的面积为___________.






1 5

3．已知二次函数y＝x
2
＋ax＋b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且│m │＋
│n│＜1. 设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则│p│＋│q│＝
__________.

4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：6481100121144…，排在 第1
个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008< br>个位置的数字是___________.



第二试
一、已知a
2
＋b
2
＝1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式
a (1－x)(1－x－ax)－bx (b－x－bx)≥0恒成立. 当乘积ab取最小值时，求a，b的值.








二、如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB＝BC.
（1）证明：点O在圆D的圆周上.
（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.













三、设a为质数，b为正整数，且9(2a＋b)
2
＝509(4a＋511b) 求a，b的值.





2 5

参考答案
第一试
选择题
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.D

填空题.
51
1. -2 2. 3. 4. 1
22


第二试
一、已知
ab1
，对于满足条件
0x1
的一切实数
x
，不等 式
22
a(1x)(1xax)bx(bxbx)0
恒成立.当乘积
ab
取最小值时，求
a,b
的值.
解：设
f(x)a(1x)(1xax)bx(bxbx)
，则 f(x)a(1x)
2
a
2
x(1x)bx
2
b
2
x(1x)

=
a(1x)bx(ab)x(1 x)
=
a(1x)bxx(1x)

当
x0
时 ，
f(0)a0
，当
x1
时，
f(1)b0
，故
a0,b0
.
若
a0
，则
b1
，
f(x)2xx
，不恒大于等于0，故
a0,
即
a0
，同 理
b0
.
当
0x1
时，
f(x)[a(1x) bx](2ab1)x(1x)

（1） 当
a(1x)
22
222222
bx
，即
x
a
ab
(0 ,1)
时，
1
.
4
f(x)(2ab1)x(1x)0
，故
2ab10
，即
ab
（2） 当
ab
1
，即
2ab10
时，
4
f(x) [a(1x)bx]
2
(2ab1)x(1x)0


62

62
aa

1

44
综上所述，
ab
最小值是，此时

或

.
4< br>
b
62

b
62

44

3 5

二、如图，圆
O
与圆
D
相交于
A,B
两点，
BC
为圆
D
的切线 ，点
C
在圆
O
上，且
ABBC
.
（1）证明：点
O
在圆
D
的圆周上.
（2）设△
ABC
的面积为
S
，求圆
D
的的半径
r
的最小值.
解：(1)连接
OA,OB,OC
，则
OAOBOC
，又
ABAC
，故等腰
ABOBCO
，
ABOCBO
.由于
BC
为圆
D
的切线，
故弦切角
ABC
所 夹劣弧长为
OBC
所夹劣弧长的2
倍，即半径
BO
所在直径通过弧
AB
的中点，即点
O
在圆
D
上.
（2）连接AD,BD
，则
2rADBDAB
，
222
故
4 rABABAC
，又
ABAC2S
，故
4r2S
，即< br>r
2S
，且当
AB
为圆
2
D
的直径时可以 取等号，故
r
的最小值是
2S
.
2
2
三、设a
为质数，
b
为正整数，且
9(2ab)509(4a511b)
求
a
，
b
的值.
解：将原等式整理为关于
b
的一元二次方程：
9b
2
( 36a509511)b36a
2
4509a0
，由于
b
为正整数，则方程判别式
(36a509511)
2
49(36a< br>2
4509a)509
2
(511
2
72a)
是完全平方
数，即
51172a
为完全平方数，设
51172at( tN)
，则
2
22
511
2
t
2
 72a
，即
(511t)(511t)72a
，由于
(511t) (511t)1022
，故
(511t),(511t)
同为奇数或者同为偶 数，且不同是被3整除.
当
a2
时，检验得
511722
不是完全平方数
当
a3
时，检验得
511723
不是完全平方数
当
a5
时，由上面分析可知
72a236a418a2a364a1 8
共4种分解
方式可能满足条件.
当

2
2
< br>511t2

511t4
85509
时，
a
不是整数，当

时，
a
不是整数，
39

511t36a

511t18a
4 5

当


511t2a

511t3 6
或

时，
a4931729
不是质数，
511t36

511t2a

511t18
时，
a251
是质数，此时只有
b7
满足条件，

511 t4a
当

综上所述，
a251
，
b7
.





















5 5