四年级奥数:找规律

绝世美人儿
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2020年12月23日 19:10
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2020年12月23日发(作者:郝玉生)



四年级奥数:找规律(一)

我们在三年级已经见过

找规律

这个题目,学习了如何发现图形、数表和数
列的变化规律
.
这一讲重点学习具有

周期性

变化规律的问题
.
什么是周期性变化
规律呢?比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季过后就是夏天,赤日炎炎
的夏季过后就是秋天,果实累累的秋季过后就是冬天,白雪皑皑的冬季过后又到
了春天
.年复一年,总是按照春、夏、秋、冬四季变化,这就是周期性变化规律
.
再比如,数列0

1

2

0

1
2

0

1

2

0

是按照
0

1

2
三个数重复
出现 的,这也是周期性变化问题
.
下面,我们通过一些例题作进一步讲解
.

1
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照
5
盏红灯、再接
4
盏蓝灯、再接
3

黄灯,然后又是
5
盏红灯、
4
盏蓝灯、
3
盏黄灯、
……
这样排下去
.
问:


1
)第
100
盏灯是什么颜色?


2
)前
150
盏彩灯中有多少盏蓝灯?

分析与解:这是 一个周期变化问题
.
彩灯按照
5
红、
4
蓝、
3黄,每
12
盏灯一个
周期循环出现
.
12

8……4
,所以第
100
盏灯是第
9
个周期的第
4
盏灯,是红灯
.

1

100÷

2< br>)
150÷12=12……6
,前
150
盏灯共有
12
个周期零
6
盏灯,
12
个周期中
12

48(盏),最后的
6
盏灯中有
1
盏蓝灯,所以共有蓝灯
48

1=49
有蓝灯

(盏)
.

2
有一串数,任何相邻的四个数之和都等于
25.
已知第
1
个数是
3
,第
6
个数

6
,第
11
个数是
7.
问:这串数中第
24
个数是几?前
77
个数的和是多少?

分析与解:因为第
1

2

3

4< br>个数的和等于第
2

3

4

5
个 数的和,所以第
1
个数与第
5
个数相同
.
进一步可推知,第
1

5

9

13


个数都相同
.
同理,第
2

6

10

14


个数都相同,第
3

7
,< br>11

15


个数都相同,

4

8

12

16…
个数都相同
.
也就是说,这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的
.
所以,第
2
个数< br>等于第
6
个数,是
6
;第
3
个数等于第
11
个数,是
7.
前三个数依次是
3

6

7

第四个数是


25-

3+6+7

=9.



这串数按照
3

6

7

9
的顺序循环出现
.

24
个数与第
4
个数相同,是
9.
4

9……1
知,前
77
个数是
19
个周期零
1
个数,其和为
25×19+3=478.

77÷

3
下面这串数的规律是:从第
3
个数 起,每个数都是它前面两个数之和的个
位数
.
问:这串数中第
88
个 数是几?


628088640448…
分析与解:这串数看起来没有 什么规律,但是如果其中有两个相邻数字与前面的
某两个相邻数字相同,那么根据这串数的构成规律,这 两个相邻数字后面的数字
必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同,也就是说将出现周期性变化
.
我们
试着将这串数再多写出几位:


当写出第
2 1

22
位(竖线右面的两位)时就会发现,它们与第
1

2
位数相
同,所以这串数按每
20
个数一个周期循环出现
.

88÷20=4……8
知,第
88
个数
与第
8
个 数相同,所以第
88
个数是
4.
从例
3
看出,周期性规律有时并不明显,要找到它还真得动点脑筋
.

4
在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位
数字
.
那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是
“2000”



7134…
分析与解:无休止地将这串数写下去,显然不是聪明的做法
.
按照例
3
的方法找
到一周期,因为这个周期很长,所以也不是好方法
.
那么怎么办呢?仔细观察会
发现,这串数的前四个数都是奇数,按照

每 个数都是它前面四个数之和的个位
数字

,如果不看具体数,只看数的奇偶性,那么将 这串数依次写出来,得到

奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇
……
可以看出 ,这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的,永远不会出
现四个偶数连在一起的情况,即不会出 现
“2000”.

5
A

B

C< br>,
D
四个盒子中依次放有
8

6

3

1
个球
.

1
个小朋友找到放球
最少的盒子, 然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第
2
个小朋友也找到
放球最少的盒子,然 后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子
……

100
位小
朋友放 完后,
A

B

C

D
四个盒子中各放有 几个球?



分析与解:按照题意,前六位小朋友放过后,
A

B

C

D
四个盒子中的球数如下表:


可以看出,第
6
人放过后与第
2
人放过后四个盒子中球的情况相同,所以从

2
人放过后,每经过
4
人,四个盒子中球的情况重复出现一次
.
4

24……3



100-1

÷
所以第
100
次后的情况与第
4
次(
3

1

4
)后的情况相同,
A

B

C

D
盒中依次有
4
,< br>6

3

5
个球
.

练习
7


1
.有一串很长的珠子,它是按照
5
颗红珠、
3
颗白珠、
4
颗黄珠、
2
颗绿珠
的顺序重复排列的
.
问:第
100
颗珠子是什么颜色?前
200颗珠子中有多少颗红
珠?


2
.将
1
,< br>2

3

4


除以
3
的 余数依次排列起来,得到一个数列
.
求这个数
列前
100
个数的和< br>.

3
.有一串数,前两个数是
9

7
,从第三个数起,每个数是它前面两个数
乘积的个位数
.
这串数中第
100< br>个数是几?前
100
个数之和是多少?


4
.有 一列数,第一个数是
6
,以后每一个数都是它前面一个数与
7
的和的
个位数
.
这列数中第
88
个数是几?


5.小明按
1

3
报数,小红按
1

4
报数
.
两人以同样的速度同时开始报数,
当两人都报了
100
个数时 ,有多少次两人报的数相同?

6

A

B
C

D
四个盒子中依次放有
9

6

3

0
个小球
.

1
个小朋友找
到放球最 多的盒子,从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1
个球;第
2
个小朋友也
找到放球最多的盒子,也从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1个球
……

100
个小朋友放完后,
A

B< br>,
C

D
四个盒子中各放有几个球?





8


找规律(二)

a
叫做这个数的平方,记作
a
2
,即
a
2
a×a
; 整数
a
与它本身的乘积,即

a×a.
一般地,
n

a
相同样,三个
a
的乘积叫做
a的三次方,记作
a
3
,即
a
3


乘,叫做
a

n
次方,记作
a
n
,即


本讲主要讲
a
n
的个位数的变化规律,以及
a
n
除以某数所得余数的变化规律
.
因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数 的个位数有关,所以
an
的个位
数只与
a
的个位数有关,而
a
的个位数只有
0

1

2



9
共十种情况,故我
们只需讨论这十种情况
.
为了找出一个 整数
a
自乘
n
次后,乘积的个位数字的变化规律,我们列出下
页的表 格,看看
a

a
2

a
3

a< br>4


的个位数字各是什么
.
从表看出,
a
n
的个位数字的变化规律可分为三类:


1
)当
a
的个位数是
0

1

5

6
时,
a
n
的个位数仍然是
0

1< br>,
5

6.

2
)当
a
的个 位数是
4

9
时,随着
n
的增大,
a
n< br>的个位数按每两个数为一
周期循环出现
.
其中
a
的个位数是< br>4
时,按
4

6
的顺序循环出现;
a
的个位 数是
9
时,按
9

1
的顺序循环出现
.

3
)当
a
的个位数是
2

3

7

8
时,随着
n
的增大,
a
n
的个位数 按每四个
数为一周期循环出现
.
其中
a
的个位数是
2
时,按
2

4

8

6
的顺序循环出现 ;
a
的个位数是
3
时,
9

7

1
的顺序循环出现;按
3
,当
a
的个位数是
7
时, 按
7

9

3

1
的顺序循环出现;当< br>a
的个位数是
8
时,按
8

4

2

6
的顺序循环出

.


1


67
999
的个位数字
.



分析与解:因为
67
的个位数是
7
,所以
67
n
的个位数随着
n
的增大,按
7

9

3

1
四个数的顺序循环出现
.
4

249……3



999÷
所以
67
999
的个位数字与
7
3
的个位数字相同,即67
999
的个位数字是
3.

2


2
91
+3
291
的个位数字
.
4< br>,
8

6
四个数的顺序循环出现,
91÷4

22……3
,分析与解:因为
2
n
的个位数字按
2
所以,
2
91
的个位数字与
2
3
的个位数字相同,等于
8.
类似地,
3
n
的个位数字按
3

9

7

1
四个数的顺序循环出现,

291÷4

72……3


所以
3
291

3
3
的个位数相同,等于
7.
最后得到
2
91
+3
291
的个位数字与
8+ 7
的个位数字相同,等于
5.

3


28
128
-29
29
的个位数字
.
4

32
知,
28
128
的个位数与
8
4
的个位数相同,
2

14……1
解:由
128÷
等 于
6.

29÷
知,
29
29
的个位数与
9
1
的个位数相同,等于
9.
因为
6

9
,在减法中需向十位借
位,所以所求个位数字为
16

9

7.

4
求下列各除法运算所得的余数:

5



1

78
55
÷
3.

2

5
55
÷
4

13……3
知,
78< br>55
的个位数与
8
3
的个位数相同,等于分析与解:(
1)由
55÷
2
,所以
78
55
可分解为
10× a

2.
因为
10×a
能被
5
整除,所以
78
55
除以
5
的余数

2.
3
的余数 不仅仅与
a
的个位数有关,所以不能用求
5
55
的个位数 (2
)因为

3
的余数的规律,先将
5
的各次方除以< br>3
的余数列表如的方法求解
.
为了寻找
5
n
÷
下:


注意:表中除以
3
的余数并不需要计算出
5
n
,然后再除以
3
去求,而是用上
次的余数乘以
5
后,再除以
3
去求
.
比如,
5
2
除以
3< br>的余数是
1

5
3
除以
3
的余数
5 =5
除以
3
的余数相同
.
这是因为
5
2

3×8+1
,其中
3×8
能被
3
整除,而





8+1

×5=

3×8

×5+1×5



5
3
=


8

×5
能被
3
整除, 所以
5
3
除以
3
的余数与
1×5
除以
3< br>的余数相同
.


由上表看出,
5
n< br>除以
3
的余数,随着
n
的增大,按
2

1< br>的顺序循环出现
.
3
的余数与
5
1
÷3
的余 数相同,等于
2.

55÷2=27……1
知,
5
55< br>÷

5
某种细菌每小时分裂一次,每次
1
个细茵分裂成3
个细菌
.20
时后,将这些
细菌每
7
个分为一组,还 剩下几个细菌?

3=3
1
(个)细菌,
2
时后有
3
1
×3=3
2
(个)细菌
……20
时分析与解:
1
时后有

7
的余数
”.
后,有
3
2 0
个细菌,所以本题相当于


3
20
÷
由例
4

2
)的方法,将
3
的各次方除以
7
的 余数列表如下:

7
的余数以六个数为周期循环出现
.

2 0÷6

3……2
知, 由上表看出,
3
n
÷
3
20
÷7
的余数与
3
2
÷7
的余数相同,等于2.
所以最后还剩
2
个细菌
.
b
所得余数,随着
n
的增大,必然会出现周期性变化规 最后再说明一点,
a
n
÷
律,因为所得余数必然小于
b
,所以在
b< br>个数以内必会重复出现
.

练习
8


1
.求下列各数的个位数字:


1

38
38



2

29
30



3

64
31



4

17
215
.
2
.求下列各式运算结果的个位数字:


1

9 2
22

57
31



2
)< br>61
5
+48
7
+34
9


4
8
+5
9
×6
10
.

3

46
9
-62
11

< br>(
4

3
7
×
3
.求下列各除法算式所得的 余数:

4



2

8
111
÷6



1

5
100
÷
7

3

4
88
÷

答案

练习
7


1.
红;
74

.

2.100.
提示:数列是
1

2

0

1

2

0

1

2

0


,以
1

2
0
三个数
为周期循环出现
.

3.1

436.



提示:这串数 按
9

7

3

1

3

3
六个数循环出现
.

4.5.
提示:这列数 按
6

3

0

7

4

1

8

5

2

9
循环出现
.

5.27

.
提示:每报
12
个数有
3
个数相同
.

6.5

6,

3

4.
提示:解法同例
5.

练习
8


1.

1

4



2

1



3

4



4

3.

2.

1

7



2

7



3

8



4

2.

3.

1

1



2

2



3

4.
提示:(
1
)任何数除以
4
的余数都等于这个数的后两位数除以
4
的余数,
5
的任何(大于
2
)次方的后两位都是
25.

2

8n
除以
6
的余数,当
n
是奇数时等于
2
,当< br>n
是偶数时等于
4.

3
)与例
4
类似可得下表:

2

1
的顺序循环出现
.

88÷3=29……1

4
n
除以
7
的余数,随着
n
的增大,按
4

7
的余数与
4
1
÷7
的余数相同,是
4.
知,
4
88
÷

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