草坪种植-发型师求职

一元二次方程



一、选择题

1
．方程
2x
（
x
﹣
3
）
=5
（
x
﹣
3
）的解是（ ）

A
．
x=3 B
．
x= C
．
x
1
=3
，
x
2
= D
．
x=
﹣
3

2
．方程

（< br>x
+）
2
+（
x
+）（
2x
﹣
1< br>）
=0
的较大根为（ ）

A
．﹣
B
．
C
．
D
．

3
．三角形两边的长 是
3
和
4
，第三边的长是方程
x
2
﹣
12 x
+
35=0
的根，则该三角形的周
长为（ ）

A
．
14 B
．
12 C
．
12
或
14 D
．以上都不对


4
．关于
x
的方程
x
2
+
mx
+
n =0
的两根中只有一个等于
0
，则下列条件中正确的是（ ）
A
．
m=0
，
n=0 B
．
m=0
，
n
≠
0 C
．
m
≠
0
，
n=0 D
．
m
≠
0
，
n
≠
0

5
．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品
250
元，降低到了每 件
160
元，平均每月降低率为（ ）

A
．
15% B
．
20% C
．
5% D
．
25%

6
．已知
x=2
是关于
x
的方程
A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6

的一个解，则
2a
﹣
1
的值是（ ）

7
．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ）

A
．
x
2
﹣
3x
+
2=0 B
．
2x
2
=x
+
4 C
．（
x
﹣
1
）（
x
+
2
）
=70 D
．
x
2
﹣
11x
﹣
10=0

8
．已知
x=1
是二次方程（
m
2
﹣
1
）
x
2
﹣
mx
+
m
2
=0
的一个根 ，那么
m
的值是（ ）

A
．或﹣
1 B
．﹣
C
．或
1 D
．

9
．方程< br>x
2
﹣（
A
．
x
1
=
，
x
2
=
+）
x
+
=0
的根是（ ）

C
．
x
1
=
﹣，
x
2
=
﹣
D
．
x=
±

B
．
x
1
=1
，
x
2
=
10
．一台电视机成本价为
a
元，销售价比成本价增加
25%
，因库存积压，所以就按销售
价的
70%
出售．那么每台实际售价为（ ）

A
．（
1
+< br>25%
）（
1
+
70%
）
a
元
B
．
70%
（
1
+
25%
）
a
元< br>
C
．（
1
+
25%
）（
1
﹣70%
）
a
元
D
．（
1
+
25%< br>+
70%
）
a
元



第1页（共16页）

二、填空题

1 1
．若关于
x
的一元二次方程
x
2
+（
k
+
3
）
x
+
k=0
的一个根是﹣
2
，则另 一个根是 ．

12
．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由< br>3200
元降到了
2500
元．设
平均每月降价的百分率为
x
，根据题意列出的方程是 ．

13
．已知两圆的圆心距为
3，两圆的半径分别是方程
x
2
﹣
4x
+
3=0
的两根，那么这两个圆
的位置关系是 ．

14
．若方程
x
2
﹣
cx
+
2=0
有两个相等的实数根，则
c=
．

15
．已知：
m
是方程
x
2
﹣
2x
﹣
3=0
的一个根，则代数式
2m
﹣
m
2< br>=
．



三、解答题：

16
．解方程

（
1
）
x
2
+< br>3=3
（
x
+
1
）；

（
2
）
3x
2
﹣
x
﹣
1=0
．

1 7
．某公司一月份营业额为
100
万元，第一季度总营业额为
331
万元，问：该公司二、
三月份营业额的平均增长率是多少？

18
．心理学家 发现，学生对概念的接受能力
y
与提出概念所用的时间
x
（
min< br>）之间满足：
y=
﹣
0.1x
2
+
2.6x
+
43
（
0
≤
x
≤
30
），求当
y=59
时所用的时间．

19
．某企业
1998
年初投资
100
万元生产适销对路的产品，
1998
年底将获得的利润与年
初 的投资的和作为
1999
年初的投资，到
1999
年底，两年共获利润
56
万元，已知
1999
年的年获利率比
1998
年的年获利率多
10
个百分点（即：
1999
年的年获利率是
1998
年< br>的年获利率与
10%
的和）．求
1998
年和
1999
年的年获利率各是多少？

20
．为解方程（
x
2
﹣1
）
2
﹣
5
（
x
2
﹣
1）+
4=0
，我们可以将
x
2
﹣
1
视为一个整 体，然后设
x
2
﹣
1=y
，则

（
x2
﹣
1
）
2=y
2
，原方程化为
y
2
﹣
5y
+
4=0
．①

解得
y
1
=1
，
y
2
=4
当
y=1
时，
x
2
﹣
1=1
．∴
x< br>2
=2
．∴
x=
±
当
y=4
时，
x
2
﹣
1=4
，∴
x
2
=5
，∴
x =
±
∴原方程的解为
x
1
=
解答问题：

（
1
）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了
第2页（共16页）

；

．

，
x
4
=
﹣

，
x
2
=
﹣，
x
3
=

的数学思想．
（
2
）解方程：
x
4
﹣
x
2
﹣
6=0
．

21
．如图，
A
、
B
、C
、
D
为矩形的四个顶点，
AB=16cm
，
AD=6 cm
，动点
P
、
Q
分别从点
A
、
C
同时出发，点
P
以
3cms
的速度向点
B
移动，一直到达
B
为止，点
Q
以
2 cms
的速度
向
D
移动．

（
1
）
P
、
Q
两点从出发开始到几秒？四边形
PBCQ
的面积为
33cm
2
；

（
2
）
P
、
Q< br>两点从出发开始到几秒时？点
P
和点
Q
的距离是
10cm．




第3页（共16页）

一元二次方程


参考答案与试题解析



一、选择题

1
．方程
2x
（
x
﹣
3
）
=5
（
x
﹣
3
）的解 是（ ）

A
．
x=3 B
．
x= C
．
x
1
=3
，
x
2
= D
．
x=
﹣
3

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分 析】本题应对方程进行移项，提取公因式
x
﹣
3
，将原式化为两式相乘的形式 ，再根
据
“
两式相乘值为
0
，这两式中至少有一式值为
0”
来解题．

【解答】解：原方程变形为：
2x
（
x
﹣
3
）﹣
5
（
x
﹣
3
）
=0
∴（
2x
﹣
5
）（
x
﹣
3
）
=0

∴
x
1
=3
，
x
2=
．故选
C
．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一 元二次方程常用的方法有直接开平方法、
配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适 的方法．本题运用的是
因式分解法．



2
．方程

（
x
+）
2
+（
x< br>+）（
2x
﹣
1
）
=0
的较大根为（ ）

A
．﹣
B
．
C
．
D
．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

2
=
【分析】利用因式分 解法得到（
x
+）+（
x
+）（
2x
﹣
1
）（
x
+）[（
x
+）+（
2x
﹣
1
）]
=0
，
推出（
x
+）
=0
，[（
x
+）+（
2x
﹣
1
）]
=0
，求出方程的解即可．

【解答】解：∵（
x
+）
2
+（
x
+）（2x
﹣
1
）
=0
，

∴（
x
+）[（
x
+）+（
2x
﹣
1
）]
=0
，

∴（
x
+）
=0
，[（
x
+）+（2x
﹣
1
）]
=0
，

第4页（共16页）

x
1
=
﹣，
x
2
=
，

故较大根为，

故选：
B
．

【点评】此题主要考 查了因式分解解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二
次方程转换成一元一次方程是解此题的 关键．



3
．三角形两边的长是
3
和
4
，第三边的长是方程
x
2
﹣
12x
+
35=0< br>的根，则该三角形的周
长为（ ）

A
．
14 B
．
12 C
．
12
或
14 D
．以上都不对

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．

【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，排除不合题意的边，进而求得
三角形周 长即可．

【解答】解：解方程
x
2
﹣
12x
+< br>35=0
得：
x=5
或
x=7
．

当
x=7
时，
3
+
4=7
，不能组成三角形；

当
x=5
时，
3
+
4
＞
5
，三边能够组成三 角形．

∴该三角形的周长为
3
+
4
+
5=12< br>，故选
B
．

【点评】本题主要考查三角形三边关系，注意在求周长时 一定要先判断是否能构成三角
形．




4
．关 于
x
的方程
x
2
+
mx
+
n=0
的两根中只有一个等于
0
，则下列条件中正确的是（ ）
A
．
m=0
，
n=0 B
．
m=0
，
n
≠
0 C
．
m
≠
0
，
n=0 D
．
m
≠
0
，
n
≠
0

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．

【分析】代入方程的解 求出
n
的值，再用因式分解法确定
m
的取值范围．

【解答 】解：方程有一个根是
0
，即把
x=0
代入方程，方程成立．

得到
n=0
；

则方程变成
x
2
+
mx=0
，即
x
（
x
+
m
）
=0

则方程的根是
0
或﹣
m
，

因为两根中只有一根等于
0
，

则得到﹣
m
≠
0
即
m
≠
0

第5页（共16页）

方程
x
2
+
mx
+
n=0
的两根中只有一个等于
0
，正确的条件是
m
≠
0
，
n=0
．

故选
C
．

【点评】本题主要考查了方程的解的定义，以及因式分解法解一元二次方程．



5
．某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品
250元，降低到了每件
160
元，平均每月降低率为（ ）

A
．
15% B
．
20% C
．
5% D
．
25%

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】降低后的价格
=
降低前的价格×（
1
﹣降低率），如果设平均每次降价的百分率
是
x
，则第一次降低后 的价格是
250
（
1
﹣
x
），那么第二次后的价格是
250
（
1
﹣
x
）
2
，
即可列出方程求 解．

【解答】解：如果设平均每月降低率为
x
，根据题意可得
< br>250
（
1
﹣
x
）
2
=160
，< br>
∴
x
1
=0.2
，
x
2
=1.8
（不合题意，舍去）．

故选
B
．

【点评】本题 考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为
a
，变化后的量为
b
，平均变化率为
x
，则经过两次变化后的数量关系为
a
（
1
±
x
）
2
=b
．（当增长时中间的
“
±
”< br>号
选
“
+
”
，当降低时中间的
“
±
”
号选
“
﹣
”
）



6
．已知
x=2
是关于
x
的方程
A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6

的一个解，则
2a
﹣
1
的值是（ ）

【考点】一元二次方程的解．


【分析】把
x=2
代入已 知方程可以求得
2a=6
，然后将其整体代入所求的代数式进行解答．
【解答】解：∵
x=2
是关于
x
的方程
∴×
2
2
﹣
2a=0
，即
6
﹣
2a=0
，

则
2a=6
，

∴
2a
﹣
1=6
﹣
1=5
．

故选：
C
．

的一个解，

第6页（共16页）

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根 就是一元二次方程的
解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍 然
成立．



7
．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ）

A
．
x
2
﹣
3x
+
2=0 B
．
2x
2
=x
+
4 C
．（
x
﹣
1
）（
x
+
2
）
=70 D
．
x
2
﹣
11x
﹣
10=0

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分 析】本题可将选项先化简成
ax
2
+
bx
+
c=0
，看是否可以配成两个相乘的因式，满足则
方程适用因式分解．

【解答】解：根据分 析可知
A
、
B
、
D
适用公式法．

而C
可化简为
x
2
+
x
﹣
72=0
，即 （
x
+
9
）（
x
﹣
8
）
=0，

所以
C
适合用因式分解法来解题．故选
C
．

【点 评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因 式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．



8
．已知
x=1
是二次方程（
m
2
﹣
1
）
x
2
﹣
mx
+
m
2
=0
的一个根，那么
m
的值是（ ）

A
．或﹣
1 B
．﹣
C
．或
1 D
．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把
x=1
代入方程（
m
2
﹣
1
）
x
2
﹣
mx
+
m
2
=0
，得出关于m
的方程，求出方程的解
即可．

【解答】解：把
x=1
代入方程（
m
2
﹣
1
）
x
2
﹣
mx
+
m
2
=0
得：（
m
2
﹣
1
）﹣
m
+
m
2
=0
，

即
2m
2
﹣
m
﹣
1=0
，
（
2m
+
1
）（
m
﹣
1
）
= 0
，

解得：
m=
﹣或
1
，

当
m=1
时，原方程不是二次方程，所以舍去．

故选
B
．

【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程 的应用，解此题的关键是得出
关于
m
的方程．

第7页（共16页）

9
．方程
x
2< br>﹣（
A
．
x
1
=
，
x
2
=
+）
x
+
=0
的根是（ ）

C
．< br>x
1
=
﹣，
x
2
=
﹣
D
．
x=
±

B
．
x
1
=1< br>，
x
2
=
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】因式分解．

【分析】本题运用的是因式分解法来解题，将方程化为因式的乘 积，然后根据
“
两式相
乘值为
0
，这两式中至少有一式值为
0”
来解题．

【解答】解：原方程变形为：（
x
﹣
解得< br>x=
故选
A
．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解 一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合 适的方法．



10
．一台电视机成本价为
a
元 ，销售价比成本价增加
25%
，因库存积压，所以就按销售
价的
70%
出售．那么每台实际售价为（ ）

A
．（
1
+
25%
）（
1
+
70%
）
a
元
B
．< br>70%
（
1
+
25%
）
a
元
C
．（
1
+
25%
）（
1
﹣
70%< br>）
a
元
D
．（
1
+
25%
+70%
）
a
元

【考点】列代数式．

【专题】应用题．

【分析】每台实际售价
=
销售价×
70%
．

< br>【解答】解：可先求销售价（
1
+
25%
）
a
元，再 求实际售价
70%
（
1
+
25%
）
a
元． 故选
B
．
）（
x
﹣）
=0
，

或
x=
．

【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．

用字母表示数时，要注意写法：

①在代数式中出现的乘号，通常简写做
“• ”
或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用
“
×
”
号；

②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写；

③数字通常写在字母的前面；

④带分数的要写成假分数的形式．



二、填空题

第8页（共16页）

11
．若关于
x
的一元二次方程
x
2
+（
k
+
3
）
x
+
k=0
的一个根是﹣
2，则另一个根是
1
．

【考点】根与系数的关系．

【分析】欲求方程的另一个根，可将该方程的已知根﹣
2
代入两根之积公式和两根之和
公式列出方程组，解方程组即可求出另一个根．

【解答】解：设方程的另一根为
x
1
，又∵
x
2
=
﹣
2
．

∴，

解方程组可得
x
1
=1
．

【点评】此题也可用此方法解答：将﹣
2
代入一元二次方程可求得
k=
﹣< br>2
，则此一元二
次方程为
x
2
+
x
﹣
2=0
，解这个方程可得
x
1
=
﹣
2
，
x
2
=1
．



12
．某种品牌的手机 经过四、五月份连续两次降价，每部售价由
3200
元降到了
2500
元．设
平均每月降价的百分率为
x
，根据题意列出的方程是
3200
（< br>1
﹣
x
）
2
=2500
．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】本题可根据：原售价×（
1
﹣降低率）
2
=
降低后的售价 得出两次降价后的价格，
然后即可列出方程．

【解答】解：依题意得：两次降价后的 售价为
3200
（
1
﹣
x
）
2
=2500
，

故答案为：
3200
（
1
﹣
x
）
2
=2500
．

【点评】本题考查降低率问题，由：原售价× （
1
﹣降低率）
2
=
降低后的售价可以列出
方程．



13
．已知两圆的圆心距为
3
，两圆的半径分别是方程
x
2
﹣
4x
+
3=0
的两根，那么这两个圆
的位置关系是 相交 ．

【考点】圆与圆的位置关系；解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】由两圆的半径 分别是方程
x
2
﹣
4x
+
3=0
的两根，利用因式 分解法即可求得两圆的
半径，又由两圆的圆心距为
3
，即可求得这两个圆的位置关系．

【解答】解：∵
x
2
﹣
4x
+
3=0< br>，

∴（
x
﹣
1
）（
x
﹣
3
）
=0
，

解得：
x
1
=1
，
x
2
=3
，

第9页（共16页）

∴两圆的半径分别是
1
，
3
，

∵
1
+
3=4
＞
3
，
3
﹣
1=2
＜
3
，

∴这两个圆的位置关系是：相交．

故答案为：相交．

【点评】此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此 题难度不大，解题的
关键是掌握两圆位置关系与圆心距
d
，两圆半径
R
，
r
的数量关系间的联系得出两圆位置
关系．


14
．若方程
x
2
﹣
cx
+
2=0
有 两个相等的实数根，则
c=
±
2
【考点】根的判别式．

【分析】根据方程
x
2
﹣
cx
+
2=0
有两个相等 的实数根，得出△
=b
2
﹣
4ac=0
，然后进行计算
即可 ．

【解答】解：∵方程
x
2
﹣
cx
+
2 =0
有两个相等的实数根，

∴△
=
（﹣
c
）2
﹣
4
×
1
×
2=0
，

∴
c=
±
2
；

．

．

故答案为：±
2
【点评】本题考查了一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c=0
（
a
≠
0
）的 根的判别式△
=b
2
﹣
4ac
：当△
＞
0
，方程有两个不相等的实数根；当△
=0
，方程有两个相等的实数根；当△＜
0
，方程
没有实数根．



15
．已知：
m是方程
x
2
﹣
2x
﹣
3=0
的一个根，则代数 式
2m
﹣
m
2
=
﹣
3
．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把
x=m
代入方程
x
2
﹣
2x
﹣
3=0
得出
m
2
﹣
2m
﹣
3=0
，再移项，即可得出答案．

【解答】解：把
x=m
代入方程
x
2
﹣
2x
﹣
3=0得：
m
2
﹣
2m
﹣
3=0
，

∴
2m
﹣
m
2
=
﹣
3
，

故答案为：﹣
3
．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用， 解此题的关键是得出关于
m
的方程．



三、解答题：

16
．解方程

第10页（共16页）

（
1
）
x
2
+
3=3
（
x
+
1
）；

（
2
）
3x
2
﹣
x
﹣
1=0
．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．

【专题】计算题．

【分析】（
1
）方程整理后利用因式分解因式求出解即可；

（2
）找出
a
，
b
，
c
的值，计算出根的判别式 的值大于
0
，代入求根公式即可求出解．

【解答】解：（
1
）方程整理得：
x
2
﹣
3x=0
，

即
x
（
x
﹣
3
）
=0
，

解得：
x
1
=0
，
x
2
=3
；< br>

（
2
）这里
a=3
，
b=
﹣< br>1
，
c=
﹣
1
，

∵△
=1
+
12=13
，

∴
x=
．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练 掌握因式分解的方法是解本题
的关键．



17
．某公司 一月份营业额为
100
万元，第一季度总营业额为
331
万元，问：该公司二 、
三月份营业额的平均增长率是多少？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量
=
增长前的量×（
1
+增长率）．即可
表示出二月与三月的营业额，根据第一季 度总营业额为
331
万元，即可列方程求解．

【解答】解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是
x
．

根据题 意得
100
+
100
（
1
+
x
）+
100
（
1
+
x
）
2
=331
，

解得
x
1
=0.1
，
x
2
=
﹣
3.1
（不合题意，舍去）．

答：该公司二、三月份营业额平均增长率是
10%
．

【点评】解与 变化率有关的实际问题时：（
1
）主要变化率所依据的变化规律，找出所
含明显或隐含 的等量关系；

（
2
）可直接套公式：原有量×（
1
+增长 率）
n
=
现有量，
n
表示增长的次数．

第11页（共16页）

18．心理学家发现，学生对概念的接受能力
y
与提出概念所用的时间
x
（< br>min
）之间满足：
y=
﹣
0.1x
2
+
2 .6x
+
43
（
0
≤
x
≤
30
） ，求当
y=59
时所用的时间．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】其他问题．

【分析】将
59
代入
y=
﹣
0.1x
2
+
2.6x
+
43
（
0
≤
x
≤
30
），求解即可．

【解答】解：由题意可得，

﹣
0.1x
2
+
2. 6x
+
43=59
，

解得
x=10
，
x=16
，

经检验均是方程的解．

因此当
y=59
时所用的时间是
1 0
或
16
分钟．

【点评】可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．



19
．某企业
1998
年初投资
100
万元生产 适销对路的产品，
1998
年底将获得的利润与年
初的投资的和作为
1999
年初的投资，到
1999
年底，两年共获利润
56
万元，已知
1999
年的年获利率比
1998
年的年获利率多
10
个百分点（ 即：
1999
年的年获利率是
1998
年
的年获利率与
10 %
的和）．求
1998
年和
1999
年的年获利率各是多少？

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析 】本题为增长率问题，一般用增长后的量
=
增长前的量×（
1
+增长率）解答 ，本
题的等量关系是：

98
年的获利额+
99
年的获利额
=56
万元，可由此列方程求解．

【解答】解：设
98
年 的年获利率为
x
，那么
99
年的年获利率为
x
+
1 0%
，由题意得，

100x
+
100
（
1
+
x
）（
x
+
10%
）
=56
．

解得：
x=0.2
，
x=
﹣
2.3
（不合题意 ，舍去）．

∴
x
+
10%=30%
．

答：
1998
年和
1999
年的年获利率分别是
20%
和< br>30%
．

【点评】此题结合投资与获利的实际问题，考查了列一元二次方程的 能力．解答此题要
注意以下问题：

（
1
）求出
1998< br>和
1999
两年的获利；

第12页（共16页）

（
2
）根据两年共获利润
56
万元列方程．



20
．为解方程（
x
2
﹣
1
）
2
﹣
5
（
x
2
﹣
1
）+
4=0< br>，我们可以将
x
2
﹣
1
视为一个整体，然后设
x2
﹣
1=y
，则

（
x
2
﹣
1
）
2=y
2
，原方程化为
y
2
﹣
5y< br>+
4=0
．①

解得
y
1
=1
，
y
2
=4
当
y=1
时，
x
2
﹣
1=1
．∴
x< br>2
=2
．∴
x=
±
当
y=4
时，
x
2
﹣
1=4
，∴
x
2
=5
，∴
x =
±
∴原方程的解为
x
1
=
解答问题：

（
1
）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体
现了 转化 的数学思想．

（
2
）解方程 ：
x
4
﹣
x
2
﹣
6=0
．

【考点】换元法解一元二次方程．

【专题】阅读型．

【分析】（
1
）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现
了转化的数 学思想；

（
2
）设
x
2
=y
，原方程可 化为关于
y
的方程，求出方程的解得到
y
的值，即可确定出
x
的值．

【解答】解：（
1
）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法 达到了降次的目的，
体现了转化的数学思想；

故答案为：换元；转化；
< br>（
2
）设
x
2
=y
，原方程可化为
y
2
﹣
y
﹣
6=0
，

解得：
y
1
=3
，
y
2
=
﹣
2
，

∵
x
2
=y
＞
0
，∴
y
1
=3
，即
x
2
=3
，

则
x=
±．

，
x
2
=
﹣，
x
3
=
；

．

，
x
4
=
﹣

【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，认真阅读题中的解法是解本题的关键．



21
．如图，
A
、
B
、
C
、< br>D
为矩形的四个顶点，
AB=16cm
，
AD=6cm
，动点
P
、
Q
分别从点
A
、
C
同时出发，点P
以
3cms
的速度向点
B
移动，一直到达
B
为止，点
Q
以
2 cms
的速度
第13页（共16页）

向
D
移动．

（
1
）< br>P
、
Q
两点从出发开始到几秒？四边形
PBCQ
的面积为33cm
2
；

（
2
）
P
、
Q
两点从出发开始到几秒时？点
P
和点
Q
的距离是
10cm
．


【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何动点问题；压轴题．

【分析】（
1
）设
P< br>、
Q
两点从出发开始到
x
秒时四边形
PBCQ
的面积 为
33cm
2
，则
PB=
（
16
﹣
3x< br>）
cm
，
QC=2xcm
，根据梯形的面积公式可列方程：（
16
﹣
3x
+
2x
）×
6=33
，解
方程 可得解；

（
2
）作
QE
⊥
AB
，垂足为
E
，设运动时间为
t
秒，用
t
表示线段长，用勾股定理列方 程
求解．

【解答】解：（
1
）设
P
、
Q
两点从出发开始到
x
秒时四边形
PBCQ
的面积为
33cm
2
，

则
PB=
（
16
﹣
3x< br>）
cm
，
QC=2xcm
，

根据梯形的面积公式得 （
16
﹣
3x
+
2x
）×
6=33
，
解之得
x=5
，


（
2
）设P
，
Q
两点从出发经过
t
秒时，点
P
，
Q
间的距离是
10cm
，

作
QE
⊥
AB
，垂足为
E
，

则
QE=AD=6
，
PQ=10
，

∵
PA=3t
，
CQ=BE=2t
，

∴
PE=AB
﹣
AP
﹣
BE=
|
16
﹣
5t
|，

由勾股定理，得（
16
﹣
5t
）
2
+
6
2
=10
2
，

解得
t1
=4.8
，
t
2
=1.6
．

答： （
1
）
P
、
Q
两点从出发开始到
5
秒时四 边形
PBCQ
的面积为
33cm
2
；

（
2
）从出发到
1.6
秒或
4.8
秒时，点
P
和点< br>Q
的距离是
10cm
．

第14页（共16页）

【点评】（
1
）主要用到了梯形的面积公式：< br>S=
（上底+下底）×高；（
2
）作辅助线是
关键，构成直角三角形后 ，用了勾股定理．



第15页（共16页）

第16页（共16页）