壮丽-巴西圣保罗

函数与方程


1．函数的零点
(1)函数零点的定义
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即_____ _____，则α叫做这个函数的
________．
(2)几个等价关系
方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_____．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函
数y＝f(x)在区间(a，b)内有 零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的
根．
2．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝
ax
2
＋bx＋
c(a>0)的图
象



与x轴的交
点
无交点
零点个数

3.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函 数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在
的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零 点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1
[难点正本 疑点清源]
1．函数的零点不是点
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与x轴交点的横
坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时， 所写的一定是一个数
字，而不是一个坐标．
2．零点存在性定理的条件是充分而不必要条件
若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使 f(c)＝0，这
个c就是方程f(x)＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点， 不满足这
些条件也不能说就没有零点．如图，

f(a)·f(b)>0，f(x) 在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以我们说零点存在性定理的
条件是充分条件，但并不 必要．


1．设f(x)＝3
x
＋3x－8，用二分法求方程3
x
＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，
f(1.5) >0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
2．若函数f(x)＝x
2
－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx
2
－ax－1的零点是_ ____．
3．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N
*
)，则k的值为________．
4．若函数f(x)＝a
x
－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
5． 已知函数f(x)＝x
2
＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是____ ____.

题型一 判断函数在给定区间上零点的存在性
例1 函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．
(1)函数f(x)＝2
x
＋3x的零点所在的一个区间是 ( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)

(2)设函数f(x)＝
1
3
x－ln x (x>0)，则y＝f(x) ( )
A．在区间

1

e
，1


，(1，e)内均有零点
B．在区间

1

e
， 1


，(1，e)内均无零点
C．在区间

1

e
，1


内有零点，在区间(1，e)内无零点
D． 在区间

1

e
，1


内无零点，在区 间(1，e)内有零点
题型二 二次函数的零点分布问题
例3 已知关于x的二次方程x
2
＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．



数形结合思想在函数零点问题中的应用
(12分)已知函数f(x)＝－x
2
＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋
e
2
试题：
x
(x>0)．若y＝g(x)－m有零点，求
m的取值范围；
A组 专项基础训练题组
一、选择题
1．已知函数f(x)＝log
1
2
x－
< br>
3


x
，若实数x
0
是方程f(x)＝ 0的解，且01
0
，则f(x
1
)的值为
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零
2．已知三个函数 f(x)＝2
x
＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log
2
x＋x的零点 依次为a，b，c，则 ( )
A．a2
3．函数f(x)＝



x＋2x－ 3，x≤0，

的零点个数为 (

－2＋ln x，x>0

)
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 012
x
＋log
2 012
x，则在R上，函数f(x)零

2
点的个数为________．
三、解答题
5．是否存在这样的实数 a，使函数f(x)＝x
2
＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有< br>一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．
6．已知函数f(x)＝4
x
＋m·2
x
＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
B组 专项能力提升题组
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在 [－2,2]上的图象如图所示，给出下列四个选项，其中不正确的
是 ( )

A．函数f[g(x)]的零点有且仅有6个
B．函数g[f(x)]的零点有且仅有3个
C．函数f[f(x)]的零点有且仅有5个
D．函数g[g(x)]的零点有且仅有4个
二、填空题
4．已知函数f(x)＝ x
2
＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________ ．
三、解答题


8．m为何值时，f(x)＝x
2
＋2mx＋3m＋4.
有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

答案
要点梳理
1．(1)f(α)＝0 零点 (2)x轴 零点
2．(x
1,
0)，(x
2,
0) (x
1,
0) 两个 一个 无
基础自测
1．(1.25,1.5) 2.－
1
2
，－
1
3

3．3 4.a>1 5.(－2,0)
题型分类·深度剖析
例1 解 (1)方法一 ∵f(1)＝1
2
－3×1－18＝－20<0，
f(8)＝8
2
－3×8－18＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0，
故f(x)＝x
2
－3x－18，x∈[1,8]存在零点．

方法二 令f(x)＝0，得x
2
－3x－18＝0，x∈[1,8]．
∴(x－6)(x＋3)＝0，∵x＝6∈[1,8]，
x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x
2
－3x－18，x∈[1,8]存在零点．
(2)方法一 ∵f(1)＝log
2
3－1>log
2
2－1＝0，f(3)＝log2
5－32
8－3＝0，
∴f(1)·f(3)<0，
故f(x)＝log
2
(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．

方法二 设y＝log
2
(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象， 从图象中可以看出
当1≤x≤3时，两图象有一个交点，
因此f(x)＝log
2
(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．
变式训练1 (1)B (2)D
例2 4
变式训练2 B
例3 解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x
2
＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，如图(1)所示，得

m< －
1


f0＝2m＋1<0，

f－1＝2>0 ，


f1＝4m＋2<0，
f2＝6m＋5>0.


2
，

m∈R，
⇒

m<－1
2
，

m>－
5
6
.


即－
5
6
1
2
.

(2)抛物线与x轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示
列不等式组

m>－
1

f0>0，
2
，

f1 >0，
Δ≥
⇒


0，

m>－
12
，
0<－m<1.





m≥ 1＋2或m≤1－2，
－1

即－
1
2
变式训练3 解 方法一 若a＝0，则 f(x)＝2x－3，f(x)＝0⇒x＝
3
2
∉[－1,1]，不合题意，故a≠0 .
下面就a≠0分两种情况讨论：
(1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在[－ 1,1]上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得
15
2
≤a≤< br>2
.

f


－
1
2a


f1≤0，
(2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在[－1,1] 上有零点的条件是


1

－1<－

2a
<1，
f－1·f1>0，


解得a>
5
2
.
综上，实数a的取值范围为

1

2
，＋∞


.
方法二 函数y＝f(x)在 区间[－1,1]上有零点等价于方程2ax
2
＋2x－3＝0在区间[－1,1]上有
3

3111
实根．显然0不是y＝f(x)的零点， 由题意转化为x∈[－1,1]时求a＝·
2
－的值域．∵∈(－
6．解 ∵f(x)＝4
x
＋m·2
x
＋1有且仅有一个零点，
2xxx< br>∞，－1]∪[1，＋∞)，∴a＝
3
1
2


x< br>－
1
3


2
－
1
6
在< br>1
x
＝1时取得最小值
1
2
.
∴实数a的取值范围 为

1

2
，＋∞


.
课时规范训练
A组
1．C 2.B 3.B 4.3
5．解 ∵Δ＝(3a－2)
2
－4(a－1)>0，
∴若存在实数a满足条件，
则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1 )·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.
所以a≤－
1
5
或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.
所以f(x)＝x
2
＋x.
令f(x)＝0，即x
2
＋x＝0.
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－
1
5
，
此时f(x)＝x
2
－
13
5
x－
6
5
，
令f(x)＝0， 即x
2
－
13
5
x－
6
5
＝0，
解之得x＝－
2
5
或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，
故a≠－
1
5
.
综上所述，a<－
1
5
或a>1.
即方程(2
x
)
2
＋m·2
x
＋1＝0仅有一个实根．
设2
x
＝t (t>0)，则t
2
＋mt＋1＝0.
当Δ＝0时，即m
2
－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－ 1(不合题意，舍去)，∴2
x
＝1，x＝0符合题意．
当Δ>0时，即m>2或m<－2时，
t
2
＋mt＋1＝0有两正或两负根，
即f(x)有两个零点或没有零点．
∴这种情况不符合题意．
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
B组
1．B 4.(2,3)
8．解 ①f(x)＝x
2
＋ 2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即
4m
2< br>－4(3m＋4)＝0，即m
2
－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②方法一 设f(x)的两个零点分别为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝－2m，x
1
·x
2
＝3m＋4. < br>
Δ＝4m
2
－43m＋4>0
由题意，知


x
1
＋1x
2
＋1>0


x
1
＋1＋x
2
＋1>0

⇔

2

m－3m－4>0

3m＋4－2m＋1>0


－2m＋2>0


m>4或m<－1，
⇔


m>－5，


m<1，


∴－5故m的取值范围为(－5，－1)．
方法二 由题意，

知
< br>Δ>0，

－m>－1，


f－1>0，
< br>
m
2
－3m－4>0，
即


m<1，< br>


1－2m＋3m＋4>0.

∴－5∴m的取值范围为(－5，－1)．

4