四年级奥数:找规律
小学生心理辅导案例-帅气的qq名字
四年级奥数:找规律(一)
我们在三年级已经见过
“
找规律
”
这个题目,学习了如何发现图形、数表和数
列的变化规律
.
这一讲重点学习具有
“
周期性
”
变化规律的问题
.
什么是周期性变化
规律呢?比如,一年有春夏秋冬四季,百花盛开的春季过后就是夏天,赤日炎炎
的夏季过后就是秋天,果实累累的秋季过后就是冬天,白雪皑皑的冬季过后又到
了春天
.年复一年,总是按照春、夏、秋、冬四季变化,这就是周期性变化规律
.
再比如,数列0
,
1
,
2
,
0
,
1
,2
,
0
,
1
,
2
,
0
,…
是按照
0
,
1
,
2
三个数重复
出现
的,这也是周期性变化问题
.
下面,我们通过一些例题作进一步讲解
.
例
1
节日的夜景真漂亮,街上的彩灯按照
5
盏红灯、再接
4
盏蓝灯、再接
3
盏
黄灯,然后又是
5
盏红灯、
4
盏蓝灯、
3
盏黄灯、
……
这样排下去
.
问:
(
1
)第
100
盏灯是什么颜色?
(
2
)前
150
盏彩灯中有多少盏蓝灯?
分析与解:这是
一个周期变化问题
.
彩灯按照
5
红、
4
蓝、
3黄,每
12
盏灯一个
周期循环出现
.
12
=
8……4
,所以第
100
盏灯是第
9
个周期的第
4
盏灯,是红灯
.
(
1
)
100÷
(
2<
br>)
150÷12=12……6
,前
150
盏灯共有
12
个周期零
6
盏灯,
12
个周期中
12
=
48(盏),最后的
6
盏灯中有
1
盏蓝灯,所以共有蓝灯
48
+
1=49
有蓝灯
4×
(盏)
.
例
2
有一串数,任何相邻的四个数之和都等于
25.
已知第
1
个数是
3
,第
6
个数
是
6
,第
11
个数是
7.
问:这串数中第
24
个数是几?前
77
个数的和是多少?
分析与解:因为第
1
,
2
,
3
,
4<
br>个数的和等于第
2
,
3
,
4
,
5
个
数的和,所以第
1
个数与第
5
个数相同
.
进一步可推知,第
1
,
5
,
9
,
13
,
…
个数都相同
.
同理,第
2
,
6
,
10
,
14
,
…
个数都相同,第
3
,
7
,<
br>11
,
15
,
…
个数都相同,
第
4
,
8
,
12
,
16…
个数都相同
.
也就是说,这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的
.
所以,第
2
个数<
br>等于第
6
个数,是
6
;第
3
个数等于第
11
个数,是
7.
前三个数依次是
3
,
6
,
7
,
第四个数是
25-
(
3+6+7
)
=9.
这串数按照
3
,
6
,
7
,
9
的顺序循环出现
.
第
24
个数与第
4
个数相同,是
9.
4
=
9……1
知,前
77
个数是
19
个周期零
1
个数,其和为
25×19+3=478.
由
77÷
例
3
下面这串数的规律是:从第
3
个数
起,每个数都是它前面两个数之和的个
位数
.
问:这串数中第
88
个
数是几?
628088640448…
分析与解:这串数看起来没有
什么规律,但是如果其中有两个相邻数字与前面的
某两个相邻数字相同,那么根据这串数的构成规律,这
两个相邻数字后面的数字
必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同,也就是说将出现周期性变化
.
我们
试着将这串数再多写出几位:
当写出第
2
1
,
22
位(竖线右面的两位)时就会发现,它们与第
1
,
2
位数相
同,所以这串数按每
20
个数一个周期循环出现
.
由
88÷20=4……8
知,第
88
个数
与第
8
个
数相同,所以第
88
个数是
4.
从例
3
看出,周期性规律有时并不明显,要找到它还真得动点脑筋
.
例
4
在下面的一串数中,从第五个数起,每个数都是它前面四个数之和的个位
数字
.
那么在这串数中,能否出现相邻的四个数是
“2000”
?
7134…
分析与解:无休止地将这串数写下去,显然不是聪明的做法
.
按照例
3
的方法找
到一周期,因为这个周期很长,所以也不是好方法
.
那么怎么办呢?仔细观察会
发现,这串数的前四个数都是奇数,按照
“
每
个数都是它前面四个数之和的个位
数字
”
,如果不看具体数,只看数的奇偶性,那么将
这串数依次写出来,得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇
……
可以看出
,这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的,永远不会出
现四个偶数连在一起的情况,即不会出
现
“2000”.
例
5
A
,
B
,
C<
br>,
D
四个盒子中依次放有
8
,
6
,
3
,
1
个球
.
第
1
个小朋友找到放球
最少的盒子,
然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子;第
2
个小朋友也找到
放球最少的盒子,然
后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子
……
当
100
位小
朋友放
完后,
A
,
B
,
C
,
D
四个盒子中各放有
几个球?
分析与解:按照题意,前六位小朋友放过后,
A
,
B
,
C
,
D
四个盒子中的球数如下表:
可以看出,第
6
人放过后与第
2
人放过后四个盒子中球的情况相同,所以从
第
2
人放过后,每经过
4
人,四个盒子中球的情况重复出现一次
.
4
=
24……3
,
(
100-1
)
÷
所以第
100
次后的情况与第
4
次(
3
+
1
=
4
)后的情况相同,
A
,
B
,
C
,
D
盒中依次有
4
,<
br>6
,
3
,
5
个球
.
练习
7
1
.有一串很长的珠子,它是按照
5
颗红珠、
3
颗白珠、
4
颗黄珠、
2
颗绿珠
的顺序重复排列的
.
问:第
100
颗珠子是什么颜色?前
200颗珠子中有多少颗红
珠?
2
.将
1
,<
br>2
,
3
,
4
,
…
除以
3
的
余数依次排列起来,得到一个数列
.
求这个数
列前
100
个数的和<
br>.
3
.有一串数,前两个数是
9
和
7
,从第三个数起,每个数是它前面两个数
乘积的个位数
.
这串数中第
100<
br>个数是几?前
100
个数之和是多少?
4
.有
一列数,第一个数是
6
,以后每一个数都是它前面一个数与
7
的和的
个位数
.
这列数中第
88
个数是几?
5.小明按
1
~
3
报数,小红按
1
~
4
报数
.
两人以同样的速度同时开始报数,
当两人都报了
100
个数时
,有多少次两人报的数相同?
6
.
A
,
B
,C
,
D
四个盒子中依次放有
9
,
6
,
3
,
0
个小球
.
第
1
个小朋友找
到放球最
多的盒子,从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1
个球;第
2
个小朋友也
找到放球最多的盒子,也从中拿出
3
个球放到其它盒子中各
1个球
……
当
100
个小朋友放完后,
A
,
B<
br>,
C
,
D
四个盒子中各放有几个球?
第
8
讲
找规律(二)
a
叫做这个数的平方,记作
a
2
,即
a
2
=a×a
; 整数
a
与它本身的乘积,即
a×
a×a.
一般地,
n
个
a
相同样,三个
a
的乘积叫做
a的三次方,记作
a
3
,即
a
3
=
a×
乘,叫做
a
的
n
次方,记作
a
n
,即
本讲主要讲
a
n
的个位数的变化规律,以及
a
n
除以某数所得余数的变化规律
.
因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数
的个位数有关,所以
an
的个位
数只与
a
的个位数有关,而
a
的个位数只有
0
,
1
,
2
,
…
,
9
共十种情况,故我
们只需讨论这十种情况
.
为了找出一个
整数
a
自乘
n
次后,乘积的个位数字的变化规律,我们列出下
页的表
格,看看
a
,
a
2
,
a
3
,
a<
br>4
,
…
的个位数字各是什么
.
从表看出,
a
n
的个位数字的变化规律可分为三类:
(
1
)当
a
的个位数是
0
,
1
,
5
,
6
时,
a
n
的个位数仍然是
0
,
1<
br>,
5
,
6.
(
2
)当
a
的个
位数是
4
,
9
时,随着
n
的增大,
a
n<
br>的个位数按每两个数为一
周期循环出现
.
其中
a
的个位数是<
br>4
时,按
4
,
6
的顺序循环出现;
a
的个位
数是
9
时,按
9
,
1
的顺序循环出现
.
(
3
)当
a
的个位数是
2
,
3
,
7
,
8
时,随着
n
的增大,
a
n
的个位数
按每四个
数为一周期循环出现
.
其中
a
的个位数是
2
时,按
2
,
4
,
8
,
6
的顺序循环出现
;
a
的个位数是
3
时,
9
,
7
,
1
的顺序循环出现;按
3
,当
a
的个位数是
7
时,
按
7
,
9
,
3
,
1
的顺序循环出现;当<
br>a
的个位数是
8
时,按
8
,
4
,
2
,
6
的顺序循环出
现
.
例
1
求
67
999
的个位数字
.
分析与解:因为
67
的个位数是
7
,所以
67
n
的个位数随着
n
的增大,按
7
,
9
,
3
,
1
四个数的顺序循环出现
.
4
=
249……3
,
999÷
所以
67
999
的个位数字与
7
3
的个位数字相同,即67
999
的个位数字是
3.
例
2
求
2
91
+3
291
的个位数字
.
4<
br>,
8
,
6
四个数的顺序循环出现,
91÷4
=
22……3
,分析与解:因为
2
n
的个位数字按
2
,所以,
2
91
的个位数字与
2
3
的个位数字相同,等于
8.
类似地,
3
n
的个位数字按
3
,
9
,
7
,
1
四个数的顺序循环出现,
291÷4
=
72……3
,
所以
3
291
与
3
3
的个位数相同,等于
7.
最后得到
2
91
+3
291
的个位数字与
8+
7
的个位数字相同,等于
5.
例
3
求
28
128
-29
29
的个位数字
.
4
=
32
知,
28
128
的个位数与
8
4
的个位数相同,
2
=
14……1
解:由
128÷
等
于
6.
由
29÷
知,
29
29
的个位数与
9
1
的个位数相同,等于
9.
因为
6
<
9
,在减法中需向十位借
位,所以所求个位数字为
16
-
9
=
7.
例
4
求下列各除法运算所得的余数:
5
;
(
1
)
78
55
÷
3.
(
2
)
5
55
÷
4
=
13……3
知,
78<
br>55
的个位数与
8
3
的个位数相同,等于分析与解:(
1)由
55÷
2
,所以
78
55
可分解为
10×
a
+
2.
因为
10×a
能被
5
整除,所以
78
55
除以
5
的余数
是
2.
3
的余数
不仅仅与
a
的个位数有关,所以不能用求
5
55
的个位数 (2
)因为
a÷
3
的余数的规律,先将
5
的各次方除以<
br>3
的余数列表如的方法求解
.
为了寻找
5
n
÷
下:
注意:表中除以
3
的余数并不需要计算出
5
n
,然后再除以
3
去求,而是用上
次的余数乘以
5
后,再除以
3
去求
.
比如,
5
2
除以
3<
br>的余数是
1
,
5
3
除以
3
的余数
5
=5
除以
3
的余数相同
.
这是因为
5
2
=
3×8+1
,其中
3×8
能被
3
整除,而
与
1×
8+1
)
×5=
(
3×8
)
×5+1×5
,
5
3
=
(
3×
8
)
×5
能被
3
整除,
所以
5
3
除以
3
的余数与
1×5
除以
3<
br>的余数相同
.
(
3×
由上表看出,
5
n<
br>除以
3
的余数,随着
n
的增大,按
2
,
1<
br>的顺序循环出现
.
3
的余数与
5
1
÷3
的余
数相同,等于
2.
由
55÷2=27……1
知,
5
55<
br>÷
例
5
某种细菌每小时分裂一次,每次
1
个细茵分裂成3
个细菌
.20
时后,将这些
细菌每
7
个分为一组,还
剩下几个细菌?
3=3
1
(个)细菌,
2
时后有
3
1
×3=3
2
(个)细菌
……20
时分析与解:
1
时后有
1×
7
的余数
”.
后,有
3
2
0
个细菌,所以本题相当于
“
求
3
20
÷
由例
4
(
2
)的方法,将
3
的各次方除以
7
的
余数列表如下:
7
的余数以六个数为周期循环出现
.
由
2
0÷6
=
3……2
知, 由上表看出,
3
n
÷
3
20
÷7
的余数与
3
2
÷7
的余数相同,等于2.
所以最后还剩
2
个细菌
.
b
所得余数,随着
n
的增大,必然会出现周期性变化规 最后再说明一点,
a
n
÷
律,因为所得余数必然小于
b
,所以在
b<
br>个数以内必会重复出现
.
练习
8
1
.求下列各数的个位数字:
(
1
)
38
38
;
(
2
)
29
30
;
(
3
)
64
31
;
(
4
)
17
215
.
2
.求下列各式运算结果的个位数字:
(
1
)
9
2
22
+
57
31
;
(
2
)<
br>61
5
+48
7
+34
9
;
4
8
+5
9
×6
10
.
(
3
)
46
9
-62
11
;
<
br>(
4
)
3
7
×
3
.求下列各除法算式所得的
余数:
4
;
(
2
)
8
111
÷6
;
(
1
)
5
100
÷
7
(
3
)
4
88
÷
答案
练习
7
1.
红;
74
颗
.
2.100.
提示:数列是
1
,
2
,
0
,
1
,
2
,
0
,
1
,
2
,
0
,
…
,以
1
,
2
,0
三个数
为周期循环出现
.
3.1
;
436.
提示:这串数
按
9
,
7
,
3
,
1
,
3
,
3
六个数循环出现
.
4.5.
提示:这列数
按
6
,
3
,
0
,
7
,
4
,
1
,
8
,
5
,
2
,
9
循环出现
.
5.27
次
.
提示:每报
12
个数有
3
个数相同
.
6.5
,
6,
,
3
,
4.
提示:解法同例
5.
练习
8
1.
(
1
)
4
;
(
2
)
1
;
(
3
)
4
;
(
4
)
3.
2.
(
1
)
7
;
(
2
)
7
;
(
3
)
8
;
(
4
)
2.
3.
(
1
)
1
;
(
2
)
2
;
(
3
)
4.
提示:(
1
)任何数除以
4
的余数都等于这个数的后两位数除以
4
的余数,
5
的任何(大于
2
)次方的后两位都是
25.
(
2
)
8n
除以
6
的余数,当
n
是奇数时等于
2
,当<
br>n
是偶数时等于
4.
(
3
)与例
4
类似可得下表:
2
,
1
的顺序循环出现
.
由
88÷3=29……1
4
n
除以
7
的余数,随着
n
的增大,按
4
,
7
的余数与
4
1
÷7
的余数相同,是
4.
知,
4
88
÷