冠豸山-推迟更年期

一元二次方程测试题

考试范围：

一元二次方程
；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育

题号

得分



一


二


三


总分


第Ⅰ卷（选择题）

评卷人

得 分





一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）

1．方程x（x﹣2）=3x的解为（ ）

A．x=5 B．x
1
=0，x
2
=5 C．x
1
=2，x
2
=0 D．x
1
=0，x
2
=﹣5

2．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．ax
2
+bx+c=0 B．3x
2
﹣2x=3（x
2
﹣2） C．x
3
﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）
2
+1=0

3 ．关于x的一元二次方程x
2
+a
2
﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3

4．某旅游景点的游客人数 逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人
次，若2017年约为17万人次，设游客人数年 平均增长率为x，则下列方程
中正确的是（ ）

A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12

C．12（1+x）
2
=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）
2
=17

5．如图，在△AB C中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动
点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点 P的速度为1cm
秒，点Q的速度为2cm秒，点Q移动到点C后停止，点P
也随之停止运动． 下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为
15cm
2
的是（ ）

A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟

6．某幼儿园要准备修建一个面 积为210平方米的矩形活动场地，它的长比
宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为（ ）

A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210
C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210

7．一元二次方程x
2
+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（ ）

1 21

A．有两个正根 B．有一正根一负根且正根的绝对值大

C．有两个负根 D．有一正根一负根且负根的绝对值大

8．x
1
，x
2
是 方程x
2
+x+k=0的两个实根，若恰x
1
2
+x
1x
2
+x
2
2
=2k
2
成立，k的值为
（ ）

A．﹣1 B．或﹣1 C． D．﹣或1

9．一元二次方程 ax
2
+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情
况是（ ）

A．有两个正根 B．有两个负根

C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大

1 0．有两个一元二次方程：M：ax
2
+bx+c=0；N：cx
2
+bx+ a=0，其中a﹣c≠0，
以下列四个结论中，错误的是（ ）

A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数
根

B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

11．已知m，n 是关于x的一元二次方程x
2
﹣2tx+t
2
﹣2t+4=0的两实数根，则
（m+2）（n+2）的最小值是（ ）

A．7 B．11 C．12 D．16

12．设关于x的方程ax
2
+（a+2）x+9a=0，有两个 不相等的实数根x
1
、x
2
，且
x
1
＜1＜x2
，那么实数a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题）

评卷人

得 分





二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）

13．若x
1
，x
2
是关于x的方程x
2
﹣2x﹣ 5=0的两根，则代数式x
1
2
﹣3x
1
﹣x
2
﹣
6的值是 ．

14．已知x
1
，x
2
是 关于x的方程x
2
+ax﹣2b=0的两实数根，且x
1
+x
2=﹣2，x
1
•x
2
=1，
则b
a
的值是 ．

15．已知2x
|
m
|﹣
2
+3=9是关于x 的一元二次方程，则m= ．

16．已知x
2
+6 x=﹣1可以配成（x+p）
2
=q的形式，则q= ．

17．已 知关于x的一元二次方程（m﹣1）x
2
﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，
且关 于x的不等式组
m的个数是 ．

18．关于x的方程（m﹣2）x
2
+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为 ．

19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形
空地，计划在其中修建两 块相同的矩形绿地，它们面
积之和为60米
2
，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为 米．

20．如图是一次函数y=kx+b的图 象的大致位置，试判断关于
x的一元二次方程x
2
﹣2x+kb+1=0的根的判别式 △ 0
（填：“＞”或“=”或“＜”）．

评卷人

得 分





的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数
三．解答题（共8小题）

21．（6分）解下列方程．

（1）x
2
﹣14x=8（配方法） （2）x
2
﹣7x﹣18=0（公式法）




（3）（2x+3）
2
=4（2x+3）（因式分解法）





22．（6分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x
2
﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．




3 21

23．（6分）关于x的一元二次方程（a﹣6）x
2
﹣8x+ 9=0有实根．

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；

②求2x
2
﹣




24．（6分）关 于x的方程x
2
﹣（2k﹣3）x+k
2
+1=0有两个不相等的实数根x< br>1
、
x
2
．

（1）求k的取值范围；
< br>（2）若x
1
x
2
+|x
1
|+|x
2|=7，求k的值．







25．（8分）某茶叶专卖店经销一种日
照绿茶，每千克成本80元，据销售人
员调查发现，每 月的销售量y（千克）
与销售单价x（元千克）之间存在如图
所示的变化规律．

（1）求每月销售量y与销售单价x之
间的函数关系式．

（2）若某月该茶 叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售
单价x为多少元．






的值．

26 ．（8分）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面
积为1500平方米的长方形 草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的
通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米．
（1）求通道的宽度；

（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，< br>计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植
“四季青”的单价是30元平方米，超过 50平方米后，
每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1
元，但单价不低于20元 平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平
方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为 2000元，求种植“四季青”
的面积．







27．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；

信息2：甲商品零售单价比进货单 价多1元，乙商品零售单价比进货单价的
2倍少1元；

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求甲、乙两种商品的零售单价；

（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品
零售单价每降0. 1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品
的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑 其他因素的条件下，当m为多少
时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？



5 21

28．（10分）已知关于x的 一元二次方程x
2
﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数
根分别为x
1< br>，x
2
．

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若n=4（x
1
+x
2
）﹣x
1
x
2
，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经
过点A（1，16），并说明理由．

7 21

2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共12小题）

1．方程x（x﹣2）=3x的解为（ ）

A．x=5 B．x
1
=0，x
2
=5 C．x
1
=2，x
2
=0 D．x
1
=0，x
2
=﹣5

【解答】解：x（x﹣2）=3x，

x（x﹣2）﹣3x=0，

x（x﹣2﹣3）=0，

x=0，x﹣2﹣3=0，

x
1
=0，x
2
=5，

故选B．



2．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A．ax
2
+bx+c=0 B．3x
2
﹣2x=3（x
2
﹣2） C．x
3
﹣2x﹣4=0 D．（x﹣1）
2
+1=0

【解答】解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、由原 方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故
本选项错误；

C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选D．



3．关于x的一元二次方程x
2
+a
2
﹣1=0的一个根 是0，则a的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3

【 解答】解：∵关于x的一元二次方程x
2
+a
2
﹣1=0的一个根是0，
∴0
2
+a
2
﹣1=0，

解得，a=±1，

故选C．



4．某旅游景 点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人
次，若2017年约为17万人次， 设游客人数年平均增长率为x，则下列方程
1 21

中正确的是（ ）

A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12

C．12（1+x）
2
=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）
2
=17

【解答】解：设游客人数的年平均增长率为x，

则2016的游客人数为：12×（1+x），

2017的游客人数为：12×（1+x）
2
．

那么可得方程：12（1+x）
2
=17．

故选：C．



5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动 点P，Q分别从点
A，B同时开始移动，点P的速度为1cm秒，点Q的速度为2cm秒，点Q
移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的
面积为15cm
2
的是（ ）


A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟

【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm
2
，

则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×（8﹣t）×2t=15，

解得t
1
=3，t
2
=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．

答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm
2
．



6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比
宽多1 2米，设场地的长为x米，可列方程为（ ）

A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x
﹣12）=210

【解答】解：设场地的长为x米，则宽为（x﹣12）米，

根据题意得：x（x﹣12）=210，

故选：B．

7．一元二次方程x
2
+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的 情况是（ ）

A．有两个正根

B．有一正根一负根且正根的绝对值大

C．有两个负根

D．有一正根一负根且负根的绝对值大

【解答】解：x
2
+bx﹣2=0，

△=b
2
﹣4×1×（﹣2）=b
2
+8，

即方程有两个不相等的实数根，

设方程x
2
+bx﹣2=0的两个根为c、d，

则c+d=﹣b，cd=﹣2，

由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，

由c+d=﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，

故选B．



8．x
1
，x
2
是方程x
2
+x+k=0的两个实根，若恰x
1
2
+x
1< br>x
2
+x
2
2
=2k
2
成立，k的值为（ ）

A．﹣1 B．或﹣1 C． D．﹣或1

【解答】解：根 据根与系数的关系，得x
1
+x
2
=﹣1，x
1
x
2
=k．

又x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
=2k
2
，

则（x
1
+x
2
）
2
﹣x
1
x
2
=2k< br>2
，

即1﹣k=2k
2
，

解得k=﹣1或．

当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．

∴取k=﹣1．

故本题选A．



9．一元二 次方程ax
2
+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情
况是 （ ）

A．有两个正根

B．有两个负根

C．有一正根一负根且正根绝对值大

3 21

D．有一正根一负根且负根绝对值大

【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，

∴△=b
2
﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，

∴一元二次方程ax< br>2
+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝
对值较大．

故选：C．



10．有两个一元二次方程：M：ax
2
+bx+c=0；N：cx
2
+bx+a=0，其中a﹣c≠0，
以下列四个 结论中，错误的是（ ）

A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数
根

B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

【解答】解：A、 在方程ax
2
+bx+c=0中△=b
2
﹣4ac，在方程cx
2< br>+bx+a=0中△
=b
2
﹣4ac，

∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数
根，正确；

B、∵“和符号相同，和符号也相同，

∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；

C、∵5是方程M的一个根，

∴25a+5b+c=0，

∴a+b+c=0，

∴是方程N的一个根，正确；

D、M﹣N得 ：（a﹣c）x
2
+c﹣a=0，即（a﹣c）x
2
=a﹣c，

∵a﹣c≠1，

∴x
2
=1，解得：x=±1，错误．

故选D．



11．已知m，n是关于x的一元二次方程x
2
﹣2tx+t
2
﹣2t+4=0的两实数根，则

（m+2 ）（n+2）的最小值是（ ）

A．7 B．11 C．12 D．16

【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x
2
﹣2tx+t
2
﹣2t +4=0的两实数
根，

∴m+n=2t，mn=t
2
﹣2t+4，

∴（m+2）（n+2 ）=mn+2（m+n）+4=t
2
+2t+8=（t+1）
2
+7．

∵方程有两个实数根，

∴△=（﹣2t）
2
﹣4（t
2
﹣2t+4）=8t﹣16≥0，

∴t≥2，

∴（t+1）
2
+7≥（2+1）
2
+7=16．

故选D．



12．设关于x的方程ax
2
+（ a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x
1
、x
2
，且
x< br>1
＜1＜x
2
，那么实数a的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，

则a≠0且△＞0，

由（a+2）
2
﹣4a×9a=﹣35a2
+4a+4＞0，

解得﹣＜a＜，

∵x
1
+x
2
=﹣，x
1
x
2
=9，

又∵x
1
＜1＜x
2
，

∴x
1
﹣1＜0，x
2
﹣1＞0，

那么（x
1
﹣1）（x
2
﹣1）＜0，

∴x1
x
2
﹣（x
1
+x
2
）+1＜0，

即9+
解得
+1＜0，

＜a＜0，

＜a＜0．

最后a的取值范围为：
故选D．


方法2、由题意知，a≠0，令y=ax
2
+（a+2）x+9a，

5 21

由于方程的两根一个大于1，一个小于1，

∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，

当a＞0时，x=1时，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣（不符合题意，舍去），

当a＜0时，x=1时，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣
∴﹣
，

＜a＜0，

故选D．



二．填空题（共8小题）

13．若x
1
，x
2
是关于x的方程x
2
﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x
1
2
﹣3x
1
﹣x
2
﹣
6的值是 ﹣3 ．
【解答】解：∵x
1
，x
2
是关于x的方程x
2
﹣2x ﹣5=0的两根，

∴x
1
2
﹣2x
1
=5，x< br>1
+x
2
=2，

∴x
1
2
﹣3x
1
﹣x
2
﹣6=（x
1
2
﹣2x
1
）﹣（x
1
+x
2
）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．

故答案为：﹣3．



14．已知x
1
，x2
是关于x的方程x
2
+ax﹣2b=0的两实数根，且x
1
+ x
2
=﹣2，x
1
•x
2
=1，
则b
a< br>的值是 ．

【解答】解：∵x
1
，x
2
是关于x 的方程x
2
+ax﹣2b=0的两实数根，

∴x
1
+x< br>2
=﹣a=﹣2，x
1
•x
2
=﹣2b=1，

解得a=2，b=﹣，

∴b
a
=（﹣）
2
=．

故答案为：．



15．已知2x
|
m
|﹣
2
+3=9 是关于x的一元二次方程，则m= ±4 ．

【解答】解：由题意可得|m|﹣2=2，

解得，m=±4．

故答案为：±4．



16．已知x
2
+6x=﹣1可以配成（x+p）
2
=q的形式，则 q= 8 ．

【解答】解：x
2
+6x+9=8，

（x+3）
2
=8．

所以q=8．

故答案为8．



17．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x
2
﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，
且关于x的不等式组
m的个数是 4 ．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x
2
﹣3x+1= 0有两个不相等的
实数根，

∴m﹣1≠0且△=（﹣3）
2
﹣4（ m﹣1）＞0，解得m＜
，∵解不等式组得，

且m≠1，

的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数
而此不等式组的解集是x＜﹣1，

∴m≥﹣1，

∴﹣1≤m＜且m≠1，

∴符合条件的整数m为﹣1、0、2、3．

故答案为4．



18．关于x的方程（m﹣2）x
2
+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为 2 ．

【解答】解：由已知得：△=b
2
﹣4ac=2
2
﹣4（m﹣2）≥0，

即12﹣4m≥0，

解得：m≤3，

∴偶数m的最大值为2．

故答案为：2．



7 21

19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计 划在其中修
建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米
2
，两块绿地之间及周边留 有
宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为 1 米．


【解答】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．

解得：x
1
=1，x
2
=8（不合题意，舍去）．

即：人行通道的宽度是1米．

故答案是：1．


20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方
程x
2
﹣2x+kb+1=0的根的判别式△ ＞ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．


【解答】解：∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，

∴k＞0，b＜0，

∴△=（﹣2）
2
﹣4（kb+1）=﹣4kb＞0．

故答案为＞．



三．解答题（共8小题）

21．解下列方程．

（1）x
2
﹣14x=8（配方法）

（2）x
2
﹣7x﹣18=0（公式法）

（3）（2x+3）
2
=4（2x+3）（因式分解法）

（4）2（x﹣3）
2
=x
2
﹣9．

【解答】解：（1）x
2
﹣14x+49=57，

（x﹣7）
2
=57，

x﹣7=±
所以x
1
=7+
，

，x
2
=7﹣；

（2）△=（﹣7）
2
﹣4×1×（﹣18）=121，

x=，

所以x
1
=9，x
2
=﹣2；

（3）（2x+3）
2
﹣4（2x+3）=0，

（2x+3）（2x+3﹣4）=0，

2x+3=0或2x+3﹣4=0，

所以x
1
=﹣，x
2
=；

（4）2（x﹣3）
2
﹣（x+3）（x﹣3）=0，

（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，

x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，

所以x
1
=3，x
2
=9．



22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x
2
﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．

【解答】解：（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，

解得：m=2．

当m=2时，原方程为x
2
﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，

∴x
1
=﹣1，x
2
=2，

∴方程的另一个根为2．

（2）∵方程（m﹣1）x
2
﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，

∴
解得：m＞且m≠1，

∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．



23．关于x的一元二次方程（a﹣6）x
2
﹣8x+9=0有实根．

，

9 21

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；

②求2x
2
﹣的值．

【解答】解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，

解得a≤且a≠6，

所以a的最大整数值为7；


（2）①当a=7时，原方程变形为x
2
﹣8x+9=0，

△=64﹣4×9=28，

∴x=
∴x
1
=4+
，

，x
2
=4﹣；

②∵x
2
﹣8x+9=0，

∴x
2
﹣8x=﹣9，

所以原式=2x
2
﹣
=2x
2
﹣16x+

=2（x
2
﹣8x）+

=2×（﹣9）+

=﹣


24．关于x的方程x
2
﹣（2k﹣3）x+k< br>2
+1=0有两个不相等的实数根x
1
、x
2
．

（1）求k的取值范围；

（2）若x
1
x
2
+| x
1
|+|x
2
|=7，求k的值．

【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k﹣3）]< br>2
﹣4（k
2
+1）=4k
2
﹣12k+9﹣4k
2
﹣4=﹣12k+5＞0，

解得：k＜


．

；

（2）∵k＜，

∴x
1
+x
2
=2k﹣3＜0，

又∵x
1
•x
2
=k
2
+1＞0，

∴x
1
＜0，x
2
＜0，

∴|x
1|+|x
2
|=﹣x
1
﹣x
2
=﹣（x
1+x
2
）=﹣2k+3，

∵x
1
x
2
+|x
1
|+|x
2
|=7，

∴k
2
+1﹣2k+3=7，即k
2
﹣2k﹣3=0，

∴k
1
=﹣1，k
2
=2，

又∵k＜
∴k=﹣1．



25．某茶叶专卖店经销一种 日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查
发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元千克） 之间存在如图所示
的变化规律．

（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．

（2）若某月该茶叶点销售 这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售
单价x为多少元．

，


【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，

把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，

，

解得，，

y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．


（2）根据题意得：w=（x﹣80）（﹣2x+280）=﹣2x
2
+4 40x﹣22400=1350；

解得（x﹣110）
2
=225，

解得x
1
=95，x
2
=125．

11 21

答：销售单价为95元或125元．



26．如 图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500
平方米的长方形草坪，并将草 坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知
长方形空地的长为60米，宽为40米．

（1）求通道的宽度；

（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植 “四季青”和“黑
麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元平方米，超过50平方
米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低
于20元平方米，已知小 区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光
园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求 种植“四季青”的面积．


【解答】解：（1）设通道的宽度为x米．

由题意（60﹣2x）（40﹣2x）=1500，

解得x=5或45（舍弃），

答：通道的宽度为5米．

（2）设种植“四季青”的面积为y平方米．

由题意：y（30﹣
解得y=100，

答：种植“四季青”的面积为100平方米．



27．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：

信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；

信息2：甲商品零售单价比进货单 价多1元，乙商品零售单价比进货单价的
2倍少1元；

信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求甲、乙两种商品的零售单价；

）=2000，

（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件 ，经调查发现，甲种商品
零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品
的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少
时，商店每天销售甲 、乙两种商品获取的总利润为1000元？

【解答】22．（1）假设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为
y元，

根据题意可得：
解得：．

，

答：甲、乙零售单价分别为2元和3元．


（2）根据题意得出：（1﹣m）（500+
即2m
2
﹣m=0，

解得m=0.5或m=0（舍去），

×100）+500=1000

答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1000
元．



28．已知关于x的一元二次方程x
2
﹣（m+6）x+3m+ 9=0的两个实数根分别为
x
1
，x
2
．

（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若n=4（x
1+x
2
）﹣x
1
x
2
，判断动点P（m，n）所形成的 函数图象是否经
过点A（1，16），并说明理由．

【解答】解（1）∵△=（m+ 6）
2
﹣4（3m+9）=m
2
≥0

∴该一元二次方程总有两个实数根


（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16），

∵n=4（x< br>1
+x
2
）﹣x
1
x
2
=4（m+6）﹣（ 3m+9）=m+15

∴P（m，n）为P（m，m+15）．

∴A（1，16）在动点P（m，n）所形成的函数图象上．



13 21