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小学四年级奥数暑期精品讲义
目 录
第1讲 找规律(一)
第2讲 找规律(二)
第3讲 简单推理
第4讲 应用题(一)
第5讲 算式谜(一)
第6讲 算式谜(二)
第7讲 最优化问题
第8讲 巧妙求和(一)
第9讲 变化规律(一)
第10讲 变化规律(二)
第11讲 错中求解
第12讲 简单列举
第13讲 和倍问题
第14讲 植树问题
第15讲 图形问题
第16讲 巧妙求和（二）
第17讲 数图形(一)
第18讲 数数图形(二)
第19讲 应用题(二)
第20讲 速算与巧算

第1讲 找规律(一)
一、知识要点
观察是解决 问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，可以从以下几
个方面来找规 律：
1.根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数;
2.根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数;
3.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律;
4.数之间的联系往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练
【例题1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，( )，16，19
【思路导航】在这列数中，相 邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规
律，括号里应填的数为：10+ 3=13或16-3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
(1)2，6，10，14，( )，22，26
(2)3，6，9，12，( )，18，21
(3)33，28，23，( )，13，( )，3
(4)55，49，43，( )，31，( )，19
(5)3，6，12，( )，48，( )，192
(6)2，6，18，( )，162，( )
(7)128，64，32，( )，8，( )，2
(8)19，3，17，3，15，3，( )，( )，11，3..
【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，( )，16，

22
【思路导航】在这列数中，前4个数每相邻的 两个数的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括号里的
数少4，括号里应填：7+4=11。经验证 ，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
(1)10，11，13，16，20，( )，31
(2)1，4，9，16，25，( )，49，64
(3)3，2，5，2，7，2，( )，( )，11，2
(4)53，44，36，29，( )，18，( )，11，9，8
(5)81，64，49，36，( )，16，( )，4，1，0
(6)28，1，26，1，24，1，( )，( )，20，1
(7)30，2，26，2，22，2，( )，( )，14，2
(8)1，6，4，8，7，10，( )，( )，13，14
【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，( )，( )，11，12
【思路导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数 ，第二个数加上2的和是第四个数，第三个
数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数„ „依此规律，8后面的一个数为：17-3=14，11
前面的数为：8+2=10
练习3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
(1)1，6，5，10，9，14，13，( )，( )
(2)13，2，15，4，17，6，( )，( )
(3)3，29，4，28，6，26，9，23，( )，( )，18，14
(4)21，2，19，5，17，8，( )，( )
(5)32，20，29，18，26，16，( )，( )，20，12
(6)2，9，6，10，18，11，54，( )，( )，13，486
(7)1，5，2，8，4，11，8，14，( )，( )
(8)320，1，160，3，80，9，40，27，( )，( )
【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，( )，34，55„„中，括号里应填什么数?
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：从第三 个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。根
据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21或3 4-13=21
上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列，也叫做“兔子数列”。
练习4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
(1)2，2，4，6，10，16，( )，( )
(2)34，21，13，8，5，( )，2，( )
(3)0，1，3，8，21，( )，144
(4)3，7，15，31，63，( )，( )
(5)33，17，9，5，3，( )
(6)0，1，4，15，56，( )
(7)1，3，6，8，16，18，( )，( )，76，78
(8)0，1，2，4，7，12，20，( )
【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
(8，4)(5，7)(10，2)(□，9)
【思路导航】经仔细观察、分析，不难发现：每个 括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□
里所填的数应为：12-9=3
练习5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
(1)(6，9)(7，8)(10，5)(□，□)
(2)(1，24)(2，12)(3，8)(4，□)

(3)(18，17)(14，10)(10，1)(□，5)
(4)(2，3)(5，9)(7，13)(9，□)
(5)(2，3)(5，7)(7，10)(10，□)
(6)(64，62)(48，46)(29，27)(15，□)
(7)(100，50)(86，43)(64，32)(□，21)
(8)(8，6)(16，3)(24，2)(12，□)



第2讲 找规律(二)
一、知识要点
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的一组数 变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综
合运用其他知识，一种方法不 行，就要及时调整思路，换一种方法再分析;
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化 规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我
们解这类题的突破口。
13 19 6
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

7 16 9
二、精讲精练
6 12
【例题1】根据右表中的排列规律，在空格里填上适当的数。
【思路导航】经仔细观察、分析表格 中的数可以发现：13+6=19，7+9=16，即每一横行中间的数等于两
边的两个数的和。依此规 律，空格中应填的数为：6+12=18。
练习1：找规律，在空格里填上适当的数。

4 12 9
8 15 7 9 16 7

6 24
12 28 16 20 31 11


7 35 30
4 9 11 4

【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数?
8
5

4

30

12
6
20
8

【思路导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4×20
÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.
练习2：
1、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
3 5 10

6
9
12
30
3

（1）

11 9 7
9
13 8
（2）
5
4
4
4
3


9 12 15
（3）

36
12
48
16



5
2、把1－9九个数字填入右边表格中，使每行、每列、对角三个数字的和都是15，

其中数字5已填好，并且每个数字只能用一次。


【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据 规律直接写出后几题的得数。
12345679×9= 12345679×18= 12345679×54= 12345679×81=
【思路导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是 有趣的“缺8数”，与9相乘，结果是由

九个1组成的九位数，即：1111 11111。不难发现，这组题得数的规律是：只要看每道算式的第二个因数中
包含几个9，乘积中就包 含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999.
练习3：找规律，写得数。
(1) 1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9=
(2) 1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111=
(3)19+9×9= 118+98×9= 1117+987×9=
11116+9876×9= 111115+98765×9=
【例题4】找规律计算。(1) 81-18=(8-1)×9=7×9=63
(2) 72—27=(7-2)×9=5×9=45 (3) 63-36=(□-□)×9=□×9=□
【思路导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，
只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
练习4：
1.利用规律计算。(1)53-35 (2)82-28 (3)92-29 (4)61-16 (5)95-59
2.找规律计算。(1) 62+26=(6+2)×11=8×11=88 (2) 87+78=(8+7)×11=15×11=165
(3) 54+45=(□+□)×11=□×11=□
【例题5】计算(1)26×11 (2)38×11
【思路导航】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是 所
求的积。(1) 26×11=2(2+6)6=286(2) 38×11=3(3+8)8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
练习5：计算下面各题。(1)27×11 (2)32×11 (3) 39×11 (4)46×11 (5)92×11 (6)98×11
第3讲 简单推理
一、知识要点
解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进 行，要充分利用已
经得出的结论，作为进一步推理的依据。
二、精讲精练
【例题1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋饼干
等于几袋牛肉干的重量?
【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉 干的重量=一包巧克力的重量”
可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量= 两袋牛肉干的重量。
练习1：
(1)一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的 重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几
根香蕉的重量?

(2)3包巧克 力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等
于几袋牛肉 干的重量?

(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一 只小猪的重量等于几只鸭的
重量?

【例题2】一头象的重量等于4头牛的重量 ，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一匹小马的重量等于
3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪 的重量?
【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小马的 重量”可推出：
“一头象的重量等于12匹小马的重量”，而“一匹小马的重量等于3头小猪的重量”， 因此，一头象的重量
等于36头小猪的重量。

练习2： (1)一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个菠萝的重量等于4个苹果的重量，1个苹果的重量等于两< br>个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的重量?

(2)一头牛一天吃草的重量 和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头
牛每天吃青草18千克，一 只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克?

(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡 的重量等于4只鸭的重量，两只鸭的重量等于6条鱼的重
量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量?


【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少? ○+○+○=18 ○+□=10
【思路导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：18÷ 3=6，又由第二个算式
可求出□代表的数是：10-6=4.
练习3：
(1)根据下面两个算式，求□与△各代表多少?
□+□+□+□=32 △-□=20

(2)根据下面两个算式，求○与□各代表多少? ○+○+○=15 ○+○+□+□+□=40

(3)根据下面两个算式，求○与△各代表多少? ○-△=8 △+△+△=○

【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少?
△-○=2 ○+○+△+△+△=56
【思路导航】由第一个算式可知，△比○多2;如果将 第二个算式的○都换成△，那么5个△=56+2×2，
△=12，再由第一个算式可知，○=12-2 =10.
练习4：
(1)根据下面两个算式求□与○各代表多少?
□-○=8 □+□+○+○=20

(2)根据下面两个算式，求△与○各代表多少?
△+△+△+○+○=78 △+△+○+○+○=72

(3)根据下面两个算式，求△与□各代表多少?
△+△+△-□-□=12 □+□+□-△-△=2

（4）有10名同学参加小 学四年级奥数竞赛，已知这10名同学的平均分是72分，前6名同学的平均分
是73分，后6名同学的 平均分是70分，那么第5名和第6名两个同学的平均分是多少分？



【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和
垒 球冠军。已知：二小的是跳远冠军;一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军;乙既不是二小的也不是跳高冠
军。问：他们三个人分别是哪个学校的?获得哪项冠军?
【思路导航】由“二小的是跳远冠军” 可知垒球、跳高冠军是一小或三小的;因为“一小的不是垒球冠
军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的 是垒球冠军;由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠
军”可知，一小的甲是跳高冠军， 二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。

练习5：
(1 )有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一个
姓 王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。
你能猜出这三个女孩各姓什么吗?


(2)小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加1 00米比赛，比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：
“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说 ：“我们的名次排在小猴前面，小狗在后面。”请根据它们的回答排出
名次。

< br>(3)五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离相等的座位上，戌坐在
她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐?

（4）甲乙丙丁四人比身高，甲说：“我比 丙高。”乙说：“我不是最高的，也不是最矮的，但比甲高。”你
知道他们的身高顺序吗？请按从高到矮 的顺序写出来。

（5）小明参加小学四年级数学口算比赛，他做对了95题，获得第三名。 小明很想知道第一名做对了多
少题，他了解到如下信息：第二名和第三名平均每人做对了96题，第一名 和第二名平均每人做对了98题。
根据以上信息，你能帮小明算出这次比赛第一名做对了多少题吗？






第4讲 应用题(一)
一、知识要点
解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，通 过对条件进行比较、
转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱 里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具
同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?
【思路 导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少
件。因为 3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装
的玩具 件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求出一个塑料箱装多少件。
练习1：
(1) 百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一个木箱装的球鞋同样多，
每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?


(2)新华小学买了两张桌子和5把椅子 ，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍，每张桌
子多少元?


(3)王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的 价钱。
每千克荔枝和每千克桂圆各多少元?

【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问：油和桶各重多少千克?
【思路导航】原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克，说明用去的一半油 的重是
180-100=80(千克)，一桶油的重量就是80×2=160(千克)，油桶的重量就是 180-160=20(千克)。
练习2：
(1)一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。问：梨和筐各重多少千克?

(2)一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年 级小朋友，余
下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克?


(3) 一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的2倍，油桶连油重38千克;如果把油加到原来的4倍，这
里 油和桶共重46千克。原来油桶里有油多少千克?


【例题3】有5盒茶叶， 如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相
等。原来每盒茶叶有多少 克?
【思路导航】由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可 以推出，拿
出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。
练习3：
(1)有6筐梨子，每筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩 下的个数总和正好和原来两筐
的个数相等。原来每筐有多少个?


(2) 在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩下的橘子的
个数 的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原来每个木箱中有多少个橘子?


(3 )某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克，那么5个箱子里剩下的饼干正好等于原来3
箱 饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干?


【例题4】一个木器厂要生 产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提
前一天完成任务。原计划要 生产多少张课桌?
【思路导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成 任务，这就相当于把原
计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划每天多生 产4张，所以实际生产的
天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15+1=16天。所以原计划 要生产60×16=960张。
练习4：
(1)电视机厂接到一批生产任务，计划每天 生产90台，可以按期完成。实际每天多生产5台，结果提前1
天完成任务。这批电视机共有多少台?


(2)小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天 看完。这本故事书有多少
页?

(3)修一条 公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结果提前4天修完。一共修了多少米?


【例题5】有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒，才 能使两盒中的图
钉相等?
【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多72-48=24只。 要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多
的24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了 。所以应拿出24÷2=12只。
练习5：
(1)有两袋面粉，第一袋面粉有24千克 ，第二袋面粉有18千克。从第一袋中取出几千克放入第二袋，才
能使两袋中的面粉重量相等?


(2)有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙盒 ，拿几次才能使两盒相等?


(3)有两袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。 每次从多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿几次才能
使两袋糖同样多?

（4） 一列车队共有25辆汽车，每辆车长4米，前后两辆车相距5米，这列车队有多长？如果车队每分
钟行驶 100米，要通过长580米的公路，需要多少时间？








第5讲 算式谜(一)
一、知识要点
“算式 谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可以根据已学过的
知识，运用正 确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。由于这类题目的解答过程类似全平时
进行的猜谜 语游戏，所以，我们把这类题目称为“算式谜题”。
解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据 之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通
常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
二、精讲精练
【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。
　　 7 6 ( )　　　 5

＋　 ( ) 4　　　7

( )　 2 1 ( )
【思路导航】根据题目特点，先看个位：7+5=12，在和的个位( )中填2，并向十位进一;再看
十位，( )+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的( )中只能填6，并向百位进1;最后来看百位、千
位，6+( )+1的和的个位是2，第二个加数的( )中只能填5，并向千位进1;因此，和的千位( )
中应填8。
练习1：(1)在括号里填上合适的数。 (2)在括号里填上合适的数。

　　 6 ( )　　　 ( )　　

＋ 2 ( ) 1　　　　 5

( )　 0 9 1
　　 ( ) 0 ( )　　　　　 ( )　　

－ 3 ( )　　　 1 7　

2 8 5 6
(3)下面的竖式里，有4个数字被遮住了， （4）把0－6这七个数字分别填入下式括号中，使竖式
求竖式中被盖住的4个数字的和。 成立。
　　 ( )　　　 ( )　　
1 6 9
　　 0.　 ( 　)　 ( 　)
0. ( 　)　 ( 　)

＋ ( ) ( ) 　　　

　
+ 0. ( )　 ( 　)
0.　 ( 　)　 　 0

【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代 表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。
　　 腾飞

龙腾飞
＋ 巨龙腾飞
2 0 0 1

【思路导航】先看个位，3个“飞”相加的 和的个位数字是1，可推知“飞”代表7;再看十位，3个“腾”
相加，再加上个位进来的2，所得的和 的个位是0，可推知“腾”代表6;再看百位，两个“龙”相加，加上
十位进上来的2，所得和的个位是 0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”
只能代表4，“巨”只能代表 1。
　　 字谜　　 澳门
　　 C D
练习2：
A C D

填字谜

澳门归

＋ A B C D
＋ 巧填字谜 ＋ 庆澳门归
1 9 8 9
1 9 9 5 1 9 9 9




【例题 3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代
表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字?
　　 兵炮马卒

＋ 兵炮车卒

车卒马兵卒
【思路导航】这道题应以“ 卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”，这个数字
只能是0。确定“卒”是0 后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易
知道“兵”是5，“ 车”是1;再由十位上的情况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
　 BA
ABC
　　 炮兵兵炮
练习3：
AB

＋ CDC

－ 兵马兵

＋ AB
ABCD
马兵马
CAA




【例题4】将0、1、2、3 、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个

整数算式。 ○×○=□=○÷○
【思路导航】要求用七个数字组成五个数，这五个数有 三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中
的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=12(2将出现两次)，2×5=10(经试验不合题意 )，2
×4=8(7个数字中没有8)，2×3=6(6不能成为商)。因此，0、1、2只能用来组成 两位数。经试验可得：3×
4=12=6=÷5.
练习4：(1)将0、1、3、5、6 、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整
数算式。 ○×○=□=○÷○
(2)填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 □÷□=□÷□
(3)用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：(1+3)×7=28。请你用0、1 、2、3、4、6这六个
数字列成一个算式。
【例题5】把“+、-、×、÷”分别放在 适当的圆圈中(运算符号只能用一次)，并在方框中填上适当的
数，使下面的两个等式成立。36○0○ 15=15 21○3○5=□
【思路导航】先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边 最后一个数15相同，因为0+15=15，
所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36× 0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“-”、“÷”可以填 ，题目要求在方框中填整数，
已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3与5之间填 “-”。
练习5：(1)把“+、-、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整 数，使下面每组的两
个等式成立。 ① 9○13○7=100 14○2○5=□ ② 17○6○2=100 5○14○7=□
(2)将1～9这九个数字填入□中(每个数字只能用一次)，组成三个等式。
□+□=□ □-□=□ □×□=□












第6讲 算式谜(二)
一、知识要点
解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断;
2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字;
3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的;
4.算式谜解出后，要验算一遍。
二、精讲精练
【例题1】 在下面的括号中填上合适的数字。
( ) 7 6　
 ( )( )　　　　
1 8 ( )( )　　　　

　( )( )( )( )　　　　　　　

3 1 ( ) ( ) 0　　　　

【思路 导航】由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5，并结合第一个
因数与 5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0，可推
出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
练习1： 在括号里填上适当的数。
6 ( )　
2 8 5
 ( )　　　 ( )　
 3 5  ( ) 6　　　
　　　　

3 3 ( )　　　

( )( ) 0 4　　　

1 ( ) 2 ( )
( )( )( )　　　　　
1 ( ) 8　 ( )( ) 7 0　　　


( )　　 9 ( )( )　　
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )　　　　　　　　　
( ) 2 ( )( )　　　　　
【例题2】在下面括号中填上适合的数字。
( )( ) 　　

( )( )

　　1 ( ) 2 　
1 ( ) 　

( ) 2　
( )( )　　

0
【思路导航】由商的十位是1，以及1与除数 的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除
后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是 7、8、9。如果是7，除数的个位是0，那么最后必有余数;
如果被除数是8，除数的个位就是1，也 不能除尽;只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个
位为6，正好除尽。完整的竖式是：
( 1 )( 6 ) 　　

( 1 )( 2 )

　　1 ( 9 ) 2 　
1 ( 2 ) 　

( 7 ) 2　
( 7 )( 2 )　　

0
练习2：在括号内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。
( )( ) 　　
8 ( )( )( ) 　　　
　　 ( )( )( ) 1 　　　

6 ( )( )

( )( )　　 ( )( )( )( )( ) 　　　　　

( )( ) 7 　　
( )( ) 　　


( )( )( )( ) 　　　　
( )( )( ) 　　　
( )( ) 6 1 　　
( )( )( ) 　　　


0
( ) 0　

( )( )　　
0
【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?
a b c d

× 9

d c b a
【思路导航】因为四位数abcd乘9的 积是四位数，可知a是1;d和9相乘的积的个位是1，可知d只能
是9;因为第二个因数9与第一个因 数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0(1已经用过);再由
b=0，可推知c=8。
练习3：求下列各题中每个汉字所代表的数字。
花红柳绿
(1)
× 9

花＝ 红＝ 柳＝ 绿＝
柳绿花红

1 华罗庚金杯
3
(2)
×
华＝ 罗＝ 庚＝ 金＝ 杯＝
华罗庚金杯 1
盼＝ 望＝ 祖＝ 国＝
一


(3)
×
早＝ 日＝ 统＝ 一＝
盼盼盼盼盼盼盼盼盼
【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数 字中间加上“+、-”两种运算符号，使其结果等
于100(数字的顺序不能改变)。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
【思路导航】先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如：12 3与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。因为45与67相差
2 2，8与9相差1，所以得到一种解法：123+45-67+8-9=100
再比如：89与1 00比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：123+45-67+8-9=100. 练习4：：(1)在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99(数字的顺序不能改变)。
8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
(2)一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100(数字的顺序不能改变)。 1 2
3 4 5 6 7 8 9 = 100
(3)添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100
【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。 7×9+12÷3-2 = 23
【思路导 航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果减2，那么前
面式子的运 算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9+12又正好等于75，所以，应给前面两步运算加括号。 (7×9+12)÷3-2 = 23
练习5：
1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。
(1)7×9+12÷3-2 = 75(2)7×9+12÷3-2 = 47(3)88+33-11÷11×2 = 5
2.在 1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“+、-”两种运算符号，使其结果等于100(数字
的顺序不能改变)。


第7讲 最优化问题
一、知识要点
在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间 最
少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗 最小”等
等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问 题。以上的问
题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练
【例题1】 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问
煎3个饼至 少需要多少分钟?
【思路导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这 时可将一个取出，另一
个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把第三个翻过 去，再将第一个放入煎，
再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要3分钟。
练习1：
1.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小 丽用来烤面包的
架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟?
2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少
要用几分钟?
盼望祖国早日统一

3.小华用平底锅烙 饼，这只锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟(每面各需要2分钟)。可小华烙6
个大饼只用了6分 钟，他是怎样烙的?
【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15 分钟，洗茶壶需要1分钟，
洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟?
【 思路导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因
此， 洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。
根据以上的分 析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时洗茶壶、洗茶杯、
拿茶叶，水开了 就沏茶，共需要16分钟。
练习2：
1.小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水 需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5
分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事 最少需要多少分钟?
2.小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分 钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了?
3.在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分 钟，
吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟?
【例题 3】五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分
钟， 孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治
病 次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?
【思路导航】校医应该给治疗时间最短的先治 病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的
时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时 间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=9分钟。
时间总和是1+4+9=14分 钟。
练习3：
1.甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水 供应点打热水。热水龙头只有一个，
怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少?
2.甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟 和8分
钟。怎样安排，使3人所花的时间最少?最少时间是多少?
3.甲、乙、丙、丁四 人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服
需要10分钟，丁用桶 注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少?最少时间是多
少?
【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积
最大是多少?
【思路导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。 显然，当长与宽的差越
小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是 5厘米，宽是4厘米时，
围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
练习4：
1.用长26厘米的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最 大是
多少?
2.一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少?
3 .一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少
厘 米?
【例题5】用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
【思路导航】解决这个问题应考虑两点：(1)尽可能把大数放在高位;(2)尽可能使两个数的差 最小。所
以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规 律，3应放
在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402.
练习5：
1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
第8讲 巧妙求和(一)
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为 一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，
数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差
项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1
二、精讲精练
【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.„，52.这个数列共有多少项?
【思路导航】容易看出这 是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数
公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?
2.有一个等差数列：2.5，8，11.„，101.这个等差数列共有多少项?
3.已知等差数列11.16，21.26，„，1001.这个等差数列共有多少项?
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，„„，这个等差数列的第100项是多少?
【思 路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公
差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?
2.求1.4，7，10„„这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14„„的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，„，99，100。请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，„，99，100与列100，99，„，3.2.1相加，则得到< br>(1+100)+(2+99)+(3+98)+„+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内 的两个数的和都是101.一共有100个101
相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2. 就是所求数列的和。
1+2+3+„+99+100=(1+100)×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
(1)1+2+3+„+49+50
(2)6+7+8+„+74+75
(3)100+99+98+„+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，„，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
(1)2+6+10+14+18+22

(2)5+10+15+20+„+195+200
(3)9+18+27+36+„+261+270
【例题5】计算(2+4+6+„+100)-(1+3+5+„+99)
【思路导航】容易发现 ，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后
相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出
所有差的和。
(2+4+6+„+100)-(1+3+5+„+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+„+(100-99)
=1+1+1+„+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
(2)(2+4+6+„+2000)-(1+3+5+„+1999)
(3)(1+3+5+„+1999)-(2+4+6+„+1998)
第9讲 变化规律(一)
一、知识要点
和、差的规律见下表(m≠0)

一个加数(a) 另一个加数(b) 和(c)


±m 不变 ±m


不变 ±m ±m



m
±m 不变


被减数(a) 减数(b) 差(c)

±m 不变 ±m



m
不变 ±m


±m ±m 不变

二、精讲精练
【例题1】 两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化?
【思路导航】一个加数增加 9，假如另一个加数不变，和就增加9;假如一个加数不变，另一个加数减少
9，和就减少9;和先增加 9，接着又减少9，所以不发生变化。
练习1：
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化?
2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化?
3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化?
【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化?
【思路导航】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加
数应减少10-6=4。
练习2：

1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化?
2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化?
3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化?
【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化?
【思路导航】被减数增 加8，假如减数不变，差就增加8;假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。
两个数的差先增加8， 接着又减少8，所以不起什么变化。
练习3：
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化?
2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化?
3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化?
【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化?
【思路导 航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍;如果一个因数不变，另一个因
数缩小2倍 ，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
练习4：
1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化?
2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化?
3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化?
【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化?
【思路导航】如果被 除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍;如果被除数不变，除数缩小2倍，商就
扩大2倍。商先扩大4 倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
练习5：
1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化?
2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化?
3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化?

第10讲 变化规律(二)
一、知识要点
乘、除变化规律见下表(m≠0)

被乘数(a) 乘数(b) 积(c)


×÷m 不变 ×÷m

不变 ×÷m ×÷m


×÷m ÷×m 不变


被除数(a) 除数(b) 商(c)


×÷m 不变 ×÷m


不变 ×÷m ÷×m


×÷m ×÷m 不变

我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。
二、精讲精练
【例题1】 两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化?
【思路导航】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8;现在要使差减少12.减数应增加12-8=4。

练习1：
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化?
2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化?
3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化?
【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少?余数是多少?
【思路导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商 是
8，余数是20×10=200。
练习2：
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少?余数是多少?

2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少?余数是多少?

3.两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少? 余数是多少?

【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少?
【思路导航】一个因数扩大2倍，积扩大2倍;另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48
×2÷3=32。
练习3：
1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少?

2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少?

3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少?

【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的 3
错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少?
【思路导航 】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6;另一个加
数十位上的 3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以，原来两数相加的正确
答案是：1996-(6+56)=1940。
练习4：
1.小明在计算加法时，把一 个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是
532。正确的和是多少?

2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和 是285。正确的
和是多少?

3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写 成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是
650。正确的和是多少?

【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这
样算得差是189。正确的差是多少?
【思路导航】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增 加了2;十位上的6写成0，因此减少60。这
样错写的被减数比原来减少了60-2=58。因为减数 不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。
正确的差是：189+58=247。
练习5：
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这 样算得的差是198。正确的
差是多少?

2 .小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差
是多少?


3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的 8错写成3.这样算得的差是632。正确
的差是多少?


第11讲 错中求解
一、知识要点
在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一 些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发
生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确 的结论。
二、精讲精练
【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。正确的商是多少?
【思路导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数 ：
13×56+52=780。所以，正确的商是：780÷65=12。
练习1： < br>1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的商应该是多少?


2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜 得到的商是32还余6，蜜
蜜计算的结果应该是多少?


3.小虎在计算 除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正确的商应该是多少?


【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少?
【思路导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规
律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。
练习2：
1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了，得到的商是40。正确的商应该是多少?


2.小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该是多少?


3.小欣在计算除法时，把被除数420错写成240，结果得到商是48。正确的商应该是多少?

【例题3】小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多 了3.而余数正好相同。
正确的商和余数是多少?
【思路导航】因为被除数137被错写 成了173.被除数比原来多了173-137=36，又因为商比原来多了3.
而且余数相同，所以除 数是36÷3=12。又由137÷12=11„„5，所以余数是5。
练习3：
1. 小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数正好相同。正确的除

数和余数是多少?


2.李明在计算有余数的除法时 ，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3.而余数正好相同。求这
道除法算式正确的商和余 数。


3.刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比 原来多3.余数比原来多1。求这道除
法算式的除数和余数。


【例 题4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1.乘得的结果是525，实
际 应为600。这两个两位数各是多少?
【思路导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原 来少了(4-1)个另一个因数;实际的结果与错误
的结果相差600-525=75，75÷3=25 ，600÷25=24。所以一个因数是24，另一个因数是25。
练习4：
1.小锋 在计算乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为420。这两个因数各是多少?


2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实 际应为418。这
两个两位数各是多少?


3.李晓在计算两位数乘两位 数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得2150，这道题的正确
积应是900。这两个两 位数各是多少?


【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数 增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一
个因数增加14，积增加了168。那么，正确的积应是 多少?
【思路导航】由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84 ÷14=6;又由“圆
圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14= 12。所以正确的积应是12×6=72。
练习5：
1.两个数相乘，如果一个因数增 加10，另一个因数不变，那么积增加80;如果一个因数不变，另一个因
数增加6，那么积增加72。 原来的积是多少?


2.两个数相乘，如果一个因数增加3.另一个因数不变 ，那么积增加18;如果一个因数不变，另一个因数
减少4，那么积减少200。原来的积是多少? < br>3.小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误写成3.得出的乘积是552;另一个学 生却
把这个5写成8，得出的乘积是672。正确的乘积是多少?


第12讲 简单列举
一、知识要点
有些题目，因其所求问题的答案有多种 ，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我们不妨采用一一列
举的方法解决。这种根据题目的要求，通 过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。
二、精讲精练

【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走。王 叔叔从南通经过上海到南京去，
有几种走法?

【思路导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图，并用①、②、③、④、⑤表示其中的5条
路。
我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：

根据以上 列举可以发现，从南通经过①到上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上海再到南京也有
3种方法， 共有两个3种方法，即3×2=6(种)。
练习1：1.小明从家到学校有3条路可走，从学校到 少年宫有两条路，小明从家经过学校到少年宫有几
种走法?


2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同走法?


3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从甲地到丙地 有多少种不
同的走法?


【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号?
【思路导航】要使信号不同，就要求每一种信号颜色的顺序不同，我们把这些不同的信号列举如下：

从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位置时，有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一位 置
时，也有两种不同的信号，蓝色信号灯排在第一位置时，也有两种不同的信号。因此，共有2×3=6 种不同
的排法。
练习2：1.甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法?


2.小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法?


3.用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数?

【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出两 张排成一个两位数，一共可以排成多少个两
位数?【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下 面我们进行分类考虑。(1)十位上排6，个位上有
两个数字可选，这样的数共有两个：60，63;( 2)十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：
30，60。从以上列举容易发现，一 共可以排成2×2=4(个)两位数。
【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出 两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两
位数?【思路导航】排成时要注意“0”不能排在最高位， 下面我们进行分类考虑。(1)十位上排6，个位上有
两个数字可选，这样的数共有两个：60，63; (2)十位上排3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：
30，60。从以上列举容易发现， 一共可以排成2×2=4(个)两位数。
练习3：1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数?


2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数?最大的一个是多少?


3.用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数?从小到大排列，1650是第几个?


【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的和大于 8，有多少种取法?【思路
导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果，应该按一定的顺序来分类列举 ，可以按“几+8、几+7、几+5、
几+6、几+5”的顺序来思考。
1+8、2+8 、3+8、„„7+8，共7个;2+7、3+7、4+7、„„6+7，共5个;3+6、4+6、5+6，共 3个;4+5共
1个。这样，两个数的和大于8的算式共有7+5+3+1=16(个)，所以，共有1 6种不同的取法。
练习4：1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取法?


2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法?


3.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找法?


【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场?(两个队之间比赛一次称为1场)
【思路导航】4个队进行循环赛，也就是说4个队每两个队都要赛一场，设4个队分别为A、B、C 、D，
我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。
A队和其他3个队各比赛1次，要赛 3场;B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2场;C队还要和D队
比赛1次，要赛1场。这样，一共 需要比赛3+2+1=6(场)。
练习5：
1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场?


2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。问有几个队参加比赛?


3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取循环制，每 个队都要和
其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球场上进行，平均每个学 校要安排几场
比赛?

第13讲 和倍问题
一、知识要点
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题， 叫做和倍问题。解答和倍应用题
的基本数量关系是：
和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 (和-小数=大数)
二、精讲精练
【例题1】 学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本?
【思路导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事 书的本数看作一份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是这
样的1+3=4份。把4 80本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
480÷(1+3)=120(本) 120×3=360(本).
练习1：
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克?


2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少?


3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?


【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹 果树的3倍，桃树的棵数是苹
果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?
【思路导 航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，苹果树有1200
÷8=150(棵)，梨树有150×3=450(棵)，桃树有150×4=600(棵).
练习2：
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。 鸡、鸭、鹅各养了
多少只?
2.甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。


3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的 支数与圆珠笔的支数同样
多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支?


【 例题3】有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二
个 的4倍。每个书橱里各放了多少本书?
【思路导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二个 书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这
样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+ 8=11份。所以，第一个书橱里放了
330÷11=30(本)，第二个书橱里放了30×2= 60(本)，第三个书橱里放了60×4=240(本)。
练习3：
1.甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。


2.三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第 三块的2倍。三块钢板各

重多少千克?


3. 甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三
个队各修了多少米?


【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵?
【思路导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和杨树的总棵数是216-20=196(棵)，这里 杨树的棵数恰好
是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是196÷(1+3)=49(棵)，杨树的棵数是2 16-49=167(棵)。
练习4：1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4 倍还多300千克，大米和面粉各有多
少千克?


2.小华和小明两人参 加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分?


3.学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多8本，中年级分 得
的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本?


【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米?
【思路导航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑2 40米，那么三个队
共筑了1360+240=1600米，正好是乙队的2+1+1=4倍。所以，乙 队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800
米，丙队筑了400-240=160米 。
练习5：1.三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300 棵。三个队
各植树多少棵?


2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少?


3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个 数的2倍。篮
球、足球、排球各有多少个?


第14讲 植树问题
一、知识要点
1.线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
(1)如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数+1;
(2)如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数;
(3)如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：
棵数=段数-1。
2.在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。

二、精讲精练
【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米?
【思路导航】题 中已知栽树28棵，28棵树之间有28-1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×
27=1 62米。
练习1：
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长?


2.同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后 一个人的距离
是40米，相邻两个人隔多少米?


3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵?


【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树?
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48(棵)
练习2：
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树?


2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米?

3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少棵?
【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距
离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各 挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分
成101-1=100段，所以，相邻两 盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
练习3：
1.在一条长100米的大路两 旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两棵树之间的距离相
等。求相邻两棵树之间的距 离。


2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯?


3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。六年级 有学生多少人?


【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏 部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长
的短木条。每根短木条长多少米?
【思路导 航】根据题意，把长19-1=18米的木条锯了5次，可以锯成5+1=6段，所以每根短木条长18
÷6=3米。
练习4：
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯 下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短
木条，每根短木条长几米?

2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次?


3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多少分钟?


【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需 要30秒，照这样计算，他
从3层走到10需要多少秒?
【思路导航】把每一层楼所需要 的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去
的时间是30÷(3-1)=15 秒，3层到10层经过了10-3=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105
秒。
练习5：
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟?


2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完?
3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等，他从第一棵树走到第10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟，应走到第几棵树?

第15讲 图形问题
一、知识要点
解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决;
2.从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。
二、精讲精练
【例题1】 人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加 5米。现在操场面积比
原来增加了多少平方米?
【思路导航】用操场现在的面积减去操场 原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面积是(90+10)
×(45+5)=5000平方米， 操场原来的面积是90×45=4050平方米。所以，现在的面积比原来增加5000-4050=950平方米。
练习1：1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分别减少10分 米、3分米，面积比
原来减少多少平方分米?


2.一块长方形铁板，长 18分米，宽13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?


3.一块长方形地，长是80米，宽是45米。如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米?


【例题2】一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米 ;如果长不变，宽减少3
米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?【思 路导航】由“宽不变，长增加
6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米;由“长不变 ，宽减少3米，面积减少36平方米”可
知，它的长为36÷3=12米。所以，这个长方形原来的面积 是12×9=108平方米。

练习2：1.一个长方 形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米;如果长不变，宽增加4
米，那么它的面积 增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?


2.一个长方形，如果 宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米;如果长不变，宽增加3米，那
么它的面积增加48 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米?


3.一个长方形，如果它的长减 少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。求这个长方
形原来的面积。


【例题3】右图是一个养禽专业户用一段16米的篱笆围
成的一个长方形养鸡场，求它的占地面积。


【思路导航】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加
一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是(16-4)÷2=6米，
占地面积是6×4=24平方米。

练习3： 1.右图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。



2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围成的面积最大?


3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利
用着墙。如果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大?


【例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，


如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米?
【思路导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形(如右图)。

因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米，

所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小

长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3-1=2米。中间花坛的面积

是2×2=4平方米。
练习4：1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修 一个宽8米的花池，花池的面积是
480平方米，求水池的边长。



2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形(如图)，


大正方形的面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，小长方形
的短边是多少米?

3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比 小正方形面积大96平方厘米(如下图)。
问大小正方形的面积各是多少?
4



4
【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截 去宽8分米的长方形(如图)，面积比原
来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少?
5


5




8 8

8
5


【思路导航】把阴影部 分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来(如上右图)，再拼上长、宽分别是8分
米、5分米的小长方 形，这个拼合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分米，长是原来正方形的边长，宽
是8+ 5=13分米。所以，原来正方形的边长是221÷13=17分米。
练习5：
1.一 个正方形一条边减少6分米，另一条边减少10分米后变为一个长方形，这个长方形的面积比正方形
的面 积少260平方米，求原来正方形的边长。


2.一个长方形的木板，如果长减少 5分米，宽减少2分米，那么它的面积就减少66平方分米，这时剩下
的部分恰好是一个正方形。求原来 长方形的面积。


3.一块正方形的的玻璃，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方 形比原来少448平方厘米，这块正方形玻
璃原来的面积是多大?


第16讲 巧妙求和（二）
一、知识要点
某些问题，可以转化为求若干个 数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差 数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当 分组，并将每组中的
数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练
【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，
第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页?
【思路导航】根据条件“他每天读的页数都 比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排
列的数，即30、33、36、„„57、6 0。要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，
首项=30，末项=60，项 数=11.因此可以很快得解：
(30+60)×11÷2=495(页)
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答?
练习1：

1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好 做完。
这批零件共有多少个?


2.胡茜读一本故事书，她第一天读 了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。最后一天
读了50页恰好读完，这本书共有多 少页?
3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16 个。丽丽在
这些天中学会了多少个英语单词?


【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次?
【思路导航 】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，
即开第一把锁 至多需要试29次;同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次„„等打开第
29把 锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29+28+27+„+2+1=(29+1)×29 ÷2=435(次)。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次?


2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有 几把锁的钥匙
搞乱了?


3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把4 4只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等?


【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手?
【 思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩
下 的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，
他们握手的次数和为：
50+49+48+„+2+1=(50+1)×50÷2=1275(次).
练习3：
1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛?


2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同 学或老师都要和其他同学握一次手。那么
一共握了多少次手?


3.假期 里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话?


【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
【思 路导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。为了能
方便 地解决问题，我们不妨把0算进来(它不影响我们计算数字之和)计算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以， 1～99这99个
连续自然数的所有数字之和是18×50=900。

练习4： 1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。


3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。


【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0～19 9的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，然后把它们合起来。
0～199的所有数字之 和为(1+9×2)×(200÷2)=1900，200～209的所有数字之和为2×10+1+2+„+9 =65。所
以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。

2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。

3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。

第17讲 数图形(一)
一、知识要点
我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重 重叠叠地交错在一起时就构成了
复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的 个数，就需要仔细地观察，灵活地
运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果 。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
二、精讲精练
· ·
· ·
B

C

D
【例题1】 数出右面图中有多少条线段。
A

【思路导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条 ：BC、BD;
从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
练习1：：数出下列各图中有多少条线段。
·

· ·
· ·
（

1）
B D
A C E

·
·
（2）
· ·
· ·
·

·

·
（3）

E

D
C
【例题2】数一数右图中有多少个角。.
B

A
O

【思路导航 】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图
中有多少个锐 角，可根据公式1+2+3„„(总射线数-1)求得：1+2+3+4=10(个).
练习2：：下列各图中各有多少个角?

【例题3】数一数右图中共有多少个三角形。
A
【思路导航】图中BE边上的每一条线段与顶点A构成一
个三角形，也就是说，BE边上有几条线段，就构成了几个
三角形，因为BE上有4个点，共有1+2+3=6条线段，
所以图中有6个三角形。
D
E
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
B
C




o

【例题4】数一数右图中共有多少个三角形。

F
E


A B
C D
【思路导航】与前一个例子相比，图中 多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与
点O所围成的三角形个数的和。显然 ，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12
个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。




F
E
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
A B
【思路导航】数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考，
图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的
线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形。
C
D
H G
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。




第18讲 数数图形(二)
一、知识要点
在解决数图形问题时，首先要认 真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计
数，也可以把图形分成若干个部分 ，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起
来。
D
二、精讲精练
C
【例题1】 数一数右图中有多少个长方形?
【思 路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线
B
A
段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形?
D
C
D
D C
C

A
B
A
B
A
B

【例题2】数一数，下图中有多少个正方形?
(每个小方格是边长为1的正方形)
A
B
【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，
边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的
正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几
C
D
列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1+2×2+„+n×n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形?(每个小方格为边长是1的小正方形)




【例题3】数一数下图中有多少个正方形?(其中每个小方格都是
边长为1个长度单位的正方形)
【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是
2个长度单位的正方形有2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
经 进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份(长和宽的
每一 份都是相等的)那么正方形的总数为：mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+„+(m-n+1 )n.
练习3：
1.数一数下列各图中分别有多少个正方形。




2.下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形?




【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少 种不同车的车
票?这些车票中有多少种不同的票价?
【思路导航】这道题是数线段的方法 在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10
个站，共有1+2+3+„+9=45 条线段，因此要准备45种不同的车票。由于这些车站之间的距离各不相等，因
此，有多少种不同的车票 ，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。
练习4：
1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?
2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价?
3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价?
【例题5】求下列图中线段长度的总和。(单位：厘米)


【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+ 2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米

从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段(我 们把不能再划分的线段称为基
本线段)出现了4次，长4厘米的线段出现了(3×2)次，长2厘米的线 段出现了(2×3)次，长3厘米的线段
出现了(1×4)次，所以，各线段长度的总和还可以这样算： 1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、„a(n-1)。以上各
线段长度的总和为L，那么L= a1×(n-1)×1+ a2×(n-2)×2+ a3×(n-3)×3+„+ a(n-1)×1×(n-1)。
练习5：
1.一条线段上有21个点(包括两个端点)，相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少?
2.求下图中所有线段的总和。(单位：米)


3.求下图中所有线段的总和。(单位：厘米)



第19讲 应用题(二)
一、知识要点
解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题;
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径;
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数;
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
二、精讲精练
【例题1】 某发电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天烧煤240吨。这堆
煤还能烧多少天?
【思路导航】分析

前10天每天烧300吨

10200吨



能烧多少天？
改进后每天烧240吨











综合法思路：
前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数;
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧;
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路：
要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数(240吨);
要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨(10200吨)和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天(10天)和每天烧多少吨(300吨)。
(10200-300×10)÷240=30(天).
练习1：
1.某电冰箱厂 要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天生产150台，还要多
少天才 能完成任务?


2.某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产21 00套，后来改进操作方法，平均每天可以生产
2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天?

3.某机床厂计划每天生产机床40台，30天完成任 务。现在要提前10天完成任务，每天要生产多少台?


【例题2】师傅和徒弟同 时开始加工200个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，徒弟还要做2小
时才能完成任务。徒弟 每小时加工多少个?
【思路导航】由条件可知，师傅完成任务用了200÷25=8小时，徒弟完 成任务用了8+2=10小时。所以，
徒弟每小时加工200÷10=20个。
练习2：
1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师傅还要做1天才 能
完成任务。李师傅每天做多少个?


2.小华和小明同时开始写192 个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4天才能完成。小明
每天写多少个字?


3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，这样可提前几天完成任务?


【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40 小时。张强从甲地出发，先步
行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地?
【思路导航 】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米;步行200千米要40小时，
平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×8=40千米;全程有200千米，乘汽车行了200-4 0=160千米，
所以，还需160÷40=4小时到达乙地。
练习3：
1. 玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需要4小时。一车间工
人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务?


2.甲 、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地出发，先乘汽车4小
时 ，后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时?


3.A、B两城相距300千米 ，摩托车行完全程要5小时，自行车要25小时。王亮从A城出发，先骑自行车
5小时，后改骑摩托车。 他从A城到B城共用了多少小时?


【例题4】某筑路队修一条长4200米 的公路，原计划每人每天修4米，派21人来完成;实际修筑时增加
了4人，可以提前几天完成任务?
【思路导航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完成。原计划21 人
每天修4×21=84米，修4200米需要4200÷84=50天。实际增加了4人，每天修4× (21+4)=100米，修同样
长的公路需要4200÷100=42天。所以可提前50-42=8 天完成任务。
练习4：
1.羊毛衫厂要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件 ，派18人来完成。实际增加了3人，可以提
前几天完成任务?

2.某筑路队修一条长8400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人 来完成。如果每人的工作效率不
变，要提前8天完成任务，需要多少人参加?

< br>3.友谊服装厂要加工192套服装，原计划每人每天加工2套，8人可以按时完成。如果每人工作效率不 变，
要提前4天完成任务，需要增加多少人加工?


【例题5】自行 车厂计划每天生产自行车100辆，可按期完成任务，实际每天生产120辆，结果提前8
天完成任务。 这批自行车有多少辆?
【思路导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产8 天可多生产120×8=960辆。
实际每天多生产120-100=20辆，可以求出多生产960辆 所用的时间，这个时间就是原计划所需要的时间，
960÷20=48天。所以，这批自行车有100× 48=4800辆。
练习5：
1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产40台，可以在 预定的时间内完成任务。实际每天生产50台，结
果提前6天完成，这批柴油机有多少台?


2.一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天运20 吨，结果提前3
天运完。这批黄沙有多少吨?


3.新兴机械厂原计划3 0天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前25天就完成了任务。
这批机器有多少台 ?


第20讲 速算与巧算
一、知识要点
速算与巧 算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和
思维能力。 这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过
对算式适 当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给 的算式，根据运算定律和运算
性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
二、精讲精练
【例题1】 计算9+99+999+9999
【思路 导航】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使用减整法，例如将< br>99转化为100-1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
=10+100+1000+10000-4
=11106
练习1：
1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+99973
5
5

6


3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495

5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算19998+39996+49995+69996



【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
【思路导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7-1-3-7-5-6-4-2
=3430-28
=3402
练习2：1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264



3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379



5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.



【例题3】计算下面各题： (1)632-156-232 (2)128+186+72-86
【思路导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算定律和性质调换加
数 或减数的位置。

1


632156232
2 32156

2

1281867286
　＝12872 18686
　＝200100
　＝300
=632
　＝400156
　＝244
（18686）

　＝（12872）

练习3：
计算下面各题①1208-569-208 ②283+69-183



③132-85+68 ④2318+625-1318+375



【例题4】计算下面各题。
⑴ 248+(152-127) ⑵ 324-(124-97) ⑶ 283+(358-183)
【思路导航】在计算 有括号的加减混合运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如果括号前面是“+”
号，去括号时，括号 内的符号不变;如果括号前面是“-”号，去括号时，括号内的加号就要变成减号，减号
就要变成加号。

我们可以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉 括号不变号;括号前面是减号，
去掉括号要变号。

1

248＋ （152-127）-(124-97)

2

324　

3

283＋（358-183）
＝283＋358-183
＝248＋152-127 ＝324　-124＋97
　＝283-183＋358
　＝400-127　＝200＋97
　＝100＋358< br>　＝273　＝297
＝458

练习4：
计算下面各题
1.348+(252-166) 2.629+(320-129)



3. 462-(262-129) 4. 662-(315-238)



5.5623-(623-289)+452-(352-211) 6.736+678+2386-(336+278)-186



【例题5】计算下面各题。
(1)286+879-679 (2)812-593+193
【思路导航】在计算没有括号的加减法混合运算式题时，有时可以根据 题目的特点，采用添括号的方法
使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以把这种方法概括为：括 号前面是加号，添上括号不变号;
括号前面是减号，添上括号要变号。


1

286＋879-679

2

812-593＋19 3
＝286＋(879-679) ＝812-(593-193)

　＝286＋200　＝812-400
　＝486　＝412

练习5：
计算下面各题。
⑴ 368+1859-859 ⑵ 582+393-293



⑶ 632-385+285 ⑷ 2756-2748+1748+244



⑸ 612-375+275+(388+286) ⑹ 756+1478+346-(256+278)-246