李炳亭-月光光心慌慌10

1999年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C ）、（D）四个结论，其中有且仅有一个
是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题 选对得6分；不选、选错
或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 给定公比为q(q1)的等比数列{a
n
}，设b
1
=a< br>1
+a
2
+a
3
, b
2
=a
4
+a
5
+a
6
,…,
b
n
=a
3n2
+a
3n1
+a
3n
,…，则数列{b
n
}

【答】（ ）
(A) 是等差数列 (B) 是公比为q的等比数列
(C) 是公比为q
3
的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列
2． 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式
(|x|1)
2
+(|y|1)
2
＜2的整点(x,y)的个数是 【答】（ ）
(A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25
yy
3． 若(log
2
3 )
x
(log
5
3)
x
≥(log
2
3 )(log
5
3)，则 【答】（ ）
(A) xy≥0 (B) x+y≥0 (C) xy≤0 (D) x+y≤0
4． 给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面

上的直线a与平面

上的直线b为异面直线，直线c是

与

的交线，
那么，c至多与a,b中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】（ ）
(A) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确
(C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确
5． 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2
场之后就退出了，这 样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的
场数是 【答】（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
6． 已知点A(1,2)，过点(5,2)的直线与抛 物线y
2
=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是
(A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】（ ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的
n的个数是___________.
cos2

isin2

5
，那么，复数
z
的辐角主值是_________.
12
239i
ctgC
9. 在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB =c，若9a
2
+9b
2
19c
2
=0，则=_____ _____.
ctgActgB
8. 已知

=arctg
x< br>2
y
2
1
上，10. 已知点P在双曲线并且P到这条双曲线的右 准线的距离恰是P到这条
169
双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是__ ___.
11. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0, 1,2,3}中的3个不同的元素，并
且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_____ _.
1

12. 已知三棱锥SABC的底面是正三角形，A 点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
二面角HABC的平面角等于30,
SA
=2
3
。那么三棱锥SABC的体积为__________.

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)
13. 已知当x[0,1]时 ，不等式
x
2
cos

x(1x)(1x)
2sin

0
恒成立，试求的取值范
围。










































2

x
2
y
2
5
 1
上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小14. 给定A(2,2)，已知B是椭圆
2516
3
值时，求B的坐标。




















22
15. 给定正整数n和正数M，对于满足条件
a
1
试求
a
n1
≤M的所有等差数列a
1
,a
2
,a
3
,….，
S=a
n+1
+a
n+2
+…+a
2n +1
的最大值。

















3

第二试

一、(满分50分) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在C D上取一点E，
BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC.


A



D


E


F
B

G


C































4

二、(满分50分) 给定实数a, b, c，已知复数z
1
, z
2
, z
3
满足：

|z
1
||z
2
||z
3
|1


z1

z
2

z
3
1
，求|az1
+bz
2
+cz
3
|的值。


z
2
z
3
z
1












































5

三、(满分50分) 给定 正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质
量为1,2,3,…,n克的所有物 品。
（1）求k的最小值f(n)；
（2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的 组成方式是唯一确定的？并证明你的结
论。






























6

1999年全国高中数学联合竞赛答案
一、选择题
题号
答案
提示：
1.(C). 由题设，
a
n
a
1
q
n1
，
1
C
2
A
3
B
4
D
5
B
6
C
因此，

b
n

是公比为
q
的等比数列.
3

2.(A) 由

|x|1



|y|1

2
,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0 ，1)，(0，-1)，
(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个.
22
3.(B) 记f(t)=

log
2
3



log
5
3

，则f(t)在R上是严格增 函数.原不等式即
tt
f(x)≥f(-y). 故x≥-y，即x+y≥0.
4.(D). 易知命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，
且 使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确.
5.(B) 设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛.由题意，可得
2
即
C
n 3
6r50
，

n3

n4
=44+r.由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13
2
为正整数.
6.(C) 设B(t
2
,2t),C(s
2
,2s),s≠ t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为，化得2x-(s+t)y+2st=0.
由于直线BC过点(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)= - 4.
因此，
k
AB
k
AC

二、填空题
题号
答案

提示：7. 6. 首项为a为的连续k个正整数之和为
S
k






4
1
,所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形.

t1

s1

8 9 10



11
43

12 7
6

64

5

2ak1

k
2

k

k1


2




由Sk≤2000，可得60≤k≤62.
当k=60时，Sk=60a+30³ 59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950；
当k=61时，S k=61a+30³61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952；
当k=62时，Sk=62a+31³61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953.
7

于是，题中的n有6个.
8.

2
z的辐角主值 argz=arg［(12+5i)(239-i)］
4
=arg［(119+120i) (239-i)］ =arg［28561+28561i］=
9.
.


4



10.记半 实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的
距离为d，则a=4, b=3, c=5, ,右准线l为.
如果P在双曲线右支，则 |PF
1
|=|PF
2
|+2a=ed+2a.
从而，|PF
1|+|PF
2
|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d，
这不可能；故P在双曲线的左支，则 |PF
2
|－|PF
1
|=2a , |PF
1
|+|PF
2
|=2d.
两式相加得2|PF
2
|=2a+2d. 又|PF
2
|=ed,从而ed=a+d.
a
a
2
64
16
. 因此，P的横坐标为
xd
. 故
d
e1
c5
11. 43 设倾斜角为θ，则tgθ=->0.不妨设a>0，则b<0.
(1)c=0,a有三种取法，b 有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同
一直线)，故这样的直 线有3³3-2=7条；
(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中 任两条直线均不相
同，故这样的直线有3³3³4=36条.
从而，符合要求的直线有7+36=43条.
12. 由题设，AH⊥面SBC.作BH⊥SC 于E.由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB.故SC
⊥面ABE.设S在面ABC内射影为O，则 SO⊥面ABC.由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB
于F.同理，BO⊥AC.故O为△ABC的 垂心.
又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=.
因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB.所以，∠EFC是 二
面角H-AB-C的平面角.故∠EFC=30°，
OC=SCcos60°=
3
，SO= OC tg60°=3.
又OC=
3
93
AB，故AB=
3
OC=3. 所以，VS- ABC=.
4
3
22
三、解答题
13. 若对一切x［0，1］，恒有f(x)=
xcos

x(1x)(1x)sin

0
，
8

则 cosθ=f(1)>0, sinθ=f(0)>0. (1)
取x (0，1)，由于
f

x

2x

1x

sin

cos

x

1x

，
所以，
f

x

0
恒成立，当且仅当
2sin

cos

10
(2 )

.
2
1

5

又由（2）得 sin2θ> 注意到0<2θ<π，故有
<2θ<
,
266

5

所以，
<θ<
.
121 2

5

因此，原题中θ的取值范围是2kπ+
<θ<2kπ+ ,kZ.
1212
先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ>0,s inθ>0，可得0<θ<
或解：若对一切x∈［0，1］，恒有
f(x)=xcosθ-x(1-x)+(1-x)sinθ>0，
则cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1)
取 x
0
=
由于
所以，00
)=2
故 -+>0 (2)
∈(0，1)，则
+2
x
0
(1-x
0
) ．
x(1-x)，
．
22
反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1)= cosθ>0，且x∈(0，
1)时，f(x)≥2x(1-x)>0．
先在［0,2π］中解(1)与(2)：
由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ<
又-

+>0,
,
,
>
.
,
sin2θ>, sin2θ>
注意到 0<2θ<π，故有 <2θ<
9

所以，<θ< .
<θ<2kπ+ ,k∈Z 因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+

14. 记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e. 则a=5,b=4,c=3,e=
左准线为x=

3
，
5
2 525
, 过点B作左准线x=

的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，
33
5
垂足为M.由椭圆定义，|BN|=|BF| .
3
5
于是，|AB|+
|BF|=|AB|+|BN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭 圆的交点
3
时，此时B(


15. 设公差为d,
a
n1
=α,则
S=
a
n1
a
n2
a
2n1
=(n+1)α+
5
5353
，2) , 所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(

，2).
3
22
n

n1

d.
2
故
则
.

因此 |S|≤
且当 α=
S=(n+1)〔
(n+1)
,d=
+²
，
²
²

时，
〕
10

=(n+1) =(n+1)
． 由于此时4α=3nd,故
所以，S的最大值为

(n+1)．



1999年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一、解析：连结BD交AC于H．对△BCD用塞瓦定理，可得
因为AH是∠BAD的平分线，由角平分线定理，可得
故
AE的延长线于J．
则
从而，CI=CJ.
又因为 CI∥AB，CJ∥AD，
故 ∠ACI=π-∠ABC=π-∠DAC=∠ACJ．
因此，△ACI≌△ACJ．
从而，∠IAC=∠JAC，即 ∠GAC=∠EAC

二、解析： 记 e
可设 ，
iθ
iθ

．
．
过点C作AB的平行线AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交
. 所以，
=cosθ+isinθ．
，则
+e
iφ
z
1
e
i(



)
．
z
3
-i(θ+φ)
由题设，有e+e=1.φ
两边取虚部，有
0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)
11

因而，z
1
=z
2
或z< br>2
=z
3
或z
3
=z
1
．
如果z
1
=z
2
，代入原式即
故 ．

故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．
．
这时，|az
1< br>+bz
2
+cz
3
|=|z
1
||a+b±ci|
=．
; 类似地，如果z
2
=z
3
,则| az
1
+bz
2
+cz
3
|=
如果z
3< br>=z
1
,则|az
1
+bz
2
+cz
3|=
所以，|az
1
+bz
2
+cz
3
|的值为
．
．
或 或
三、解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a
1
,a
2
,…,a
k
，且1≤a
1
≤
a
2
≤…≤a
k
，a
i
∈Z，1≤i≤k．因为天平两端都可以放砝码， 故可称质
量为 x
i
a
i
,x
i
∈｛-1，0，1 ｝．若利用这k块砝码可以称出质量为1，
2，3，…,n的物品，则上述表示式中含有1，2，…，n ，由对称性易
知也含有0，-1，-2，…，-n，即
｛x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝｛0,±1，…，±n｝．
所以，2n+1=|｛0，±1，…，±n｝| ≤|｛x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝
12

|≤3，
即 n≤
设

m-1
k
且k=m时，可取a
1
=1,a
2
=3,…,a
m
=3 ．
y
i
3
i-1
由数的三进制表示可知，对任意0≤p≤3-1,都有 p=
∈｛0，1，2｝．
则 p-=y
i
3
i-1
m，其中y
i
-3
i-1
=(y
i
-1)3
i- 1
．
令x
i
=y
i
-1，则x
i
∈｛-1，0，1｝．
故对一切-
｛-1，0，1｝．
由于n≤，因此，对一切-n≤
l
≤n的整数
l
，也有上述表示．
≤
l
≤ 的整数
l
，都有
l
=x
i
3
i-1
,其中x
i
∈
综上，可知k的最小值
f(n)=m²( (2)Ⅰ.当
式
若1≤
l
≤
则
l
=
若
则
x
i
3
i-1
m-1m
m-1
，3就是
m
一种砝码的组成方式．下面我们证明1，3，…， 3,3-1也是一种方
，由(1)可知
l
=
+0²(3-1)；
，
．
m
x
i
3
i-1
，x
i
∈｛-1，0，1｝．
<
l
≤n<3
<
l
+1≤
由(1)可知

l
+1=，其中x
i
∈｛-1，0，1｝．
13

易知x
m+1
=1．(否则
l
≤
所以，当n≠
3
i-1
-1=-1,矛盾)则
l
=²(31)．
m-
时，f(n)块砝码的组成方式不惟一．
Ⅱ.下面我们证明：当n=
一的，即a
i
=3
i-1
时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟
(1≤i≤m)．
≤
l
≤,都有
l
=x
i
ai
，x
i
∈｛-1，0，1｝．
｛0,±1，…，±｝．
若对每个-
即 ｛x
i
a
i
|x
i
∈｛-1，0，1｝｝
注意左边集合中至多有3m个元素．故必有
｛x
i
a
i
| x
i
∈｛-1，0，1｝｝=｛0,±1，…，±
≤
l
≤ ,都可以惟一地表示为
｝．
从而，对每个
l
，-

l
=
因而，

a
i
=．则
x
i
a
i
，其中x
i
∈｛-1,0,1｝． (x
i
+1)a
i
=x
i
a
i
+a< br>i
=
m
x
i
a
i
+．
令y
i
=x
i
+1,则y
i
∈｛0，1，2｝．
由上可知，对每个0≤
l
≤3-1，都可以惟一地表示为

l
=y
i
a
i
，其中y
i
∈｛0，1，2｝．
特别地，易知1≤a
1
2
<…m
．
下面用归纳法证明a
i
=3
当i=1时，易知
i-1
(1≤i≤m)．
y
i
a
i< br>中最小的正整数是a
1
,故a
1
=1．
i-1
假设当1≤i≤p时，a
i
=3
由于y
i
a
i
=y
i
3
i-1
．
, y
i
∈｛0，1，2｝就是数的三进制表示，易知
p
它们正好是 0，1，2，…,3-1，故a
p+1
应是除上述表示外｛
14
y
i
a
i
|y
i

∈｛0,1,2｝｝中最小的数，因此，a
p+1
=3．
由归纳法可知 ，a
i
=3
i-1
p
(1≤
i
≤m)．
综合Ⅰ，Ⅱ可知，当且仅当n=
惟一确定的．


时，上述f(n)块砝码的组成方式是
15