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全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每小题 均给出了代号为
A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代
号填入题后的括号内，不填、多填或错填得零分。）
1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千 米经过一个限速标志牌；并且从
10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第 一次同时
经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ）
（A）36 （B）37 （C）55 （D）90
2、已知m=1+
2
，n=1—
2
，且（7m
2
—14m+a）（3n
2
—6n—7）=8，则a的
值等于（ ）


（A）—5 （B）5 （C）—9 （D）9
3 、RtΔABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x
2
上，并且斜边AB平行于x
轴。若斜边上的高为h，则（ ）
（A）h＜1 （B）h=1 （C） 1＜h＜2 （D）h＞2
4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两 部分；拿出
其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分
中拿 出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下
去，最后得到了34个六十二边 形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是
（ ）
（A）2004 （B） 2005 （C）2006 （D）2007
D
C
5、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，
Q
A
P
O
B

连结DP，DP交AC于点Q，若QP=QO，则
QC
的值为（ ）
QA
（A）2
3
—1 （B）2
3
（C）
3
+
2
（D）
3
+2
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6、已 知a、b、c为整数，且a+b=2006，c—a=2005。若a＜b，则a+b+c的最大
值为
7、如图，面积为a
b
—c的正方形DEFG内接于面积
为1的正三角形ABC，其中a、b、c是整数，且b不
D
A
G
ac
能被任何质数的平方整除，则的值等于
b
B
E
F
C
8、正五边形广场ABCDE的周长为2000 米。甲、乙两人分别从A、C两点同时
出发，沿
ABCDEA
方向绕 广场行走，甲的速度为50米分，乙的速
度为46米分。那么出发后经过 分钟，甲、乙两人第一次开始行走在
同一条边上。
nn
9、[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2 ] =3, 已知正整数n小于2006,且[
]+[]=
36
n
[]
,则这样的n有 个.


2
10、小明家 电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加
上数字8，成为一个七位数的电话号 码；第二次升位是首位号码前加上数字2，
成为一个八位数的电话号码，小明发现，他家两次升位后的电 话号码的八位数，
恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 。
三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）
11、已知
x
b
，
a,b
为互质的正整数，且
a
≤8，
2
—1 ＜
x
＜
a
3
—1
（1） 试写出一个满足条件的
x
；

（2） 求所有满足条件的
x
。
12、设a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式
b
2
+c
2
=2a
2
+16a+14， （1）
bc= a
2
－4a—5 （2）
求a的取值范围。
13、如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B。
过点A作PB 的平行线，交⊙O于点C。连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并
延长AE交PB于K。求证：PE· AC=CE·KB


K
P

E



C
A
O
B

14、2006个都不等于119的 正整数a
1
，a
2
，a
3
，… a
2006
排列成一行数，其中
任意连续若干项之和各都不等于119，求a
1
+ a
2
+ a
3
+… + a
2006
的最小值。

全国初中数学竞赛试题答案
题号
答案
1
C
2
C
3
B
4
B
5
D
6
5013
—
7
20

3
8
104
9
334
10
282500
1、解：因为4和9的最小公倍数为36，19+36=55，所以第二次同时 经过这两种
设施的千米数是55。
2、解：由已知可得m
2
—2m=1，n
2
—2n=1。又
（7m
2
—14m+a）（3n
2
—6n—7）=8，
所以（7+a）（3—7）=8，
解得a= —9。
3、解：设点A的坐标为（a ，a
2
），点C的坐标为（c，c
2
）（|c|＜|a| ），则点B
的坐标为（—a，a
2
），由勾股定理，得
AC
2=（c—a）
2
+（c
2
—a
2
）
2

BC
2
=（c+a）
2
+（c
2
—a
2< br>）
2
AC
2
+BC
2
=AB
2
，
所以 （a
2
—c
2
）
2
= a
2
—c
2
。
由于a
2
＞c
2
，所以a
2
—c
2
=1。故斜边AB上高h= a
2
—c
2
=1。
4、解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线 剪成两部分时，每剪开一次，使得
各部分的内角和增加360
0
，于是，剪过k次后， 可得（k+1）个多边形，这
些多边形的内角形和为（k+1）×360
0
。
因为这（k+1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为
34×（62—2）×180
0
=34×60×180
0
，
其余多边形有（k+1）—34=k—33（个），而这些多边形的内角和不少于（k—33）

×180
0
。所以（k+1）×360
0
≥34×60×1800
+（k—33）×180
0
，解得k≥2005。
当我们按如下的 方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论，先从正方形上剪
下1个三角形，得到1个三角形和1个 五边形；再在五边形上剪下1个三角形，
得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得 到58个三角形和
1个六十二边形。再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，
便得到33个六 十二边形和33×58个三角形，于是共剪了58+33+33×58=2005
（刀）。
5 、解：设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，则QC=r+m，QA=r—m，在⊙O
中，根据相 交弦定理，得QA·QC=QP·QD。
即（r+m）（r—m）=m·QD，
r
2
m
2
所以 QD=。连结DO，由勾股定理，得QD
2
=DO
2
+QO
2
，，
m
r
2
m
2
222
即（）=r+m
m
解得m=
3
r。
3
所以，
QC
rm
31
===
3
+2
QA
rm
31
6、解：由a+b=2006，c—a=2005，得
a+b+c=a+4011。
因为a+b=2006，a＜b，a为整数，所以，a的最大值为1002。
于是，a+b+c的最大值为5013。

7、解：设正方形DEF G的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m
2
=
3
mx
x< br>由ΔADG∽ΔABC，可得 =
2
,
m
3
m
2
4
3

解得x=（2
3
—3）m。于是
x
2
=（2
3< br>—3）
2
m
2
=28
3
—48，
由题意，a=28，b=3，c=48，所以
ac20
= —
b3
8、解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲
走了400x米，乙走 了46×
400x
=368x米。于是
50
368（x—1）+800—400（x—1）＞400，
且（368x+800）—400x≤400，
所以，12.5≤x＜13.5
40013
=104.
50
nn
9、解：
设[]=m， 则=m+α，0
≤
α
＜1，
66
1nn
当
0
≤
α
＜时，
=2m+2α，
[
] =2m。
233
nnn
根据[
]+[]= []得
362
故x=13,此时t=
2m+m=3m+3α，α=0，
此时，n=6m
＜2006，1≤m≤334。
1nn
当≤
α
＜1时，
=2m+2α，
[
]=2m+1，
233
nnn
由
[
]+[]= []得，
362
2m+1+m=3m+3α
α=
11
与
≤
α
＜1不合，舍去。
32

故这样的n有334个。
10、 解：设原来电话号码的六位数 为
abcdef
，则经过两次升位后电话号码的
八位数为
2a8bcdef< br>。根据题意，有81×
abcdef
==
2a8bcdef
。
记x=b×10
4
+c×10
3
+d×10
2
+e×10 +f，于是
81×a×10
5
+81x=208×10
5
+a×1 0
6
+x，
解得x=1250×（208－71a）。
因为0≤x≤10
5
，所以0≤1250×（208—71a）＜10
5
故
128208
＜a≤。
7171
因为a为整数，所以a=2，于是
x=1250×（208—71×2）=82500。
所以，小明家原来的电话号码为82500。
11、解：（1）写出
1233455
、、、、、、中的任一个即可。
2357778
b
（2）因为x= ，a、b为互质的正整数，且a≤8，所以
a
b
2
—1＜＜
3
—1
a
即（
2
—1）a＜b＜（
3
—1）a
当a=1 时，（
2
—1）×1＜b＜（
3
—1）×1，这样的正整数b不存在。 1
当a=2时，（
2
—1）×2＜b＜（
3
—1）×2，故b= 1，此时x=。
2
2
当a=3时，（
2
—1）×3＜b＜（
3
—1）×3，故b=2，此时x= 。
3
当a=4时，（
2
—1）×4＜b＜（
3
—1）×4，与a互质的正整数b不存在。
当a=5时，（
2
—1）×5＜b＜（
3
—1）×5，故b=3，此时x=
3
。
5
当a=6时，（
2
—1）×6＜b＜（
3
—1）×6，与a互质的正整数b为不存在。
34
当a=7时，（
2< br>—1）×7＜b＜（
3
—1）×7，故b=3，4，5，此时x=，，
77

5
。
7
5
当a=8时，（
2
— 1）×8＜b＜（
3
—1）×8，故b=5，此时x= 。
8
1233455
所以，满足条件的所有分数为、、、、、、。
2357778
12、解：解法1：由（1）—2×（2）得
（b—c）
2
=24（a+1）＞0，
所以a＞—1。
当a＞— 1时，b
2
+c
2
=2a
2
+16a+14=2（a+1） （a+7）＞0，
又当a=b时，由（1）、（2）得
c
2
=a
2
+16a+14 （3）
ac= a
2
—4a—5 （4）
将（4）两边平方，结合（3）得
a
2
（a
2
+16a+ 14）=（a
2
—4a—5）
2

化简得 24a
3
+8a
2
—40a—25=0
故 （6a+5）（4a
2
—2a—5）=0
解得a= —
121
5
或a≠。
4
6
121
5
，a≠。
4
6
所以，a的取值范围是a＞—1且 a= —
解法2：因为b
2
+c
2
=2a
2
+16a+14，bc= a
2
－4a—5 ，所以
（b+c）
2
=2a
2
+16a+14+2（a
2
－4a—5）=4a
2
+8a+4=4（a+1 ）
2

所以 b+c= ±2（a+1）。
又bc= a
2
－4a—5，所以b、c为一元二次方程
x
2
±2（a+1）x+ a
2
－4a—5 =0 （5）

的两个不相等实数根，故
Δ=4（a+1）
2
—4(a
2
－4a—5)＞0
所以a＞—1.
当a＞—1时,
b
2
+c
2
= 2a
2
+16a+14=2（a+1）（a+7）＞0
另外,当a=b时,由(5)式有a
2
±2（a+1）a+ a
2
－4a—5 =0
即4a
2
—2a—5=0或—6a—5=0,
解得a=
121
5
或a= —
4
6
121
5
，a≠。
4
6
所以,a的取值范围为a＞—1且 a= —
13. 解：证明:因为AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又PA是⊙O的切线,
所以∠KAP=∠ACE.故∠KPE=∠KAP,于是ΔKPE∽ΔKAP,
所以
KPKE
=,
KAKP
即KP
2
=KE·KA
由切割线定理得
KB
2
=KE·KA
所以,KP=KB.
因为AC∥PB,所以, ΔKPE∽ΔACE,于是
PE
KP
=,
CE
AC
PE
KB
故=
CE
AC
即PE·AC=CE·KB
14、解:首先证明命题:对于任意1 19个正整数b
1,
b
2
,…,b
119
,其中一定存在若 干个(至

少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
事实上,考虑如下119个正整数b
1
, b
1
+b
2
…,

b
1
+b
2
+…+b
119
, (1)
若(1)中有一个是119的倍数,则结论成立.
若(1)中没有一个是119的倍数,则它 们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这
118种情况.所以,其中一定有两个除以119 的余数相同,不妨设b
1
+b
2
+…+b
i
和
b< br>1
+b
2
+…+b
j
(1≤i≤j≤119),于是
119| b
i+1
+b
2
+…+b
j
从而此命题得证.
对于a
1
，a
2
，a
3
，… a
200 6
中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干数
的和是119的倍数,又由题设知 ,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为
2006=16×119+102,所以a
1
+a
2
+a
3
+…+a
2006
≥16 ×238+102=3910. (2)
取a
119
=a
238
=…=a
1904
= 120,其余的数都为1时,(2)式等号成立.
所以, a
1
+ a
2
+ a
3
+… + a
2006
的最小值为3910