【分析】

（
1
）根据利用一元二次方程解决增长率 问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

（
2
）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可
.

【详解】

（
1
）设平均每次下调
x%
，则

7000
（
1
﹣
x
）
2
=5670
，解得：
x< br>1
=10%
，
x
2
=190%
（不合题意，舍去）；

答：平均每次下调的百分率为
10%
．

22
（
2
）（
1
﹣
5%
）
×
（
1
﹣
15%
）
=95%×85%=80.75%
，（
1
﹣< br>x
）
=
（
1
﹣
10%
）
=81%< br>．

∵80.75%
＜
81%
，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．


6
．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：

【答案】
【解析】

由韦达定理，有，．于是，对正整数，有



原式
=



7
．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有
36
人患了流感．

（
1
）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（
2
）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【答案】（
1
）
5
；（
2
）
180

【解析】

【分析】

（
1
）设平均一人传染了< br>x
人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有
36
人患了流
感，列 方程求解即可；

（
2
）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传 染后的人数，列出算式求解即
可．

【详解】

（
1
）设每轮传染中平均一个人传染了
x
个人，根据题意得：

x+1+
（
x+1
）
x
＝
36
，

解得：
x
＝
5
或
x
＝﹣
7
（舍去）．< br>
答：每轮传染中平均一个人传染了
5
个人；

（
2
）根据题意得：
5×36
＝
180
（个），

答：第三轮将又有
180
人被传染．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程
.


8
．观察下列一组方程：
①x
2
x0
；②x
2
3x20
；
③x
2
5x60
；
④x
2
7x120
；

它们的根有一定的规律， 都是两个连续的自然数，我们称这类一
元二次方程为
“
连根一元二次方程
”< br>．


1

若
x
2
kx56 0
也是
“
连根一元二次方程
”
，写出
k
的值，并解 这个一元二次方程；


2

请写出第
n
个方程和它的根．

【 答案】（
1
）
x
1
＝
7
，
x
2< br>＝
8.
（
2
）
x
1
＝
n
－
1
，
x
2
＝
n.

【解析】

【分析】

（
1
）根据十字相乘的方法和
“
连根一 元二次方程
”
的定义
,
找到
56
是
7
与< br>8
的乘积
,
确定
k
值
即可解题
,
（
2
）找到规律
,
十字相乘的方法即可求解
.

【详解】

2
(x
－
8)
＝
0
， 解得
x
1
＝解：
(1)
由题意可得
k
＝－
15
，则原方程为
x
－
15x
＋
56
＝
0
，则
(x
－
7)·
7
，
x
2
＝< br>8.

(2)
第
n
个方程为
x
2
－
(2n
－
1)x
＋
n(n
－
1)
＝
0
，
(x
－
n)(x
－
n
＋
1)
＝
0
，解得
x
1
＝
n
－
1
，< br>x
2
＝
n.

【点睛】

本题考查了用因式 分解法求解一元二次方程
,
与十字相乘联系密切
,
连根一元二次方程是特殊< br>的十字相乘
,
中等难度
,
会用十字相乘解题是解题关键
.

9
．（问题）如图
①
，在
a×b×c
（长
×
宽
×
高，其中
a
，
b
，
c为正整数）个小立方块组成的长
方体中，长方体的个数是多少？

（探究）


探究一：

（
1
）如图②
，在
2×1×1
个小立方块组成的长方体中，棱
AB
上共有< br>1+2=
23
=3
条线段，
2

棱
A C
，
AD
上分别只有
1
条线段，则图中长方体的个数为
3× 1×1=3
．

（
2
）如图
③
，在
3×1 ×1
个小立方块组成的长方体中，棱
AB
上共有
1+2+3=
段，棱
AC
，
AD
上分别只有
1
条线段，则图中长方体的个数为< br>6×1×1=6
．

（
3
）依此类推，如图
④
，在
a×1×1
个小立方块组成的长方体中，棱
AB
上共有
1+2 +…+a=
______
．

探究二：

（
4）如图
⑤
，在
a×2×1
个小立方块组成的长方体中，棱
AB< br>上有
上有
1+2=
34
=6
条线
2
a
a1

2
线段，棱
AC
，
AD
上 分别只有
1
条线段，则图中长方体的个数为
a

a1
< br>2
条线段，棱
AC
23
=3
条线段，棱
AD
上只有
1
条线段，则图中长方体的个数为
2
a

a1< br>
2
×3×1=
3a

a1

2
．

（
5
）如图
⑥
，在
a×3×1
个小立 方块组成的长方体中，棱
AB
上有
上有
1+2+3=
a
< br>a1

2
条线段，棱
AC
34
=6
条线 段，棱
AD
上只有
1
条线段，则图中长方体的个数为
______< br>．

2
（
6
）依此类推，如图
⑦
，在
a×b×1
个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
______
．


探究三：

（
7
）如图
⑧
，在以
a×b×2
个小立方块组成的长方体中，棱
AB
上有
AC
上有a

a1

2
条线段，棱
b

b 1

2

23
=3
条线段，则图中长方体的个数为
2
条线段，棱
AD
上有
1+2=
3a

a1< br>
b

b1

2
×
2
×3=3ab

a1

b1

4
．

（
8
）如图
⑨
，在
a×b×3
个小立方块组成的长 方体中，棱
AB
上有
a

a1

2
条线 段，棱
AC

上有
b

b1

2< br>______
．

条线段，棱
AD
上有
1+2+3=
34
=6
条线段，则图中长方体的个数为
2

（结论）如 图
①
，在
a×b×c
个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
_ _____
．

（应用）在
2×3×4
个小立方块组成的长方体中， 长方体的个数为
______
．

（拓展）

如果在若干个 小立方块组成的正方体中共有
1000
个长方体，那么组成这个正方体的小立方
块的个 数是多少？请通过计算说明你的结论．

【答案】探究一：（
3
）
探 究三：（
8
）
a

a1

2

；探究二：（
5
）
3a
（
a+1
）；（
6
）

；【结论】：
①
ab

a1

b 1

4

；
3ab

a1

b1

2
abc

a1

b1

c1

8

；【应用】：

180
；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是
64
，见解析
.

【解析】

【分析】

（
3
）根据规律，求出棱< br>AB
，
AC
，
AD
上的线段条数，即可得出结论；

（
5
）根据规律，求出棱
AB
，
AC
，
A D
上的线段条数，即可得出结论；

（
6
）根据规律，求出棱
AB
，
AC
，
AD
上的线段条数，即可得出结论；
（
8
）根据规律，求出棱
AB
，
AC
，
AD< br>上的线段条数，即可得出结论；

(
结论
)
根据规律，求出棱
AB
，
AC
，
AD
上的线段条数，即可得出结论；

(
应用
)a=2
，
b=3
，
c=4
代入< br>(
结论
)
中得出的结果，即可得出结论；

(
拓展< br>)
根据
(
结论
)
中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论 ．

【详解】

解：探究一、（
3
）棱
AB
上共有
a

a1

2
线段，棱
AC
，
AD
上分别只有
1
条线段，


，

则图中长方体的个数为
a

a1

2
×1×1 =
a

a1

2
故答案为
a

a1

2

；

探究二：（
5
）棱
AB
上有
段，

则图中长方体的个数为
故答案为
3a
（
a+1
）；

（
6
）棱
AB
上有
a

a1

2

条线段，棱
AC
上有
6
条线段，棱
A D
上只有
1
条线
a

a1

2
×6×1=3a
（
a+1
），

a

a1

2

条线段，棱
AC
上有
×
b

b1
< br>2
条线段，棱
AD
上只有
1
条线段，

，

则图中长方体的个数为
a

a1

2
；

b

b1

2
×1=
ab

a 1

b1

4
故答案为
ab

a 1

b1

4
探究三：（
8
）棱
AB
上有
线段，

则图中长方体的个数为
a

a1

2

条线段，棱
AC
上有
b

b1

2
条线 段，棱
AD
上有
6
条
a

a1

2
；

×
b

b1

2
× 6=
3ab

a1

b1

2
，< br>
故答案为
3ab

a1

b1
< br>2
a

a1

2
(
结论
)
棱
AB
上有
段，


条线段，棱
AC
上 有
b

b1

2
条线段，棱
AD
上有< br>c

c1

2
条线
则图中长方体的个数为
a

a1

b

b1

c

c1

abc

a1

b1

c1

2
×
2
；

×
2
=
8
，

故答案为
abc

a1

b1

c1

8
8(
应用
)
由
(
结论
)
知，
abc
a1

b1

c1

，

∴在2×3×4
个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为
234

21



31



4 1

8
故答案为为
180
；

由题意得

=180
，

拓展：设正方体的每条棱上都有
x
个小立方体 ，即
a=b=c=x
，

x
3
(x1)
3
=1000
，

8∴[x
（
x+1
）
]
3
=20
3
，< br>
∴x
（
x+1
）
=20
，

∴x
1
=4
，
x
2
=-5
（不合题意， 舍去）

∴4×4×4=64

所以组成这个正方体的小立方块的个数是
64
．

【点睛】

解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错
的题目 ．


10
．已知关于
x
的一元二次方程
x
2
+(k+1)x+
(1)
求
k
的取值范围；

(2)
当
k
取最小整数时，求此时方程的解．

【答案】
(1)k
＞﹣
【解析】

【分析】

1
2
k
＝
0
有两个不相等的实数根．

4
1
；
(2)x
1
＝
0
，
x
2< br>＝﹣
1
．

2
1
2
k
＞
0
，解不等式即可求得答案；

4
(2)
根据
k
取最小整数，得到
k
＝
0
，列方程即可得到结论．

【详解】

(1)
由题意得△
＝
(k+1)
2
﹣
4×
(1)∵关于x
的一 元二次方程
x
2
+(k+1)x+
∴△＝(k+1)
2
﹣< br>4×
∴k
＞﹣
1
2
k
＝
0
有两个不相等的实数根，

4
1
2
k
＞
0
，

4
1
；

2
(2)∵k
取最小整数，

∴k
＝
0
，

∴原方程可化为x
2
+x
＝
0
，

∴x< br>1
＝
0
，
x
2
＝﹣
1
．

【点睛】

22
本题考查了一元二次方程
ax+bx+c
＝
0(a≠0)
的根的判别式
△
＝
b
﹣
4ac
：当
△
＞
0
，方程有两
个不相等的实数根；当
△
＝
0
，方程有两个相等的实数根；当
△
＜
0
，方程没有实数 根．


11
．已知关于
x
的方程
x
2< br>－（
m
＋
2
）
x
＋（
2m
－
1
）
=0
。

（
1
）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（
2
）若此方程的一个根是
1
，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形
的周长。

【答案】（
1
）见详解；（
2
）
4< br>＋
10
或
4
＋
22
.

【解析】

【分析】

2
（
1）根据关于
x
的方程
x
－（
m
＋
2
）
x
＋（
2m
－
1
）
=0
的根的判别式的符 号来证明结论
.

（
2
）根据一元二次方程的解的定义求得
m
值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根
.
分类讨论：
①
当该 直角三角形的两直角边是
2
、
3
时，
②
当该直角三角形的直 角边和斜边
分别是
2
、
3
时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一 边，再根据三角形的周长公式进行
计算
.

【详解】

22
解：（
1
）证明：∵△
=
（
m
＋
2
）－
4
（
2m
－
1
）
=
（
m< br>－
2
）＋
4
，

∴在实数范围内，m
无论取 何值，（
m
－
2
）
2
+4≥4
＞
0
，即
△
＞
0.

∴关于x
的方程
x
2< br>－（
m
＋
2
）
x
＋（
2m
－
1
）
=0
恒有两个不相等的实数根
.

（
2
）∵此方程的一个根是
1
，

∴1
2
－
1×
（
m
＋
2
）＋（
2m
－< br>1
）
=0
，解得，
m=2
，

则方程的另一根为：
m
＋
2
－
1=2+1=3.

①
当该直角三角形的两直角边是
1
、
3
时，由勾股定理得斜 边的长度为
10
，该直角三角
形的周长为
1
＋
3
＋
10
=4
＋
10
.

②
当该直角三角形的 直角边和斜边分别是
1
、
3
时，由勾股定理得该直角三角形的另一直
角边为
22
；则该直角三角形的周长为
1
＋
3
＋
2 2
=4
＋
22
.


12
．阅读下面的材料，回答问题：

42
解方程
x
﹣
5x+4
＝
0
，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通 常是：

2422
设
x
＝
y
，那么
x＝
y
，于是原方程可变为
y
﹣
5y+4
＝
0 ①
，解得
y
1
＝
1
，
y
2
＝4
．

2
当
y
＝
1
时，
x< br>＝
1
，∴
x
＝
±1
；

2
当
y
＝
4
时，
x
＝
4
，∴
x＝
±2
；

∴原方程有四个根：x
1
＝
1，
x
2
＝﹣
1
，
x
3
＝
2< br>，
x
4
＝﹣
2
．

（
1
）在由原方程得到方程
①
的过程中，利用

法达到

的目的，体现了数学的转
化思想．

2 22
（
2
）解方程（
x+x
）﹣
4
（
x+ x
）﹣
12
＝
0
．

【答案】（
1
）换元，降次；（
2
）
x
1
=
﹣
3
，< br>x
2
=2
．

【解析】

【详解】

解：（
1
）在由原方程得到方程
①
的过程中，利用换元法达到降次的 目的，体现了数学的
转化思想
;

22
（
2
）设< br>x+x=y
，原方程可化为
y
﹣
4y
﹣
12=0，解得
y
1
=6
，
y
2
=
﹣
2
．

2
由
x+x=6
，得
x
1
=
﹣
3
，
x
2
=2
．

222< br>由
x+x=
﹣
2
，得方程
x+x+2=0
，
b
﹣
4ac=1
﹣
4×2=
﹣
7
＜
0，此时方程无实根．所以原方程的
解为
x
1
=
﹣
3，
x
2
=2
．


13
．阅读材料< br>:
若
m
2
2mn2n
2
8n160
，求
m
、
n
的值
.

解
:
m
2
2mn2n
2
8n160
，
(m
2
2mnn
2
)(n
2
8n16) 0

(mn)
2
(n4)
2
0
，

mn0,n40
，


n4,m4
.

根据你的观察，探究下面的问题
:

22
（
1
）己知
x2xy2y2y10
，求xy
的值
.

（
2
）已知
△ABC
的三边长
a
、
b
、
c
都是正整数，且满足
a
2
b
2
6a8b250
，求边
c
的最大值.

（
3
）

若己知
ab4,abc< br>2
6c130
，求
abc
的值
.

【答案】（
1
）
2
（
2
）
6
（
3
）
7

【解析】

【分析】

（
1
）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为
0
，
两非负数分别为
0
求出
x
与
y
的值，即可求出
x
﹣
y
的值；

（
2
）将已知等式
25
分为
9+16
，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之
和为
0
，两非负数分别为
0
求出
a
与
b
的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求
出
c
的长；

（< br>3
）由
a
﹣
b=4
，得到
a=b+4
，代入 已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，
根据两个非负数之和为
0
，两非负 数分别为
0
求出
b
与
c
的值，进而求出
a
的值，即可求
出
a
﹣
b+c
的值．

【详解】

22
（
1
）∵
x+2xy+2y+2y+1=0

∴（x
2
+2xy+y
2
）
+
（
y
2+2y+1
）
=0

∴（x+y
）
2
+
（
y+1
）
2
=0

∴x+y=0 y+1=0

解得：
x=1
，
y=
﹣
1

∴x
﹣
y=2
；

22
（
2
）∵
a+b
﹣
6a
﹣
8b+25=0

∴（a
2
﹣
6a+9
）
+
（
b
2
﹣
8b +16
）
=0

∴（a
﹣
3
）
2
+
（
b
﹣
4
）
2
=0

∴a
﹣
3=0
，
b
﹣
4=0

解得：
a=3
，
b=4

∵三角形两边之和＞第三边

∴c
＜
a+b
，
c< br>＜
3+4
，∴
c
＜
7
．又∵
c
是正 整数，∴△
ABC
的最大边
c
的值为
4
，
5
，
6
，∴
c
的最大值为
6
；

222< br>（
3
）∵
a
﹣
b=4
，即
a=b+4
，代入得：（
b+4
）
b+c
﹣
6c+13=0
，整理得 ：（
b+4b+4
）
+
（
c
22
﹣
6c+ 9
）
=
（
b+2
）
+
（
c
﹣3
）
=0
，∴
b+2=0
，且
c
﹣
3 =0
，即
b=
﹣
2
，
c=3
，
a=2，则
a
﹣

b+c=2
﹣（﹣
2
）
+3=7
．

故答案为
7
．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关
键．< br>

14
．如图，一艘轮船以
30kmh
的速度沿既定航线由 南向北航行，途中接到台风警报，某
台风中心正以
10kmh
的速度由东向西移动，距 台风中心
200km
的圆形区域（包括边界）
都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警 报时，它与台风中心的距离
BC=500km
，此时台
风中心与轮船既定航线的最近距 离
AB=300km
．

（
1
）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

（
2
）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会
进入台风影响区？

（
3
）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到 台风影响的时间为多少小时？


【答案】（
1
）如果这艘船不改变 航向，那么它会进入台风影响区．（
2
）经过
15
﹣
15
h
就会进入台风影响区；（
3
）
2
15
小时．

【解析】

【分析】

（
1
）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．
< br>（
2
）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．

（
3
）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出 受影
响的时间长
.

【详解】

解：（
1
）如图易知
AB′=300
﹣
10t
，
AC′=400
﹣< br>30t
，


当
B′C′=200
时，将受到台风影响，

222
根据勾股定理可得：
(300
﹣
10t)+(400
﹣
30 t)=200
，

2
整理得到：
t
﹣
30t+210=0
，

解得
t=15±
15
，

由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．

（
2
）由（
1
）可知经过
(15
﹣
15
)h
就会进入 台风影响区；

（
3
）由（
1
）可知受到台风影响的时间为
:15+
15
﹣（
15
﹣
15
）
=215
h
．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程 的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于
x
的等式是
解题关键．


15
．利民商店经销甲、乙两种商品
.
现有如下信息

信息
1
：甲乙两种商品的进货单价和为
11
；

信 息
2
：甲商品的零售单价比其进货单价多
2
元，乙商品的零售单价比其进货单 价的
2
倍
少
4
元：

信息
3
：按 零售单价购买甲商品
3
件和乙商品
2
件共付
37
元．


1

甲、乙两种商品的进货单价各是多少？

2

据统计该商店平均每天卖出甲商品
500
件，经调查发现，甲商品零 售单价每降
0.1
元，
这样甲商品每天可多销售
100
件，为了使每 天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零
售单价下降
a
元，在不考虑其他因素的条 件下，当
a
定为多少时，才能使商店每天销售甲
种商品获取利润为
1500< br>元？

【答案】（
1
）甲种商品的进货单价是
5
元< br>
件，乙种商品的进货单价是
6
元

件（
2
）当
a
定为
0.5
或
1
时，才能使商店每天销售甲种商品获取利 润为
1500
元

【解析】

【分析】


1

设甲种商品的进货单价是
x
元

件，乙种商品 的进货单价是
y
元

件，根据给定的三个
信息，可得出关于
x
，
y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；


2

当零售单价下降
a
元

件时，每天可售出

50 01000a

件，根据总利润

单件利润

销售数量， 即可得出关于
a
的一元二次方程，解之即可得出结论．

【详解】


1

设甲种商品的进货单价是
x
元

件， 乙种商品的进货单价是
y
元

件，

xy11

根据题意得：

3

x2

2
2y4

37
，


解得：
y6
．

答：甲种商品的进货单价是
5
元

件，乙种商品的进货单价是
6
元

件．


x5

2

当零售单价下降
a
元
件时，每天可售出

5001000a

件，

根据题意得：

2a

5001000a

1500
，

整理得：
2a
2
3a10
，

解得：
a
1
0.5
，
a
2
1
．

答：当
a
定为
0.5
或
1
时，才能使商店每天销售甲种商品 获取利润为
1500
元．

【点睛】

本题考查了二元一次 方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：

1

找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；

2

找准等量关系，正确列出一元二 次方程．