血流漂杵-感恩妈妈作文

四年级奥数教材

目 录
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第一讲 找规律（一） ………………………2
第二讲 找规律（二） …………………… 5
第三讲 长方形和正方形（一） ……………………8
第四讲 长方形和正方形（二） ……………………11
第五讲 算式谜（一）……………………………… 14
第六讲 算式谜（二） ………………………… 17
第七讲 植树问题（一） …………………………19
第八讲 植树问题（二） …………………………22
能力测试（一） …………………………………25
第九讲 和差问题（一） ………………… …28
◆第十讲 和倍问题（一） ……………………………31
◆第十一讲 和倍问题（二） …………………………33
◆第十二讲 差倍问题 ………………………… 35
◆第十三讲 年龄问题（一） …… ……………………38
◆第十四讲 年龄问题（二） ………………………… 41
◆第十五讲 还原问题（一） …………………………… 43
◆第十六讲 还原问题（二） ………………………… 45
◆能力测试（二） ………………………………………48
◆ 第17讲 周期问题（一） ………………………2

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第18讲 周期问题（二） …………………… 7
第19讲 假设问题（一） …………………………12
第20讲 假设问题（二）………………16
第21讲 计数问题（一）…………………………… 17
第22讲 计数问题（二）………………………… 19
第23讲 容斥问题（一） …………………………23
第24讲 容斥问题（二）……………………………26
能力测试（一） ……………………………26
第25讲 行程问题（一） ………………………28
第26讲 行程问题（二） ………………… …31
◆ 第27讲 平均数问题 ………………………………35
◆ 第28讲 推理问题（一） ……………………………37
◆ 第29讲 推理问题（二） …………………………… 39
◆ 第30讲 巧算（一） ……………………40
◆ 第31讲 巧算（二） …………………… 45
◆ 第32讲 巧算（二） …………………… 45
◆ 第33讲 巧算（三） …………………… 45
◆ 第34讲 等量代换 …………………… 45
◆ 第35讲 拼拼算算 …………………… 45
◆ 能力测试（二） ………………………………………63

第一讲 找规律（一）
事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事 物发展变化的规律，才能深入地
了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。在数学竞赛中，常常出 现按规律填数的题
目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律，求得 相应
的数。
例题与方法
例1． 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）3，6，12，24，（ ），96，192。
（3）1，4，9，16，25，（ ），49，64，81。
（4）2，3，5，8，12，17，（ ），30，38。
（5）21，4，16，4，11，4，（ ），（ ）。
（6）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）。
例2．根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
（1） （ 2 ）
24 7 5
13 20 7

8



9



17



36 12 6
5

9


14 16

例3．下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的
数。
（9，13），（17，5），（14，8），（ ，16）。
例4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（ ）里填上适当的数。


20 18 25


20 16 ( )
10 8 ( )


练习与思考
1．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。
（1）1，4，3，6，5，（ ），（ ）。
（2）1，4，16，64，（ ）。
（3）11，3，8，3，5，3，（ ），（ ）。
（4）0，1，3，8，21，（ ）。
2．找规律，在空格里填上适当的数。
（1） （2）
8 17 5
7 14 12





16

12



4 12 9
10 11 9


6 24

3．下面括号里和两个数是按一定规律组合，根据规律在 里
填上适当的数。

（1）（8，7），（6，9），（10，5），（ ，13）。
（2）（1，3），（5，9），（7，13），（9， ）。
4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（ ）里填上适当的数。
(1) (2)

(2)



6
18
15
15
5
12
( )
15
20
( )
( )
11
( )
9
45
15
50
12


第二讲 找规律（二）
例1．请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后
六题的得数。
1×8+1=
12×8+2=
123×8+3=
1234×8+4=
12345×8+5=
123456×8+6=
1234567×8+7=
×8+8=
9×8+9=

例2．请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后
几题的得数。
×9=
1234679×27=
1234679×36 =
×54=
×18=
×45=
×72=
×63=
×81=


例3．下面每行的数字是按一定规律排列下去的，请找出规律，并写出第六、七、八的数
字。
第一行 1
第二行 1 1

第三行 1 2 1
第四行 1 3 3 1
第五行 1 4 6 4 1
第六行
第七行
第八行
例4．有 一列数组：（1，1，1），（2，4，16），（3，9，81），…求第100组的三个数之
和比第 50组的三个数之和多多少
练习与思考
1． 找规律，写得数。
（1） 1×9 =
91×99 =
991×999 =
9991×9999 =
99991×99999 =
999991×999999 =
（2） 11×11 =
111×111 =
1111×1111 =
11111×11111 =
111111×111111 =
2．找出规律后，直接填写出括号内的数。
1999998÷9=222222
（ ）99999（ ）÷9=333333
（ ）99999（ ）÷9=444444
（ ）99999（ ）÷9=555555
（ ）99999（ ）÷9=666666
（ ）99999（ ）÷9=777777
（ ）99999（ ）÷9=888888
（ ）99999（ ）÷9=999999
3．找规律，写算式。
3=3+27×0
33=6+27×1
333=9+27×12
3333=
33333=
333333=
4．找出下列算式的规律，把算式填写完整。
19+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
……
（ ）+（ ）×9=1000000
1111114+（ ）×9=（ ）

5．找规律，在 里填上适当的数
1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
5 □ □ □ □
6 12 □ □ □ □

第三讲 长方形和正方形（一） 同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公式很容易算出它们的面
积与周长。但在 遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时，一些同学就会
感到棘手。这两讲我们将教给 大家一些平移、转化、分解、合并等技巧，使大家在解题中能
顺利地找到突破口，化难为易，化繁为简。
例1．有一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正
方形。拼成的正方形的周长是多少分米
例2． 两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后，周长比 原来的两个正方形周长
的和减少6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米

例3． 求图3和图4的周长。
（单位：米）
图3 图4
例4． 图7是一座厂房的平面图，求这座厂房平面图的周长。



例5． 图9是个多边形，图中每个角都是直角，它的
周长是多少



例6． 一个正方形被分成3个大小、形状完全不一样的长方形（如图10），每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长。


图10
例7． 图11是由四个一样大的长方形和一个周长 是4分米的小正方形拼成的一个
边长是11分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少周长是多少


11

例8． 一根铁丝长12厘米，能围成 几种长和宽都是整厘米数的长方形，每咱长方形
的长和宽各是几厘米围成的正方形的边长是几厘米
练习与思考
1． 把一个长10厘米，宽5厘米的长方形，分成两个大小一样的正方形，每个正方
形的周长是多少
2． 用一个长8厘米，宽4厘米的长方形与7个边长4厘米的正方形，拼成一个大正
方形。拼 成的大正方形的周长是多少
3． 求图12、图13的周长。

4． 图14是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米



5． 把一个正方形分成甲、乙两个部分（如图15），比较甲、乙两个部分周长的长短，
1米
并求出乙的周长。





图17
6． 有两个相同的长方形，长
7厘米，宽3厘米，把它们按图（16）的样 子重
叠在一起，这个图形的周长是多少厘米
7． 一个正方形被分成6个大小、形状完全一样 的长方形（如图17），每个长方形的
周长都是14厘米。原来正文武的周长是多少厘米
8． 一块长方形布，周长是18米，长比宽多1米，这块布的长是几厘米宽是几米
9． 用4个一样大的长 方形和一个小正方形，拼成一个边长是16分米的大正方形（如
图18），每个长方形的周长是多少




第四讲 长方形和正方形（二）
例1． 一块 长方形土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周
围是草坪（如图1），草坪 的面积是多项式少平方米


1米


20米
图1
4分
图2

例2． 图2是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。
例3． 已知图3中大正方形比小正方形 的边长多4厘米，大正方形面积比小正方形多
96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少


15

厘

米
4

图3
图 4
例4． 如图4，正方形中套
着一个长方形，正方形的边长是 15厘米，长方形的四个角的顶点，恰好分别把正方形四条
边都公成两段，其中长的一段是短的2倍。这 个长方形的面积是多少
例5． 如图5，已知正方形ABCD的边长为6分米，长方形BCEF和长方 形AGHD的面
积分别为24平方分米和20平方分米，求阴影部分和面积。
例6． 一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米
的纸条，请画图说明。


练习与思考
1.用长36厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积 是多少用
这根铁丝围成一个长12厘米的长方形，它的面积是多少
2.有一个长方形的市民广 场，长100米，宽80米。广场中间留了宽4米的人行道，把
广场平均分成四块（如图6），每一块的 面积是多少


3.图7是由12个相等的三角形拼成的，这个图形的面积是多少
4.如图8，已知大正方形 的面积比小正方形多52平方分米，大正方形比小正方形的边长
多2分米。小正方形的面积是多少大正方 形的面积是多少
5.图9是由9个小长方形组成的，按图中编号，第1，2，3，4，5
号的 面积分别是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米，
那么，第6号长方形和面积是多少呢

6.如图10，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边长是16
分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长
的一段是短的3倍。阴影部分的 面积是多少


7.图11中阴影部分的面积是多少

8.把一块长6分米，宽5分米的长方形钢板，截成长3分米波，宽2分米的 小长方形钢
板，最多能截几块请画图说明。


第5讲 算式谜（一）
算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字或运算
符号“残缺 ”，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。研
究和解决算式谜问题，有 利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。从这个意义上
讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维 的“体操”。
例1． 在下面算式的括号里填上合适的数。
（1）（ ）6（ ）（ ） （2）（ ）0（ ）（ ）
+ 2（ ）1 5 - 3（ ） 1 6

8 0 9 1 4 8 5 7
例2．A、B、C、D分别代表4个不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求使得下
面 算式成立A、B、C、D各自代表的数字。
A B C D
A C D
+ C D

1 9 8 9
例3．A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时同上面的算式成立
A B C D
- C D C
A B C
例4．下面的算式中的“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字
1 数 学 俱 乐 部
× 3
数 学 俱 乐 部 1
例5．下面算式中不同的字母所找表的数字均不同，当这些字母代表什么数时，算式成
立
A B C
× D C
B E A
F A G H
F I G A A
例6．在括号里填数，使下面的竖式成立。

1（ ）


（ ）（ ） ）1（ ）2

1（ ）


7 （ ）
（ ）（ ）
0

例7． 下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求
这个算式。
新新×春春=新年年新
练习与思考
1．在□里填上适当的数，使等式成立。
(1)□ 6 4 (2)□ □ 3
7 □ 3 - □ □
+ 4 8 □ 8
□ 0 4 2
2．下面算式中不同的图形代表不同的数，不同的字母代表不同的数，请将算 式中的图
形或字母还原成数字。
(1) 1 ○ 2 □ (2) A B C D
- □ 1 △ + A B E D
3 ○ ○ E D C A D
3．在（ ）里填上适当的事，使算式成立。


6（ ）

× 3 5

3 3（ ）
4．下面算式中汉字或字母分别代表不同的数字，请将汉字或字母还原成数字。
1 （ ）8
(1)
（



）

（



）

（



）

（



）


(2)


5 a b c d e

我 爱 数 学
5．在□里填上适当的数，使算式成立。
× 3 × 9
(1)






1



6




(2)












1 a b c d e 4

学



数
3 □


爱 我

3 9 )6 □ □ □□)8 □ 0


□ □ 7 □

□ □ □ 1 □ 0
6．下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求出每个汉
字所代表的数字。
□ □ □ 1 □ 0
认认×真真=踏踏实实
0 0
第六讲 算式谜（二）
例1．在五个3之间，添不适当的运算符号+,-,×,÷和（ ），使下面的算式成立。
3 3 3 3 3 = 6
例2．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九 个不同的数字分别填在□中，使下面三个
算式成立。
□ + □ = □
□ – □ = □
□ × □ = □
例3．在1，2，3，4，5，6，7，8，9这 九个数字中，添上+、-两种运算符号，使其结
果都等于100（数字的顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
例4．在下面的式子里加上括号，使等式成立。
（1）7×9+12÷3-2=23
（2）7×9+12÷3-2=75

练习与思考
1．从+、-、×、÷、（ ）中选出合适的符号，添入下列算式的五个数字之间，使算式
成立。
（1）3 3 3 3 3 = 1
（2）3 3 3 3 3 = 5
（3）5 5 5 5 5 = 10
（1）9 9 9 9 9 = 20
2．把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十 个数字填到下面的圆圈内，使三道算式成
立（每个数字只能用一次）。
○+○=○ ○-○=○ ○×○=○○
3．在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使结果等于99（数的顺序不能改变）。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
4．把一个乘号和七个号添在下面算式合适的地方，使结果等于100（数的顺序不能改
变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
5．把+、-、×、÷ 分别填在适当的圆圈内（每个运算符号只能用一次），并在方框中
填上适当的整数，使两个等式成立。
9○13○7=100
14○2○2=□
6．在下面的算式中加上括号，使等式成立。
（1）6+36÷3-2×4 = 6
（2）6+36÷3-2×4 =150
第七讲 植树问题（一）
在一定长 度的线路上，等距离地安排若干个点植树，植树的棵数、株距（相邻两棵树
之间的距离）与线路的总长之 间存在某种数量关系，研究这种数量关系的问题通常被称为植
树问题。植树问题一般分为线段上的植树问 题和环形线路上的植树问题。
1．线段上的植树问题分以下三种情形讨论：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么，
植树的棵数 = 线路和全长÷ 株距+1
线路的全长 = 株距×（植树的棵数-1）
株距 = 线路的全长÷ （植树的棵数-1）
（2）如果植树线路的一端要植树，另一端不要植树，那么，
植树的棵数 = 线路和全长÷ 株距
线路的全长 = 株距×植树的棵数
株距 = 线路的全长÷植树的棵数
（3）植树的棵数 = 线路和全长÷ 株距-1
线路的全长 = 株距×（植树的棵数+1）
株距 = 线路的全长÷ （植树的棵数+1）
2．环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是：
植树的棵数 = 线路和全长÷ 株距
线路的全长 = 株距×植树的棵数
株距 = 线路的全长÷植树的棵数
从以上数量叛乱中容易看出：植树的棵树，株距与线路的全长三个量中，只要 知道其
中的两个量，就能求出第三个量。

例1．在一条路的一边种树，从头到 尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米，这
条路长多少米
例2． 在一条长42米的街道两边，每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多
少面彩旗
例3． 在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳树1棵，然后
在相邻 的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵
例4． 把一根木头锯成4段需要6分，如果要锯成13段，需要多少分
例5． 小平和小亮同住在一幢大楼里 ，小平住五楼，小亮住四楼，小平每天回家要走
80级台阶，小亮回家要走多少级台阶
练习与思考
1．一条路长100米，在这条路的一旁从头到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面
彩旗
2．在一条长75米的长廊一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆。相邻两盆花
之间的距离相等 ，相邻两盆花之间相距多远
3．在一条马路的两侧种树，每隔10米种一棵（两端都不种），这条马路 全长240米，
一共需种多少棵树
4．在一条道路的两旁栽树，一共栽了32棵，每隔8米栽 一棵（两端各栽一棵），这条
路长多少米
5．在一个鱼塘周围筑成周长是1200米的土堤， 堤上每隔8米栽一棵杨树，然后要相
邻两棵杨树中间栽一棵松树。土堤上栽杨树和松树各多少棵
6．有4根木料，每根都锯成6段，每锯开一处需付锯板费2元，全部锯完需付锯板费
多少钱
7．要把一根木头锯成5小段，每锯一小段要用15分。李叔叔从上午8时10分开始锯，
中间 不休息，锯完时是几时几分
8．小红家所在的那座楼房，每上一层楼要走21个台阶，到小红空要走1 26个台阶，
小红家住几楼
9．一个人到一幢十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开。 如果这个人从第一层
走到第四层要48秒，那么，他以同样的速度从第四层走到第八层，需要多少秒 < br>10．在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆。现在拿走花盆，种
植小松树 ，连两端在内共种了7棵，相邻两棵小松树相距多远
第8讲 植树问题（二）
例1．四年级学生260人排成十路纵队做操，也就是每十个人一排，排成放多排。已知
相邻两排之间相 隔1米，这支队伍长多少米
例2．时钟4点钟敲4下，6秒敲完，那么，8点钟敲8下，几秒敲完 < br>例3．在一个正方形广场四周安装路灯，四个顶点都装有一盏，这样每边都有15盏，
四周共装路 灯多少盏
例4．一个老人以变的速度在公路上散步，他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了
22分。如果这个老人走了36分，那么，他应该走到第几根电线杆（相邻两根电线杆之间的
距离相等 。）
例5．两棵树相隔115米，中间原来没有树，现在中间以相等的距离增加22棵树后，
第16棵树与第1棵树之间相隔多少米
练习与思考
1． 在马路的一边摆一排菊花，一共5盆，再在每两盆菊花中间摆3盆桂花，一共要摆
我少盆桂花

2． 五（1）班48名学生排成四路纵队，已知相邻两排之间相隔2米，这支队伍长多少
米
3． 时钟6时敲6下，5秒敲完。那么，这只钟12时敲12下，几秒敲完
4． 一位科学家在做一项实验 ，他从下午9时30分开始做第一次记录，以后每隔20
分做一次记录，他做第七次记录时是几时几分
5． 在一个正方形操场四周插彩旗，四个顶点都插一面，这样每边都有10面。四周共
插彩旗多少面
6． 小平以不变的速度在小路上散步，他从第1棵树走到第7棵树用了24分。如果他
走了4 0分，应该走到第几棵树（相邻两棵树之间的距离相等。）
7． 两棵树相隔220米，在中间以相等的距离增加10棵树后，第1棵树与第7棵树之
间相隔多少米
8． 要两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花（松树与相邻花盆的间隔等于相邻两
盆花的 间隔），第1棵松树与第5盆花相隔10米，那么，两棵松树相隔多远
9． 一座桥全长168米，计 划在桥的两侧栏杆上各安装16志广告牌，每块广告牌的横
长为3米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是 15米。相邻两块广告牌之间相隔几米
10． 有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作 一记号，每隔4厘米也作一
记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段

能力测试（一）
（满分100分，90分钟完成）
一、填空题（每小题4分，共44分）。
1．已知1993个6月1日是星期二，那么，1994年6月1日是星期（ ）。
2．一场排球赛，从19时30分开始，共进行了155分。这场比赛（ ）时（ ）分
结束。
3．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号或方框里填上合适的数。
（1）8，12，16，20，（ ）。
（2）1，5，25，125，（ ）
（3）1，4，9，16，25，36，49，（ ）
（4）（1，4），（6，12），（11，20），（16，28），（21，□），（26，44）。
（5）
5
3
8
11
18

6
15
4
4．用一块长6米、宽3米的长方形铁皮，拼成的大方形铁皮的周长是（ ）。
5．两 个大小相同的正方形拼成一个长方形后，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和
减少了10厘米，原 来每个正方形的周长是（ ）。
6．在一个湖泊周围筑了一条大堤，堤上每隔4米栽柳树一棵， 然后在相邻两棵柳树之间栽
2棵桃树，堤上一共栽了桃树400棵。这条大堤长（ ）米。
7．观察算式，找出规律，在括号里填上适当的数。
19＋9×9=100
118＋98×9=1000
1117＋987×9=10000
…… ……

（ ）＋（ ）×9=1000000
1111114＋（ ）×9=（ ）
8．在括号里填上适当的数，使算式成立。
（ ）3（ ）4
＋ 1（ ）5（ ）
4 2 1 9

9．下列算式中，“数”、“学”、“俱 ”、“乐”、“部”分别代表哪几个数字，请填在下面相应的
括号里。
1数学俱乐部
＋ 3
数学俱乐部1

数=（ ），学=（ ），俱=（ ）
乐=（ ），部=（ ）。
10．在下列五个5之间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使算式成立。
5 5 5 5 5 =10
11．将01，2，3，4，5，6，这七个数字分别填入下面的七个□内，使算式成立。
□×□=□□÷□=□□
二、判断题（对拓括号里打“√”错的打“×”。每小题3分，共9分。）
1．已知ACD＋CD=178，则D只能等于9。（ ）
2．用8分米长的铁丝围成的正方形，要比围成的长方形的面积大。（ ）
3．一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出10个长是4厘米，宽是1厘米的小长方
形纸条。（ ）

三、应用题第1题11分，其余每题6分，共47分）。
1． 下面是两座楼房的平面图，这两个平面图的周长各是多少








2． 下面图中的正方形被分成5个大小、形状完全一样的长方形，每 个长方形的周长都是
12厘米，求原来正方形的周长。

3． 如图，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是8分米，长方形的四个角的顶点 恰
好把正方形四条边分成两段，其中长的一段是短的3倍。阴影部分的面积是多少平方
分米

4． 广场上有一面大钟，5时敲5下，8秒敲完。照这样计算，11时敲11下，几秒敲完
5． 有6根木头，把每根锯成6段，每锯开一处需付锯板费6元。全部锯完需付锯板费多
少元
6． 小赵和小王住在同一幢楼，相邻两层楼之间的台阶数相同，小赵住六楼，小王住三楼，
小王每天回家要走 40级台阶，小赵回家要走多级台阶
7． 林林以不变的速度在小路上散步，小路边有一排树。他从第 1棵树走到第9棵树用了
32分。如果从第1棵树算起，他走了60分，那么，应该走到第几棵树（假定 相邻两棵
树之间的距离都相等。）



第9讲 和差问题
例1．植树节，育红小学五、六年级学生共植树106棵，六年级比五年级多植树24棵，五、六年级各植树多少棵
例2．小明期终考试，语文和数学的平均分数是97分，语文比数学系少 6分，语文和
数学各得了几分
例3．一部书有上、中、下三册，上册比中册贵1元，中册比下 册贵2元，这部书售
价32元。上、 中、下三册各多少元
例4．甲、乙两筐香蕉共64千克 ，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香
蕉还比乙筐的香蕉多2千克。甲、乙两筐原有香蕉各 多少千克
例5．这里有三道加法算式，当正方形、三角形、圆形各代表什么数，才能使等式成立
□+□+△+○=20……（1）
□+△+△+○=17……（2）
□+△+○+○=15……（3）
练习与思考
1．小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只。小红养母鸡、公鸡各多少只
2．甲、乙、丙三个数，和为300，已知甲比乙大50，乙比丙大20，甲数是多少
3．甲、乙、丙 三个同时参加储蓄。甲、乙两人共储蓄220元，乙、丙两人共储蓄180
元，甲、丙两人共储蓄200 元。问：三人各储蓄多少元
4．两筐苹果共重64千克，如果从第一筐中取出8千克放入第二筐后，那 么，第一筐
苹果比第二筐少2千克。两筐苹果原来各有多少千克
5．小明比小华多30块糖果，小明给小华25块糖果，这时谁的糖果多多几块
6．小强沿长 与宽相差20米的游泳池池边跑步5圈，作下水前的准备活动，已知他共
跑了700米，游泳池的长和宽 各是多少米
7．张宁同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分，数学和外语平均成绩是88分，外语和语文平均成绩是86分。张宁同学语文、数学、外语各得多少分
8．两个加数之 和比一个加数大25，比另一个加数大52，这两面三刀个加数的和与差
各是多少
9．如果两个数的和与差的积是77，这两个数各是多少
10．已知△=8，你能根据下面两道算式，算出□和○各表示几吗

□+□+△+○=46
□+△+△+○=37
第10讲 和倍问题（一）
我们把已知几个数的和及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的问题称为和倍
问题。解答和倍问 题，要在已知条件中确定一个数为标准（一般以小数作为标准），假定小
数是1倍或1份，再根据其他几 个数与小数的倍数关系，确定总和相当于1倍数的多少倍，
然后用除法求出小数，再算出其他各数。
和倍问题的数量关系是：
和÷（倍数+1）=小数
小数×倍数=大数
例1．六合农场把98000千克粮食分别存入两个仓库，已条存 入第一仓库里的粮食是第
二仓库的3倍。两个仓库各存多少千克粮食
例2．被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，被除数和除数各是多少
例3．三 篮桃子共有117个，第一篮的桃子是第二篮的2倍，第三篮的桃子是第一篮
的3倍。这三篮桃子各有多 少个
例4．两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，则与另一个加数相
同。这两个数各是多少
例5．有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问：从第一堆中拿出多 少个棋
子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆了2倍
练习与思考
1．已知两个数的和是160，大数是小数的3倍，求这两个数。
2．长方形的周长是36分米，已知长是宽的2倍，长方形的面积是多少平方分米
3．两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除
数。
4．姐姐和妹妹共有人民币264元（两人都是整元的钱），姐姐的钱数的个位是0，如
果姐姐 把自己钱数的个位上的0去掉，恰好和妹妹的钱数相等。姐姐、妹妹各有人民币多少
元
5．甲 、乙两人共储蓄人民币1790元，甲取出540元后，乙的钱数比甲的3倍还多50
元。甲、乙两人原 来各储蓄多少元
6．王村原有水田325公顷，旱田155公顷，现在计划把一部分旱田改成水田，使 全村
水田的公顷数相当于旱田的3倍，应该把多少公顷旱田改成水田
7.甲、乙两箱茶叶共8 4千克，如果从乙箱取出12千克放入甲箱，则甲箱茶叶的重量
是乙箱的2倍。两箱原来各有茶呆多少千 克
8．把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是990，已知减数是差的2倍，
减 数是多少
第11讲 和倍问题（二）
例1．百货公司卖出花布和白布共395米 ，卖出的花布是白布的4倍，花布每米6元，
白布每米5元，卖出的花布和白布共值多少元
例 2．甲、乙两数之积为2500，是甲、乙两数之和的20倍，而甲数又是乙数的4倍，
甲、乙两数各是 多少
例3．甲、乙两人共储蓄1000元，甲取出240元，乙又存入80元，这时甲蓄储的钱
正好是乙的3倍。原来甲比乙多储蓄多少元
例4．光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来足球 的个数比篮球的2倍少3个，
学校买来足球的篮球各多少个

例5．大水池里有 水2600立方米，小水池里有水1200立方米，如果大水池的水以每
分23立方米的速度流入小水池 ，那么，多少分后小水池中的水是大水池的4倍
练习与思考
1．甲瓶里有酒精47 0毫升，乙瓶里有酒精190毫升，为了使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的
2倍，应该把甲瓶的酒精倒入乙瓶多 少毫升
2．两个自然数的和是286，其中一个数的末位数是0，如果把这个0去掉，所得的数
与另一个数相同。原来两个数的积是多少
3．甲、乙两人存款数相等，如果取出30元，乙存入30 元，那么，乙的存款数恰好是
甲的5倍。甲、乙两人这时各有存款多少元
4．有两层书架，共 186本书。如果从第一层拿走25本书后，第二层的书就比第一层
的2倍还多11本。第二层有多少本 书
5．甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋1570箱，从甲库运走350箱后，这时乙库存的鸡蛋比
甲库剩下的2倍还多80箱。甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱
6．两个数的和是13002，其中一个 数的百位和十位上的数都是6，另一个数百位和十
位上的数都是3，如果用0代替这两个数里的6与3， 那么，所得的一个数是另一个数的2
倍，原来的两个数各是多少
7．商店运来梨子、苹果、香 蕉共53千克，梨子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉
的重量是苹果的2倍多2千克，梨子重多少千克
8．南水池有水3830立方米，北水池有水850立方米，如果南水池里的水以每分32立
方 米的速度流入北水池，那么，多少分后南水池中的水是北水池的3倍
9．面值10元的面值5元的钞票 若干张，共175元。10元的张数是5元张数的3倍。
这两种钞票各几张
第12讲 差倍问题
差÷（倍数-1）=小数
小数×倍数=大数
例1． 暑假里，兄弟两人去池塘钓鱼，哥哥比弟弟多钓20条，哥哥钓的条数是弟弟的
3倍。哥哥与弟弟各钓了 多少条鱼
例2．参加学校课外舞蹈小组的同学，女生比男生多45人，女生比男生的4倍少15
人，男、女生各有多少人
例3．两堆煤重量相等，第一堆运走7吨，第二堆运走19吨以后，第一堆 剩下的吨数
是第二堆的3倍。两堆煤现在各有多少吨
例4．一个畜牧场，原有山羊和绵羊的只 数同样多，如果卖出山羊200只，买进绵羊
350只，那么绵羊的只数是山羊的6倍还多50只。畜牧 场原有山羊、绵羊各多少只
例5．有两筐桔子，如果从第一筐拿出9个放入第二筐，则两筐桔子的个数 相等；如
果从第二筐拿出12个放入第一筐，则第一筐桔子的个数等于第二筐的2倍。原来每筐桔子各有多少个
练习与思考
1.暑假里，哥哥做的数学题比弟弟多180道，哥哥做的数学 题是弟弟的4倍多9道。两
人各做多少数学题
2.甲、乙两人的钱一样多，甲给乙30元，则乙的钱是甲的5倍。甲、乙原来各有多少
元 < br>3．甲粮仓的大米比乙粮仓多600袋，如果从乙粮仓运出300袋给甲粮仓，那么，甲粮
仓的大 米是乙粮仓的2倍。两粮仓原来各有大米多少袋
4．两块同样长的花布，第一块卖出25米，第二块卖 出7米，剩下的布，第二块的长度

是第一块的3倍。这两块布原来各有多少米
5．已知两个数的商是4，这两个数的差是39。那么，这两个数中较小的一个数是多少
6． 小英的故事书的本数是小娟的3倍。如果小英借给小娟10本故事书，小娟的故事书
的本数等于小英的3 倍。小英、小娟原来各有故事书多少本
7．水果店有重量相等的苹果和梨子各一筐，苹果卖出60千克 ，梨子又放入40千克，
结果梨子的重量是苹果的3倍。原来苹果、梨子各有多少千克
8．四 （1）班和四（2）班原有图书的本数一样多。后来，四（1）班又买事新书126
本，而四（2）班从 本班原有的书中取出234本借给四（3）班。这时，四（1）班图书的本
数是四（2）班的3倍。四（ 1）班和四（2）班原来各有图书多少本
9．一天，甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓6条，丙 钓的鱼是甲的2倍，比乙
多钓22条。他们三人一共钓了多少鱼
10．甲对乙说：“你给我1 00元，我的钱将比你多1倍。”乙回答说：“你只要给我10
元，我的钱就比你多5倍。”问：两人各 有多少元
第13讲 年龄问题（一）
日常生活中到处存在着数学，一些关于年龄的数学趣题，尤其使人迷恋。
大象对长颈鹿说：“ 我现在的年龄，等于我像你那么大时你的年龄的2倍，而等你长到
我这么大时，我俩的年龄之和是63岁 。”
你能根据大象的话，算出大象与长颈鹿的年龄吗
小鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大 时，您就31岁啦！”鲸鱼妈妈说：“我像你那么
大年龄时，你只有1岁。”
你能根据他们的对话，算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗
年龄问题生动有趣，又往往是和差、倍数等问题的综合，因此需要灵活地解决。
例1．妈妈今 年43岁，女儿今年11岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍几的前妈妈
的年龄是女儿的5倍
例2．今年，父亲的年龄是女儿的4倍，3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁。父亲、
女儿今年各是多 少岁
例3．一家有三口人，三个人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子
的 4倍。三人各是多少岁
例4．王英5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王英4年后与李明3年前的年 龄和
是35岁。王英、李明二人今年各几岁
例5．哥哥与弟弟两人3年后的年龄和是27岁。 弟弟今年的年龄等于两人的年龄差。
哥哥和弟弟今年各几岁
练习现思考
1．小红今年14岁，爸爸41岁。几年前爸爸的年龄是小红的4倍
2．父亲今年38岁，儿子今年10岁。几年之后，父亲的年龄是儿子的3倍
3．父子两人的年龄和是64岁，儿子年龄的3倍比父亲多8岁。父子两人的年龄各是
多少岁
4．爸爸比小刚大25岁，爸爸的年龄比小刚年龄的5倍少3岁。爸爸多少岁
5．小丽今年7岁，小丽妈妈今年35岁。小丽多少岁时，妈妈的年龄是小丽的8倍
6．4年前，妈妈的年龄是娟娟的4倍，娟娟今年12岁，今年妈妈的年龄是小丽的几
倍 7．爸爸今年35岁，妈妈今年31岁。当爸爸和妈妈年龄之和等于98岁时，爸爸和妈
妈各是多少 岁
8．哥哥5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的和是

35岁。求哥哥、妹妹今年的年龄
9．今年哥哥16岁，弟弟比哥哥小3岁，多少年后兄弟两 年龄的和为45岁那时哥哥和
弟弟各几岁
10．甲的年龄比乙的年龄的3倍少4岁，甲7年前 的年龄和乙9年后的年龄相等。甲、
乙现在各是多少岁
第14讲 年龄问题（二）
例1．已知祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样的，又知祖父和孙子的年龄之和为
84岁，这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100岁。问：三人的年龄各是多少岁
例2．祖孙三人的 年龄加在一起正好是100岁，祖父过的年数正好等于孙子过的月数，
儿子过的星期数正好等于孙子过的 天数。问：三人的年龄各是多少岁
例3．王叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同 。7年前，我的年龄
是你的年龄的8倍。”小明今年多少岁王叔叔今年多少岁
例4．小英一家 由小英的她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁。今年全家年龄的
总和是71岁，8年前这个家庭的年 龄总和是49岁。今年小英多少岁父亲多少岁母亲多少岁
练习与思考
1．今年小明 和妈妈的年龄和是42岁，6年前，妈妈的年龄是小明年龄的14倍。小明
和妈妈今年各多少岁
2．李老师的年龄比小红年龄的2倍多8岁，李老师10年前的年龄和小红8年后的年
龄相等。小红今 年几岁
3．15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲、儿子
现在各多少岁
4．大马年龄是小马年龄的4倍，再过20年大马的年龄比小马的2倍小14岁。大马 、
小马现在各多少岁
5．四个人年龄之和是77岁，最小的是10岁，最大的与最小的年龄之 和比另外两人年
龄之和大7岁。最大的年龄是多少岁
6．4年前，母亲的年龄是芳芳的4倍，芳芳今年12岁了。今年母亲的年龄是芳芳年
龄的几倍
7．哥哥对弟弟说：“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚3岁。”弟弟对哥哥说：“当
我长到 你今年的岁数时，你就是15岁了。”哥哥、弟弟今年各多少岁
第15讲 还原问题（一）
还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果，要求最初状态的一类问题。
解答这类问题逆向思维很重要，通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发，一步一
步倒着往前推 算，逐步倒着往前推算，逐步靠拢已知条件，直到问题解决。
例1．某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，求某数。
例2．有一位老人说：“把我 的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧
是100岁。”这位老人今年多少岁 例3．在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果
所得的和是1 23。正确的答案是多少
例4．工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了 余下了
一半还少1千米，还剩20千米没有修完。公路的全长是多少千米
练习与思考
1．某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10。这个数是多少
2．《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后，缩小100倍，再
扩大4倍，最后 减去25，正好是55。这个俱乐部成立于哪一年

3．有一个说：“把我的年龄加上2 8后除以15，再用8乘，就是32岁。”这个人多少
岁
4．小明在做一道加法计算题时，把 个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是
306。正确的答案应该是多少
5．王大爷 去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心，错把一袋米少算了20千克，把另一袋
米多算了3千克，合计卖给王 大爷60千克米。王大爷实际购买了多少千克米
6．一捆电线，第一次用去全长了一半多3米，第二次 用去余下的一半多5米，还剩下
7米。这捆电线原来长多少米
7．有一篮鸡蛋，第一次取出一 半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出
8个，篮里还剩2个鸡蛋。篮里原来有多少个鸡蛋
8．小刚买毛巾用去所带钱的一半，买手帕用去2元钱，买香皂用去剩余钱的一半，这
时还剩4 元钱。小刚买毛巾用去多少钱一共带了多少钱
9．某仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二 次运出余下的一半，第三次运
出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂，甲厂 得6吨，是乙厂
的2倍。仓库原有原料多少吨
10．把若干个面包分给甲、乙、丙三个人吃， 甲吃了全部的一半多1个，乙吃了剩余
的一半多1个，丙吃了最后剩余的一半多1个，这样面包刚好全部 吃完。原来有几个面包
第16讲 还原问题（二）
例1．甲、乙、丙三个组共有图书90 本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，
结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个 组原来各有图书多少本
例2．甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆，又从 乙站开出
45辆汽车，这时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍。原来甲、乙两站各停放多少辆汽车
例3．一筐鱼连筐重122千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的地半，这时连筐还
重35千克。原 来筐和鱼各重多少千克
练习与思考
1．小亮在计算一道除法题的时候，把除数36 写成62，结果重到的商是30余12。正
确的商应该是多少
2．小明在做一道减法题的时候 ，把被减数个位上的4错写成7，把十位的1错写成5，
把百位上的3错写成2，这样，他算得的差是1 43。正确的差应该是多少
3．小兰问一位老师今年多大年纪，老师说：“把我的年龄除以6后加上1 4，再乘以3，
最后减去27，是33岁。”这位老师多少岁
4．操场上放了一些花盆，第一 次搬走了全部的一半多8盆，第二次搬走了余下的一半
少4盆，将剩下了摆成6排，每排恰好放2盆。原 来有多少个花盆
5．甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张，如果甲给乙13张，乙给丙23张后 ，他
们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张
6．甲、乙、丙共有72元钱，甲拿出与乙 同样多的钱给乙，乙再拿出与丙同样多的钱
给丙，这时三人的钱数同样多。甲、乙、丙三人原来各有多少 钱
7．甲、乙两个车站共停了90辆汽车，如果从乙站开到甲站12辆汽车，又从甲站开出
3 0辆汽车，这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍。原来甲、乙两站各停了多少辆汽车
8．甲、乙两个车 站共停了90辆汽车，如果从甲站开到乙站38辆汽车后，乙站开到甲
站14辆，这时两站停的汽车辆数 相等。两站原来各停了多少辆汽车
9．某车间分成甲、乙两个组，因生产需要，把甲组工人的一半调到 乙组去了，后来改
变工作程序，又把乙组工人中的25人调到了甲组，这时甲组有45人，乙组有22人 。甲、
乙两个组原来各有多少人

10．一个水桶里面装有水，连桶称是5千克 ，把水加到原来的4倍，连桶称是11千克。
桶里原来有多少千克水桶有多重


能力测试（二）
（满分100分，90分钟完成）
一、填空题（每题2分，共20分）。
1．白兔的只数是黑兔的4倍，（ ）的只数是1份，（ ）的只数是4份，白兔和黑
兔一共有（ ）份，白兔比黑兔多（ ）份。
2．红花和黄花共有120朵，红花的朵数是黄花的5倍，黄花有（ ）朵，红花有（ ）
朵。
3．公鸡和母鸡共有52只，公鸡比母鸡少8只，公鸡有（ ）只，母鸡有（ ）只。
4．故事书和科技书一共有84本，故事书比科技书多6本，故事书有（ ）本，科技
书有（ ）本。
5．山羊的只数比绵羊多45只，山羊的只数是绵羊的4倍，绵羊有（ ）只，山羊有
（ ）只。
6．排球的个数比足球少30个，足球的个数是排球的6倍，排球有（ ）个，足球有
（ ）个。
7．甲数除以乙数商是7，（ ）是1份，（ ）是7份，（ ）比（ ）多6份。
8．甲、乙两数的和是180，甲数除以乙数商是9，甲、乙两数的差是（ ）
9．今年父亲比儿子大25岁，三年后，父亲比儿子大（ ）岁。
10．小东是小学四年级的学生，他和爸爸今年年龄的和是48岁，三年前，两人年龄的
和是（ ）岁。
二、应用题（每题8分，共80分）。
1．南京长江大桥分为上下两层，上层是公路 桥，下层是铁路桥。铁路桥和公路桥共长
11270米。铁路桥比公路桥长2270米。南京长江大桥的 铁路桥和公路桥各长多少米
2．大房间面积比小房间大36平方米，大房间的面积是小房间的3倍。大 小房间各有多
少平方米
3．甲、乙两船共载乘客623人，若甲船增加34人，乙船减少57 人，那么，两船乘恰
好相等。两船原来各有乘客多少人
4．父亲经儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子的3倍。儿子今年多少岁
5．小玲做一道减 法题的时候，把减数个位上的9错写成6，十位上的6错写成9，得
到的差是578。请你算一算，正确 的差是多少
6．甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，那么，三个组的图书数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本

7．两个 数的和是616，其中一个数个位数是0，如果把0去掉，就与另一个数相同。这
两个数各是多少 8．甲桶油重24千克，乙桶油重16千克，要使甲桶油的重量是乙桶油的3倍，需要从
乙桶倒入甲 桶多少千克
9．甲、乙两筐苹果的重量相同，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的< br>重量是乙筐的3倍。甲、乙两筐苹果原来各有多少千克
10．小亮和他爸爸、妈妈今年的年龄分 别是6岁、35岁和31岁。多少年后爸爸、妈妈
的年龄和是小亮年龄的5倍


第17讲 周期问题（一）
我们知道，一年有12个月，从一月开始，一月、二月、三月 、……十二月；每周有七
天，从星期一开始，星期一、星期二、……星期天。在日常生活中有许多类似这 样重复出现
的现象，一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称< br>为周期问题。解答这类题目只有找到规律，才能获得正确的方法。
例1．●●○●●○●●○……
上面黑、白两色小球探险一定的规律排列着，其中第90个是（ ）
例2．有同样大小的红 、白黑珠共150个，按先5个红的，再4个白的，再3个黑的
排列着。第144个珠是什么颜色 例3．有249朵花，按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，最后一朵花是什
么颜色的
例4．有同样大小的红、黄、蓝弹子共180个，按先4个红的，再2个黄的，再3个
蓝的排列 着。三种颜色的弹子各有多少个
例5．

共 产 党 好 共 产 党 好 共 产 党 好 ……

社 会 主 义 好 社 会 主 义 好 社 会 ……

上
表中，将每列上下两个字组成一组，例如，第一组为（共，社），第二组为（产，会），那么 ，
第128组是（ ）
练习与思考
1．根据图中物体的排列规律，填空。

(2)□○△□○△……
第55个是（ ）
2.把1 ～100号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明四个人，已知1号发绘小红，
16号发给谁38号呢

3．四（1）班六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈，小娟报“1”，小华报“2” ，
小丽报“3”，小勇报“4”，小强报“5”，小琳报“6”，每位报的数总比前一位多1。“72”
是谁报的“190”呢
4．一些黑白珠子按一定规律排列（如图），如果这些珠子共有50个 ，则倒数第六个珠
子是什么颜色
●●●○●●●○●●●○……
5．有同样大小的 红、白、黑珠共90个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的排
列。黑珠共有几个第68个珠子是什 么颜色
6．有100朵花，按4朵红花，3朵绿花，5朵黄花，2朵紫花的顺序排列，最后一朵
是什么颜色的花四种花各有几朵
7．
A B C D A B C D
……


1 2 3 1 2 3 1 2
……
第26列的字母
和数字各是什么
8．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组 ，例如，第1组是（我，A），第二
组是（们，B），
我
A
们
B
爱
C
科
D
学
E
我
F
们
G
爱
A
科
B
学
C
我
D
们
E
……
……
第26组是什么
第18讲 周期问题（二）
例1．10个2连乘的积的个位数是几
例2．1998年元旦是星期四，1998年元旦是星期几
例3．黑珠、白珠共185个串成一串，排列如图：
○●○○○●○○○●○○○…… 例4．把自然数按下图的规律排列后，分成A、B、C、D、E五类，例如，4在D类，
10在B 类。那么，1998在哪一类



A B C D E

1 2 3 4


8 7 6 5

9 10 11 12


16 15 14 13

17 18 19 20


… … … …


例5．有一个1111位的数，各位数字都是1，这个数除以6余数是几商的末位数字是
几
练习与思考
1．42个8连乘以积的个位数是几

2．99个999连乘，所得积的个位数字是几
3．1988年2月1日是星期日，1992年2月1日是星期几1998年2月1日呢
4．如果时钟现在表示的时间是18时整，那么，分针旋转1990圈以后是几时
5．黑珠、白珠共150个串成一串，排列如图：
○●●○○●●○○●●○○……
最后一个是什么颜色的这一串共有多少个白珠，多少个黑珠
6．英文字母A、B、C、D探险 BCDABAACDABAACDABAACD…排列，共250个字母，最
后一个字母是什么A、B、 C、D各多少个
7．按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两个表中各出现在哪个字母的位置上


A B C D

A B C D


1 2 3 4 2 4 6 8

7 6 5 14 12 10


8 9 10 11 16 18 20 22
8．一个200位的数，每位上的数字都是3，用它除以7，余数是几商的末位数字是几
14 13 12 28 26 24
9．3×3×3×…×3共85个3相乘 ，加上4×4×4×…×4共80个4相乘，它们和的
个位数是几
… … … … … … … …
10．小红数左手的手指，大拇指为1，食指为2，中指为3，无 名指为4，小指为5，
然后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为10 ，…这样，
数到2000停在哪个手指上
第19讲 假设问题（一）
假设法是解 答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的已知
条件或结论作出某种设想，然后 按照已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当调
整，从而长到正确答案。
我们看这样一道题：
在同一个笼子里的，有若干鸡和兔。从笼子上看有30个头，从笼子下数 有70只脚。
这个笼子里装有鸡、兔各多少只
这样的问题属于“鸡兔同笼”问题，解决这类问 题通常用假设法。我们可以先假设笼
子里全部都是鸡，根据鸡、兔的总只数可以算出在假设条件下共有多 少只脚，结果一定比已
知的问好脚数少，每差2只脚就说明有1只兔，所以，用所差的脚数除以2，就可 以求出兔
的只数，从而可以求出鸡的只数。也可以先假设全部都是兔，按照前面的方法推算出鸡的只数。
用假设法解答鸡兔同笼问题的基本数量关系式是：
兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）
例1．本讲开始例举题目。
例2．王芳有2分、5分的硬币共40枚，一共是1元2角5分。两种硬币各有多少枚
例3． 王老师带了51名同学去公园划船，共租了11条船，每条大船坐6人，每条小
船坐4人。请你算一算， 他们租了大船、小船各几条
例4．一批钢材，用小卡车装载，要用45辆；如果用大卡车装载，只需用 36辆。每
辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，这批钢材有多少吨
例5．王老师从家到学校上班 ，出发时他看看表，发现如果步行，每分行80米，他将
迟到5分；如果骑自行车，第分行200米，他 可以提前7分到校。王老师出发时离上班时

间有多少分
练习与思考
1．鸡兔共100只，共有脚284只，鸡兔各有多少只
2．2元、5元的人民币共27张，全计99元。2元、5元的人民币各有多少张
3．用一元钱买8分邮票和4他邮票，共买了17张。买的4分邮票与8分邮票相差多
少张 < br>4．电影院一天售出甲、乙两种电影票共1700张，共收款7800元。甲种票每张6元，
乙种 票每张4元。甲、乙两种电影票各售出多少张
5．田甜这学期的21次测验成绩全都是4分或5分（老 师采用5分评分制），总共加起
来是100分。她得了多少次5分
6．王师傅有2元，5元， 10元的人民币共118张，共计500元，其中5元与10元的
张数相等。三种人民币各有多少张 < br>7．张老师带了55个学生去划船，共乘从10只船，其中大船坐6人，小船坐4人。大
船和小船 各几只
8．有一堆土，用大汽车运，要运50次；如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比
小汽车多运3吨，这堆土有多少吨
9．李老师从学校到教委去开会，出发时他看一下表，发现如果步 行每分行行100米，
他将迟到6分；如果骑自行车每分行200米，可以提前3分到达。李老师出发时 离开会有
多少时间
10．松鼠采松子，晴天每天可采用20个，雨天每天可采12个，它一连 几天采了112
松子，平均每天采14个。这几天当中有几天下雨
第20讲 假设问题（二）
例1．三、四、五年级同学共植树108棵。三年级比四年级少植18棵，五年级比三 年
级多植30棵，三个年级同学各植树多少棵
例2．每个大油桶可装油4千克，每个小油桶可 装油2千克，大桶和小桶共50个，大
桶比小桶共多装油20千克。大、小油桶各多少个
例3 ．搬运1000只玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角，但打碎一只，不仅不
给搬运费，还要赔5 角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了几只玻璃瓶
例4．水果糖每千克元，奶糖每千 克元，某单位买进水果糖和奶糖共200千克，付款
时发现买奶糖比水果糖多用220元，两种糖各买进 多少千克
例5．鸡兔同笼，鸡比兔多14只，共有脚136只，鸡兔各有多少只
练习与思考
1．小明、小宇、小虹、小叶到森林里去采蘑菇。他们共采了80个蘑菇，小明比小宇
少采了8个，小虹比小明少采14个，小叶和小虹采的一样多。他们每人采了多少个蘑菇
2．三筐苹果 共130个，第二筐内的苹果数是第一筐的3倍，第三筐的苹果数是第二筐
的2倍多10个，三筐苹果各 有多少个
3．小红有一个小储蓄箱，一天，她把储蓄箱里存的钱全倒出来了。数一数，二分硬币
和五分硬币共152枚，算一算，五分硬币比二分硬币多少60分，两种硬币各多少枚
4．学校组织 参观，全校共720人参加。一辆大轿车比一辆小卡车多载20人。6辆大
轿车和8辆小卡车载的人数相 等。如果都乘小卡车需要几辆
5．某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一道题得5分，每做 错或不做一题
扣1分。李强参加了这次竞赛，得了64分。李强做对了几道题
6.办公室买水 瓶和茶杯共花了136元，每只水瓶14元，每只茶杯2元，买的茶杯比水
瓶多36只。买水瓶和茶杯各 多少只

7．某电视机厂每天生产电视机500台，在质量评比中，每生产一台合格电视 机记5分，
每生产一台不合格电视机扣18分。已知该厂四天评比中得了9931分，这四天生产了多少
台合格电视机
8．鸡兔同笼，共有脚138只，鸡比兔多12只。鸡兔各有多少只
9．六（2）班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，男生
比女生多种56 棵，男、女生各多少人
10．小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分 。两人各
打了10发，共得208分，小王比小李多得64分。小王、小李两各打中几发
第21讲 计数问题（一）
我们已经认识了角、三角形、长方形、正方形等基本图形，当 这些图形重叠交错在一
起时，就构成了错综复杂的几何图形，要想准确地计算出这类图形中所包括的某一 种基本图
形的个数，就需要认真观察，灵活地运用有关的基本概念和知识，并学会运用一些正常的解题思考方法，掌握数图形的规律，这样才能获得正确的计数结果。
例1． 数出下面各图中线段的总条数。


例2． 数一数，图中有多少条线段。




例3． 数出图中共有多少条线段。




例4． 数一数图中共有多少线线段。



例5． 数一数图中有多少个锐角。


练习与思考
1． 数一数，各图中有多少条线段。
(1)
(2)
A
C1

C2 C3
…
C18
B
A
D5
D1
D2
D7
D6
D3
D4
C
A1
A2
A3
A4
O
C19
B
A5

2．如果线段AB上共有8个点（包括A、B两点），那么，共有多少条线段
3．乘火车从南京到上海，途中共有5个站（不包括南京、上海），共有多少条不同的
路段
4．数一数，各图中有多少条线段。
A
(1)
（2）



（3）




（5）


5．数一数，各图中有几个锐角。
C
D
（
B
4）
.
.
E

（6）



6．某班有35个学生，现将34个学生排成一队，另外一个站在队外 ，如果把每个学生
看成一点，那么，这35个学生可以组成多少条线段


第22讲 计数问题（二）
例1． 分别数出下面各图中长方形的个数。






例2． 数一数下左图中有多少个正方形。
例3． 数一数，图中有多少个三角形。

例4． 数一数，图中有多少个三角形。

例5． 如图，从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁
地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同
的走法



练习与思考
1．数一数，图中有多少个长方形。
（1） （2）






2．数一数，图中有多少个正方形。










3.数一数，图中有多少个三角形。



4．数一数，下左图中有三角形、平等四边形、梯形各多少个。





5．联结A、B、C、D四个城市的道路如图所示：
（1）从A城经B城到C城的不同走共有多少种

（2）从A城到C城的不同走法共有多少种
第23讲 容斥问题（一）
容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计
数部分有重 复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除
重复部分。
这一讲我们先介绍容斥原理1 对n个事物，如果采用两种不
同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具
有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。
例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数 学报》的有12
人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。（1）订阅报纸的总人数 有多
少（2）两种报纸都没订阅的有多少人
例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24 人，会俄语的有18人，两样都不会的
有4人，两样都会的有多少人
例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个
例4．艺 术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不
是五年级的，有21幅画不 是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画
共有多少幅
练习与思考
1． 将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已
知重叠 的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米

2．二（2）班 有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的
有35人，做完数学作业的有4 0人，两种作业都做完的有多少人
3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名 ，两样都不会的有4
名，两样都会的有多少名
4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学 比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比
赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获 奖的有多少人
5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有1 9
人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加
6．在一次数学测验中，所有同 学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答
对第2题的有28人，这两题都答对的有20人 ，没有人两题都答错。一共有多少人参加了
这次数学测验
7．一个俱乐部里，会下中国象棋的 有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不
会下的有12人，都会下的有30人。这个俱乐部里 有多少人
8．某班上体育课，全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从前面数第
6个，从后面数第7个。这个班共有多少名学生
9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个
10．科技 节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有114件不
是一年级的，有96件不是 二年级的，一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品

共有多少件



第24讲 容斥问题（二）
这一讲介绍容斥原理2 n个事物，如何采用三种不同的分类
标准：按性质a 分类、性质b分类与性质c分类（如图1），那么 ，
具有性质a或b或c的事物的个数
=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+ Nabc。
例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项
目的测试，有4名学 生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每
人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人 数
如下表：
短跑
17人
游泳
18人
篮球
15人
短跑、游泳
6人
游泳、篮球
6人
篮球、短跑
6人
短跑、游泳、篮球
2人
求全班人数。 例2．某班有学生50人，参加无线电小组，航模小组和生物小组的人数分别是20人、
20人和1 2人，其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生
物小组的有5人，既参 加生物小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了
以上三个小组中的某一个，那么，三 个小组参加的学生有多少人
例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足 球三个球队
中的一个。结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人，参加足球队的有20人，其
中有4人既参加了排球队又参加了篮球队，有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人
三个 球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人
例4．松山小学45名学生参加数学、作文、美术 竞赛。有21人参加数学竞赛，15人
参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既 参加作文竞赛又参加美术
竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
（1）只参加数学竞赛的有多少人
（2）只参加作文竞赛的有多少人
（3）只参加美术竞赛的有多少人
练习与思考
1．有30名运动员、其中 18人会三级跳远，16人会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆
跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高 的运动员有多少名
2．操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多，小明站在第4路纵 队，
从排头数他是第13人，从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操
3．一个年级有 120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好美术，30人既爱好数学
又爱好语文，20人既爱好 语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学，有18人三个学
科都爱好。请问：这个年级中数学、语 文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人
4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科 目的测试，有8名学生在这三个科目
上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生 达到优秀的科目和人数
如下表：
数学
20
语文 英语 数学、语文
16 16 4
语文、英语
4
英语、数学
5
数学、语文、英语
3
全班一共有多少名学生

5 ．第三小队的学生有20人，手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球，已知手中有红球、
黄球、蓝球折学生 人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人，
既有黄球又有蓝球的有2人， 既有蓝球又有红球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种
颜色的球，那么，手中三种颜色的球都有多 少人
6．某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有
2 9人，参加语文小组的有21人，参加美术小组的有25人，有17人既参加数学小组又参加
美术小组， 有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小
组。三个小组都参加的 有多少人
7．有学生30名，他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组，各
组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排球小组的有4人，既
参加羽毛 球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人，
三个小组都参加的有1 人。这些学生中这三个小组都没有参加的有几人
8．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英 语、日语、德语中的一咱。结果
学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中 有5人既学习了英语
又学习了日语，有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言。既学 习英语
又学习德语的有多少人
9．四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有 22人参加美术组，有21
人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又 参加体育组，
但没有一人既参加美术组又参加优育组。
（1）只参加美术组的有多少人
（2）只参加音乐组的有多少人
（3）只参加音乐组的有多少人


能力测试（三）
（满分100分，90分钟完成）
一、填空题（每空6分，共54分）。
1．小英有2分、5分的硬币共35枚，一共是1元1角5分，2分硬币有（ ）枚，5
分硬币有（ ）枚。
2．从旧旧历中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（ ）。
3．买5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克，用去71元。5元1千克的糖有（ ）
千克，8元1千克的糖有（ ）千克。
4．
























图中共有（ ）个正方形。图中菜有（ ）个三角形。
5．新华小学四年 级共40个学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的
有21人，两种标本都采集的有（ ）人。
6．某班学生去图书馆借书，每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的
39人，借数学书的32人，语文、数学两种书都借的有26人，全班学生共（ ）人。

二、应用题（第1题10分，其余每题9分，共46分）。
1．英文字母A， B，C，D，按规则排列为ABAACCDABAACCD…共250个字母，最后一
个字母是什么A， B，C，D各有多少个
2．四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5分，错一题扣2分。试卷上共 有20
道题，李华得了86分，他算对了多少道题
3．一个停车场上共停汽车、三轮摩托车2 5辆，其中汽车有4个轮子，三轮摩托车有3
个轮子。这些车共有90个轮子。三轮摩托车有多少辆 < br>4．某班学生会打篮球的有40人，会打排球的有32人，两种球都会打的有30人，还
有3个学 生这两种球都不会打。这个班有学生多少人
5．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都 不相同，每个同学都把身上
带的全部钱各自买了画片。画片只有两种：3分一张和5分一张。如果每人都 尽量多买5分
一张的画片，那么，他们所买的3分一张是画片的总数是多少张

第25讲 行程问题（一）
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题，称为行程 问题。行程问题主要
包括相遇问题、相背问题的追及问题。
例1．甲、乙两人分别从相距30 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，
乙每小时走4千米。两人几小时后相遇
例 2．南北两村相距90千米，甲、乙两人分别从两村同时出发相向而行，甲比乙每小
时多行2千米，5小 时后两人相遇。两人的速度各是什么
例3．两地相距900千米，甲、乙两列火车同时从两地出发相向 而行。甲车每小时行
驶60千米，乙车每小时行驶90千米，两车在途中相遇后继续前进。从两车相遇算 起，它们
开到对方的出发点各需要多长时间
例4．甲每小时行8千米，乙每小时行6千米，两 人于相隔32千米的两地同时相背而
行，几小时后二人相隔144千米
例5．下午放学时，弟 弟以每分40米的速度步行加家，5分后，哥哥以每分60米的速
度也从学校步行回家。哥哥出发后，经 过几分可以追上弟弟（假定从学校到家和路程足够远，
哥哥追上弟弟时仍没有到家。）
例6． 幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬
每秒跑6米，晶晶每秒跑 4米。问：冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米第二次追上晶
晶时两人各跑了多少圈
练习与思考
1．甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶19千米，乙 船每
小时行驶13千米，经过8小时两艘轮船在途中相遇。两港间的水路长多少千米
2．甲、 乙两车分别从相距240千米的A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车到达
B城需3小时，乙车到达 A城需6小时，两车出发后多少时间相遇
3．东、西两镇相距45千米，甲、乙两人分别从两镇同时出 发相向而行，甲每小时行
的路程是乙的2倍，5小时后两人相遇。两面三刀的速度各是多少
4 ．两地相距6600千米，甲、乙两列火车同时从两地出发，相向而行。甲车每小时行
驶100千米，乙 车每小时行驶120千米，两车在途中相遇后继续前进。从相遇时算起，两
车开到对方的出发点各需多少 小时
5．甲每小时行9千米，乙每小时比甲少行3千米，两人于相隔20千米的两地同时相
背 而行，几小时后两人相隔80千米
6．甲每小时行12千米，乙每小时行8千米，甲自南庄向南行，同 时乙自北庄向北行，

经过5小时后，两人相隔103千米 。南北两庄相距多少千米 < br>7．解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，6小时后，部队有
急事，派通 讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络。多少时间后，通讯员能赶上队
伍
8．一条环 形跑道长400米，甲骑车每分行450米，乙跑步每分跑250米，两人同时同
地同向出发，经过多少 分两相遇
9．育才小学有条300米长的环形跑道，扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米，宁宁每秒跑4米。问：
（1）扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米
（2）扬扬第二次追上宁宁时两人各跑了几圈
第26讲 行程问题（二）
“火 车过桥“问题是行程问题中的一种情况。桥是静的，火车是动的，火车通过大桥，
是指从车头上桥到车尾 离桥。如下图，假设某站在火车头的A点处，当火车通过桥时，A点
实际运动的路程就是火车运动的总路 程，即车长与桥产的和。

例1．一列火车车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米长的大桥，需要多少
时间
例2．小明站在铁路边，一列火车从他身边开过用了2分。已知这列火车长900米，
以同样的 速度通过一座大桥，用了5分。这座大桥长多少米
例3．一列火车通过一座长456米的桥需要80秒 ，用同样的速度通过一条长399米的
隧道要77秒。求这列火车的速度和长度。
例4．少先 队员346人排成两路纵队去参观科技成果展览。队伍行进的速度是每分23
米，前后两人都相距1米。 现在队伍要通过一座长702米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需
几分
例5．一列火车，从车 头到达山洞的洞口算起，用16秒全部驶进山洞，45秒后车尾驶
离山洞。已知山洞长638米，火车全 长多少米
例6．公路两边的电线杆间隔都是30米，一位乘客坐在运行的汽车中，他从看到第1
根电线杆到看到第26根电线杆正好是3分。这辆汽车每小时行多少千米
练习与思考
1．一列火车长360米，每秒行15米，全车通过一个山洞需40秒。这个山洞长多少米
2．一列火车长400米，以每分800米的速度通过一条长2800米的隧道，共需多少时
间
3．一辆汽车通过一座长446米的桥需要57秒，用同样的速度通过一条长1654米隧道
要 208秒。求这辆汽车的速度的长度。
4．一列火车以同一速度驶过两座大桥，第一座桥长360米， 用了24秒，第二座桥长
480米，用了28秒。这列火车长多少米
5．一列火车经过一根有 信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥用了35
秒。这列火车长多少米
6．小 明和小兰为了测量飞驰而过的火车的长度和速度，他们拿了两块秒表，小明用一
块记下了火车从他面前通 过的时间是15秒，小兰用另一块记下了从车头到第一根电线杆至

车尾过第二根电线杆所 花的时间是20秒。已知两根电线杆之间的距离是100米，火车先经
过第一根电线 杆，再经过第二根电线杆。这列火车的长度和速度各是多少
7．某小学三、四年级学生528人排成四 路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分25
米，前后两人都相距1米。现在队伍要走过一座桥，整个队 伍从上桥到离桥共需16分。这
座桥长多少米
8．一列火车，从车头到达桥头算起，用8秒全 部驶上一座大桥，29秒后全部驶离大
桥。已知大桥长546米，火车全长是多少米
9．铁路 沿线的电线杆间隔都是40米，一位旅客坐在运行的火车中，他从看到第1根
电线杆到看到第51根电线 杆正好是2分。火车每小时行多少千米
10一列火车长400米，铁路沿线的电线杆间隔都是40米， 这列火车从车头到第1根
电线杆到车尾离开第51根电线杆用了2分。这列火车每小时行多少千米
第27讲 平均数问题
我们经常用各科成绩的平均分数来比较同学之间、班级之间成绩的 高低。求各科成绩
的平均分数就是求平均数。平均数在很我方面都有应用，例如，求平均身高、平均体重 等等。
平均数问题的基本特点是，把几个大小不等的数量，在总量不变的情况下，通过移多
补 少，使它们成为相等的几份，求其中一份是多少。解题时关键要确定“总数量”以及与“总
数量”相对应 的“总份数”，然后用总数量除以总份数求出平均数。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
例1．六（3）班数学第一单元测验，第二组同学中有1人得95分 ，3人得91分，4
人得86分，2人得74分。这个小组的平均成绩是多少
例2．四（1） 班共有学生41人，数学期中考试时有三位同学因病缺考，平均成绩是
80分。后来这三位同学补考，成 绩分别为：100分、96分和85分。灾时全班的平均成绩是
多少
例3．李华期中考试语文 、外语、自然的平均成绩是80分，数学成绩公布后，他的平
均成绩提高了2分。李华数学考了多少分
例4．有三个数和，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙
数的平 均数是86。甲、乙、丙这三个数各是多少
例5．有6个数排成一行，它们的平均数是27。已知前4 个数的平均数是23，后3个
数的平均数是34。第4个数是多少
练习与思考
1．四（1）班学生年龄分布的情况是：13岁的有3人，12岁的有15人，11岁的有11
人，10 岁的有21人。这个班的平均年龄是多少岁
2．小林用9天时间读完一本书，他前6天每天读25页， 后3天每天读40页。小林平
均每天读多少页
3．四（1）班原有男同学22人，他们的平均 体重为39千克，后来转走了两个男同学，
这两个男同学的体重分别是42千克、36千克。现在这个班 的男同学的平均体重是多少千克
4．本学期，小平数学前四个单元测验的平均成绩是85分，他想使前 五个单元的平均
成绩单上升到87分，那么，他第五单元必须要考多少分
5．王新同学期末考 试的成绩是：语文和数学平均94分，数学和外语平均88分，外语
和语文平均86分。王新这三科各得 多少分
6．甲、乙、丙、丁四个数的平均数是10，甲、乙两数的平均数是8，求丙、丁两数的
平均数。
7．有甲、乙、丙三个数，甲比乙大2，乙比丙大11，这三个数的平均数是70，求这< /p>

三个数。
8．三年级课外美术班分为甲、乙、丙、丁四个小组，甲、乙、丙三组 的平均人数是24
人，乙、丙、丁三组的平均人数是26人。已知丁组有28人，甲组有多少人
9．有五个数，平均数是138，把它们从小到大排列起来，前三个数的平均数是127，
后三个数的 平均数是148。中间的那个数是多少
第28讲 推理问题（一）
在日常生活中，我们 常常要进行推理。例如，清晨，你推开门，看见房屋、树木、地
面、……都是湿漉漉的，你就会得出一个 结论：夜里下雨了。这就是推理。解决推理问题，
要求我们从已知条件中找出与问题之间的联系，通过分 析推理，得出正确的结论。
例1．有三个小朋友在谈论谁做的好事多。
王湖说：“王海做的比王江多。”
王海说：“王湖做的比王江多。”
王江说：“王湖做的比王海少。”
例2．张老师、刘老师、李老师三人在语文、数学、美术三门课中，每人都一门课。
张老师说：“我不教数学。”
刘老师说：“我既不教语文，也不教数学。”
请你说出这三位老师各教什么课
例3 有一座四层楼房（如下图），每层楼有3个窗户，每个 窗户有4
块玻璃，分别是白色和蓝色（用阴影图表示）。每个窗户代表一个数
字，从左到右表示 一个三位数，四个楼层所表示的三位数分别是
791，275，612。那么，第三层楼代表哪个三位数

例4．有8个球，编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外
两个球都轻1克。为了 找出这两个轻球，用天平称了3次，结果如
下：
第一次 ①+②比③+④重；
第二次 ⑤+⑥比⑦+⑧轻；
第三次 ①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
例5．王老师为表扬好人好事，要调查一件好事是谁做的。他找来小 红、小黄、小兰三
人,进行询问。
小红说:“小黄做的。”
小黄说：“不是我做的。”
小兰说：“不是我做的。”
已知这三人中只有一个说了实话，问：这件好事是谁做的
练习与思考
1． 桌上有排球、足球、篮球、乒乓球各1个。排球在足球的右边，篮球在足球的左边，
乒乓球在篮球的左边 。请你按从左到右的顺序写出这些球的名称。
2．明明找不到铅笔盒，妈妈对他讲：“我把铅笔盒放到 三个抽屉中的一个抽屉里了，
每个抽屉上都写了一句话。不过，其中只有一句话是真的。”明明看到的三 句话是：
左边抽屉上写着：“铅笔盒不在这里。”
中间抽屉上写着：“铅笔盒不在这里。”
右边抽屉上写着：“铅笔盒在左边抽屉里。”
3．1号，2号，3号，4号运动员取得了学校 运动会1500米赛跑的前四名。一位老师
问他们各自的名次。1号说：“3号在我前面冲向终点。”得 第三名的运动员说：“1号运动员

不是第4名。‘一位运动员说：”我们的号码与我拉所 得的名次都不相同。“你能说出他们的
名次吗
4．有三个小姑娘穿着崭新的连衣裙的颜色分别 是：花的、白的、红的。已知姓刘的小
朋友不喜欢穿红裙子，姓王的小朋友穿的既不是红裙子，也不是花 裙子。你知道穿花裙带子
的小朋友姓什么吗
5．小冬和芳芳都想买《雷锋的故事》这本书，小 冬缺1分钱，芳芳缺2元7角钱，用
他们两人的钱合买一本，钱还是不够。这本书的价钱是多少
6．某商品的编号是一个三位数。现在五个三位数：874，765，123，364，925，其中
每一个数与商品的编号恰好在同一个数位上有一个相同的数字。这件商品的编号是多少
第29讲 推理问题（二）
这一讲，我们主要介绍推理问题中两中最基本的解题方法——假设法和排除法。 例1．四（1）班第一小队有12人，放学排路队时发现有人穿校服，有人没穿校服，
并且任意两人 站在一起时，都至少有1个穿校服。问：穿校服的有几人
例2．有四个方木块，六个面上都按同样的顺 序写着1，2，3，4，5，6六个数字。请
你根据下面的图说出1的对面是几2的对面是几3的对面是 几
例3．某校数学竞赛，A，B，C，D，E，F，G，H八位同学获得前八名，老师让他们猜
一下谁是第一名。
A：或者F是第一名，或者H是第一名。
B：我是第一名。
C：G是第一名。
D：B不是第一名。
E：A说的不对。
F：我不是第一名，H也不是第一名。
G：C不是第一名。
H：我同意A的意见。
老师说，八个人中只有三个人猜对了。那么，谁是第一名
例4．在某中学高一年级里，甲、乙 、丙三位老师分别教数学、物理、化学、生物、语
文、历史这六门课，每位老师教两门课，现知道：
（1）化学老师和数学老师住在一起；
（2）甲老师是三位老师中最年轻的；
（3）数学老师和丙老师经常在一起下象棋；
（4）物理老师经生物老师年长，比乙老师年轻；
（5）三位老师中最年长的老师的家比其他两位老师的家离学校远。
问：甲、乙、丙三位老师每人各教哪两门课
例5．A、B二人对话如下：
A问：您有几个孩子
B答：有三个。
A问：他们的年龄各是多少岁
B答：他们年龄之积是36。
A问：您的孩子上学了吗
B答：老大是个女孩，现在上小学，还有两个孩子是一对孪生兄弟，他们还没到上小
学的年龄。
根据以上对话，请你判断B的三个孩子的年龄各是多少岁
练习与思考

1．有100个人，其中至少有一人说假话，这100个人中任意两个人中总有 一个人说真
话。问：说真话的有多少人说假话的有多少人
2．一个正方体，六个面分别涂有红 、黄、蓝、绿、白、紫六种颜色，你能根据下图说
出相对两个面涂的各是什么颜色吗

3．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了前五名（名次没有并列的）。
小明问他 们各是第几名
A说：“第二名是D，第三名是B。”
B说：“第二名是C，第四名是E。”
C说：“第一名是E，第五名是A。”
D说：“第三名是C，第四名是A。”
E说：“第二名是B，第五名是D。”
已知这五位同学每人只说对了一半，请你帮小明猜一猜这五位同学的名次。
4．某人手中有13张扑克牌，这些牌有如下情况：
（1）没有大王、小王，但红桃、黑桃、方块、梅花四种花色都有；
（2）各种花色牌的张数不同；
（3）红桃和黑桃合起来共有6张；
（4）红桃和方块合起来共有5张；
（5）有一种花色只有两张牌。
问：这人手中的牌什么花色最多，有几张
5．某同学在校外做了一件好事，老师找与这件事有关的甲、乙、丁四人询问。
甲说：是乙做的。
乙说：是丁做的。
丙说：不是我做的。
丁说：乙说得不对。
已知做好事的同学就在这四个人中，并且只有一个人说了实话。问：这件好事是谁做
的
第30讲 巧算（一）
巧算是四则计算中的一个重要组成部分，学会一些巧算的方法，对 提高计算能力有很
大的帮助。加、减法的巧算方法很多，主要是利用加法、减法的运算定律和运算性质使 计算
简便。
例1．计算63+294+37+54+6
例2．（1）673+288 （2）9898+203
（3）352-96 （4）786-109
例3．计算718-162-238
例4．计算185-（85+17）
例5．计算（1）296+31-196
（2）521-136-221
例6．（1）88-（47-12）
（2）376-（176-97）
（3）347+（153-129）
（4）268+(317-168)

练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1．27+42+63 +87+67+13
3．527+439+173+261
4．2365+6807+7635+3193
5．471+91 +97
7．9874+987 +62
9．136-96
11．659-487-113


+299-561
(37+186) (88+151)
(35-16) +(231-176)
+(187-126)

(723-189)+576-(276-211)
+478+2346-(356+178)-146
+99+999+9999


第31讲 巧算（二）
这一讲我们学习乘法、除法的巧算方法，这些方法主要 根据乘、除法的运算定律和运
算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将因数（或被除数、 除数）转化成整
百、整千的数，或者使算式中的一些数变得易于心算，从而简化计算。
例1．（1）25×5×64×125 （2）75×16
例2．（1）125×(10+8) （2）（20-4）×25
（3）4004×25 （4）125×798
例3．（1）146×31÷73×75
（2）1248÷96×24
（3）1000÷（125÷4）
例4．（1）625÷25 （2）58500÷900
例5．（1）（350+165）÷5
（2）（702-213-414）÷3
练习与思考
用简便方法计算下面各题。
1．184×17+184×83
2．981+5×9810+49×981
3．496×837-796×637
4．248×68-17×248+248×48
5．304×28+4896÷48
6．（125×99+125）×16
7．25×64×125
8．301×467

9．（36+66）×（172÷4）+14
×99
÷（14000÷16）
÷(25×90)
÷4÷25
÷25
×91÷25
×364÷182
×312÷197÷312×197÷204
18.(0-10) ÷10
19.(30+32+34+36+38+40) ÷5
÷7+9÷7+11÷7
第32讲 巧算（三）
这一讲，我们主要介绍一些有一定难度的用凑整和分解等方法进行、除法的速算。
例1．计算99999×88888÷11111
例2．计算864×37×27
例3．计算×9
例4．计算111111×111111
例5．计算999999×999996
练习与思考
1．计算下面各题。
（1）5×7×9×11×13 （2）454500÷（25×45）
（3）273×23×74 （4）67×12×24
（5）4444×7777÷1111 （6）3333×2222÷6666
2．找出下面各题积的排列规律，直接写出得数。
（1）222222×555555
（2）3333333×3333334
（3）×
第33讲 等量代换
同学们都知道曹冲称象的故事吧。曹冲让大象 上船，看船被河水水面淹没到什么位置，
然后刻上记号。再把大象赶上岸，把这条船装上石块，当水面淹 没到记号的位置时，就可以
知道，船上的石块菜有多重，大象就有多重。
曹冲称象就是运用了“等量代换”的方法：两个相等的量，可以互相代换。
解数学题，经常要用到这种思考方法。
例1．下面的四只天平都保持平衡。想一想：一个西瓜和几根香蕉的重量相等

根香蕉

例2．已知一只狗重8千克，请你根据下图推出一只小猴和一只小兔共重多少千克。


例3．一头猪可以换3只羊，1只羊可以换2只狗，1只狗可以换4只兔子，1头猪可
以换几只兔子
例4．百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果2个纸箱同 1
个木箱装的球鞋一样多，想一想；每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋
例5 如右图，阴影部分BDFE是正方形，求长方形ACGH的周长。


练习与思考
1． ○+○=△
△ +△+△=□
□=（ ）个○
2．下面图中每只梨重500克，那么，1根香蕉比1
个苹果轻多少千克

3．已知1头猪=2只羊，1只羊=8只兔子。
1头猪=（ ）只兔子；
2头猪=（ ）只兔子；
3只羊=（ ）只兔子；
24只兔子=（ ）只羊；
32只兔子=（ ）头猪。
4．已知20只鸡可以换2条狗，6条狗可以换2头猪，10 头猪可以换2头牛。那么，5
头牛可以换多少只鸡
5．已知3个苹果和重量加上一个梨子的重 量等于14个桔子的重量，6个桔子的重量
加上1个苹果的重量等于1个梨子的重量。问：1个梨子的重 量等于多少个桔子的重量
6．已知1筐梨+2筐桔子=130千克；
2筐苹果+2筐桔子=160千克；
3筐梨+2筐苹果=310千克。
求 1筐梨=（ ）千克；
1筐苹果=（ ）千克；
1筐桔子=（ ）千克。
7．买6千克荔枝和8千克桂圆，共付312元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。荔枝的单价是多少元桂圆的单价是多少元
8．甲、乙二人共同生产一种零件，甲生产了 8小时，乙生产了6小时，一共生产了312
个零件。已知乙5小时的工作量等于甲2小时的工作量。甲 生产了多少个零件乙生产了多少
个零件
9．甲、乙两数之差是180，如果将乙数的小数眯向 右移动一位就与甲数相等。甲、乙
两数各是多少
10．如右图，阴影部分是正方形，求长方形ABCD的周长。



第34讲 拼拼算算
近代伟大的数学家希尔伯证明了一条有趣的定理：两个面
积 相等的多边形，可以将其中任意一个割成有限块，然后拼成
另一个。割拼图形作为几何学上有趣的课题， 引起很多数学爱
好者的广泛兴趣。

研究这类问题，要抓住“割、拼前后图形的 面积相等”这个关键，根据已知条件和图
形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定割拼的具体方法。
例1 下图是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。



例2．一个长方形的长是9厘米，宽
是4厘米，请把它剪成大 小、形状都相
同的两块，使这两块能拼成一个正方形。
例3．把一个正方形剪成8块，再把它 们拼成一长
方形和一个正方形，并使拼成的长方形和正方形的面积在先。应该怎样剪拼
例4．把下图中两个图形的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们变为一个正方形。



例6． 将下面的图形剪成两
块，然后拼成一个正
方形。




练习与思考
1．下图是同五个正方形组成的
形状都相同的四块。
图形，请把它分成大小、

2．把一个等边三角形分别分成8个和9个形状、大小都一样的三角形。
3．在上右图中画5条线，把小圆圈分开，并使每块的大小
相等，形状相同。
4．右 图是一块长方形铁皮，现在要把它剪成形状、大小都
相同的两面三刀块，然后拼成一个正方形。拼成的正 方形的边
长应该是多少请画出剪拼的方法。

5．如图，把两个图形中的某一个分成三块，使它们合起来
能拼成一个正方形。

6．把上右图分成形状相同，大小相等，但都不是长方形的6块图形。












能力测试（四）
（满分100分，90分钟完成）
一、直接写出下面各题的得数（每题1分，共24分）。
94＋128= 4896＋89=
136-98= 25×24=
15×12= 384×5=
278＋56= 666＋444=
989＋21= 2748－993=
125×16= 45×8=
194-27-73= 728＋493=
89＋43= 471＋97=
5254－888= 75×12=
16×125×5= 1995÷5=
25×32= 25×98＋25×2=
96＋28= 125×88＋125×112=

二、用简便方法计算下面各题（每题3分，共30分）。
1．76＋165＋724＋187＋35
2．8709－1473－295－527－391－105－409
3．756＋478＋2346＋（356＋178）－146
4．9＋99＋999＋9999＋99999＋999999
5．625×36×40×125 6．125×97＋375
7．24×999 8．2975÷25
9．3333×2222÷6666 10．33333×33334
三、应用题第1、2题，每题7分，其余每题8分，共46分）。 < br>1．小磊前四次数学测验的平均成绩是89分，第五次测验得99分。这五次测验的平均
成绩是多 少分
2．一辆汽车7小时行了196千米。另一辆汽车用同样的速度从甲地到乙地用了14小
时。甲、乙两地相距多少千米
3．6筐桔子和5筐苹果共重135千克，已知3筐桔子的重量与3筐苹 果的重量相等。1

筐苹果和1筐桔子各重多少千克
4．一个工厂男职工的人数 是女职工的一半，男职工的平均体重是65千克，女职工的平
均体重是50千克。全厂职工的平均体重是 多少
5．有一块长16厘米，宽9厘米的长方形铁皮（如下图），现在要把它剪成形状、大小
相同的两块，再拼成一个正方形。拼成的正方形的边长应该是多少请把剪拼的方法在图上出
来。









9厘米









6．甲、
16厘米
乙、丙、丁
四个孩子在李先生家的后院玩球，忽然，李先生家一扇窗 户上的玻璃被打破了。李先生急忙
跑出来查看。李先生问“是谁打破了上玻璃”
甲说：“是乙打破的。”
乙说：“是丁打破的。”
丙说：“锁有打破玻璃。”
丁说：“乙说谎。”
后来知道，四个孩子中只有一人说了实话。请问：是谁打破了玻璃