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一元二次方程的应用

1．某地区20XX年投入教育经费2500万元，20XX年投入教育经费3025万元．
（1）求20XX年至20XX年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计20XX年该地区将投入教育经费多少万元．











2．白溪镇20XX年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面 积，20XX年达到82.8公
顷．
（1）求该镇2012至20XX年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，20XX年该镇绿地面积能否达到100公顷？












3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映 ：每降价1元，每星期
可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还 想获得6080元
的利润，应将销售单价定位多少元？

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每 天可
售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证
每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？








5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利
润 ，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商
场平均每天 可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？









6．某商场经营某种品 牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单
价是40元时，销售量是60 0件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元 （x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y
件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的 结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

2
的矩形场长的篱笆围成一个面积为200m 58m7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用地，求
矩形的长和宽．











8．）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用 25m长
的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍
2
？ 的
长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m












9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两 边的
2
，
求小路的宽． 方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m








10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽 为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同
2
，
两块绿地之间及周边留有宽度相等的 人行通道（如的矩形绿地，使它们的面积之和为60m图所
示），求人行通道的宽度．

11．李明准备进行如下操作实验，把 一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一
个正方形．

2
，李明应该怎么剪这根铁丝？ ）要使这两个正方形的面积之和等于58cm（1
2
，你认为他的说
法正确吗？请说）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm（2明 理由．























参考答案与试题解析
1．某地区20XX年投入教育经费2500万元，20XX年投入教育经费3025万元．
（1）求20XX年至20XX年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计20XX年该地区将投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用增长率问题．
【解答】解：设增长率为x，根据题意20XX 年为2500（1+x）万元，20XX年为2500（1+x）
2
万元．

2
=3025， 2500（1+x）则解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．

（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计20XX年该地区将投入教育经费3327.5万元． 2．白溪镇20XX年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，20XX年达到82.8公
顷．
（1）求该镇2012至20XX年绿地面积的年平均增长率；

（2）若年增长率保持不变，20XX年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【考点】一元二次方程的应用增长率问题．
【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得

2
=82.8 1+x） 57.5（解得：x=0.2，x=﹣2.2（不合题意，舍去）
21
答：增长率为20%；

（2）由题意，得
82.8（1+0.2）=99.36公顷，
答：20XX年该镇绿地面积不能达到100公顷．
【点评】本题考查了增长率问题的数量 关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的
运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出 平均增长率是关键．

3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市 场调查反映：每降价1元，每星期
可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提 下，商家还想获得6080元
的利润，应将销售单价定位多少元？
【考点】一元二次方程的应用销售问题．
【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x=1，x=4，
21
又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
【点评】本题考查了一元二次方程应用，题找到关键描述语 ，找到等量关系准确的列出方程是解
决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题 意的解．

4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的 价格出售，每天可
售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出2 0斤， 斤，张
阿姨决定降价销售．260为保证每天至少售出
元，则每天的销售量是 100+200x 斤（用含x的代（1）若将这种水果每斤的售价降低x数式表
示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用销售问
题．


【解答】解：（1） 将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x ；
（斤）
，100+200x）=3004﹣2﹣x）（（（2）根据题意得：

，x=或x=1解得：

．100+200=300当x=1时，销售量是 260

＜260；当x=时，销售量是100+200×=200 （斤）
斤，∵每天至少售出 x=1．∴ 1元．答：张阿姨需将每斤的售价降低第一问关键求出每千克的利
润，求出总销售量，从而利【点评】本 题考查理解题意的能力， 润．第二问，根据售价和销售
量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
元，为了扩大销售，增件，每件赢利405．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20如果
每件衬衫每降价商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，加利润，尽量减少库存， 件；1
元，商场平均每天可多售出2 元，每件衬衫应降价多少元？（1）若商场平均每天要赢利1200 ）
每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？（2 一元二次方程的应用销售问题．【考点】 元，
（1）设每件衬衫应降价x【解答】解： 20+2x）=1200，（根据题意得（40﹣x）
2
60x+400=0 ﹣
整理得2x ，x=10．解得x=20
21
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售
越快， 故每件衬衫应降20元． 答：每件衬衫应降价20元．
y元，则（2）设商场平均每天赢利 x）（20+2x）（40﹣y=
2
+60x+800
=﹣2x
22
﹣625]=）﹣2[（x﹣15）（=﹣2x30x﹣﹣400
2
+1250（2x﹣15）．=﹣ ．x=15时，y取最
大值，最大值为1250∴当 15元时，商 场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．答：每件衬
衫降价尽量减少元，但降价10元不满足“1 20010201【点评】（）当降价元和元时，每天都赢利 ，
所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；库存” ）要用配方法将代数式变形，转化为
一个完全平方式与一个常数和或差的形式．2（．

元，根据市场调查：在一段时间内，销．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是306 10件玩具．售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出的代数式来表
示 销售，请你分别用xx元（x＞40）（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 元，并把化简后的
结果填写在表格中：件和销售该品牌玩具获得利润量ywx 销售单价（元）1000﹣（件） 10x 销
售量y
2
（元）销售玩具获得利润w+1300x﹣30000 ﹣10x（2）在（1）问条件下，若商场获
得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
【考点】一元二次方程的应用销售问题．
【解答】解：（1）
销售单价（元） x
销售量y（件） 1000﹣10x

2
w（元）销售玩具获得利润+1300x﹣30000 ﹣10x
2
+1300x﹣30000=10000）﹣10x， （2解之得：
x=50 x=80，
21
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出W与x的函数关系．


2
的矩形场200m58m长的篱笆围成一个面积为7．利用一面墙（墙的长度不限 ），另三边用地，
求矩形的长和宽．



【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．
【解答】解：设垂直于墙的一边为x米，得：
x（58﹣2x）=200
解得：x=25，x=4

21
∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米时，宽为8米；当矩形长为50米时，宽为4米．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根 据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

8．如图，一 农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长
的建筑材料围成，为 方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍
2
？80m
的长、宽分别为多少时，猪舍面积为



一元二次方程的应用几何图形问题．【考点】．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可 以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）
m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，

2
﹣13x+40=0x化简，得，
解得：x=5，x=8，
21
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问 题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程
的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

9．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两 边的
2
，
求小路的宽． 方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m


【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．
【解答】解：设小路的宽为xm，依题意有
（40﹣x）（32﹣x）=1140，

2
﹣72x+140=0．整理，得x
解得x=2，x=70（不合题意，舍去）．
21
答：小路的宽应是2m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式．另外求出4块种植地平移
为一 个长方形的长和宽是解决本题的关键．

10．）某小区在绿化工程中有一块长为18m 、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相
2
，两
块绿地之间及周边留有宽度相等 的人行通道60m同的矩形绿地，使它们的面积之和为（如图所
示），求人行通道的宽度．




【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．
解得x=1，x=8（不合题意，舍去）．
21
答：人行通道的宽度是1m．

2
得米60【点评】本题考查 了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为出等式
是解题关键．

11．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围 成
一个正方形．

2
，李明应该怎么剪这根铁丝？ ）要使这两个正方形的面 积之和等于58cm（1
2
，你认为他的说
法正确吗？请说48cm2）李明认为这两 个正方形的面积之和不可能等于（明理由．

【考点】一元二次方程的应用几何图形问题．
【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得



22
=58， （）（）+解得：x=12，x=28，
21
当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，
当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；

（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得



22
=48，（）（） +
2
﹣40m+416=0， m变形为：
2
）（﹣40=∵△﹣4×416=﹣64＜0，
∴原方程无实数根，

2
48cm∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别
式的运用 ，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．