豕是什么意思-漂荡

四年级数学奥数培训资料
第1讲 找 规 律（一）

一、知识要点
观察是解决问题的根据 。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况
下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从 不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可
以认为是正确的。
二、精讲精练
【例题1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差 都是3，即每一个数加上3都等于后面
的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16 －3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（ ），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3..
【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，
（ ），16，22
【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以
推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2
（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14
【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
- 1 -

【思路导航】在这列数中，第一 个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是
第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个 数加上2的和是第六个数……依此规
律，8后面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2 =10
练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）
（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14
（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）
【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填
什么数？
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从 第三个数开始，每一个数都等于它前
面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）0，1，3，8，21，（ ），144
（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）
（5）33，17，9，5，3，（ ）
（6）0，1，4，15，56，（ ）
（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现： 每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3
练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）
（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）
（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）
（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）
（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
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第2讲 找 规 律（二）

一、知识要点
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的一 组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的
方法，有时需要综合运用其他知识，一种方 法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分
析；
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之 间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊
位置有关，这是我们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
二、精讲精练
【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。



【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横
行中 间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
练习1：找规律，在空格里填上适当的数。




【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？



【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系： 5×
12÷10=6 4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.
练习2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）


（2）

- 3 -

（3）

【例题3】先计算下面一组算式的第一 题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写
出后几题的得数。12345679×9= 12345679×18=12345679
×54= 12345679×81=
【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣 的“缺8数”，与9
相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题 得数的规律是：
只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×
9=999999999.
练习3：找规律，写得数。
（1） 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×
9= 9+12345678×9=
（2） 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×
111111111=
（3）19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=11116+9876×
9= 111115+98765×9=
【例题4】找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45 （3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□
【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两 位数与交换它的十位、个位数字位
置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这 两个数的差。
练习4：
1．利用规律计算。（1）53－35 （2）82－28 （3）92－29 （4）61
－16 （5）95－59
2．找规律计算。（1） 62+26=（6+2）×11=8×11=88（2） 87+78=（8+7）×11=15
×11=165（3） 54+45=（□+□）×11=□×11=□【例题5】计算（1）26×11 （2）38
×11
【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插 入这两个
数字中间，就是所求的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
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练习5：计算下面各题。（1）27×11 （2）32
×11（3） 39×11 （4）46×11（5）92×
11 （6）98×11
- 5 -

第3讲 简 单 推 理

一、知识要点
解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条 理地进
行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
二、精讲精练
【例题1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克
力的重量 ，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4 袋牛肉干的重量=一包巧
克力的重量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的 重量=两袋牛
肉干的重量。
练习1：
（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量， 两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，
一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？
（2）3包巧 克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的
重量，一袋糖的重量等于几袋牛 肉干的重量？
（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪
的重量等于几只鸭的重量？
【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于 3匹小马的重量，一
匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量？
【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的
重量”可推出： “一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的
重量”，因此，一头象的 重量等于36头小猪的重量。
练习2：
（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠 萝的重量等于4个苹果的重量，1
个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重 量？
（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草
的 重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？
（3）一只 小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的
重量等于6条鱼的重量。问： 两只小猪的重量等于几条鱼的重量？
【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=18 ○＋□=10
【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：18÷3= 6，
又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.
练习3：
（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？
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□＋□＋□＋□=32 △ －□=20
（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？○＋○＋○=15
○＋○＋□＋□＋□=40
（3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？○－△=8
△＋△＋△=○
【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56
【思路导航】由第一个算式可知，△比○多2；如果将第二个算式的○都换 成△，那么5
个△=56＋2×2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10.
练习4：
（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？
□－○=8 □＋□＋○＋○=20
（2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？
△＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72
（3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？
△＋△＋△－□－□=12 □＋□＋□－△－△=2
【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他 们分别
获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳
高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项
冠军？
【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小
的不是垒球冠 军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，
“乙既不是二小的也不是 跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三
小的乙是垒球冠军。
练习5：
（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个
穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓
王的既 不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？
（2）小兔、小猫、小狗、小猴和 小鹿参加100米比赛，比赛结束后小猴说：“我比小
猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线 。”小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小
狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。
（3 ）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离
相等的座位上，戌坐在她 两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？
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第4讲 应用题（一）

一、知识要点
解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致 地分析题目中数量间的关系，通
过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从 而使问题得以顺
利解决。
二、精讲精练
【例题1】 某玩具厂把630件玩具分 别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱
与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件 玩具？
【思路导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或
一 个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料
箱装的同样多。这 样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求
出一个塑料箱装多少件。
练习1：
（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同 一
个木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？
（2）新华小学买了两张桌 子和5把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每
把椅子的4倍，每张桌子多少元？
（3）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱
等于2千克桂圆的 价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？
【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连 桶还有100千克。问：油和
桶各重多少千克？
【思路导航】原来油和桶共重180千克，用 去一半油后，连桶还有100千克，说明用
去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的 重量就是80×2=160（千克），油桶
的重量就是180－160=20（千克）。
练习2：
（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。问：梨和筐各重多
少千克？
（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送
给一年级 小朋友，余下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克？
（3）一只油桶里有一些油，如果把油加 到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把
油加到原来的4倍，这里油和桶共重46千克。原来油桶里 有油多少千克？
【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来
4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？
【思路导航】由条件“每盒取出200克，5 盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”
可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶叶正好等 于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。
练习3：
- 8 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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（1）有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个
数总和正 好和原来两筐的个数相等。原来每筐有多少个？
（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木 箱中拿出60个橘子，那么5个
木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来 每个木箱中有多
少个橘子？
（3）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克，那 么5个箱子里剩下的
饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干？
【 例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多
生产4张，结果提前 一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？
【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比 原计划提前1天完成任务，
这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实 际比原计划
每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1= 16天。
所以原计划要生产60×16=960张。
练习4：
（1）电视机厂接到 一批生产任务，计划每天生产90台，可以按期完成。实际每天多
生产5台，结果提前1天完成任务。这 批电视机共有多少台？
（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2 天看完。
这本故事书有多少页？
（3）修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修 15米，结果提前4天修
完。一共修了多少米？
【例题5】有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒 有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，
才能使两盒中的图钉相等？
【思路导航】由条件可知 ，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只
要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分 成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿
出24÷2=12只。
练习5：
（1）有两袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出
几千克放入第二袋 ，才能使两袋中的面粉重量相等？
（2）有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只。每次从甲盒中拿 4只放到乙盒，拿
几次才能使两盒相等？
（3）有两袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。 每次从多的一袋中拿出6粒放到少
的一袋里，拿几次才能使两袋糖同样多？
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第5讲 算式谜（一）

一、知识要点
“算式谜” 一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根
据已学过的知识，运用正确的 分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这
类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游 戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关 系，找到突破口，逐步试验，
分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
二、精讲精练
【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。
【思路导航】根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填2，并向十
位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（ ）中只能填6，并
向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2，第二个加数的（ ）中只
能填5，并向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。
练习1：（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。


（3）下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数
字的和。

【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数
字，相同 的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的
算式成立。

【思路导航 】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看
十位，3个“腾”相加， 再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再
看百位，两个“龙”相加，加上十 位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考
虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙 ”只能代表4，“巨”只能代表1。
练习2：




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【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个
数字中的某一个 ，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数
字？
【思路导航】这道题应以“卒”入 手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，
这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所 有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”
=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是 1；再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
练习3：

< br>【例题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出
现一次 ，组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○
【思路导航】要求用七个数字组成五个数 ，这五个数有三个是一位数，有两个是两位
数。显然，方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10
（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8），2×3=6（6不能成为商）。因此，0、
1 、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=6=÷5.
练习4：（1）将0、1、3、5 、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰
好出现一次组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○
（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 □÷□=□÷□
（3）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。 请你用0、
1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。
【例题5】把“＋、－、×、÷” 分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在
方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。3 6○0○15=15 21○3○5=□
【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是15 ，与等式左边最后一个数15相同，
因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。 显然，36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷ ”可以填，题目要求在方框
中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3与 5之间填“－”。
练习5：（1）把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当 的整数，
使下面每组的两个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□
② 17○6○2=100 5○14○7=□
（2）将1～9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□ □×□=□
- 11 -

第6讲 算式谜（二）
一、知识要点
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部
判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目
的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
二、精讲精练
【例题1】 在下面的方框中填上合适的数字。
【思路导航】由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由< br>第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，
可推出第一人个因数的百位 是3；由第一个因数为376与积为31□□0，
可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易 填了。
练习1：
在□里填上适当的数。





【例题2】在下面方框中填上适合的数字。
【思路导航】由商的十位是1，以及1 与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位
是1。由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只 可能是7、8、9。如果是7，除
数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是 1，也不能除尽；只
有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。完整的竖 式是：
练习2：在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。




【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
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【思路导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘
的积的个位是1 ，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数
b相乘的积不能进位，所以b只能是0（ 1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
练习3：
求下列各题中每个汉字所代表的数字。



花= 红 = 柳 = 绿 =




盼 = 望 = 祖 = 国 = 早 = 日 = 统 = 一 =
【例题 4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符
号，使其结果等 于100（数字的顺序不能改变）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
【思路导航】先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如： 123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相 差22，8与9相差1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100
再比如：89与1 00比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：123＋
45－67＋8－9=100 .
练习4：：（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字
的顺 序不能改变）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
（2）一个乘号 和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的
顺序不能改变）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
（3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100
【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9＋12÷3－2 = 23
【思路导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的
结果减2，那么前面 式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好
等于75，所以，应给前 面两步运算加括号。 （7×9＋12）÷3－2 = 23
练习5：
1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2 = 75（2）7×9＋12÷3－2 = 47（3）88＋33－11÷11×2 = 5
2.在1、 2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其
结果等于100（ 数字的顺序不能改变）。
华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 =
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第7讲 最优化问题
一、知识要点
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才
能做到用的时间最 少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最
省”、“面积最大”、“损耗最 小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）
值，这类问题在数学中称为极值问题 。以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练
【例题1】 用一只平底锅煎饼 ，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反
面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？
【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可
将一个取出 ，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把
第三个翻过去，再将第一个 放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要
3分钟。
练习1：
1 .烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架 子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分
钟？
2.用一只平底锅烙 大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要
烙3个大饼，最少要用几分钟？ 3.小华用平底锅烙饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2
分钟）。可小 华烙6个大饼只用了6分钟，他是怎样烙的？
【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分 钟，烧开水需要15分钟，洗
茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟 ？
【思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，
不能 烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水
可以同时进行。 < br>根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时
洗茶壶、洗茶 杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
练习2：
1.小虎早晨要完成这样几件事： 烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2
分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完 成这几件事最少需要多少分钟？
2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶 要8分钟，放茶
叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？
3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，
读外语3 0分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分
钟？
【例题 3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟， 孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一
- 14 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最
短？ < br>【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三
位同学在卫生 室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，
赵1+3=4分钟，赵明1 +3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。
练习3：
1．甲、乙、丙三人分别 拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热
水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序 ，可以使他们打热水所花的总时间最少？
2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人 需要的时间分别是10分
钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？
3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需
要2分钟， 丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，
使他们所花的总时间最少？ 最少时间是多少？
【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。 围
成的长方形的面积最大是多少？
【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的 和是18÷2=9厘米。显然，
当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是 整厘米数，因此，
当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
练习4：
1.用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的 长方
形的面积最大是多少？
2.一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？ 3.一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的
周长最长是 多少厘米？
【例题5】用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。 【思路导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能
使两个数的差 最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因
数的差越小，积越大”的规 律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402.
练习5：
1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
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第8讲 巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列 称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最
后一项称为末项，数列中项的个数称为 项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的
差 称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一 个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，
可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根
据“末项=首 项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则< br>得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括 号内的两
个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以
2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
- 16 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项 数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－
2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】容易 发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它
们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶
数两 个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分
别对应相减，可得到 50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
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第9讲 变化规律（一）
一、知识要点
和、差的规律见下表（m≠0）
一个加数（a）
±m
不变
±m

被减数（a）
±m
不变
±m
二、精讲精练
【例题1】 两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
【思路导航】一个加数增加9， 假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不
变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9， 接着又减少9，所以不发生变化。
练习1：
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？
2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？
3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？

【例题2】两个数 相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有
什么变化？
【思路导航】 一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增
加6，那么另一个加数应减少1 0－6=4。
练习2：
1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？
3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？

【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
【思路导航】被减 数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增
加8，差就减少8。两个数的差先增加 8，接着又减少8，所以不起什么变化。
- 18 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲
另一个加数（b）
不变
±m
m
减数（b）
不变
±m
±m
和（c）
±m
±m
不变
差（c）
±m
m
不变

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练习3：
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？
2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？
3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？

【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变
化？ 【思路导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因
数不变，另一个 因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大
了8÷2=4倍。
练习4：
1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？
2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？
3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？

【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
【思路导航】如 果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除
数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩 大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
练习5：
1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？
2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
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第10讲 变化规律
一、知识要点
乘、除变化规律见下表（m≠0）
被乘数（a）
×÷m
不变
×÷m

被除数（a）
×÷m
不变
×÷m
除数（b）
不变
×÷m
×÷m
商（c）
×÷m
÷×m
不变
乘数（b）
不变
×÷m
÷×m
积（c）
×÷m
×÷m
不变
我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简
单的问题。
二、精讲精练
【例题1】 两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？
【思路导航】被减数减少8，假如减 数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应
增加12－8=4。
练习1：
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？
2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？
3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
【例题2】两个数相除 ，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商
是多少？余数是多少？
【思路 导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同
的倍数。所以商是8，余数 是20×10=200。
练习2：
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数 同时扩大10倍，商是多少？余
数是多少？
2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数 和除数同时扩大120倍，商是多少？
余数是多少？
3.两个数相除，商是8，余数是600 。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？
余数是多少？
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【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么
积是多少 ？
【思路导航】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最 后的积是48×2÷3=32。
练习3：
1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？
2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？
3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？
【例题4 】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一
个加数十位上的3错误地写成 8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？
【思路导航】根据题意，一个加数个位 上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来
增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这 样，所得的结果就比原来增加了
6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋ 56）=1940。
练习4：
1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把 另一个加数个位上的6错
写成9，所得的和是532。正确的和是多少？
2.小强在计算加法 时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得
的和是285。正确的和是多少？
3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写
成8， 所得的和是650。正确的和是多少？
【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3错写成5，把十位
上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？
【思路导航】 根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，
因此减少60。这样错写的被 减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化
规律，正确的差要比错误的差多50。 正确的差是：189＋58=247。
练习5：
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错 写成8，把十位上的0错写成6，这样算得
的差是198。正确的差是多少？
2.小刚在做题 时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的
差是268。正确的差是多少？
3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算
得的差 是632。正确的差是多少？
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第11讲 错中求解
一、知识要点
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄 错，就
会导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。
二、精讲精练
【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还 余52。正
确的商是多少？
【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可 以先抓住错误的得
数，求出被除数：13×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=1 2。
练习1：
1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是 45。正确的
商应该是多少？
2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜 用15去除，甜甜得到的
商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？
3.小虎在计算除法 时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正
确的商应该是多少？
【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商
应该是多少？
【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，
根据 商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。
练习2：
1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是
多少 ？
2.小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该是多少？
3.小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应 该是
多少？
【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比 原来多了
3.而余数正好相同。正确的商和余数是多少？
【思路导航】因为被除数137被错 写成了173.被除数比原来多了173－137=36，又
因为商比原来多了3.而且余数相同，所以 除数是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以
余数是5。
练习3：
- 22 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数
正好 相同。正确的除数和余数是多少？
2.李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结 果商比原来少了3.而余
数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。
3.刘强在计算有余 数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3.余数比
原来多1。求这道除法算式的除 数和余数。
【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少？
【思路导航】一个因数的个位4错当 作1.所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因
数；实际的结果与错误的结果相差600－525= 75，75÷3=25，600÷25=24。所以一个因数
是24，另一个因数是25。
练习4：
1.小锋在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为42 0。这两
个因数各是多少？
2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误 写成7，结果得646，
实际应为418。这两个两位数各是多少？
3.李晓在计算两位数乘 两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得
2150，这道题的正确积应是900。这两 个两位数各是多少？
【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增 加了
84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确的积应是多少？
【思 路导航】由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84
÷14=6；又由 “圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。
所以正确的 积应是12×6=72。
练习5：
1.两个数相乘，如果一个因数增加10，另一个因数不 变，那么积增加80；如果一个
因数不变，另一个因数增加6，那么积增加72。原来的积是多少？ < br>2.两个数相乘，如果一个因数增加3.另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数
不变， 另一个因数减少4，那么积减少200。原来的积是多少？
3.小敏在做两位数乘两位数的题时，把一 个因数的个位数字5误写成3.得出的乘积是
552；另一个学生却把这个5写成8，得出的乘积是67 2。正确的乘积是多少？
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第12讲 简单列举
一、知识要点
有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况 下，我
们不妨采用一一列举的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到
解答整个问题的方法叫做列举法。
二、精讲精练
【例题1】从南通到上海有两条路可走，从 上海到南京有
3条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？
【思路导航】为了帮 助理解，先画一个线路示意图，并用①、
②、③、④、⑤表示其中的5条路。
我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：
根据以上列举可以发现，从南通经过①到
上 海再到南京有3种方法，从南通经过②到上
海再到南京也有3种方法，共有两个3种方法，
即3 ×2=6（种）。
练习1：
1.小明从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有两条路， 小明从家经过学校到少
年宫有几种走法？
2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同
走法？
3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从甲地
到丙地有 多少种不同的走法？
【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色
的顺序不同，我们把这些不同的信号一一列 举如下：
从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位置
时，有两种不同的信号，黄色信 号灯排在第一位置时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯
排在第一位置时，也有两种不同的信号。因此， 共有2×3=6种不同的排法。
练习2：1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？
2．小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？
3．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】有三张数字卡片， 分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要 注意“0”不能排在最高位，下面我们进行分
类考虑。（1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样 的数共有两个：60，63；（2）
- 24 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2×2=4（个）两位数。
【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出 两张排成一个两位数，一共
可以排成多少个两位数？【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位， 下面我们进行分
类考虑。（1）十位上排6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63； （2）
十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，
一共可以排成2×2=4（个）两位数。
练习3：1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？
2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？
3. 用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650
是第几个？ < br>【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于8，有多
少种取法？ 【思路导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分
类列举，可以按“几＋8、 几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。
1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7个； 2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5个；
3＋6、4＋6、5＋6，共3个；4＋5共1个。这 样，两个数的和大于8的算式共有7＋5＋
3＋1=16（个），所以，共有16种不同的取法。
练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法？
2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？
3.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找
法？
【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间
比赛一次称 为1场）
【思路导航】4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分
别为A、B、C、D，我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。
A队和其他3个队各比赛1次，要 赛3场；B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛
2场；C队还要和D队比赛1次，要赛1场。这样，一 共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
练习5：
1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？
2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。问有几个队参加比
赛？
3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环制，
每个 队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球场上
进行，平均每个学校 要安排几场比赛？
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第13讲 和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和 倍问题。
解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
二、精讲精练
【例题1】 学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种
书各有多少本？
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事书的本数看作一份 ，那么科
技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这样
的1＋3=4份。把480本书 平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千
克？
2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
3.一块长方 形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是
多少分米？
【例题2 】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3
倍，桃树的棵数是苹果树的 4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
【思路导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵 数是这样的1+3+4=8份。
所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=45 0（棵），桃树有150×4=600（棵）.
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960 只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？
2.甲、乙 、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各
是多少。
3.商 店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与
圆珠笔的支数同样多。 铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？
【例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一 个的2倍，第三个
书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
- 26 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个书橱里的本数是这样的2
份，第三个 就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，
第一个书橱里放 了
330÷11=30（本），第二个书橱里放了30×2=60（本），第三个书橱里放了60×4 =240
（本）。
练习3：
1．甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3 倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、
丙各是多少。
2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是 第二块的3倍，第二块的重量是第三块
的2倍。三块钢板各重多少千克？
3．甲、乙、丙三个 修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数
数是丙队的3倍。三个队各修了多少 米？
【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两
种 树各种了多少棵？
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216－20=19 6（棵），
这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷（1＋3）=49（棵）， 杨树
的棵数是216－49=167（棵）。
练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克 ，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，
大米和面粉各有多少千克？
2.小华和小明两人 参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42
分。两人各得多少分？
3 .学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多
8本，中年级分得 的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本？
【例题5】三个筑路队共筑路1360 米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多
240米。三个队各筑多少米？
【思路导航】 把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240
米，那么三个队共筑了136 0＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队
筑了1600÷4=400米， 甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
练习5：1.三个植树队共植 树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少
植300棵。三个队各植树多少棵？
2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？
3. 城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是
篮球个数的2倍。篮球 、足球、排球各有多少个？
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第14讲 植树问题
一、知识要点
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：
棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
二、精讲精练
【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长
多少米？
【思路导航 】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，
所以这条大路长6×27 =162米。
练习1：
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？
2. 同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到
最后一个人的距离是 40米，相邻两个人隔多少米？
3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？

【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少
棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48
（棵 ）
练习2：
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？
2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？
3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少
棵？

【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
- 28 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯
把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8
米。
练习3：
1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52 棵，相邻的
两棵树之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。
2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏
灯？
3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。
六年级有 学生多少人？

【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米， 然后锯了
5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？
【思路导航】根据题意，把长1 9－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，
所以每根短木条长18÷6=3米。
练习4：
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了 4
次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？
2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？
3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多
少分钟？

【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？
【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔 ，1层至3层有两个时间间隔，
所以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经 过了10－3=7个时间间
隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。
练习5：
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分
钟？
2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？
3.一游人以等 速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走
到第10棵树用了11分钟，如果 这个游人走22分钟，应走到第几棵树？
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第15讲 图形问题
一、知识要点
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2.从整体上 观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数
量关系明朗化。
二、精讲精练
【例题1】 人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米， 宽增加5
米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？【思路导航】用操场现在的面积减去操场原
来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，
操场原来的面积是90×45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方米。
练习1：1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分
米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？
2.一块长方形铁板，长18分米，宽13分米 。如果长和宽各减少2分米，面积比原来
减少多少平方分米？
3.一块长方形地，长是80米 ，宽是45米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长应
减少多少米？
【例题2】一个长方形 ，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如
果长不变，宽减少3米，那么它的面积减 少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？【思路导航】由“宽不变，长增加6米，面积增加 54平方米”可知，它的宽为54÷6=9
米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知， 它的长为36÷3=12米。所以，
这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
练习 2：1.一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如
果长不变，宽增加4 米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平
方米？
2.一个长方形， 如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不
变，宽增加3米，那么它的面积增加 48平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？
3.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽 减少2米，那么它的面积都减少36平
方米。求这个长方形原来的面积。
【例题3】下图是一 个养禽专业户用一段16米的篱笆围成
的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。
【思路导航】 根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加
一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16－4）÷ 2=6米，
- 30 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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占地面积是6×4=24平方米。
练习3：1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆 围成的
一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。
2.用56米长的木栏围成长或宽是20米 的长方形，其中一边利
用围墙，怎样才能使围成的面积最大？
3.用15米长的栅栏沿着围墙 围一个种植花草的长方形苗圃，其
中一面利用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最 大？
【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，
如果水泥路的总面积是 12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？【思
路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图 ）。因此，一个
长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的
长是 3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽
的差，所以小正方形的边长是3－1 =2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。
练习4：1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分 ，在它的周围修一个
宽8米的花池，花池的面积是480平方米，求水池的边长。
2.四个 完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如图），
大正方形的面积是64平方米，小正方 形的面积是4平方米，长方形的短边
是多少米？
3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米 ，大正方形的面积比小正方
形面积大96平方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少？
【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8
分米的长方形（如图），面积比 原来的正方形减少181平方分米。原正方
形的边长是多少？
【思路导航】把阴影部分剪下来 ，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上
长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼< br>合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，
长是原来正方形的边长，宽是8+5= 13分米。所以，
原来正方形的边长是221÷13=17分米。
练习5：
1.一 个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长
方形的面积比正方形的面 积少260平方米，求原来正方形的边长。
2.一个长方形的木板，如果长减少5分米，宽减少2分米 ，那么它的面积就减少66
平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形的面积。
- 31 -

3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方 形比原来少448平方厘
米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
- 32 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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第16讲 巧妙求和
一、知识要点
某些问题，可以转化为求若干个数的和 ，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某
个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求 和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分
组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 刘俊读 一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数
都前一天多3页，第11天读了60页 ，正好读完。这本书共有多少页？
【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知 道他每天读的页数
是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。要求这本书共多少页 也就是求出
这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快 得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习1：
1.刘师傅 做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做
了48个，正好做完。这批 零件共有多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一 天多
5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3.丽丽学英语单词，第一天 学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学
会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语 单词？
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就
一定能把它打开， 即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开
第三把锁至多需试27次……等 打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所
以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1 =（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2.有一 些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一
共有几把锁的钥匙搞乱了 ？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的
羽毛球只数不相等？
【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多
少次手？
- 33 -

【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人 握手，一共握了50次，
第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推， 第50个人
和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
练习3： < br>1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，
一共要 进行多少场比赛？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其 他
同学握一次手。那么一共握了多少次手？
3.假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他 们一共打了78次电话，问有多少位同
学相约互通电话？
【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
【思路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字 之和，而不是求这99
个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字 之和）
计算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0～ 199的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，
然后把它们合起来。0～199的所有数 字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209
的所有数字之和为2×10+1 +2+…+9=65。所以，1～209这209个连续自然数的全部数字
之和为1900+65=19 65。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
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第17讲 数数图形
一、知识要点
我们已经认识了线段、角、三角形、长 方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错
在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图 形中所包含的某一种基本图形
的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图 形的规律，才
能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练
【例题1】 数出下面图中有多少条线段。


【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不
遗漏。 < br>从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不
同线段有2 条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6
条线段。
练习1：：数出下列图中有多少条线段。



（2）


（3）

【例题2】数一数下图中有多少个锐角。




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【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上 的五个
点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：
1+2+3+4=10（个）.
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？






【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。




【 思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD
边上有几条线段，就构 成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所
以图中有6个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。




【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。




【 思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD
和EF上面的线段与 点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角
形也是1+2+3=6个，所以图中 共有6×2=12个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。


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【例题5】数一数下图中有多少个长方形。



【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取
决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。


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第18讲 数数图形
一、知识要点
在解决数图 形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方
法，既可以逐个计数，也可以把 图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数
出图形的个数，再把他们的个数合起来。
二、精讲精练
【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？



【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，< br>AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6
×3= 18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？



【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）




【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度 单位的
正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数< br>为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的 正方形其中所含的
正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正
方形）



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【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单
位的正方形 ）


【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度 单位的正方
形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可 以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成
n等份（长和宽的每一份都是相等的 ）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n
－2)＋…＋(m－n＋1)n .
练习3：
1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。



2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？




【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备
多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生 活中的应用，连同广州、北京在内，这
条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段， 因此要准备45种不同的车票。由
于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多 少种不同的票价，
所以共有45种不同的票价。
练习4：
1.从上海到武汉的航运 线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种
不同的船票？
2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？
3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？
【例题5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）



- 39 -

【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+ 4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘
米 < br>从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再
划分的线段称 为基本线段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的
线段出现了（2×3）次， 长3厘米的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还可
以这样算：1×4+4×（3×2） +2×（2×3）+3×（1×4）
=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…
a(n－ 1)。以上各线段长度的总和为L，那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n－3)×
3+…+ a(n－1)×1×(n－1)。
练习5：
1.一 条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长
度的总和是多少？
2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）


3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）

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第19讲 应用题
一、知识要点
解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每
天 烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天？
【思路导航】条件摘录



综合法思路：
前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路：
要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。
（10200－300×10）÷240=30（天）.
练习1：
1.某电冰箱厂 要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天
生产150台，还要多少天才 能完成任务？
2.某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套，后来改进操作 方法，
平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？
3.某机床厂 计划每天生产机床40台，30天完成任务。现在要提前10天完成任务，每
天要生产多少台？
【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务
时，徒弟还要做 2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个？
【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200÷ 25=8小时，徒弟完成任务用了
8+2=10小时。所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。
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练习2：
1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩 具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师
傅还要做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个？ 2.小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4
天才能完 成。小明每天写多少个字？
3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件， 这样可提前几天
完成任务？
【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时， 步行要40小时。张
强从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？
【思 路导航】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米；步行
200千米要40 小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×8=40千米；全程有
200千米，乘汽车 行了200－40=160千米，所以，还需160÷40=4小时到达乙地。
练习3：
1 .玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需
要4小时。一车间 工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任
务？
2.甲、乙两地相 距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地
出发，先乘汽车4小时，后改步行 ，他从甲地到乙地共用了多少小时？
3.A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行 车要25小时。王亮从A
城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时？
【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米，派21人来完
成；实 际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？
【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计 划多少天完成和实际多少天完
成。原计划21人每天修4×21=84米，修4200米需要4200÷ 84=50天。实际增加了4人，
每天修4×（21+4）=100米，修同样长的公路需要4200÷ 100=42天。所以可提前50－42=8
天完成任务。
练习4：
1.羊毛衫厂 要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件，派18人来完成。实际
增加了3人，可以提前几天完 成任务？
2.某筑路队修一条长8400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人来完成。如果< br>每人的工作效率不变，要提前8天完成任务，需要多少人参加？
3.友谊服装厂要加工192套 服装，原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成。如
果每人工作效率不变，要提前4天完成任务，需 要增加多少人加工？
- 42 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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【例题5】自行车厂计划每天生产自行车100辆，可按期完成任务，实际每天生产120
辆， 结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆？
【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完 成任务后，再生产8天可多生
产120×8=960辆。实际每天多生产120－100=20辆，可以 求出多生产960辆所用的时间，
这个时间就是原计划所需要的时间，960÷20=48天。所以，这 批自行车有100×48=4800
辆。
练习5：
1.农机厂生产柴油机，原计划 每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务。实际每
天生产50台，结果提前6天完成，这批柴油机 有多少台？
2.一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天运< br>20吨，结果提前3天运完。这批黄沙有多少吨？
3.新兴机械厂原计划30天生产一批机器， 实际每天比原计划多生产80台，结果提前
25天就完成了任务。这批机器有多少台？
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第20讲 速算与巧算
一、知识要点
速算与巧 算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高
我们的计算能力和思维能力。 这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、
减法的运算定律和运算性质，通过对算式适 当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算 式，根
据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
二、精讲精练
【例题1】 计算9+99+999+9999
【思路导航】这四 个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常
使用减整法，例如将99 转化为100－1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
练习1：
1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+9997
3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495
5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算
19998+39996+49995+69996.
【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402
想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.
练习2：
1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264
3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379
5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.
【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86
- 44 - 银海是我的光荣，我是银海的骄傲

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【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算
定律和性质 调换加数或减数的位置。

（1）632－156－232

=632－232－156

=400－156

=244

练习3：
计算下面各题1.1208－569－2082.283+69－1833.132 －85+684，2318+625－
1318+375
【例题4】计算下面各题。
1. 248+（152－127） 2. 324－（124－97） 3. 283+（358－183）
【思路导航】在计算有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以 去括号，如
果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如果括号前面是“－”号，去括号时 ，
括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。
我们可以把上面的计算方法概括为：括号 前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是
减号，去掉括号要变号。
1.248+（152－127）
=248+152－127
=400－127
=273
练习4：
计算下面各题
1.348+（252－166） 2.629+（320－129）
3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238)
5.5623－(623－289)+452－(352－211) 6.736+678+2386－(336+278)－186
【例题5】计算下面各题。
（1）286+879－679 （2）812－593+193 < br>【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据题目的特点，
采用添括号的 方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：
括号前面是加号，添上括号不 变号；括号前面是减号，添上括号要变号。



（1）286+879－679
=286+（879－679）
=286+200
=868
（2）812－593+193
=812－（593－193）
=812－400
=412
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（2）128+186+72－86
=128+72+186－86
=（128+72）+（186－86）
=200+100=300
2.324－（124－97）
=324－124+97
=200+97
=297
3.283+（358－183）
=283+358－183
=283－183+358
=100+358=458

练习5：
计算下面各题。
1.368+1859－859 2.582+393－293
3.632－385+285 4.2756－2748+1748+244
5.612－375+275+（388+286） 6.756+1478+346－（256+278）－246


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