天堂公园-龟兔赛跑的故事

小六 圆的周长与面积竞赛题
圆的面积
知识提要
1. 基本概念：
环形是指一大一小两个同心圆之间的部分，环形的面积是用外圆的面积 减去小圆的面积，
即：环形的面积=外圆的面积－内圆的面积。
环形的面积：S
环
=

R
2
－

r
2
=

（R
2
－
r
2
）。
这里，R表示外圆的半径，
r
表示内圆的半径。
2.计算圆与扇形的面积时，要经常 用到割补法，要善于添加辅助线把图形分割成几个基本
图形，再分别求出它们的面积。
3.一 些较复杂的平面几何图形，要经常用到平移、翻转等方法，把复杂的平面几何图形转
化成基本图形，再分 别求出它们的面积。
之间的联系，找到解题的方法。

经典例题
例1




例2 （如右图）已知正方形的面积是10平方厘米，求圆的面积。




例3 （如右图）已知阴影部分甲比阴影部分乙的面积小5.12平方厘米，求三角形的另一
条边。



O
4厘米
求右图中阴影部分的面积。
O
甲
乙
8厘米

例4 求右图中阴影部分的面积。




例5 （如右图）求阴影部分的面积。





基本训练
1.

一个环形铁片，内圆半径8厘米，外圆半径12厘米，铁片的面积是多少平方厘米？




2.一个圆形花坛的周长是50.24米，这个花坛的占地面积是多少平方米？




3.

校园内要修建一个直径是8米的圆形花坛，在花坛的外 面铺设一条宽2米的小路，小
路的面积是多少平方米？



4.求下图中阴影部分的面积（图中单位：厘米）。



4厘米2厘米
10厘米
6
6

5. 已知正方形边长是4厘米，求阴影部分的面积。






6. 求下图中阴影部分的面积（图中单位：厘米）。

8


8



拓展提高
1. 求下图中阴影部分的面积（图中单位：厘米）。





2. 求下图中阴影部分的面积（图中单位：厘米）。





3. 求下图中阴影部分的面积（图中单位：厘米）。





4
2
4
3
3
3
8
8
2

4. 如图，等腰直角三角形的直角边长10厘米，求阴影部分的面积。





5.正方形ABDC的边长是2厘米，分别以A、C、D、B为圆心，AE、CF、DG、 BH为半径作4
个扇形如图。求阴影部分的面积。






G
F
E
A
C
B
D
H
圆的周长和面积(拔高)
知识广角
1．圆是平面上的曲线图形，也是我们 第一次学习曲线图形。在这一讲中，我们将要学习这种特殊图形的
周长和面积的应用。我们已经知道圆的 周长和面积的基本计算方法：S
圆
=∏r，C
圆
=2∏r=∏d；对于教材选学的扇形，我们也可以得出其面积和周长的计算方法：
2
2．圆是轴对称图形， 所以我们在计算圆的面积时还可以运用割补、平移、旋转等方法将不规则的图形转
化成规则图形来解决。
3．圆周率是一个无限不循环小数，本书中如无特殊说明，圆周率都取∏=3．14。
例1、如图，两只蚂蚁都要从A点爬到B点，有两条路可以走，甲蚂蚁爬的是一个大半圆周(图中细线)，< br>乙蚂蚁爬的是三个小半圆周(图中粗黑线部分)，聪明的你能比一比哪一只蚂蚁爬的路线更近一些吗?

例1、的结论可以推广，几个小圆直径相加等于最大圆的直径时，就可以说小圆的周长和等于 大圆的周
长。另外，半圆的周长和圆周长的一半是不相同的。
举一反三
1．如图，大半圆周的半径是6厘米，求阴影部分的周长是多少厘米?




2．如图，AB=20厘米，求图中所有半周长(即A到B的实线部分)和是多少厘米?



例2、有七根直径都是5厘米的塑料管，用一根绳子把它们勒紧成一捆 (如图(a))，此时绳子的长度是多
少厘米?

举一反三
3．如图，三 根直径是0．8米的圆木用一根粗绳紧紧地绑在一起，接头处有0．4米，求这根粗绳的长度
是多少米？

4．如图，六根直径是1米的圆 形钢管用一根粗绳紧紧地绑在一起。求这根粗绳的长度是多少米?如图，
正方形的面积是80平方厘米， 那么这个圆形的面积是多少平方厘米?


例3、如图，正方形的面积是80平方厘米，那么这个圆形的面积是多少平方厘米？


举一反三
5．如图，如果圆形的面积是18.84平方厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米?


6．如图，半圆的面积是15．7平方厘米，求长方形的面积?

例4、在圆中作一个最大的正方形，已知这 个正方形的面积是40平方厘米，那么这个圆形的面积是多少
平方厘米?





举一反三
7．如图，如果圆的面积是28．26平方厘米，其中作的最大的正方形的面积是多少平方厘米?


8．扇形的面积是18．84平方厘米，求正方形的面积是多少平方厘米?



通过图例，我们可以将题中叙述的条件变得非常直观，有了这种直 观图例，解决问题就非常方便了。
因此，在很多图形问题中，一定要拿起你们的笔，画画图，这是帮助我 们思考的一种很好的手段。
另外，如果有多个”值需要计算，注意计算时把“的计算放到最后，会使计算更为简便。

在有关圆的问题中，很多时候我们没 有办法求出r，而是只能知道r
2
，这时我们不必要一定要求出
r，直接根据所求的问 题，将其字母化，即用字母表示出来，再直接将r
2
带入所求问题的表达式即可。
这就 是所谓的代入法。
举一反三
10．如图，阴影部分面积是20平方厘米，求圆环的面积?


11．在推导圆的面积时，将圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，已知所 得的长方形的长比宽多
6．42厘米，圆的面积是多少?





指点迷津
l．在解决圆形的相关问题时，对公式的理解和运用一定要非常熟悉，但 由于现在所学知识的局限，有时
不能直接求出r的值，需要把r作为一个整体．带人到计算公式中进行计 算。
2．在有关圆的计算中的两个常数：
A：正方形中最大的圆的面积占这个正方 形面积的
B：圆中最大的正方形的面积占这个圆面积的
2

(约78．5％) 。
4
2
。

在很多情况下可以直接利用，可以根据题目的条件和 问题灵活运用，往往会起到事半功倍的效果。

扬帆起航
1．如图，如果正方形的面积是40平方厘米，那么这个扇形的面积是多少平方厘米?



2．一个圆的面积是50．24平方厘米，这个圆内最大的正方形的面积是多少平方厘米?



3．把一个圆形剪成若干个小扇形，再将这些扇形拼成一个近似的长方形，这个长 方形的周长是24．84
分米，求这个圆形的面积是多少平方分米?




4．如图，如果圆的面积是31．4平方厘米，在其中作一个最大的正方形，求阴影部分的面 积是多少平方
厘米?

5．如图，等腰直角三角形的面积是20平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米?


6．七根直径是2分米的圆木用一根粗绳紧紧地绑在一起，绑了这样的三圈，接头有l米，求 这根粗绳的
长度是多少米?


7．已知一个半圆的周长是41.12厘米，求这个半圆的面积是多少平方厘米?





8．如图，三角形的三个顶点恰好在三个圆的圆心处，三个圆的半径都 是l0厘米，图中阴影部分的面积
是多少?