时，
d
去到最小值，且最小值为
2
。

2
x3t,


2
18.在直角坐标系xoy中，直线
l
的参数方程为

（t为参数）。在极坐标系（与直角坐

y5< br>2
t

2
标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴 正半轴为极轴）中，圆C的方程为

25sin

。
（Ⅰ）求圆 C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线
l
交于点A、B，若点P的坐标为
(3,5)
，
求|PA|+|PB|。
22
22
【解析】（Ⅰ）由

25sin

得
xy25y0,
即
x(y5 )5.

（Ⅱ）将
l
的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
(3 
2
2
2
2
t)(t)5
，
22
2 2
即
t32t40,
由于
(32)4420
，故 可设
t
1
,t
2
是上述方程的两实根，

tt32
,又直线l过点P(3,5),
故由上式及t的几何意义得： 所以

12


t
1
t
2
4
|PA |+|PB|=
|t
1
|+|t
2
|
=
t
1
+t
2
=
32
。
19.已知直线C
1

（Ⅰ）当

=

x1tcos


xcos

（t为参数），C
2

（

为参数） ，

ytsin


ysin


时，求C
1
与C
2
的交点坐标；
3
（Ⅱ）过坐标原点O做 C
1
的垂线，垂足为A，P为OA中点，当

变化时，求P点的轨迹的参数方 程，
并指出它是什么曲线。
(23)解：


（Ⅰ）当

3
时，
C
1
的普通方程为
y3(x1)
，
C
2
的普通方程为
x
2
y
2
1
。联立方程组


13


y3(x1)

，解得
C
1
与
C
2
的交点为（1,0）

，
。


2

2
22
< br>

xy1
（Ⅱ）
C
1
的普通方程为
xsin

ycos

sin

0
。 A点坐标为
sin

2

,cos

sin


，故当

变化时，P点轨迹的参数方程为：

< br>1
2

1

1

2
xsin
xy



2
416
。


为参数

,P点轨迹的普通方程为


< br>y
1
sin

cos


2
0

，半径为故P点轨迹是圆心为

，

1
4


2
1
的圆。
4
22.已知曲线
C
1
的参数方程是


x2cos

(

为参数)
，以坐标原点为极点，
x
轴的正半轴
y3sin< br>

为极轴建立坐标系，曲线
C
2
的坐标系方程是

2
，正方形
ABCD
的顶点都在
C
2
上， 且
A,B,C,D
依逆时针次序排列，点
A
的极坐标为
(2,< br>（1）求点
A,B,C,D
的直角坐标；
（2）设
P
为C
1
上任意一点，求
PAPBPCPD
的取值范围。
【 解析】（1）点
A,B,C,D
的极坐标为
(2,
2222

3
)


3
),(2,
5

4

11

),(2,),(2,)

636
点
A,B,C,D
的直角坐标为
(1,3),(3,1),(1,3),(3, 1)


x
0
2cos

（2） 设
P(x
0
,y
0
)
；则

(

为参数)

y3sin


0

tPAPBPCPD4x
2
4y
2
40

5620sin

[56,76]

21.在直角坐标系xOy
中，以
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆< br>C
1
，直线
C
2
的极坐标
方程分别为
4sin

,

cos(


22222

4
)22.

()
求
C
1< br>与
C
2
的交点的极坐标；
()
设
P
为< br>C
1
的圆心，
Q
为
C
1
与
C
2
的交点连线的中点，已知直线

xt
3
a,
PQ
的参数方程为

b
3
(tR为参数).
求
a,b
的值。

yt1
2
【解析】
()
由

x
2
y
2
,

cos

x,

sin

y
得，
22
圆< br>C
1
的直角坐标方程为
x(y2)4
，直线
C
2
的直角坐标方程分别为
xy40


x2
(y2)
2
4,

x
1
0,
由

解得


y
1
4,

x y40.

x
2
2,



y< br>2
2,
所以圆
C
1
，直线
C
2
的 交点直角坐标为
(0,4),(2,2)

再由

x
2< br>y
2
,

cos

x,

si n

y
，将交点的直角坐标化为极坐标
(4,),(22,)
所以
C
1
24

与
C
2
的交点的极坐标(4,

),(22,)

24

()
由
()
知，点
P
，
Q
的直角坐标为
(0,2),( 1,3)

故直线
PQ
的直角坐标方程为
xy20
①
由于直线
PQ
的参数方程为

xt
3
a ,

bab
消去参数
(tR为参数).
yx1
②

b
3
22

yt1
2
b
1,


2
对照①②可得

解得
a1,b2.



ab
12.

2

x45cost,
22. 已知曲线C
1
的参数方程为

（
t
为参数），以坐标原点 为极点，
x
轴的正半轴为极
y55sint,

轴建立极坐标系 ，曲线C
2
的极坐标方程为

2sin

.
（Ⅰ）把C
1
的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C
1
与C
2
交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。 < br>【解析】将

2

x45cost
22
消去参数
t
，化为普通方程
(x4)(y5)25
,

y 55sint
2
即
C
1
：
xy8x10y16 0
.

x

cos

22
将

代入
xy8x10y160
得

y
< br>sin


2
8

cos

1 0

sin

160
.
（Ⅱ）
C
2
的普通方程为
xy2y0
.
2 2

22


x1

x0
xy8x10y160
由

，解得

或
< br>.
22


y1

y2

x y2y0
所以
C
1
与
C
2
交点的极坐标分别 为
(2,
23.已知动点P，Q都在曲线C：


)
，(2,)

4
2


x2cost


t为参数

上，对应参数分别为
t=α


y2sint
与
t
=2α（0＜α＜2π）,M为PQ的中点.
（1）求M的轨迹的参数方程.
（2）将M到坐标原点的距离d表示为

的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
【解析】（1）依题意有
P

2cos

,2sin


,Q

2cos2

,2sin2


,
因此
M

cos

cos2

,sin

sin2


.

x cos

cos2

M的轨迹的参数方程为



为参数，0

2



ysin

sin2


（2）M点到坐标原点的距离
dx
2
y
2
22cos

,
< br>0

2


.当



时，
d0
，故M的轨迹过坐标原点.
uuuvuuuuv

x 2cos

24.已知曲线
C
1
：

（

为参数），
M
是
C
1
上的动点，
P
点满 足
OP2OM
,
P
点的
y22sin

< br>轨迹为曲线
C
2

(Ⅰ)求
C
2
的方程
(Ⅱ)在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

与
C
2
的异于极点的交点为
B
，求
AB
.
【解析】（I）设
P(x,y)
,则由条件知
M(,)< br>.由于
M
点在
C
1
上，所以

3
与
C
1
的异于极点的交点为
A
，
xy
22

x
2cos

,


x4cos

,

2
即



y
y4 4sin

.


22sin

.

2

从而
C
2
的参数方程为


x4cos

（

为参数）

y44si n

（Ⅱ）曲线
C
1
的极坐标方程为

4sin

，曲线
C
2
的极坐标方程为

8sin

.
射线


射线



3
与
C
1
的交点
A
的极径为

1
 4sin
与
C
2
的交点
B
的极径为

2< br>8sin

3
，
.

3

3
所以
|AB||

2


1
|23< br>.
25.在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的 参数方程为


xcos

，
(

为参 数）
曲线
C
2
的参数方程为

ysin


xacos

(ab0,

为参数）。在以
O< br>为极点，射线
l
：



x
轴的正半轴为极 轴的极坐标系中，

ybsin


与
C
1，
C
2
各有一个交点。当

0
时，这两个交点间的距 离为2，当


（1）分别说明
C
1
，
C
2
是什么曲线，并求出
a
与
b
的值；
(2)设当



时，这两个交点重合。
2


时，
l
与
C
1
，
C
2
的交点分别 为
A
1
,B
1
，当


时，
l
与
C
1
，
C
2
的交点为
A
2,B
2
，
4
4
求四边形
A
1
A
2
B
2
B
1
的面积。
解：（1）
C
1
是圆，
C
2
是椭圆。当

0
，射线
l< br>与
C
1
，
C
2
的交点的直角坐标分别是
( 1,0),(a,0)
，这两个交点间的距离为2，
a3
，当


分别是
(0,1),(0,b)
，
b1


时，射线
l
与
C
1
，
C
2
的交点的直角坐 标
2

x
2
y
2
1
，（2）
C
1
，
C
2
的普通方程分别是
xy1,
当

时，射线
l
与
C
1
，
C
2
的交点
A
1
,B
1
4
9
22
的 横坐标分别是
x
2310

，x


，当


时，射线
l
与
C
1
，
C
2
的两个
210
4
交点
A
2
,B
2分别与
A
1
,B
1
关于
x
轴对称，所以四边形
A
1
A
2
B
2
B
1
是梯形， < br>故
S
A
1
A
2
B
2
B
1< br>
(2x

2x)(x

x)2

< br>25

26.已知直线
l:


x1tc os

，
(t
为参数，

为
l
的倾斜角， 且
0



)
与曲线

ytsin


x2cos

(

为参数
)
相交于A、B两点，点
F
的坐标为
(1,0)

C:

ysin


（1）求
ABF
的周长；
（2）若点
E(1,0)
恰 为线段
AB
的三等分点，求
ABF
的面积。
x
2
y
2
1
，直线
l
过曲线C的左焦点
F
(1,0)
， 解：（1）将曲线C消去

可得：
2
由椭圆的定义可知
ABF
为
|AB||AF||BF||AF
||BF

||AF||BF|


(|AF

||AF|)(|BF

||BF|)2a2a4a42

（2）可设直线
l
的方程为
xky1
，若点
E(1,0)
为线段
AB
的三等分点，不妨设

AE 2EB
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
2y
2


x
2
2y
2
20
22
联立

，消去
x
得：
(k2)y2ky10

xky1
2k

yyy
22

2

1
k
2
2
2
则

，消去
y
2
得：
k

7

yy2y
2

1
122

k
22

8(k
2
1)
221k
2
314
此时
|y
1
y
2
|


22
k2k28
所以
S
ABF
< br>1314
|EF||y
1
y
2
|

28