宝镜似空水下一句-处方药和非处方药

组合图形中圆的周长与面积

戴龙


一、学习目标：
1．巩固加深对圆的周长与面积的理解与计算，掌握在组合图形中求圆的周长及面积的
方法。
2．提高自己思维的灵活性。

二、知识基础：
1．什么叫圆的周长？围成圆的曲线的长叫圆的周长。
什么叫圆的面积？圆所占平面的大小叫圆的面积？
2．怎样求圆的周长和面积？
圆的周长：c=πd或c=2πr。
圆的面积：
S

r

3．一个边长2分米的正方形剪下一个最大的圆，圆的周长为（6.28）分米。面积为（3.14）< br>平方分米。
2

4．在一个正方形内做一个最大的圆，圆的面积是正方形面积的（

）
4
2

r
正方形的边长就是圆的直径，设圆的直径为2r，半径为r，圆面积为
正方形边长就为2r ，正方形面积为
(2r)(2r)
所以
圆面积正方形面积
4r
2


r
2
4r
2


4


三、方法例谈
例1：将半径分别为3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分周长。

请认真看图：阴影部分周长是由哪些组合起来的？
怎样分别求出这几部分的长度？
O
1
B3厘米

O2
AO
1
AO
2
O
1
321厘米< br>
AC=2—1=1厘米
C
O
1
2

r
1
；
11
C
O
1


r
1

C
O2


r
2

22
11C
O
1
C
O
2


r
1< br>

r
2
3.1433.14215.7cm
< br>22
阴影部分周长：
O
1
BAC两个半圆3115.71 9.7厘米

答：阴影部分周长为19.7厘米

例2：如图：从点A到点B沿大圆周长和沿着中、小圆的周长走，路程相同吗？



①认真看图：大圆周是由哪几部分组成？中、小圆周是由哪几部分组成？
②这题是要我们求什么？
求大圆的半周长，求中、小圆的半周长，然后进行比较大小
③怎样进行计算呢？
设中圆直径为D，小圆直径为d，则：大圆直径为D+d，所以
111
C
大


(Dd)

D

d

222
1111
C
中


D

C
小


d

C
中
C小


D

d

2222
所以：< br>C
大
C
中
C
小

这就是说两种求法经过的路程是相同的。
小结：求组合图形的周长时要首先认 真看图，认真观察看所求周长是由哪几部分组成的，
最后确定解答方法。
尝试练习：一个圆的周长增加了10厘米，这个圆的半径增加了多少？
解：这个题可以看作现 在的圆周长与原来圆周长组合而成的复合图形。设现在圆周长为
C
1
，原来为
C
2
，现在圆的半径为R，原来圆的半径为r。
C
1
C
2
10

即2πR-2πr=10
2π（R-r）=10

Rr
1010
1.59cm
。
2

23.14
答：这个圆的半径增加了1.59cm.

例3．在下列各图中，正方形边长为a，求阴影部分面积
（1） （2）


师：首先进行观察（1）（2）两图中 阴影均为不规则图形，不能直接求出其面积。（1）
中可用正方形面积减扇形面积。
（1）正方形面积为：
aaa

扇形面积为：

a

阴影面积：
a
2
2
1
4
2
1
2
1

a(13.14) a
2
0.215a
2

44
（2）先求扇形面积，再减去空白三角形的面积：
1
2
1
a
；
空白三角形面积a
2

42
1
2
1
2
11
22
阴影面积


aa (

)a0.285a
。
4242
扇形面积

师：在组合图形中，有些图形面积不易直接计算，可以先求出一个比它更大的图形的面
积，再减去比原 图形多的那个图形的面积。简单说，先多算一点，再把多算的部分减去。

例4．在下图中，圆的半径为r，求阴影部分的面积。

解法I：认真观察，会发现
圆的水平直径将这个图形分为上、下两层，显然有如下关系：





上面阴影面积：
半圆三角形
1
2

rr
2
0.57r
2

2
下面阴影面积：因为圆的水平直径将圆分为上、下两部分，底为4r
11
(2r4r)r

r
2
1.43r
2

22
整个图形中阴影面积为：
0.57r1.43r2r

小结 ：当某些图形面积不易直接计算时，可以把这个图形分成几个部分，计算各部分的
面积，然后相加简单地 说就是化整为零。
解法Ⅱ：将原图的上半部分以水平直径为轴顺时针旋转，使阴影部分进行拼和而成为 两
个三角形：
222


由此可看出所求面积是梯形面积与三角形面积的差。
如果将左图中右边带阴影三角形逆时针旋即可成为如下图：

显然这个大三角形的两条直角边都等于2r，所以：
S2r2r22r
2

小结：当某些图形的面积不易直接计算时，可 以把这个图形的各个部分适当地拼接成一
个易于直接计算的图形，也就是说化零为整。

四、解决问题：
①如图，已知半圆的面积是78.5平方厘米，求阴影部分面积



认真观察会发现：阴影面积是先求出长方形面积，再用长方形减去半圆面积。即先 多求
一点。再减去多余部分。
1
2
半圆面积：

r78.5

2
r
2
78.52

1573.1450平方厘米

长方形面积：
2rr2r
2
100平方厘米

阴影面积：100-78.5=21.5平方厘米
②正方形ABCD中，BD为20厘米，另外C又在以A为圆心的圆周上，求阴影部分面
积

以BD为底三角形BDC的高为
1
BD10cm

2
2
所以△BDC面积为
20102100cm

正方形面积为
1002200cm

大扇形面积为

r 
2
1
4
2
1
3.14400314cm
2

4
2
阴影面积为：
314200114cm


五、知识结构：

周长：由哪几部组成

部分

多求一点，再减去多余


圆


面积化整为零



化零为整




六、结束语：
组合图形，构图不是单一的，大家要认真观各部分之间关系，或求差，或化整为 零，或
化零为整。有时还要综合运用，才能透过复杂现象，寻求到解决问题的办法。
同学们，这节课就上到这里，再见。