工作性质-海带汤的做法

全国高中数学联赛
全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学 数学教学大纲》中
所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基 本技
能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学 奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当
增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道 平面几何题.
一 试

一、填空（每小题7分，共56分）
x
f

f

f

x

1． 若函数
f

x


且
f
(n)

x

f

，则
f

99

1


．



1x
2
n
2． 已 知直线
L:xy90
和圆
M:2x
2
2y
2
8x8y10
，点
A
在直线
L
上，
B
，
C
为圆
M
上两点，在
ABC
中，
BAC45 
，
AB
过圆心
M
，则点
A
横坐标范围
为 ．

y≥0

3． 在坐标平面上有两个区域
M
和N
，
M
为

y≤x
，
N
是随
t
变化的区域，它由

y≤2x

不等式
t≤x≤t1
所确定，
t
的取值范围是
0≤t≤1
，则
M
和N
的公共面积是函数
f

t


．
4． 使不等式
1111


a2007
对 一切正整数
n
都成立的最小正整数
n1n22n13
a
的值为 ．
x
2
y
2
5． 椭圆
2

2
1

ab0

上任意两点
P
，
Q
，若
OPOQ
，则乘积
OPOQ
的最
ab
小值为 ．
6． 若方程
lgkx2lg

x1

仅有一个实 根，那么
k
的取值范围是 ．
7． 一个由若干行数字组成的 数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数
之和，最后一行仅有一个数，第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的
数是 （可以用指数表示） < br>∶00~9∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站，但到站的时刻 是随8． 某车站每天
8
机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
8∶10

8∶30

8∶50

到站时刻
9∶10

9∶30

9∶50

11
1

概率
62
3
一旅客
8∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．
二、解答题
x
2
y
2
1． （14分） 设直线
l:ykxm
（其中
k
，
m
为整数）与椭圆1
交于不同两
1612
x
2
y
2
点
A
，
B
，与双曲线
1
交于不同两点
C
，D
，问是否存在直线
l
，使得向量
412
ACBD0
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．


16

2． （15分）已知
p
，方程
x
2
pxq0
有两个实根

，

，数列

a
n

q

q0

是实数，
满足
a
1
p
，
a
2
p
2
 q
，
a
n
pa
n1
qa
n2
< br>n3，4，


(Ⅰ)求数列

a
n

的通项公式（用

，

表示）；
1
(Ⅱ)若p1
，
q
，求

a
n

的前n
项和．
4








3． （15分）求函数
yx2713xx
的最大和最小值．












加试

一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）

、

AC
的9． 如图，
M
，
N
分别为锐角三角形
ABC
（
AB
）的外接圆

上 弧
BC
中点．过点
C
作
PC∥MN
交圆

于
P
点，
I
为
ABC
的内心，连接
PI
并延长交圆

于
T
．
⑴求证：
MPMTNPNT
；
AB
（不含点
C）上任取一点
Q
（
Q≠A
，
T
，
B
） ，记
AQC
，
△QCB
的内⑵在弧

心分别为
I
1
，
I
2
，
P
N
I
T
A
Q
C
M
B
求证：
Q
，
I
1，
I
2
，
T
四点共圆．




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10． 求证不等式：
1
< br>n
k

1


2
lnn≤
，
n1
，2，…

2

k1
k1
















l
11． 设
k
，
l
是给定的两个正 整数．证明：有无穷多个正整数
m≥k
，使得
C
k

m
与互素．






























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